2018-2019学年高一上学期期末教学质量检测数学试题

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2018-2019学年河南省天一大联考高一期末数学试卷

2018-2019学年河南省天一大联考高一(下)期末数学试卷(总20页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2018-2019学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59．依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（）A．41B．42C．43D．442．（5分）在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x+y＝（）A．6B．5C．4D．33．（5分）设向量＝（1，1），＝（2，m），若∥（+2），则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（）A．y＝cos24x﹣sin24x B．y＝sin4xC．y＝sin2x+cos2x D．y＝cos2x5．（5分）从装有4个红球和3个白球的口袋中任取2个球，那么互相对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有1个白球；都是红球6．（5分）已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s2为（）A．B．3C．D．47．（5分）已知cosθ＝，且θ∈（﹣，0），则tan（+θ）＝（）A．﹣7B．7C．﹣D．8．（5分）已知，是不共线的非零向量，＝+2，＝3﹣，＝2﹣3，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．菱形9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A．B．C．D．10．（5分）如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3：2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块．在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知tanα＝2，则＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻的两个对称中心之间的距离为，且有一条对称轴为直线x＝，则下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为4πB．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称C．函数f（x）在区间[，]上单调递增D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知变量x，y线性相关，其一组数据如表所示．若根据这组数据求得y关于x的线性回归方程为＝+，则＝x1245y14．（5分）已知向量＝（cos5°，sin5°），＝（cos65°，sin65°），则|2+|＝15．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是16．（5分）函数y＝sin x cos x+cos2x在区间（0，）上的值域为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知扇形的面积为，弧长为，设其圆心角为α（Ⅰ）求α的弧度；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）．（Ⅰ）若＝（2，λ），且∥，求||；（Ⅱ）若＝（1，1），且m﹣与2﹣垂直，求实数m的值19．（12分）为了了解居民用电情况，某地供电局抽查了该市若干户居民月平均用电量（单位：kW•h），并将样本数据分组为[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若样本中月平均用电量在[240，260）的居民有30户，求样本容量；（Ⅱ）求月平均用电量的中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组居民中，用分层抽样法抽取22户居民，则月平均用电量在[260，280）的居民中应抽取多少户？20．（12分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第三象限角，且tanα＝，求f（α）的值．21．（12分）某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如表（其中2018Q1表示2018年第一季度，以此类推）：季度2018Q12018Q22018Q32018Q42019Q1季度编号x12345销售额y（百万元）4656678696（Ⅰ）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019Q3的销售额．附：线性回归方程：＝x+其中＝＝，＝﹣参考数据：x i y i＝118322．（12分）如图所示，在直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（﹣2，0），点P，Q在单位圆上，以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为θ，以射线OQ为终边的角为φ，满足φ﹣θ＝．（1）若θ＝，求•（2）当点P在单位圆上运动时，求函数f（θ）＝•的解析式，并求f（θ）的最大值．2018-2019学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59．依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（）A．41B．42C．43D．44【分析】计算分组间隔，利用第1组中抽取的号码求出第7组中抽取的号码数．【解答】解：由题意知分组间隔为＝6，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为6×6+5＝41．故选：A．【点评】本题考查了系统抽样方法应用问题，是基础题．2．（5分）在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x+y＝（）A．6B．5C．4D．3【分析】甲组数据的众数为11，得到x＝1，乙组数据中间的两个数分别为6和10+x，由中位数是9，解得y＝2，由此能求出x+y．【解答】解：由甲组数据的众数为11，得到x＝1，乙组数据中间的两个数分别为6和10+x，∴中位数是：＝9，解得y＝2，∴x+y＝3．故选：D．【点评】本题考查中位数、众数的和的求法，考查众数、中位数、茎叶图等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，是基础题．3．（5分）设向量＝（1，1），＝（2，m），若∥（+2），则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由平面向量的坐标运算及共线的性质得：因为∥（+2），所以1×（2m+1）﹣5＝0，解得m＝2，得解．【解答】解：因为向量＝（1，1），＝（2，m），所以（+2）＝（5，2m+1），又∥（+2），所以1×（2m+1）﹣5＝0，解得m＝2，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算及共线的性质，属简单题．4．（5分）下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（）A．y＝cos24x﹣sin24x B．y＝sin4xC．y＝sin2x+cos2x D．y＝cos2x【分析】利用三角函数的奇偶性和三角函数的周期公式逐一判断即可．【解答】解：A．y＝cos24x﹣sin24x＝cos8x，是偶函数，周期T＝，符合条件；B．函数是奇函数，不符合条件；C．y＝sin2x+cos2x＝，是非奇非偶函数，不符合条件；D．函数是偶函数，周期T＝，不符合条件．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的奇偶性，三角恒等变换和三角函数的周期，属基础题．5．（5分）从装有4个红球和3个白球的口袋中任取2个球，那么互相对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有1个白球；都是红球【分析】由已知条件依次分析四个选项中的两个事件，利用对立事件的定义进行判断．【解答】解：从装有4个红球和3个白球的口袋中任取2个球，至少有一个白球和都是白球可以同时发生，故A错误；至少有1个白球一至少有1个红球可以同时发生，故B错误；恰有1个白球和恰有2个白球不能同时发生，但其中一个事件发生时，另一个可能发生也可能不发生，故C是互斥但不对立事件，故C错误；至少有1个白球和都是红球不能同时发生，且其中一个事件发生时，另一个可能发生一定不发生，故D是对立事件，故D正确．故选：D．【点评】本题考查对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件的定义的合理运用．6．（5分）已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s2为（）A．B．3C．D．4【分析】根据平均数和方差的定义，计算加入一个新数据后，这组数据的平均数和方差．【解答】解：因为7个数据的平均数为5，方差为4，又加入一个新数据5，则这8个数的平均数为＝＝5，方差为s2＝×[4×7+（5﹣5）2]＝．故选：C．【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．7．（5分）已知cosθ＝，且θ∈（﹣，0），则tan（+θ）＝（）A．﹣7B．7C．﹣D．【分析】由已知结合同角基本关系可求sinθ，tanθ，然后利用两角和的正切公式可求tan（+θ）．【解答】解：∵cosθ＝，且θ∈（﹣，0），∴sinθ＝，tan，则tan（+θ）＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查了同角三角函数的关系及两角和的正切公式的简单应用，属于基础试题》8．（5分）已知，是不共线的非零向量，＝+2，＝3﹣，＝2﹣3，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．菱形【分析】本题考查了平面向量线性运算及共线的判断可得：＝2，所以且||≠||，即四边形ABCD是梯形，得解．【解答】解：因为＝＝（）+（3）+（2﹣3）＝2（3）＝2，所以且||≠||，即四边形ABCD是梯形，故选：C．【点评】本题考查了平面向量线性运算及共线的判断，属中档题．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A．B．C．D．【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：运行程序框图，s＝，k＝2，s＝＝，k＝3，s＝＝，k＝4，此时满足条件，程序结束，输出s＝，故选：A．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断．利用模拟运算法是解决本题的关键．10．（5分）如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3：2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块．在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设大圆半径为3r，则小圆半径为2r，分别求出整个圆形的面积与白色部分的面积，再由测度比是面积比得答案．【解答】解：设大圆半径为3r，则小圆半径为2r，则整个圆形的面积为S＝9πr2，白色部分的面积为．∴所求概率为P＝．故选：B．【点评】本题考查几何概型概率的求法，明确测度比是面积比是关键，是基础题．11．（5分）已知tanα＝2，则＝（）A．B．C．D．【分析】由已知求得tan2α，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：∵tanα＝2，∴tan2α＝．则＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻的两个对称中心之间的距离为，且有一条对称轴为直线x＝，则下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为4πB．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称C．函数f（x）在区间[，]上单调递增D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】根据条件确定函数的解析式，然后根据解析逐一判断，即可得出结论．【解答】解：∵图象相邻的两个对称中心之间的距离为，∴周期，∴，∴f（x）＝sin（4x+φ），又f（x）有一条对称轴为直线x＝，∴，∴，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝sin（4x+），对照选项，可得C正确．故选：C．【点评】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知变量x，y线性相关，其一组数据如表所示．