总体分布的卡方拟合检验
卡方检验
量上的反应是否有显著差异。 [例]从四所幼儿园分别随机抽出6 岁儿童若 干，各自组成一个实验组，进行识记测 验。测验材料是红、绿、蓝三种颜色书
写的字母，以单位时间内的识记数量为
指标，结果如下。问四组数据是否可以 合并分析。
分组 1 2 3 4
红色字母 24 15 20 10
2
49 64
X 154.62
理论次数
1 7 24 60 104 130 114 70 31 9 2
f o f e
f
e
2
3.03 2.44 1.85 1.26 0.67 0.07 -0.52 -1.11 -1.70 -2.29 -2.88
0.00237 0.01201 0.04260 0.10888 0.18858 0.23544 0.20615 0.12746 0.05562 0.01710 0.00396
信息判断其是否服从某种确定的连续性分布。 ⑴检验方法 ①将连续性的测量数据整理成次数分布表 ②画出相应的次数分布曲线；
③选择恰当的理论分布；
④进行拟合检验；
■例:下表是552名学生的身高次数分布，问这 些学生的身高分布是否符合正态分布？
身高 组中值 次数 离均差 Z分数 P
169~ 166~ 163~ 160~ 157~ 154~ 151~ 148~ 145~ 142~ 139~ 170 167 164 161 158 155 152 149 146 143 140 2 7 22 57 110 124 112 80 25 8 4 15.38 12.38 9.38 6.38 3.38 0.38 -2.62 -5.62 -8.62 -11.62 -14.62
问四组数据是否可以合并分析?
生物统计学—卡方检验
独立性检验
步骤： 1. 提出无效假设，即认为所观测的各属性之间
没有关联 2. 规定显著性水平 3. 根据无效假设计算出理论数 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，
再和计算的卡方值进行比较。 如果接受假设，则说明因子之间无相关联，
是相互独立的 如果拒绝假设，则说明因子之间的关联是显
著的，不独立
一、2X2列联表的独立性检验
设A、B是一个随机试验中的两个事件，其中A可能
出现r1、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果，两 因子相互作用形成4个数，分别以O11、O12、O21、 O22表示，即
2X2列联表的一般形式
r1 r2 总和
c1 O11 O21 C1＝O11＋O21
c2 O12 O22 C2＝O12＋O22
解：（1）假设 H0 : 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 H A : 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值
体色 F2理论尾数
青灰色 1201.5
红色 400.5
总数 1602
k
cc2 i 1
Oi Ei
0.5 2 301.63
1
2
2
xx
将样本方差代入，则：c
2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验 ，其否定区为： c 2 c2
假设
H
0:
2
2 0
,
适用左尾检验
，其否定区为：
c
2
c2 1
假设
卡方拟合优度检验课件
卡方拟合优度检验与其他方法的结合应用
与贝叶斯方法结合
利用贝叶斯方法对数据进行先验信息的引入，提高卡方拟合优度 检验的准确性。
与主成分分析结合
通过主成分分析对多维数据进行降维处理，简化数据结构，再利用 卡方拟合优度检验进行模型检验。
与聚类分析结合
利用聚类分析将数据划分为不同的簇，再对每个簇进行卡方拟合优 度检验，提高检验的针对性。
实例三：教育程度分布的卡方检验
总结词
教育程度分布的卡方检验用于评估观察 到的教育程度分布与预期分布是否一致 。
VS
详细描述
教育程度分布的卡方检验可以用于比较不 同教育程度的人口比例是否符合预期。例 如，我们可以比较实际观察到的不同教育 程度的比例与理论预期的比例，以了解两 者是否存在显著差异。通过卡方统计量的 大小，可以判断实际教育程度分布与预期 分布的差异程度。
01
计算期望频数的公式：$期望频数 = frac{总频数 times 该类别的频 数}{该类别的观察数}$
02
根据期望频数对实际频数进行比 较，判断是否符合预期。
计算卡方值
卡方值的计算公式：$卡方值 = frac{(实际频数 - 期望频数)^2}{期望 频数}$
将计算出的卡方值与自由度进行比较 ，判断是否显著。
实例一：性别分布的卡方检验
总结词
性别分布的卡方检验用于评估观察到的性别分布与预期分布是否一致。
详细描述
假设我们有一个数据集，其中记录了某个地区的人口性别分布。通过卡方拟合优度检验，我们可以比较实际观察 到的性别分布与预期的均匀分布或某种理论分布是否存在显著差异。如果卡方统计量较小，说明实际分布与预期 分布较为接近；如果卡方统计量较大，则说明两者存在显著差异。
医学统计学6卡方检验
卡方检验的卡方值
卡方值是卡方检验的统计量，用于衡量实际观测值和期望值之间的差异。 卡方值越大，就表示观测值与期望值之间的差异越大，这意味着结论更可信。
如何进行卡方检验
第一步
确定研究的问题和相关变量， 并给出所需的假设。
第二步
收集数据并整理成交叉列联 表。
第三步
计算卡方值和自由度。
第四步
查阅卡方分布表，确定相应置信度水准下的临 界值。
2
应用
