数列专题复习教案

年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
学生姓名 授课教师： 授课时间：
数列专题复习
题型一：等差、等比数列的基本运算
例1、已知数列}{n a 是等比数列，且4622a a a =，则=53a a ( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
例2、在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176
变式 1、等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2、若等比数列{}n a 满足2412
a a =
，则2
135a a a = . 3、已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。

题型二：求数列的通项公式
⑴.已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法（累加法）
例1：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；
变式 已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，求数列{}n a 的通项公式．
(2).已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用迭乘法（累积法）
例2、已知数列{}n a 满足：111
(2),21
n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式；
变式 已知数列{}n a 满足n n a n a 2
1=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。

(3).构造新数列
1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解
例、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.
变式 已知数列{}n a 中，54,211+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式。

2°递推关系形如“n
n n q pa a +=+1”两边同除1
n p
+或待定系数法求解
例、已知n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.
变式 已知数列{}n a ，n n n a a 631+=+，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。

3°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -
例1、已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.
变式 数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a n
n
n ，求数列{}n a 的通项公式.
d 、给出关于n S 和m a 的关系（1--=n n n S S a ）
例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n
n n S b 3-=，
求数列{}n b 的通项公式．
变式 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212
≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项； ⑵设1
2+=n S b n
n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
题型三：数列求和
一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
前n 个正整数的和 2
)
1(321+=
++++n n n 前n 个正整数的平方和 6)
12)(1(3212
2
2
2
++=
++++n n n n
前n 个正整数的立方和 23
333]2
)1([321+=++++n n n
例1、在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .
二、错位相减法求和（重点）
这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，
转化为同倍数的等比数列求和。

例2、求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
变式 已知等差数列{}n a 的通项公式n a n =，等比数列{}1
2,+=n n n b b ，设n n n b a C •=，n S 是数列n C 的
前n 项和，求n S 。

三、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例3、求数列的前n 项和：231
,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，…
变式 求数列{n(n+1)}的前n 项和.
四、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 例4 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
变式 1、在数列{an}中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{bn}的前n 项的和.
2、已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.
题型四：等差、等比数列的判定
例1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n n
S b n
n .求证：数列{}n b 是等差数列.
变式：已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*
,3N n b n a
n ∈=，且11=a ，证明{}n a 是等差数列。

例2、设{a n }是等差数列，b n ＝n
a ⎪⎭
⎫
⎝⎛21，求证：数列{b n }是等比数列；
变式1、数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，若a n +S n =n .设c n =a n －1，求证：数列{c n }是等比数列；
2、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，24+=n n a S ，
数列{}n b ，n n n a a b 21-=+，求证：{}n b 是
等比数列；
课后作业：
1、已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *
)．
(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式。

2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．
(1)证明：数列{a n }是等比数列；
(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．
3、已知等差数列{a n }的前n 项和为
S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫1a n a n ＋1的前
n 项和n T 。

4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；
(3)若c n ＝a n ·b n
n ，求数列{c n }的前n 项和T n .。