若根据这组数据求得y关于x的线性回归方程为＝+，则＝x1245y【分析】由表中数据计算、，得出样本中心点，代入线性回归方程中求得的值．【解答】解：由表中数据，计算＝×（1+2+4+5）＝3，＝×（+++）＝10，把样本中心点（3，10）代入线性回归方程＝+中，计算＝10﹣×3＝．故答案为：．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．14．（5分）已知向量＝（cos5°，sin5°），＝（cos65°，sin65°），则|2+|＝【分析】表示所求向量的表达式，然后求解向量的模即可．【解答】解：向量＝（cos5°，sin5°），，＝（cos65°，sin65°），，＝cos5°cos65°+sin5°sin65°＝cos60°＝，则|2+|＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．15．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是4【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：第一次循环，S＝﹣1，i＝2，第二次循环，S＝，i＝3，第三次循环，S＝，i＝4，第四次循环，S＝4，i＝5，……则S是关于以4为周期，最后跳出循环时，i＝2021＝1+4×505，此时S＝4，故答案为：4【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．16．（5分）函数y＝sin x cos x+cos2x在区间（0，）上的值域为（0，]【分析】y＝sin x cos x+cos2x＝，然后根据x的取值范围得到的范围从而得到y的值域．【解答】解：y＝sin x cos x+cos2x＝＝．∵x∈（0，），∴，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了三角恒等变换和三角函数的单调性和最值，考查了整体法和整体思想，属基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知扇形的面积为，弧长为，设其圆心角为α（Ⅰ）求α的弧度；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的定义，扇形面积公式、弧长公式，求得α的弧度数．（Ⅱ）由题意利用诱导公式、两角差的正切公式求得的值．【解答】解：（Ⅰ）∵扇形圆心角为α，设扇形半径为r，弧长为l，根据扇形的面积为＝α•r2，弧长为＝α•r，解得r＝2，α＝．（Ⅱ）＝＝＝tanα＝tan（﹣）＝＝＝2﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，扇形面积公式、弧长公式、诱导公式、两角差的正切公式的应用，属于基础题．18．（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）．（Ⅰ）若＝（2，λ），且∥，求||；（Ⅱ）若＝（1，1），且m﹣与2﹣垂直，求实数m的值【分析】（Ⅰ）根据即可得出4﹣λ＝0，从而求出λ＝4，从而求出向量的坐标，进而求出；（Ⅱ）可求出，，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵；∴4﹣λ＝0；∴λ＝4；∴；∴；（Ⅱ），；∵与垂直；∴；解得．【点评】考查平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量减法、数乘和数量积的坐标运算．19．（12分）为了了解居民用电情况，某地供电局抽查了该市若干户居民月平均用电量（单位：kW•h），并将样本数据分组为[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若样本中月平均用电量在[240，260）的居民有30户，求样本容量；（Ⅱ）求月平均用电量的中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组居民中，用分层抽样法抽取22户居民，则月平均用电量在[260，280）的居民中应抽取多少户？【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出月平均用电量在[240，260）的频率，设样本容量为N，则＝30，由此能求出N的值．（Ⅱ）由（++）×20＝＜，得月平均用电量的中位数[220，240）内，由此能求出中位数．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组频率分别为，，，，由此能求出月平均用电量在[260，280）的用户中应抽取的户数．【解答】解：（Ⅰ）由（++++x++）×20＝1，解得x＝，∴月平均用电量在[240，260）的频率为×20＝，设样本容量为N，则＝30，解得N＝200．（Ⅱ）∵（++）×20＝＜，∴月平均用电量的中位数[220，240）内，设中位数a，则+×（a﹣220）＝，解得a＝224，∴中位数为224．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组频率分别为：，，，，∴月平均用电量在[260，280）的用户中应抽取22×＝4户．【点评】本题主要考查样本单元数、中位数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（12分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第三象限角，且tanα＝，求f（α）的值．【分析】（Ⅰ）由题意利用诱导公式、三角函数的定义域，求出f（x）的定义域．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得α的正弦值和余弦值，再利用两角和差的三角公式、二倍角公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：（Ⅰ）对于函数f（x）＝＝，应有cos x≠0，即x≠kπ+，k∈Z，故函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}．（Ⅱ）设α是第三象限角，且tanα＝＝，sin2α+cos2α＝1，∴sinα＝﹣，cosα＝﹣，则函数f（α）＝＝＝＝＝2cosα+2sinα＝﹣．【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数的定义域，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题．21．（12分）某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如表（其中2018Q1表示2018年第一季度，以此类推）：季度2018Q12018Q22018Q32018Q42019Q1季度编号x12345销售额y（百万元）4656678696（Ⅰ）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019Q3的销售额．附：线性回归方程：＝x+其中＝＝，＝﹣参考数据：x i y i＝1183【分析】（Ⅰ）利用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值；（Ⅱ）计算平均数和回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x＝7时的值，即可预测结果．【解答】解：（Ⅰ）从5个季度的数据中选取2个季度，这2个季度的销售数据有10种情况，（46，56），（46，67），（46，86），（46，96），（56，67），（56，86），（56，96），（67，86），（67，96），（86，96）；设这两个季度的销售额都超过6千万元为事件A，则事件A包含（67，86），（67，96），（86，96）共3种情况；则所求的概率为P＝；（Ⅱ）计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（46+56+67+86+96）＝；＝＝＝＝13，∴＝﹣＝﹣13×3＝；∴y关于x的线性回归方程为：＝13x+；利用回归方程计算x＝7时，＝13×7+＝（百万元），即预测该公司2019Q3的销售额为百万元．【点评】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了线性回归分析的应用问题，是基础题．22．（12分）如图所示，在直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（﹣2，0），点P，Q在单位圆上，以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为θ，以射线OQ为终边的角为φ，满足φ﹣θ＝．（1）若θ＝，求•（2）当点P在单位圆上运动时，求函数f（θ）＝•的解析式，并求f（θ）的最大值．【分析】（Ⅰ）由任意角的定义、平面向量的几何运算得：＝•（）＝2＝22﹣2×1×cos＝4．（Ⅱ）由三角恒等变换及三角函数的性质得：f（θ）＝＝（cosθ﹣2）（2﹣sinθ）+sinθcosθ＝2sin（）﹣4，当θ＝2kπ（k∈Z）时，f（θ）取最大值2．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，∠POA＝θ＝，∠QOA＝＝，＝•（）＝2＝22﹣2×1×cos＝4．（Ⅱ）由题意可知P（cosθ，sinθ），Q（cosφ，sinφ），因为cosφ＝cos（θ+）＝﹣sinθ，sinφ＝sin（θ+）＝cosθ，所以Q（﹣sinθ，cosθ），所以＝（cosθ﹣2，sinθ），＝（﹣sinθ+2，cosθ），所以f（θ）＝＝（cosθ﹣2）（2﹣sinθ）+sinθcosθ＝2sin（）﹣4，当θ＝2kπ（k∈Z）时，f（θ）取最大值2，故f（θ）＝2sin （）﹣4，最大值为2．【点评】本题考查了任意角的定义、平面向量的几何运算、三角恒等变换及三角函数的性质．21。

北京市朝阳区2018-2019学年高一上期末数学试卷含答案解析

2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc23．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？5．给定函数①，②，③y=|x2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④B．②④C．②③D．①③6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，【考点】集合的相等．【分析】根据两个集合相等，元素相同，排除A；根据两个集合相等，元素相同，排除B先解集合M，然后判断元素是否相同，排除C先化简集合N，然后根据集合元素的无序性，选择D【解答】解：A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，故排除B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除C：M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除D：∵∴=，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D故答案为D【点评】本题考查两个集合相等的条件，涉及到元素相同以及集合元素的三个性质：无序性，互异性，确定性，为基础题2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc2【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．【解答】解：∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立．当b=0 时，显然B、C不成立．对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．3．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．给定函数①，②，③y=|x 2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：①y=，x 增大时，增大，即y 增大；∴该函数在（0，1）上单调递增；②，x 增大时，x+1增大，减小；∴该函数在（0，1）上单调递减；③；∴x ∈（0，1）时，y=﹣x 2+2x ，对称轴为x=1；∴该函数在（0，1）上单调递增；④，∴指数函数在（0，1）上单调递减；∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④．故选：B ．【点评】考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，对数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性．6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵，∴b ＞c ＞a ．故选A ．【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．7．