2016年高考文科数学全国3卷(附答案)

..

;.

学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -

绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学 全国III 卷

（全卷共12页）

(适用地区：广西、云南、四川)

注意事项：

1．

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。 2．

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．

回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4． 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

第I 卷

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A C B =（ ）

A.{4,8}

B.{0,2,6}

C.{0,2,6,10}

D.{0,2,4,6,8,10}

（2）若43z i =+，则

z

z

=（ ） A.1

B.1-

C.4355

i + D.4355

i - （3

）已知向量1(2BA = ,31

(),2

BC = 则ABC ∠=（ ）

A.30?

B.45?

C.60?

D.120?

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和

平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。下面叙述不正确的是

A. 各月的平均最低气温都在00C 以上

B. 七月的平均温差比一月的平均温差大

C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同

D. 平均气温高于200C 的月份有5个

（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,,M I N 中的

一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A.

815

B.18

C.

115

D.

130

（6）若1

tan 3

θ=

，则cos2θ=（ ） A.45

-

B.15

- C.15

D.

45

（7）已知432a =，233b =，1

325c =，则（ ）

A.b a c <<

B.a b c <<

C.b c a <<

D.c a b <<

（8）执行右图的程序框图，如果输入的4,6a b =

=，那么输出的n = （ ）

..

;.

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

(9) 在ABC ?中，B =

1

,,sin 43

BC BC A π

=边上的高等于则（ ） A.

310

(10) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则

该多面体的表面积为

A.18+

B.54+

C. 90

D. 81

(11) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，

BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 A. 4π B.

92π C. 6π D. 323

π

(12) 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点，A ，B 分

别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A.

13

B. 12

C.

23

D. 34

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13) 若x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??

--≤??≤?

则z =2x +3y –5的最小值为______.

(14)

函数sin y x x =的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向

右平移_____________个单位长度得到． (15)

已知直线:60l x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，

过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则CD = _______ .

(16) 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)

处的切线方程式 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

.

..

;.

（17）（本小题满分12分）

已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.

（I ）求23,a a ； （II ）求

{}n a 的通项公式.

（18）（本小题满分12分）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加

以说明；

（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃

圾无害化处理量. 附注： 参考数据：

7

1

9.32i

i y

==∑，7

1

40.17i i i t y ==∑

0.55=，≈2.646.

参考公式：()()

n

i

i

t t y y r --=

∑

回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

1

2

1

()()

()n

i

i i n

i

i t

t y y b t

t ==--=

-∑∑，

=.a y bt

-

..

;.

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC =3，P A=BC =4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （I ）证明MN ∥平面P AB ;

（II ）求四面体N BCM -的体积.

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线C ：2

2y

x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交

C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．

（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR

FQ ；

（Ⅱ）若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

（21）（本小题满分12分）

设函数()ln 1f x x x =-+. （I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）证明当(1,)x ∈+∞时，1

1ln x x x

-<

<；

..

;. （III）设1

c>，证明当(0,1)

x∈时，1(1)x

c x c

+->.

请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）

选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分

别交AB于E，F两点.

（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.

（23）（本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线1C

的参数方程为

sin

x

y

α

α

?=

?

?

=

??

（α为参数），

以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线

2

C

的极

..

;.

坐标方程为sin()4

π

ρθ+

=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.

（24）（本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

已知函数

()2f x x a a =-+.

（I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集； （II ）设函数()21g x x =

-，当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学 全国III 卷 答案

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）D

..

;.

（7）A （8）B （9）D （10）B （11）B （12）A

第II 卷

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。

（13）10- （14）

3

π

（15）4 （16）2y x = 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得4

1

,2132==

a a . .........5分 （Ⅱ）由02)12(112

=---++n n n n

a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .

