微分几何第一章

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1.1 向量代数-混合积的几何意义
注意：|(a, b, c)| 等于由向量 a、b、c 张成
的平行四面体的体积． （如图）
a ∧b bc
q q
|c|cosq
|a ∧ b| a
|(a, b, c)| = |(a ∧ b) ⋅ c|
=|a ∧ b| |c|cosq
=平行四面体的体积
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1.1 向量代数-混合积的计算公式
每个分量求极限．这样，向量函数的极限就转
化成普通函数的极限．
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1.2 向量分析-向量函数的极限的性质
推论. （极限的运算性质）设当 t→t0 时， 有 r(t) → a ，s(t) → b ，l(t) → c ，则我们 有： r(t)±s(t) → a±b，l(t)r(t) → ca． r(t) ⋅ s(t) → a ⋅ b． r(t) ∧ s(t) → a ∧ b．
微分几何
用代数的方 法研究图形 的几何性质
解析 几何
用微积分方 法研究几何 图形的性质
初等 几何
几何 学
微分 几何
包括平面几 何和立体几 何
其它 几何
金融几何 代数几何 计算几何 …………
教材与参考书
教材 • 彭家贵、陈卿：《微分几何》，高等教育出版社
（2002） 参考书书 • 梅向明、黄敬之：《微分几何》（第四版），高 等教育出版社出版（2008） • 陈维桓：《微分几何初步》，北京大学出版社 （1999） • 周振荣、杨文茂、郑高峰、赵玮：《微分几何》， 武汉大学出版社（2008）
示：用分量验证，并由此证明拉格朗日公 式．
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1.2 向量分析
内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、 复合函数求导的链式法则 重点：链式法则
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1.2 向量分析-向量函数的极限
一元向量函数是形如 r(t) = (x(t) , y(t) , z(t)) 的向量，其中 x(t)、y(t)、z(t) 是普通的一元 函数，叫该向量函数的分量函数．
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1.1 向量代数-两个不等式
定理. 对任意的两个向量 a、b∈R3 有下
面两个不等式成立： 许瓦滋不等式
a ⋅ b ≤ |a| ⋅ |b|． 闵可夫斯基不等式
|a + b| ≤ |a| + |b|． 这两个不等式中的等式成立的充分必要条 件是 a∥b．
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1.1 向量代数-两向量的夹角
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1.2 向量分析-具有固定长度和固定方向的向量函数
可导的向量函数 r(t) 具有固定长度的充要条 件是 r' (t) 垂直于 r(t)．
可导的向量函数 r(t) 具有固定方向的充要条 件是 r' (t) 平行于 r(t)．
看证明
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1.2 向量分析-一元向量函数的链式法则
定理. （一元向量函数的链式法则）设 r(u) 可微的向量函数，u = u(t) 是可微的普通函 数，则复合函数 r(t) = r(u(t)) 也可微，并 且
符号说明
蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，
如 a 、 r (u,v)、A 等
粉红色字母代表特殊常数，如圆周率 p 和 自然对数的底数 e 等
黄色字母代表特殊函数（如正弦函数 sinq
等）、特殊空间（如欧氏空间 R3 、平面 R2 和实数集 R）、特殊向量（如单位坐标 向量，如 i 、 j 、 k ）或者变换群
a
|a|sinq q
b
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1.1 向量代数-混合积
三个向量 a、b、c 的混合积定义为
(a, b, c) = (a ∧ b) ⋅ c． 向量的混合积满足轮换不变性：
(a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b). 向量的混合积满足反 交换性，即交换两个 向量的位置改变混合积的符号，如 (a, b, c) = – (c, b, a)，等等.
1.1 向量代数-向量积的计算公式
设 ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是 R3 中的两个 向量，则有：
i jk
a1 a2 x1 y1 z1 x2 y2 z2
注意：| a ∧ b | 等于由 a 和 b 张成的平行 四边形的面积．（如图）
|a|⋅|b| sinq |a ∧ b|
k a
O i
j
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1.1 向量代数-线性运算
设 a1 = (x1, y1, z1)，a2 = (x2, y2, z2)，则它们 的和定义为 a1 + a2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).
a1
a1+a2
a2
再设 a = (x, y, z)，l∈R，则 l 与 a 的数 乘定义为 la = lxi + lyj + lzk = (lx, ly, lz).