函数的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y 轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x ＞0时，其图象是指数函数y=a x 在y 轴右侧的部分，因为a ＞1，所以是增函数的形状，当x ＜0时，其图象是函数y=﹣a x 在y 轴左侧的部分，因为a ＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C 符合题意故选C ．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据茎叶图，计算甲、乙的平均数，再根据数据的分布情况与方差的概念，比较可得答案．【解答】解：根据茎叶图有：①甲地树苗高度的平均数为=28cm，乙地树苗高度的平均数为=35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度分布在19～41之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右，乙地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，相对分散些；∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些；故选：B．【点评】本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题，关键是正确读出茎叶图，并分析数据，是基础题．9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到a（x+a）（x﹣2a+1）＜0对x≥1均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案．【解答】解：由g（x）=2x﹣2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立，从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立，由于a（x﹣a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，则必满足，解得﹣4＜a＜0．则实数a的取值范围是（﹣4，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是﹣2．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】将x=代入函数的表达式，求出函数值即可．【解答】解：f（）==﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了求函数值问题，考查分段函数以及对数函数的性质，是一道基础题．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.03．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，根据二次函数的图象和性质进行求值即可．【解答】解：∵y=4x（3﹣2x）=﹣8x2+12x=﹣8（x﹣）2+，∴当x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数的关键．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，∴P（A）==，=平方米，∴S不规则图形故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，函数f（x）的定义域关于原点对称，从而求得a 的值．【解答】解：由于函数的图象关于y轴对称，故该函数为偶函数，故函数f（x）的定义域关于原点对称，故a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查偶函数的图象特征，偶函数的定义域关于原点对称，属于基础题．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是①②③④．【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【专题】函数思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：对于①，若x是有理数，则f（x）=1，则f（1）=1，若x是无理数，则f（x）=0，则f（0）=1，即对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正确，对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是偶函数，故②正确；对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；对于④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查命题的真假判断，给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（Ⅰ）先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义即可求出；（Ⅱ）根据交集的定义即可求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由的定义域得A={x|﹣1＜x≤5}．当m=3时，B={x|﹣1＜x＜3}，则∁R B={x|x≤﹣1或x≥3}．所以A∩∁R B={x|3≤x≤5}．（Ⅱ）因为A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，所以有﹣42+2×4+m=0．解得m=8．此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意．所以m=8．【点评】本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个某市年月日﹣月日（天）对空气质量指数进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用．【专题】图表型；概率与统计．【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．…（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个．其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个，∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．【点评】本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0．（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，所以．又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．所以．综上，（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得．方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R则∴故实数k的取值范围为．【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．【考点】函数的值．【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）当x∈（k n，k n+1]时，，由此得到，当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n），由此能求出f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，∴．∵函数f（x）为二阶伸缩函数，∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．∵x∈（1，3]时，．∴．令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．∴函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．∴当x∈（k n，k n+1]时，．∵，所以．∴当x ∈（k n ，k n+1]时，f （x ）∈[0，k n ）．当x ∈（0，1]时，即0＜x ≤1，则∃k （k ≥2，k ∈N *）使，∴1＜kx ≤k ，即kx ∈（1，k ]，∴f （kx ）∈[0，1）．又，∴，即．∵k ≥2，∴f （x ）在（0，k n+1]（n ∈N *）上的取值范围是[0，k n ）．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2019年3月12日。

【市级联考】福建省南平市 2018-2019 学年第一学期高一期末质量检测数学试题

绝密★启用前【市级联考】福建省南平市 2018-2019 学年第一学期高一期末质量检测数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ． 2．已知点，，则直线的倾斜角为（） A ． B ． C ． D ．3．在正方体中，异面直线与所成角为（） A ． B ． C ． D ． 4．函数的零点所在的区间是（） A ． B ． C ． D ．5．设函数的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A ．是奇函数B ．是奇函数C ．是偶函数D ．是奇函数 6．设m ， n 是两条不同的直线， α， β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若αβ⊥， m α⊂， n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂， n β⊂，则//m n………订…………○…※线※※内※※答※※题※※………订…………○…D ．若m α⊥， //m n ， //n β，则αβ⊥7．若函数的最大值为2，则实数的值为（） A ．-1 B ．-2 C ．-3 D ．-48．若，，，则（）A ．B ．C ．D ．9．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A ．B ．C ．D ．10．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11．由曲线围成的图形面积为（） A ． B ． C ． D ．12．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．…………外…………○…学校…………内…………○…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．设为上的奇函数，当时，，则 __________．14．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，，则此三棱锥外接球的体积为__________．15．表示三个数中的最小值，设，则的最大值为__________．16．已知为等腰三角形，，是的中点，且，则面积的最大值为__________．三、解答题17．已知直线过点和点 . （1）求直线的方程；（2）设点，求三角形的面积. 18．设函数．（1）用定义证明函数在区间上是单调递减函数；（2）求在区间，上的最值．19．如图，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴转动.（1）当平面平面时，求；（2）当转动时，直线和所成的角是否为定值？证明你的结论.20．已知函数的图像过点.（1）求的值；（2）证明：函数的图像关于点对称；（3）求的值.21．已知函数.（1）证明：函数是奇函数；（2）判断函数在区间上的单调性（直接写结论，不需证明）；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.22．已知圆满足：①被轴分成两段圆弧，弧长的比为3:1；②截轴所得的弦长为2.（1）求圆心的轨迹方程；（2）求圆心到直线的距离最小的圆方程.参考答案1．D【解析】【分析】利用对数性质化简集合P，然后求交集即可.【详解】，又∴故选：D【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查对数函数的性质，属于基础题.2．B【解析】【分析】由两点求斜率公式可得AB所在直线当斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】解：∵直线过点，，∴，设AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα＝1，即α＝45°．故选：B．【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．C【解析】【分析】由∥可知异面直线AD1，BD所成的角为∠DB，在等边三角形中易得结果.【详解】解：∵∥，∴异面直线AD1，BD所成的角为∠DB，∵△DB为等边三角形，∴∠DB＝60°．∴异面直线与所成角为60°故选：C．【点睛】本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．4．B【解析】试题分析：记，则所以零点所在的区间为考点：本题主要考查函数的零点存在定理.点评：对于此类题目，学生主要应该掌握好零点存在定理，做题时只要依次代入端点的值，判断函数值的正负即可，一般出选择题.5．