概率常用于医学研究中，以测量一种治疗对患者的疗效。
3
公式
概率=事件发生的次数/总次数。
统计学中的假设
在统计学中，我们需要制定一个或多个假设进而做出相应的决策。常见的假设有零假设和备择假设。
零假设
零假设是指不存在两个群体之间的差异。
备择假设
备择假设是指存在两个群体之间的差异。
什么是卡方检验
卡方检验是一种用于比较两个或多个群体在某些因素上的分布情况的方法。
卡方检验与其他假设检验的区 别
卡方检验主要用于回答多个分类变量间是否有关联的问题，而 T 检验和 Z 检 验主要用于回答单变量的问题。
卡方检验对于数据的类型并无太多的要求，而 T 检验和 Z 检验只适用于概率 分布为正态分布的数据。
卡方检验的计算公式
卡方检验的计算公式如下： χ² = ∑(O-E)²/E
为什么需要统计学
准确
统计学可以让我们从收集到的数据中得出真正 准确可靠的结论。
决策
统计学有助于做出决策并帮助我们更好地理解 数据背后的信息。
推断
统计学允许我们通过对大量数据的推断得到新 的信息。
掌握
掌握医学统计学对于实现优质医保研究至关重 要。
概率
卡方-拟合优度检验
7.2.2 对二项分布的检验（P93）
下面结合实例说明适合性检验方法。
（总体参数已知 ）
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离
现象时 ，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二代出
现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛72 头，红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性状是否 符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例？
1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；
2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该 行实际次数的总和 。 独立的行约束条件只有r-1个； 3、类似地，独立的列约束条件有c-1个。 因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数-1）×（直 列属性类别数-1）。
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5；
黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5；
红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5
（四）列表计算2
表 2计算表
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
（1）提出零假设：认为有效或无效与给药方式并无关联。 实际观察的结果与在两者之间并无关联的前提下，从理论 上推导出的理论数之间无差异。即H0：O－T＝0。 （ 2 ）根据概率乘法法则，若事件 A 和事件 B 是相互独立 的，或者说它们之间并无关联，这时事件A和事件B同时出 现的概率等于它们分别出现的概率乘积。
卡方检验
卡方检验是一种基于χ2分布的假设检验方法，其应用十分广泛，特别是在离散变量的分析中，χ2分布最早于1875年由F.Helmet提出，他计算出来自正态总体的样本方差分布服从χ2分布，1900年Karl Pearson在做拟合优度研究时也得出χ2分布，并且提出χ2统计量，将其用于假设检验。
【卡方检验的主要用途包括以下几个方面】1.检验某个连续变量的分布是否与某种理论分布相一致。
如是否符合正态分布、是否服从均匀分布、是否服从Poisson分布等2.某无序分类变量各属性出现的概率是否等于指定概率，如骰子各面出现的概率是否等于1 \6,硬币正反两面是否等于0.5等3.检验两个无序分类变量之间是否独立，有无关联，如收入与性别是否有关。
4.控制某种分类因素之后，检验两个无序分类变量各属性之间是否独立，如上述控制年龄因素之后，收入与性别是否有关，5.检验两个或多个样本率（总体率）或构成比之间是否存在差别，也称为同质性检验。
6.多个样本（总体）之间的多重比较7.不同的方法作用于同一个变量时，产生的效果是否一致（配对检验）。
如两种治疗方法作用于同一组病人，疗效是否一样在以上用途中，除了第一点是针对连续变量之外，其余都是针对无序分类变量，由此可见，卡方检验大部分是用在分类变量的检验中发挥作用。
================================================ ==【卡方检验基本思想】卡方检验是以渐进χ2分布为基础，它的零假设H0是：观察频数与期望频数没有差别。
通过构造χ2统计量，得出P值，并以此进行检验。
应该来讲，凡是通过构造χ2统计量进行检验的都属于卡方检验，卡方检验是一类检验（希腊字母χ的英文音标就近似读为“卡”），我们在描述这些不同的卡方检验的时候，通常会加上特定名称来加以区分，如Pearson卡方、McNemar配对卡方、似然比卡方等。
由于是pearson最早提出用卡方统计量做假设检验，所以我们平时说的卡方检验，很多时候就是指pearson卡方。
拟合的卡方检验
拟合的卡⽅检验实验中⼀个常见的任务是，⼿头有⼀组数据，要拟合⼀条曲线。
然后要检验拟合的优度。