距离定义为 d(a,b) = |a – b|．在 R3 上装备 了这样的距离函数之后就叫欧氏空间． 距离具有如下性质： 正定性．d(a, b) ≥ 0，等式成立当且仅当 a = b； 对称性．d(a, b) = d(b, a)； 三角不等式．d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b)．
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例如 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) 是 R3 的三个向量。
除了 i 、j 、k 这三个向量以外，我们一般用 蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如a 、 r 、a、 b 等。
几何上，我们用一个箭 头表示向量，箭头的起点 叫向量的起点，箭头的末 端点叫向量的终点。
字母右上角的撇号代表对一般参数求导数， 右上角或者顶上的圆点代表对弧长参数求
导数
第一章内容概要
本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微 积分、合同变换群等内容，这些内容是后面 讨论曲线曲面的微分几何时所需要的．
向量代数包括向量的线性运算（加法和数 乘）、向量积、内积、混合积、向量的长度 和夹角等内容，其中拉格朗日公式是这一节 的重点．
1.1 向量代数-向量积
设向量 a、b 的夹角为 q，则它们的向量积
（也叫外积）a ∧ b 是这样一个向量，其长度
为 |a ∧ b| = |a|⋅|b| sinq，方向满足右手法则：
伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从 向量 a 朝向量 b 旋转一个较小的角度（小于 180º）到达 b，则大拇指所指的方向就是 a ∧ b 的方向．（如图）
向量 a 与 b 的夹角为
q arccos a b .
| a || b |
如果两个向量的夹角是 p/2，就称这两个 向量相互垂直或正交．因此两向量正交的充 分必要条件是它们的内积为零．
由许瓦兹不等式可知 | cosq | ≤ 1.
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1.1 向量代数-距离
两个向量 a、b 作为 R3 的点，它们之间的
向量函数的微积分和普通函数的微积分基本 类似，所以本节作为一般了解．
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1.1向量代数 内容：向量积、内积、混合积的性质与计 算 重点：拉格朗日公式
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1.1 向量代数-向量
集合 R3 = {(x, y, z) | x, y, z∈R} 称为三维实向 量空间，其元素 (x, y, z) 叫做一个向量。
设 r(t) 是一个向量函数，a 是常向量，如果对
任意的 e > 0，存在 d > 0，使得当 0 < |t – t0| < d 时，|r(t) – a| < e 成立，则称 a 是 r(t) 当 t 趋
向于 t0 时的极限，记为 为 r(t)→a (当 t→t0) ．
lim r(t) a
t t0
设 ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是 R3 中的两个 向量，它们的内积定义为
a1 ⋅ a2 = x1x2 + y1y2 + z1z2． 内积具有如下性质： 正定性．a ⋅ a ≥ 0，等式成立当且仅当 a = 0； 对称性．a ⋅ b = b ⋅ a； 线性性．a ⋅ (kb + hc) = ka ⋅ b + ha ⋅ c． 向量 a 的长度为 |a| = (a ⋅ a)1/2；长度为 1 的向量叫单位向量．
u 0
u
存在，则称它为函数 r(u,v) 在点 (u0,v0) 处关 于 u 的偏导数，记为 ru(u0,v0)；同样，我们 可以定义关于 v 的偏导数 rv(u0,v0)．
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1.2 向量分析-二元向量函数的微分
设 r(u,v) 是二元向量函数，令 r = r(u0 + u, v0 + v) – r(u0, v0).
a
la
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1.1 向量代数-向量
设 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) ，则任意 向量 a = (x, y, z) 可表示为 a = xi + yj + zk．（如 图）
k zk
a = xi+yj+zk
yj
O

xi i
xi+yj
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1.1 向量代数-内积
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1.2 向量分析-向量函数的连续性
如果当 t → t0 时有 r(t) → r(t0) 成立，则称 向量函数 r(t) 在 t0 处连续；如果 r(t) 在它 的定义域内的每一点都连续，则称 r(t) 是 连续函数． 连续函数的和、差、积（内积、向量积、 混合积、数乘）是连续的． r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 在 t0 处连续的充分必要 条件是每个分量 x(t)、y(t)、z(t) 都在 t0 处 连续．
,
或者记
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1.2 向量分析-向量函数极限的计算