A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【详解】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），f（﹣x）•|g（﹣x）|＝﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故A正确，|f （﹣x ）|•g （﹣x ）＝|f （x ）|•g （x ）为偶函数，故B 错误， f （﹣x ）•g （﹣x ）＝﹣f （x ）•g （x ）是奇函数，故C 错误． |f （﹣x ）•g （﹣x ）|＝|f （x ）•g （x ）|为偶函数，故D 错误，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 6．D【解析】试题分析：m α⊥， ,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系.视频 7．A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性，求解函数的最值，列出方程，求解即可．【详解】解：函数f （x ）＝3﹣|x |﹣m 是偶函数，x ＞0时，函数是减函数，函数的最大值为： 1﹣m ＝2，解得m ＝﹣1．故选：A ．【点睛】本题考查函数的最值，函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力． 8．B 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】解：∵a ＝log 0.31.2＜0，b ＝（0.3）1.2 （0，1），c ＝1.20.3＞1． ∴a ＜b ＜c ．故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．D【解析】【分析】由三视图得到几何体为球挖去得到的，根据体积计算半径，然后计算表面积．【详解】解：由已知三视图得到几何体是球挖去剩下的部分，设球半径为r，由几何体体积为得到，解得r＝1，所以几何体的表面积为；故选：D．【点睛】本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体的形状．10．A【解析】【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出P A、PB的斜率，从而得出l的斜率k的取值范围．【详解】解：∵直线l的方程0可化为k（x﹣1）+1＝0，∴直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，如图所示；则直线P A的斜率是k P A4，直线PB的斜率是k PB，则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是．故选：A．【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，考查了斜率与倾斜角的关系，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目．11．D【解析】【分析】根据题意作出图形，结合图形知曲线所围成的图形是一个正方形与四个半圆组成，由此求得面积．【详解】解：曲线x2+y2＝2|x|+2|y|可化为（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝2；由题意，作出图形如图所示；由曲线关于原点对称，当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，则此曲线所围成的图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是224 π×（）2＝8+4π．故选：D．【点睛】本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．12．B【解析】【分析】作函数的图象，从而可得ab＝1，8＜c＜10；从而求得．【详解】解：作函数的图象如下，∵不妨设0＜a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴﹣log8a＝log8b，即ab＝1；8＜c＜10；故abc的取值范围是（8，10）；故选：B．【点睛】本题考查了数形结合思想应用及对数的运算，同时考查了整体代换的思想应用．13．-1【解析】【分析】先求出，再利用奇偶性得到结果.【详解】解：∵当时，，∴，又为上的奇函数∴故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题．14．【解析】【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱P A、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积．【详解】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱P A、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：4所以球的直径是2，半径为1，球的体积：．故答案为：．【点睛】本题考查球的体积和表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．15．7【解析】【分析】作出三个函数的图象，结合图象不难得到结果.【详解】作出三个函数的图象：根据定义可知，在B处取到最大值，当x+3＝11﹣x时，x＝4，故f（4）＝7，故答案为：7．【点睛】本题以新定义为背景，考查了函数的最值的求法及分段函数的应用．16．【解析】【分析】先在△ABD中利用余弦定理表示出cos A，进而求得sin A的表达式，进而代入三角形面积公式利用转化为二次函数来解决．【详解】解：等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，BD＝4，则：．则：，故最大值为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，把表达式的未知量减到最少．17．（1）（2）4【解析】【分析】(1)利用截距式得到直线的方程；（2）求出及点到直线的距离，即可得到三角形的面积.【详解】（1）直线的方程为，即（2）点到直线的距离因此三角形的面积【点睛】本题考查直线方程的应用，考查截距式方程、点到直线距离等知识，属于基础题.18．（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．（2）利用（1）中的单调性求最值．试题解析：解：（1）由定义得，所以函数在区间上是单调递减函数；（2）∵函数在区间，上是单调递减函数,.点睛：明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.19．（1）4（2）直线和所成的角为（定值）【解析】【分析】（1）取出AB中点E，连接DE，CE，由等边三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，在Rt△DEC中用勾股定理求出CD;（2）总有AB⊥CD，当D面ABC内时，显然有AB⊥CD，当D在而ABC外时，可证得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．【详解】（1）取的中点，连结，，因为是等边三角形，所以，当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知.由已知可得，，在中，.（2）当以为轴转动时，直线和所成的角为（定值）证明：（ⅰ）当在平面内时，因为，，所以都在线段的垂直平分线上，即直线和所成的角为（定值）（ⅱ）当不在平面内时，由（1）知，，又因为，所以，又为相交直线，所以平面，由平面，得综上所述，直线和所成的角为（定值）【点睛】本题考查用线面垂直的方法来证明线线垂直，考查学生的空间想象能力，属于基础题．20．（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）利用点在图像上，得到，从而得到的值；（2）利用中心对称的概念加以证明即可；（3）由（2）知，，分组求和即可.【详解】（1）解：由题意得：，解得：（2）证明：因为所以函数的图像关于点对称.（3）解：由（2）知，，则，，，，故【点睛】本题考查函数的对称性和应用，考查化简整理和运算能力，属于基础题．21．（1）见解析（2）是上的增函数，（3）【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义证明即可；（2）根据增函数+增函数=增函数即可得到结果；（3）利用单调性与奇偶性原不等式等价于，令，可得，转求的最大值即可.【详解】（1）证明：因为，所以是奇函数.（2）是上的增函数，（3）由（1）（2）知是奇函数且是上的增函数，由，得，令，因为，所以，由，可得令，因为函数是上的增函数，上的减函数，所以（用均值不等式求最值，照常给分）故实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．22．（1）（2）或【解析】【分析】（1）设出圆心M的坐标和半径为r，根据弧长的比为3:1，可知圆心角为，结合垂径定理可得圆心的轨迹方程；（2）先利用点到直线的距离公式表示出圆心M到直线l的距离d，两边平方后，根据基本不等式及（1）得出的a与b的关系式即可得到d的最小值，当且仅当a＝b取等号，把a＝b 与（1）得出的关系式联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而确定出圆心坐标和圆的半径，写出圆的标准方程即可．【详解】（1）设动圆心，圆的半径为，则点到轴、轴的距离分别为和∵圆截轴所得劣弧所对的圆心角为，∴圆截轴所得弦长为，则又∵圆截轴所得的弦长为2，∴，从而，故圆心的轨迹方程为.（2）设所求的圆方程为由（1）的结论得∵点到直线的距离为（法一）∴当且仅当时取等号，此时，则，解得或由，得故所求的圆方程为或（法二）将代入并化简得因为是实数，所以，则，当取得最小值（最小值为）时，，，.故所求的圆方程为或【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，基本不等式以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．。

第二章函数期末综合复习测评卷高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

第二章函数期末综合复习测评卷一、单选题 1．函数()g x =） A ．(2,0)(0,1)- B ．[2,0)(0,1]- C ．(1,0)(0,1]-⋃ D ．[1,0)(0,2]-⋃2．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，下列两个命题： ①若()f x 、()g x 都不是单调函数，则(())f g x 不是增函数． ①若()f x 、()g x 都是非奇非偶函数，则(())f g x 不是偶函数．则（） A ．①①都正确B ．①正确①错误C ．①错误①正确D ．①①都错误3．设()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(4)f x f x =+，(1)1f =，则(1)(8)f f -+=（） A ．2-B ．1-C ．0D ．14．设函数17,0()20xx f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨≥，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3)-∞-B ．(1,)+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞5．函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．[]1,3-C ．[]1,3D ．[]1,1-6．函数y ＝331x x -的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．7．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1,81=，[]1,82-=-.下面说法错误的是（）A ．当[)0,1x ∈时，()f x x =；B ．函数()y f x =的值域是[)0,1；C ．函数()y f x =与函数14y x =的图象有4个交点；D ．方程()40f x x -=根的个数为7个.8．黎曼函数()R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，()R x 在[]0,1上的定义为：当qx p =（p q >，且p ，q 为互质的正整数）时，()1R x p=；当0x =或1x =或x 为()0,1内的无理数时，()0R x =.已知a ，b ，[]0,1a b +∈，则（）注：p ，q 为互质的正整数()p q >，即qp为已约分的最简真分数. A ．()R x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()()()R a b R a R b ⋅≥⋅C ．()()()R a b R a R b +≥+D ．以上选项都不对二、多选题9．函数()y f x =的图象如图所示，则（）A ．函数()f x 的定义域为[－4，4）B ．函数()f x 的值域为[)0,+∞C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于任意的()5,∈+∞y ，都有唯一的自变量x 与之对应10．