在使⽤卡⽅(χ2)或者约化卡⽅(reduced chi-squares,χ2red )检验时，会遇到⾃由度到底等于⼏的问题。
本⽂先参考[1-2]介绍了测量数据为何服从正态分布，再参考[3]介绍了线性回归的概念和⽅法，最后参考[4]解释了⾃由度的问题。
整篇⽂章不涉及⾼深的数学知识，也没有数学意义上的严格证明，只有直观解释和物理上的推导，是为理⼯科实验数据处理⽽总结的。
测量的物理量的均值设x 1,x 2,⋯,x n 是⼀组独⽴同分布的随机变量且x i ∼N (µ,σ2)。
记¯x =1n ∑i x i以及S 2=1n −1∑i (x i−¯x )2令X =√n (¯x −µ)/S 则有X ∼t n −1，其中t n −1是⾃由度为n −1的t 分布[1]，密度函数t n(x )如下，f n (x )=Γn +12Γn 2√n π1+x 2n −n +12当n →∞，有f n (x )→1√2πe −12x 2即当n →∞时，有X ∼N (0,1)，或记为¯x∼N (µ,S 2/n ),n →∞如果我们每次测得的物理量的值服从某正态分布，则对这样的⼀组测量结果取均值，视该均值为⼀随机变量，则期望是µ，⽅差是S 2/n ，其中S 2是该组测量结果的样本⽅差。
当测量的物理量的值并不服从正态分布时，我们⼀样可以在n →∞时得到该结果，推导如下：符号同前，但取消x i ∼N (µ,σ2)的约束，⽽仅仅限定独⽴同分布，总体的均值为µ，⽅差为σ2。
记z =∑n i =1x i −nµ√n σ这时中⼼极限定理给出[2]lim其中\Phi(z_0)为标准正态分布N(0,1)的累积分布函数。
换⾔之，当n 很⼤时，随机变量z 趋于标准正态分布N(0,1)，即\bar{x}\equiv\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\sim N(\mu,\sigma^2/n), n\to\infin如果在上式中⽤样本⽅差S^2代替总体⽅差\sigma^2，则(8)式回到了(5)式，同时取消了x_i\sim N(0,1)的限制。
拟合优度的卡方检验
(1) =3.841 2 由于统计量 的实测值
2 0.05
=0.4158<3.841，
2
未落入否定域. 故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论.
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件. 根据计算实践，要求n不小于50，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 npi满足这个要求 .
例 自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中, 全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震共162次, ( 0.05) 统计如下: (X 表示相继两次地震间隔天数, Y 表示出现的频数)
2
1. 将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小 区间,记作A1, A2, …, Ak .
2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记 作fi ， 称为实测频数. 所有实测频数之和 f1+ f2+ …+ fk等于样本容量n.
3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的 值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的 样本值的理论频数.
奥地利生物学家孟德尔进行了长达八年之久的豌豆杂交试验并根据在此我们以遗传学上的一项伟大发现为例说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律性时是起着积极的主动的作用在此我们以遗传学上的一项伟大发现为例说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律性时是起着积极的主动的作用
卡方分布拟合检验
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 . 然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
实测频数
fi npi
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知识点8.6
总体分布的卡方拟合检验
设总体X的分布函数F(x)未知, X
,⋯,X n是X的一个样本, 要
1
求检验假设
H0:F(x)=F0(x),H1:F(x)≠F0(x).
这里F
(x)是数学表达形式已知的分布函数. 备择假设表示F(x)
是除了F
(x)以外的某一函数, 通常可以不写出来.
用k −1个分点t 1,⋯,t k−1将实数轴分成k 个区间, 记为A i =
t i−1,t i ,其中t 0=−∞,t k =+∞.
H 0为真时, 有
p i =P(X ∈A i )=F 0(t i )−F 0(t i−1).
解决方案
A i +∞
−∞
t 1t i−1
t i ⋯
⋯如果F 0(x)中带有未知参数，则先利用样本求出未知参数的最大似然估计值，然后将估计值代入F 0x 计算概率p i .