因为{}n a 的各项都为正数，所以

2

1

1=+n n a a . 故

{}n a 是首项为1，公比为

2

1

学.科网的等比数列，因此1

21

-=

n n a . ......12分 （18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得

4=t ，

28)(7

1

2

=-∑=i i

t t

，

55.0)(7

1

2=-∑=i i

y y

，

89.232.9417.40))((7

1

7

1

7

1

=?-=-=--∑∑∑===i i i

i

i i i

i

y

t y t y y t t ，

99.0646

.2255.089

.2≈??≈

r . ........4分

因为

y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从

而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. ............6分

（

Ⅱ

）

由

331.17

32

.9≈=

y 及

（

Ⅰ

）

得

103.028

89

.2)()

)((?7

1

2

7

1

≈=

---=∑∑==i i

i i i

t t

y y t t

b

， 92.04103.0331.1??≈?-≈-=t b y a

. 所以，

y 学.科网关于t 的回归方程为：t y 10.092.0?+=. ..........10分

将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0?=?+=y . 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. .........12分 （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得23

2

==

AD AM ，学.科网取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，22

1

==BC TN . ......3分

又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.

因为?AT 平面PAB ，?MN 平面PAB ，所以//MN 平面

PAB . ........6分

..

;.

（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为PA 2

1

. ....9分 取BC 的中点

E

，连结

AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，

522=-=BE AB AE .

由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故52542

1

=??=

?BCM

S . 所以四面体BCM N -的体积

3

54231=??=?-PA S V BCM BCM

N . .....12分 （20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设)0,2

1(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且

)2

,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b

a R

b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,学科&网两点的直线为l ，则l 的方程为

0)(2=++-ab y b a x . .....3分

（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则

22

2111k b a

ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，

则2

,21

21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=

??. 由题设可得2

21211b

a x a

b -=--，所以01=x （舍去），11=x .

设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1

2≠-=+x x y

b a . 而y b

a =+2

，学科&网所以)1(12≠-=x x y .

当

AB

与

x

轴垂直时，

E 与

D

重合.所以，所求轨迹方程为

12-=x y . ....12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，'1

()1f x x

=

-，令'()0f x =，解

得1x =. 当01x <<时，'

()0f

x >，()f x 单调递增；当1x >时，'

()0f x <，()

f x 单调递减. ………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =. 所以当1x ≠时，ln 1x x <-. 故

当

(1,x ∈+∞

时，

l n x x <-

，

11

ln

1x x

<-，即

1

1ln x x x

-<

<. ………………7分 （Ⅲ）由题设1c >，设()1(1)x

g x c x c =+--，则'

()1ln x g x c c c =--，

令'

()0g

x =，

..

;.

解得01ln

ln ln c c x c

-=

. 当0x x <时，'

()0g

x >，()g x 单调递增；当0x x >时，'()0g x <，()g x 单

调递减. ……………9分 由（Ⅱ）知，1

1ln c c c

-<<，

故001x <<，又(0)

(1)0g g ==，

故当01x <<时，()0g x >.

所以当(0,1)x ∈时，1(1)x

c x c +->. ………………12分 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）连结BC PB ,，则B C D P C B P C D B P D P B A B F D ∠+∠=∠∠+∠=∠,.

因为

BP AP =，所以P C B P B A

∠=∠，又B C D BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠.

又PCD PFB BFD

PFD ∠=∠=∠+∠2,180

，所以 1803=∠PCD ， 因此

60=∠PCD .

（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，学科.网所以 180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，

其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥

.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）

1C 的普通方程为2

213

x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分

（Ⅱ）由题意，可设点P

的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所

以||PQ 的最小值，

即为P 到2C 的距离()d α

的最小值，

()sin()2|3d π

αα=

=+-.

………………8分 当且仅当2()6

k k Z π

απ=+

∈时，()d α取得最小值，

，此时P 的直角坐标为31

(,)22

. ………………10分 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.

解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.

因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分 （Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-

|212|x a x a ≥-+-+ |1|a a =-+，

当1

2

x =

时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分

当1a ≤时，学.科.网①等价于13a a -+≥，无解.

..

;. 当1

a>时，①等价于13

a a

-+≥，解得2

a≥. 所以a的取值范围是[2,)

+∞. ………………10分