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图8-3-1所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A ．①反映建议（1）B ．①反映建议（1）C ．①反映建议（2）D ．①反映建议（2）11．有下列几个命题，其中正确的是（） A ．函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数 B ．函数y ＝11x +在(－∞，－1)①(－1，＋∞)上是减函数C ．函数y [－2，＋∞)D ．已知函数g (x )＝23,0(),0x x f x x ->⎧⎨<⎩是奇函数，则f (x )＝2x ＋312．对于定义在 R 上的函数()f x ，下列判断错误的有（）． A ．若()()22f f ->，则函数()f x 是 R 的单调增函数 B ．若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数 C ．若()00f =，则函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则()f x 是 R 上的单调增函数三、填空题 13．若函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________ .14．已知函数()()3,01,0x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩，则56f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______ 15．已知函数()f x x=()2g x x ，则()()f x g x +=_________. 16．已知偶函数()y f x =定义在(1,1)-上，且在(1,0]-上是单调增加的.若不等式(1)(31)f a f a -<-成立，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题17．已知幂函数22()(22)m f x m m x +=+-，且在(0,)+∞上是减函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若(3)(1)m m a a ->-，求a 的取值范围．18．已知函数11()1(0)2f x x x =-+>．（1）若0m n >>时，()()f m f n =，求11m n+的值；（2）若0m n >>时，函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，求所有,m n 值．19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+.（1）求出函数()f x 在R 上的解析式，并补出函数()f x 在y 轴右侧的图像；（2）①根据图像写出函数()f x 的单调递减区间；①若[]1,x m ∈-时函数()f x 的值域是[]1,1-，求m 的取值范围.20．已知函数f (x )＝221x x +.（1）求f (2)＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)＋f 13⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）由（1）中求得的结果，你发现f (x )与f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现.（3）求2f (1)＋f (2)＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f (2017)＋f 12017⎛⎫⎪⎝⎭＋f (2018)＋f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.21．已知函数2(1)(f x ax bx a b =++，均为实数)，x ∈R ， (),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.（1）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0)+∞，，求()F x 的解析式；（2）在（1）的条件下，当2][2x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设000mn m n a <+>>，，，且()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于零，并说明理由.22．已知函数()y x ϕ=的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是()()2a x a x b ϕϕ++-=．给定函数()61f x x x =-+．（1）求函数()f x 图象的对称中心；（2）判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数()g x 的图象关于点()1,1对称，且当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+．若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围．参考答案1．B 【分析】首先根据题中所给的函数解析式，结合偶次根式和分式的要求列出不等式组求得结果.【解析】由题意得2200x x x ⎧--+≥⎨≠⎩，即2200x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得21x -≤≤且0x ≠，所以函数()g x =[2,0)(0,1]-，故选：B. 2．D【解析】解：：当1,0()()0,0x f x g x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩，则(())f g x x =，故①不正确；当2()(1)f x x =+，()1g x x =-，则2(())f g x x =，故①不正确. ①①①都错误. 故选：D ． 3．B 【解析】解：()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f =，满足()(4)f x f x =+，(8)(4)(0)0f f f ∴===，又(1)(1)1f f -=-=-，(1)(8)1f f ∴-+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题. 4．C 【分析】0a <时，()1f a <即1()712a-<，0a1<，分别求解即可．【解析】0a <时，()1f a <即1()712a-<，解得3a >-，所以30a -<<；0a1，解得01a <综上可得：31a -<< 故选：C ．【点睛】本题考查分段函数解不等式问题，考查了分类讨论思想的应用，属基本题，难度不大． 5．B【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性求出x 的范围即可．【解析】解：因为()f x 为奇函数，所以()()221f f -=-=，于是()111f x -≤-≤等价于()()()212f f x f ≤-≤-，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，212x ∴-≤-≤，13x ∴-≤≤．故选：B ．【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，属于中档题． 6．C【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)①(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝32＞0，故再排除B ；当x→＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故331xx -→0且大于0，故排除D ，选C. 7．C 【分析】作出函数()[]f x x x =-的图像，结合图像可判断A ，B 均正确，再作出14y x =，14y x =的图像，结合方程的根与函数零点的关系，可判断C ，D 是否正确.【解析】解：作出函数()[]f x x x =-的图像如图所示，显然A ，B 均正确；在同一坐标系内作函数14y x =的图像(坐标系内第一象限的射线部分)，作出14y x =的图像(图像中的折线部分)，可以得到C 错误，D 正确. 故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的应用，考查了函数值域的求解，考查了函数的零点与方程的根.本题的关键是由题目条件，作出()[]f x x x =-的图像.本题的难点是作图时，临界点空心圆､实心圆的标定. 8．B 【分析】设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，然后对A 选项，根据黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义分析即可求解；对B 、C选项：分①a A ∈，b A ∈；①a B ∈，b B ∈；①a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a Bb A ∈⎧⎨∈⎩分析讨论即可．【解析】解：设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，对A 选项：由题意，()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，其中p 是大于等于2的正整数，故选项A 错误；对B 、C 选项：①当a A ∈，b A ∈，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅； ①当a B ∈，b B ∈，则()()()R a b R a R b +=+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅＝0；①当a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a B b A ∈⎧⎨∈⎩，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅，所以选项B 正确，选项C 、D 错误，故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义去分析. 9．BD 【分析】结合函数图象一一分析即可；【解析】解：由题图可知，函数()f x 的定义域为[][)4,01,4-⋃，故A 错误；函数()f x 的值域为[)0,+∞，故B 正确；函数()f x 在定义域内不单调，故C 错误；对于任意的()5,∈+∞y ，都有唯一的自变量x 与之对应，故D 正确．故选：BD ．【分析】由于图象表示收支差额y 与乘客量x 的函数关系，因此需要正确理解图中直线的倾斜角及纵截距的含义.同时对于建议（1）（2）前后图象的变化，也可以理解为对原图象做平移或旋转得到新的图象【解析】对于建议（1）因为不改变车票价格，故建议后的图象（虚线）与目前的图象（实线）倾斜方向相同（即平行），由于减少支出费用，收支差变大，则纵截距变大，相当于将原图象向上平移即可得到，故①反映建议（1）；对于建议（2）因为不改变支出费用，则乘客量为0时前后的收支差是相等的，即前后图象纵截距相等，由于提高车票价格，故建议后的图象（虚线）比目前的图象（实线）的倾斜角大.相当于将原图象绕与y 轴的交点按逆时针旋转一定的角度得到的图象，故①反映建议（2）. 故选：AC. 11．AD 【分析】根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.【解析】由y ＝2x 2＋x ＋1＝2217()48x ++在1[,)4-+∞上递增知，函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A 正确； y ＝11x +在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，但在(－∞，－1)①(－1，＋∞)上不是减函数，如－2<0，但112101<-++故B 错误；y [),(5,)2,1--+∞上无意义，从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C 错误；设x <0，则－x >0，g (－x )＝－2x －3，因为g (x )为奇函数，所以f (x )＝g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，故D 正确．故选：AD . 【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题. 12．ACD利用单调性的定义及性质，奇偶函数定义进行判断即可.【解析】A 选项，由()()22f f ->，则()f x 在 R 上必定不是增函数； B 选项，正确；C 选项，()2f x x =，满足()00f =，但不是奇函数；D 选项，该函数为分段函数，在x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误．