记样本观测值x 1⋯,x n 落入区间A i 的频数为n i , 称其为实际频数.
从频率和概率之间关系的角度出发, Karl Pearson 提出了如下形式的检验统计量：
χ2
=i=1
k
n p i n i n
−p i
2
=
i=1
k
(n i −np i
)
2np i
np i 称为理论频数.
当H 0为真时, 在样本容量充分大的情况下, 该检验统计量近似服从χ2(k −r −1)分布, 其中r 为F 0(x)中待估计的未知参数个数.
由Bernoulli 大数定律可知,当试验次数较大时,事件发生的频率和概率出现较大偏差的概率是比较小的.所以当H 0为真时,对于给定的显著水平α有
P i=1
k
(n i −np i )2
np i
≥χα2
(k −r −1)≈α.
故H 0的拒绝域为：χα
2k −r −1,+∞.
H 0的接受域为：0,χα
2k −r −1.
注意事项
(1) 原假设H0中的总体分布也可以用分布律或密度函数来表示, 只要
在H
0为真时, 能够计算概率p
i
即可.
(2) 根据实践经验, 要求样本容量n≥50, 且要求理论频数np i≥5.
若np
i ＜5, 则应适当合并A
i
以满足此要求.
例1将一枚骰子抛掷120次, 结果如下
问这枚骰子的六个面是否匀称？取显著性水平为0.05．解将骰子六个面的点数作为总体X,
H0:P X=k=1
6
,k=1,2,⋯,6.
点数123456频数212819241612
分组数k =6, 待估计参数个数r =0,
χα
2k −r −1=
χ0.052
(5)
=11.07.
由于8.1＜11.07, 故接受H 0, 即认为这枚骰子的六个面是匀称的.
分组n i
p i
np i
(n i −np i
)2/np
i
1211/6201/202281/62064/203191/6201/204241/62016/205161/62016/206
12
1/6
20
64/20Σ
χ2=8.1
例2从某纱厂生产的一批棉纱中抽取300条进行拉力强度试验, 得到数据如下, 检验该批棉纱的拉力强度是否服从正态分布(取显著水平为0.05).
拉力强度区间频数拉力强度区间频数拉力强度区间频数拉力强度区间频数0.50~0.6411.06~1.20371.48~1.62521.90~2.0416 0.64~0.7821.20~1.34531.62~1.76262.04~2.184 0.78~0.9291.34~1.48561.76~1.90192.18~2.321 0.92~1.0624
解
设棉纱的拉力强度为总体X , H 0:X~N μ,σ2.
以拉力强度区间的中点为观测值x i , 得到μ和σ2的最大似然估计值分别为
ෝμ=x =1
300i=1
13
x i n i =1.41,
ෝσ2=s n 2=1300
i=113
x i −x 2n i =0.0892.当H 0为真时,p i =Φ
t i −1.410.0892
−Φ
t i−1−1.410.0892
,i =1,⋯,13.
这样合并满足np i ＞5
np i ＜5需要合并分组这部分要重新计算合并后仍有np i ＜5要继续合并从而得计算表如下
这里也要
相应合并
分组拉力强度区间实际频数n i 概率p i 理论频数np i n i −np i
2
np i 10.50～0.6410.00381.140.017220.64～0.7820.01253.750.816730.78～0.9290.03309.900.081840.92～1.06240.070221.060.410451.06～1.20370.120436.120.021461.20～1.34530.166449.920.190071.34～1.48560.185355.590.003081.48～1.62520.166449.920.086791.62～1.76260.120436.122.8354101.76～1.90190.070221.060.2015111.90～2.04160.03309.903.7586122.04～2.1840.01253.750.016713
2.18～2.32
1
0.0038
1.14
0.0172
合并后的计算表
分组拉力强度区间实际频数n
i 概率p
i
理论频数np
i
(n i−np i)2/np i
10.50～0.92120.049314.790.5263
20.92～1.06240.070221.060.4104
31.06～1.20370.120436.120.0214
41.20～1.34530.166449.920.1900
51.34～1.48560.185355.590.0030
61.48～1.62520.166449.920.0867
71.62～1.76260.120436.122.8354
81.76～1.90190.070221.060.2015
91.90～2.32210.049314.792.6074
Σχ2=6.8822分组数k=9, 待估计参数个数r=2,χα2(k−r−1)=χ
0.05
2(6)=12.592.
由于6.8822＜12.592, 故接受H
, 即认为该批棉纱的拉力强度服从正态分布.。