数列模块复习

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1. 等差数列的定义与性质
定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()
1112
2
n n a a n n n S na
d +-=
=+
性质：{}n a 是等差数列
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；
（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则
21
21
m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）
n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，
即：当100a d ><，，解不等式组10
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.
当100a d <>，，由1
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.
（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．
(7)项数为偶数n 2的等差数列{}
n a ，有
),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S
nd S S =-奇偶，
1
+=
n n a a S S 偶
奇.
（8）项数为奇数12-n 的等差数列{}
n a ，
有
)()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇，
1
-=
n n S S 偶
奇. 2. 等比数列的定义与性质
定义：
1
n n
a q a +=（q 为常数，0q ≠），1
1n n a a q -=.
等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy =±.
前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q
=⎧⎪
=-⎨≠⎪
-⎩（要注意！）
性质：{}n a 是等比数列
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··
（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .
（3）等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列
232,,,
m m m m m S S S S S --仍为等比数列．
（4）两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬
⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．
注意：由n S 求n a 时应注意什么？
1n =时，11a S =； 2n ≥时，1
n n n a S S -=-
3．求数列通项公式的常用方法
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例：已知数列
,3219,1617,815,413试求出其通项公式。

（2）求差（商）法
已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{
11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==
-≥ 已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)()
,(2)
(1)
n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

例：数列{}n a ，122111
25222n n a a a n +++=+……，求n a
例：数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______
［练习］数列{}n a 满足1115
43
n n n S S a a +++==，，求n a
（3）累加法
若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-
1a +(2)n ≥
例：数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a
已知
1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12
112
1
n n n n n a a
a a a a a a ---=⋅⋅⋅
⋅(2)n ≥ 例：数列{}n a 中，1131
n n a n
a a n +==+，，求n a
（5）等差型递推公式
由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法
2n ≥时，21321(2)
(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫
⎪-=⎪
⎬⎪⎪-=⎭
…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……
∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……
例：数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a
（6）等比型递推公式
1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）
可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+-
令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧
⎫+⎨⎬-⎩⎭
是首项为1
1d a c c +-，为公比的等比数列
∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+
=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛
⎫=+- ⎪
--⎝
⎭
例：11212
n
n n a a a a +==+，，求n a
4. 求数列前n 项和的常用方法 （1）公式法：①等差数列求和公式；
②等比数列求和公式， ③常用公式：1123(1)2
n n n ++++=+
222112(1)(21)6
n n n n +++=++
33332(1)123[]2
n n n +++++=
注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；
例：等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，求2232221n
a a a a ++++
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
例：求：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--
（3）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k
=-++； ③2211111()1211
k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k
-=<<=-++--； ④1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-+++++ ； ⑤2122(1)2(1)11
n n n n n n n n n +-=
<<=--+++- 例：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111
n
k k k a a =+∑
［练习］求和：111
112123123n
+++++++++++…………
（4）错位相减法
若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.
例：求2311234n n S x x x nx -=+++++……
（5）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫
⎬=++++⎭
…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……
例：已知2
2
()1x f x x
=+，求111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
课后练习：求下列数列的前n 项和n S ： （1）
1111
,,,,,
132435
(2)
n n ⨯⨯⨯+；
（2）11
n a n n =
++； （3）23,2,3,
,,n a a a na ；
（4）13,24,35,,(2),
n n ⨯⨯⨯+；（5）2222sin 1sin 2sin 3sin 89+++
+．。