故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的单调性的定义和性质，考查了函数奇偶性的性质，属于基础题. 13．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分析可知，对任意的x ∈R ，2430kx kx ++≠恒成立，分0k =、0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得实数k 的取值范围. 【解析】因为函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，所以，对任意的x ∈R ，2430kx kx ++≠恒成立. ①当0k =时，则有30≠，合乎题意；①当0k ≠时，由题意可得216120k k ∆=-<，解得304k <<. 综上所述，实数k 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．12-【分析】利用函数()f x 的解析式可求得56f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解析】因为()()3,01,0x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩，所以，511136662f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-.15．()0x x -> 【分析】求出函数()f x 、()g x 的定义域，将函数()f x 、()g x 解析式相加即可得解.【解析】函数()f x x =()2g x x =的定义域均为()0,∞+，因此，()()()0f x g x x x +=->.故答案为：()0x x ->.16．1(0,)2【分析】由()y f x =在(1,0]-上为单调增，结合函数的奇偶性，可得()y f x =在[)0,1上为单调减，将(1)(31)f a f a -<-转化为131a a ->-，结合定义域，解不等式可得a 的取值范围. 【解析】偶函数()y f x =在(1,0]-上为单调增，∴()y f x =在[)0,1上为单调减，∴(1)(31)f a f a -<-等价于1311111311a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得：10202203a a a ⎧<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎩∴实数a 的取值范围是1(0,)2. 故答案为：1(0,)2. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题,考查计算能力，属于中档题. 17．（1）()1f x x=；（2）{|23a a <<或1}a <．【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论，（2）令3()g x x -=，根据其单调性即可求解结论．【解析】解：（1）函数是幂函数，2221m m ∴+-=，即2230m m +-=，解得1m =或3m =-，幂函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，20m ∴+<，即2m <-，3m ∴=-，（2）令3()g x x -=，因为()g x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，且在(,0)-∞和(0,)+∞上均为减函数，33(3)(1)a a --->-，310a a ∴-<-<或031a a <-<-或301a a ->>-，解得23a <<或1a <，故a 的取值范围为：{|23a a <<或1}a <．18．（1）2；（2）32m =，12n =．【分析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值，由()()f m f n =化简即可得出结果；（2）根据01n m <<≤，1m n >≥，01n m <<<三种情况去掉绝对值，根据函数的单调性，列出方程，计算求解即可得出结果.【解析】（1）因为()()f m f n =，所以11111122m n -+=-+ 所以1111m n -=-，所以1111m n -=-或1111m n -=-，因为0m n >>，所以112m n+=．（2）1 当01n m <<≤时，11()2f x x =-在[],n m 上单调递减，因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以()()f n m f m n=⎧⎨=⎩，两式相减得1mn =不合，舍去． 2 当1m n >≥时，31()2f x x =-在[],n m 上单调递增，因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，无实数解. 3 当01n m <<<时，11,[,1],2()31,(1,],2x n x f x x m x⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩ 所以函数()f x 在[,1]n 上单调递减，在(]1,m 上单调递增．因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以1(1)2n f ==，13()22m f ==．综合所述，32m =，12n =．【点睛】本题考查分段函数的单调性及值域问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.19．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，图象答案见解析；（2）①减区间为：(),1-∞-和()1,+∞；①1m ⎡⎤∈⎣⎦.【分析】（1）由奇函数的定义求得解析式，根据对称性作出图象．（2）由图象的上升与下降得增减区间，解出方程221x x -+=-的正数解，可得结论．【解析】（1）当0x >，0x -<，则()()2222f x x x x x -=--=-因为()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即0x >时，()22f x x x =-+ 所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，图象如下：（2）如图可知，减区间为：(),1-∞-和()1,+∞()11f -=-，()11f =令22212101x x x x x -+=-⇒--=⇒==①1x >①1x =故由图可知1m ⎡⎤∈⎣⎦．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查图象的应用，由图象得单调区间，得函数值域．是我们学好数学的基本技能．20．（1）f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1；（2）f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1；证明见解析；（3）2018. 【分析】（1）根据函数解析式，代值计算即可；（2）观察（1）中所求()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合函数解析式，即可证明；（3）根据（2）中所求，两两配对，即可容易求得结果.【解析】（1）因为f (x )＝221x x +，所以f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22212+＋2212112⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1 f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22313+＋2213113⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1. （2）由（1）可发现f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1.证明如下： f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝221x x +＋22111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝221x x +＋211x +＝2211x x ++＝1，是定值. （3）由（2）知，f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，因为f （1）＋f （1）＝1，f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， f (4)＋f 14⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， …f (2018)＋f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，所以2f （1）＋f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f (2017)＋f 12017⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (2018)＋f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2018.【点睛】本题考查函数值的求解，注意观察，属基础题.21．（1）22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>=⎨-+<⎩；（2）(][)26∞∞-，-，+；（3）大于零，理由见解析. 【分析】（1）由(1)0f -=，得10a b -+=及函数()f x 的值域为[0)+∞，，得240a b -=，联立求解可得；（2）由222(2)()124()k k g x x --=++-，当2][2x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，则222k -≤-或222k -≥得解；（3）()f x 为偶函数，则2()1f x ax =+，不妨设m n >，则0n <，由0m n +>，得0m n >->，则22m n >所以2222()()()()(1)(1)()0F m F n f m f n am an a m n +=-+-+=->＝得解【解析】（1）因为(1)0f -=，所以10a b -+= ①.又函数()f x 的值域为[0)+∞，，所以0a ≠. 由224()24b a b y a x a a-=++知2404a b a -=，即240a b -=①.解①①，得12a b ==，. 所以22()21(1)f x x x x =++=+.所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>=⎨-+<⎩；（2）由（1）得2222(2()())()21()124k k g x f x kx x k x x --=-=-=++-++ 因为当2][2x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，所以222k -≤-或222k -≥，即2k ≤-或6k ≥，故实数k 的取值范围为(][)26∞∞-，-，+（3）大于零.理由如下：因为()f x 为偶函数，所以2()1f x ax =+，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>=⎨--<⎩不妨设m n >，则0n <由0m n +>，得0m n >->所以22m n >又0a >，所以2222()()()()(1)(1)()0F m F n f m f n am an a m n +=-+-+=->＝，所以()()F m F n +大于零.【点睛】本题考查函数性质的应用，涉及分段函数解析式、函数的值域，单调性，奇偶性，属于基础题.22．（1）()1,1--；（2）()f x 在区间()0,∞+上为增函数；（3）[]2,4-.【分析】（1）根据题意可知，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()()2f a x f a x b ++-=，然后利用()61f x x x =-+得出()f a x +与()f a x -，代入上式求解；（2）因为函数y x =及函数61y x =-+在()0,∞+上递增，所以函数()61f x x x =-+在()0,∞+上递增；（3）根据题意可知，若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，则只需使函数()g x 在[]10,2x ∈上的值域为()f x 在[]21,5x ∈上的值域的子集，然后分类讨论求解函数()g x 的值域与函数()f x 的值域，根据集合间的包含关求解参数m 的取值范围．【解析】解：（1）设函数()f x 图象的对称中心为(),a b ，则()()20f a x f a x b ++--=．即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++，整理得()()()()22161a b x a b a a -=-+-+，于是()()()()21610a b a b a a -=-+-+=，解得1a b ==-．所以()f x 的对称中心为()1,1--；（2）函数()f x 在()0,∞+上为增函数；（3）由已知，()g x 值域为()f x 值域的子集．由（2）知()f x 在[]1,5上单增，所以()f x 的值域为[]2,4-．于是原问题转化为()g x 在[]0,2上的值域[]2.4A ⊆-．①当02m ≤，即0m ≤时，()g x 在[]0,1单增，注意到()2g x x mx m =-+的图象恒过对称中心()1,1，可知()g x 在(]1,2上亦单增，所以()g x 在[]0,2上单增，又()0g m =，()()2202g g m =-=-，所以[],2A m m =-．因为[][],22,4m m -⊆-，所以224m m ≥-⎧⎨-≤⎩，解得20m -≤≤． ①当012m <<，即02m <<时，()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，,12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单增，又()g x 过对称中心()1,1，所以()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增，2,22m ⎛⎤- ⎥⎝⎦单减；此时()()min 2,,max 0,222m m A g g g g ⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭．欲使[]2,4A ⊆-，只需()()222022224g g m m m g m ⎧=-=-≥-⎪⎨⎛⎫=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎩且()2042224224g m m m m g g m ⎧=≤⎪⎨⎛⎫⎛⎫-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解不等式得24m -≤，又02m <<，此时02m <<．①当12m ≥，即2m ≥时，()g x 在[]0,1单减，在(]1,2上亦单减，由对称性，知()g x 在[]0,2上单减，于是[]2,A m m =-．因为[][]2,2,4m m -⊆-，所以224m m -≥-⎧⎨≤⎩,解得24m ≤≤．综上，实数m 的取值范围为[]2,4-。

广西省桂林市2018-2019学年度上学期期末质量检测高一年级数学(精品解析)

广西省桂林市2018-2019学年度上学期期末质量检测高一年级数学（解析版）三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）1.设全集为R，集合，集合．求；若，，求实数a的取值范围．【答案】解：集合，集合，；由，且，，由题意知，，解得，实数a的取值范围是．【解析】化简集合B，根据并集的定义写出；根据知，由题意列不等式求出a的取值范围．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.已知函数．用定义证明在上是增函数；若在区间上取得的最大值为5，求实数a的值．【答案】解：证明：设，则：；；，；；；在上是增函数；由知，在上是增函数；在区间上的最大值为；．【解析】根据增函数的定义，设任意的，然后作差，通分，得出，只需证明即可；根据可知，在区间上是增函数，从而得出在上的最大值为，从而可求出a的值．考查增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法和过程，根据增函数的定义求函数在闭区间上最值的方法．3.如图，长方体中，，点P为的中点．求证：直线平面PAC；求证：平面平面．【答案】证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是，BD的中点，故，因为平面PAC，平面PAC，所以直线平面PAC长方体中，，底面ABCD是正方形，则又面ABCD，则，所以面，则平面平面．【解析】设AC和BD交于点O，连PO，则，由此能证明直线平面PAC．推导出，，由此能证明平面平面．本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数的表达式；当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？【答案】解：当时，；当时，．设利润为y元，则当时，；当时，．当时，是单调增函数，当时，y最大，此时 000；当时， 050，当时，y最大，此时 050．显然．所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．【解析】根据题意，函数为分段函数，当时，；当时，．设利润为y元，则当时，；当时，，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．5.已知函数且是定义在R上的奇函数．Ⅰ求a的值；Ⅱ求函数的值域；Ⅲ当时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ函数且是定义在R上的奇函数，可得，即，解得，即有，由，可得为R上的奇函数，故；Ⅱ，在R上递增，由，可得，即有的值域为：Ⅲ当时，恒成立，即为，由，可得，由在递增，可得y的最大值为，可得．【解析】Ⅰ由奇函数的性质可得，解方程可得a的值，结合奇函数的定义，可得所求值；Ⅱ结合指数函数的值域和不等式的性质，可得所求值域；Ⅲ由题意可得，由，可得恒成立，运用换元法和函数的单调性，求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，注意运用指数函数的单调性和换元法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题含答案

宿州市省、市示范高中2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试卷（人教版）（答案在最后）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{lg(3)}A xy x ==--∣，(4,1)B =-，则A B ⋃=（）A.(,1)-∞B.(]4,3-- C.(4,)-+∞ D.[)3,1--【答案】A 【解析】【分析】将集合,A B 化简，再由并集的运算，即可得到结果.【详解】因为lg(3)y x =--，令30x -->，解得3x <-，则(){lg(3)},3A xy x ==--=-∞-∣，且(4,1)B =-，则(,1)A B ⋃=-∞.故选：A 2.sin 240︒=（）A.12-B.12C. D.2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式求出答案.【详解】()3sin 240sin 18060sin 602︒=︒+︒=-︒=-.故选：C3.“角α是第三象限角”是“sin tan 0αα⋅<”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.【详解】当角α是第三象限角时，sin 0α<，tan 0α>，于是sin tan 0αα⋅<，所以充分性成立；当2sin sin tan 0cos αααα⋅=<，即cos 0α<时，角α是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故选：A ．4.已知(),0,x y ∈+∞，4139yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（）A.2B.98C.32D.94【答案】A 【解析】【分析】由4139yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得24x y +=，再根据基本不等式可求出结果.【详解】由4139yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得4233x y --=，得42x y -=-，即24x y +=，因为(),0,x y ∈+∞，所以42x y =+≥，当且仅当2x =，1y =时，等号成立，所以2xy ≤，即xy 的最大值为2.故选：A 5.已知21log 3a =，0.32b -=，22log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.a c b<< D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合指数函数以及对数函数的单调性，即可求解.【详解】因为函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，则22212log log log 1035<<=，即0a c <<，又0.302210b -<<==，即01b <<，所以a c b <<.故选：C6.函数()2sin y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）A.3π2sin 8y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.π2sin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.7π2sin 216x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，利用“五点法”求解即可.【详解】由图知2A =，5πππ2882T =-=，πT ∴=，∴2π2Tω==，又()ππ2πZ 82k k ωϕ⋅+=+∈，()πππ2π22πZ 284k k k ϕ∴=+-⨯=+∈，∴函数的解析式为ππ2sin 22π2sin 244y x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D7.已知()f x 是奇函数，当x ≥0时，()21xf x e =-（其中e 为自然对数的底数），则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.3B.3- C.8D.8-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的性质()()f x f x -=-即可求解.【详解】由()f x 是奇函数得()()f x f x -=-，又0x ≥时，2()1x f x e =-，所以()()2ln3ln91ln (ln 3)(ln 3)1183f f f e e ⎛⎫=-=-=--=--=- ⎪⎝⎭.故选：D8.黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann ）发现提出黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为：当q x p=为真约数且*,N p q ∈时()1R x p=，当0,1x =或[]0,1上的无理数时()0R x =，若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且R x ∀∈，()(2)0f x f x ++=，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则：()2023π5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.25-B.15-C.15D.25【答案】B 【解析】【分析】根据已知可推得偶函数()f x 的周期为4，利用偶函数性质、周期性求目标函数值.【详解】由题意(2)()(4)(2)f x f x f x f x +=-⇒+=-+，则(4)()f x f x +=，所以偶函数()f x 的周期为4，(π)(π4)(4π)(4π)0f f f R =-=-=-=，20233331(404)()()55555f f f R ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，所以20231(π)55f f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：B二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设α∈R ，则下列结论中正确的是（）A.sin(2π)sin αα-=- B.cos(π)cos αα-=C.3πcos sin 2αα⎛⎫-=-⎪⎝⎭D.tan(π)tan αα--=【答案】AC 【解析】【分析】利用诱导公式（一）到（六）依次转化角，逐步化简即得.【详解】对于A 项，sin(2π)sin()sin ααα-=-=-，故A 项正确；对于B 项，cos(π)cos(π)cos ααα-=-=-，故B 项错误；对于C 项，π3cos cos[)]cos()sin 222(πππαααα⎛⎫-=-=--=-⎝+⎪⎭，故C 项正确；对于D 项，tan(π)tan(π)tan ααα--=-+=-，故D 项错误.故选：AC.10.下列叙述正确的是（）A.若幂函数()f x 的图象经过点127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该函数()f x 在(0,)+∞上单调递减B.命题“1x ∀<，21x <”的否定是“1x ∃<，21x ≥”C.函数()()2ln 23f x x x =+-的单调递增区间为(1,)-+∞D.函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2()log g x x =-互为反函数【答案】ABD 【解析】【分析】对于A,依题求出函数解析式，再判断即得；对于B ，根据全称量词命题的否定要求即得；对于C ，根据复合函数的单调性判断“同增异减”原则即可求得递增区间；对于D ，按照互为反函数的两函数之间的关系分析即得.【详解】对于A 项，设(),f x x α=依题意，1273α=，解得：13α=-，则()13,f x x -=因103-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，即A 项正确；对于B 项，否定量词和结论即得命题“1x ∀<，21x <”的否定是“1x ∃<，21x ≥”，即B 项正确；对于C 项，设223t x x =+-，由0t >解得：3x <-或1x >，因ln y t =在定义域内为增函数，且2223(1)4t x x x =+-=+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，根据同增异减原则知，函数()()2ln 23f x x x =+-的单调递增区间为(1,)+∞，即C 项错误；对于D 项，因1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，值域为(0,)+∞，由1()2x y =可得：122log log x y y ==-，交换,x y 即得：2log y x =-，即2()log g x x =-，其定义域为(0,)+∞，值域为R .即D 项正确.故选：ABD.11.已知函数()tan f x x =，则下列关于函数()f x 的图象与性质的叙述中，正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 在()ππ,πZ 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递增C.函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D.π4π55f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【解析】【分析】根据正切函数的性质画出()tan f x x =图象，即可判断A 、B 、C 的正误，由正切函数及诱导公式求π4π,55f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断D.【详解】函数()tan f x x =的大致图象，如下图示，由上图象，易知：()f x 最小正周期为π、()ππ,πZ 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递增、图象关于直线π2x =对称，故A ，B ，C 正确，又ππ4π4π4πππtan ,tan tan πtan tan 5555555f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π4π55f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误．故选：ABC.12.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则下列说法正确的是（）A.0a >B.0a b c ++<C.不等式20cx bx a -+<的解集为12x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>-⎬⎭D.24c a b++的最小值为6【答案】BCD 【解析】【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分析可得a 的正负，即可判断A 的正误；根据二次函数性质，可判断B 的正误；根据根与系数的关系，可得56b ac a =-⎧⎨=⎩且a<0，代入所求，化简计算，即可判断C 的正误；将56b ac a =-⎧⎨=⎩代入，根据基本不等式，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】A 选项，依题可得函数2y ax x c =++开口向下与x 轴交点横坐标为2，3，故A 错误；B 选项，依题可得1x =时，函数值小于0，即0a b c ++<，故B 正确；C 选项，因为2y ax bx c =++开口向下与x 轴交点横坐标为2，3，所以56b a c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即56b a c a =-⎧⎨=⎩，且a<0，所以不等式20cx bx a -+<可化为2650ax ax a ++<，即26510x x ++>，解集为12x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>-⎬⎭，故C 正确；D 选项，224911(9)6c a a a b a a ++⎛⎫=-=-+-≥= ⎪+⎝⎭，当且仅当1(9)a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，即13a =-时取等，故D 正确.故选：BCD.三、填空题:（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.13127lg 528⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】2【解析】【分析】利用对数的运算性质和分数指数幂的运算性质计算即得.【详解】13127lg 528⎛⎫++= ⎪⎝⎭13313(lg 2lg 5)()22⨯++13222=+=.故答案为：2.14.已知2cos 3α=，270360α︒<<︒，则cos 2α的值为______．【答案】306-##【解析】【分析】利用半角公式结合已知条件求解.【详解】因为270360α︒<<︒，所以1351802α︒<<︒，因为2cos 3α=，所以cos26α==-，故答案为：306-.15.如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB ，其中120,24AOB AC OC ∠=== ，则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是__________.【答案】32π3##32π3【解析】【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得．【详解】2π1203︒=，由题意可得，扇形AOB 的面积是212π612π23⨯⨯=，扇形COD 的面积是212π42π233⨯⨯=.则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是432π12ππ33-=.故答案为：32π3．16.已知函数π3πcos 2,()322,x t x f x x x t ⎧⎛⎫-<≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩有且仅有3个零点，则t 的取值范围是________.【答案】π5π11π[,0)[,)121212- 【解析】【分析】根据函数图像及零点的定义可得结果.【详解】当0t <时()2f x x =没有零点，所以依题意()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有且仅有3个零点，又3π2t x <≤时ππ8π22333t x -<-≤，所以πππ2232t -≤-<，即π5π1212t -≤<，故π012t -≤<；当0t ≥时()2f x x =有1个零点，所以依题意()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有且仅有2个零点，所以ππ3π2232t ≤-<，即5π11π1212t ≤<，故答案为：π5π11π[,0)[,)121212-.四、解答题：（本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）已知πcos 22cos(π)αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+，求3sin 2cos sin 2cos αααα+-的值.（2）已知角α的终边过点()3,4P ，5sin 13β=，π3π,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值．【答案】（1）1；（2）5665-【解析】【分析】（1）化简已知式，求得tan α的值，将3sin 2cos sin 2cos αααα+-利用弦的齐次式化弦为切代入即得；（2）由条件分别求出sin ,cos ,cos ααβ的值，再代入两角和的余弦公式计算即得.【详解】（1）由πcos sin 2tan 2cos(π)cos ααααα⎛⎫+ ⎪-⎝⎭===-+-可得：3sin 2cos 3tan 21sin 2cos tan 2αααααα++==--；（2）角α的终边过点()3,4P ，则43sin ,cos 55αα==．由5sin 13β=，π3π,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知：22512cos 1sin 11313ββ⎛⎫=-=--=-⎪⎝⎭则3124556cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.18.已知函数()22sin 3sin2f x x x =+.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）()πππ,πZ 63k k k 轾犏-+Î犏臌（2）1,3⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换可得()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据图象变换规律可得()π2sin 213g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质即得.【小问1详解】因为()2π2sin 21cos 22sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，令()πππ2π22πZ 262k x k k -≤-≤+∈，解得()ππππZ 63k x k k -≤≤+∈，则()f x 的单调递增区间是()πππ,πZ 63k k k 轾犏-+Î犏臌；【小问2详解】因为()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，可得()πππ2sin 212sin 211263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ4π2333x ≤-≤，所以3πsin 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则π12sin 2133x ⎛⎫+≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()g x 在区间π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的值域为1,3⎡⎤+⎣⎦．19.已知函数1()(0,R)3x f x b a b a =+>∈+是定义在R 上的奇函数，其图象经过点22,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求实数a ，b 的值并指出()f x 的单调性（不必证明）；（2）求不等式()22305f x x --<的解集．【答案】（1）11,2a b ==-，()f x 在R 上单调递减（2）(,1)(2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）根据R 上奇函数的性质得()00f =，再由()225f =-，列出方程组，求得,a b ，再利用函数的单调性定义证明函数单调性即得；（2）观察易得()225f =-，代入不等式，利用奇函数性质将其化成()()232f x x f -<-，最后利用函数单调性化为一元二次不等式，解之即得.，【小问1详解】()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =，即101b a +=+，又()12295f b a =+=-+解得11,2a b ==-.故11()312x f x =-+，易得()f x 在R 上单调递减，证明如下.任取12x x <，由12121111()()()()312312x x f x f x -=---++211233(31)(31)x x x x -=++，因21x x >，则2133x x >，而12(31)(31)0x x ++>，则21()()f x f x >，故()f x 在R 上单调递减.【小问2详解】易得：()225f =-，∴不等式()22305f x x --<可化为()()232f x x f ∴-<-， ()f x 是R 上的奇函数，()()232f x x f ∴-<-又 ()f x 在R 上单调递减，∴232x x ->-，即2320x x -+>，解得2x >或1x <故原不等式的解集为(,1)(2,)-∞⋃+∞.20.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：该函数模型如下，()0.344.21sin 0.21,02354.2710.18,2x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+≥⎩.根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：ln9.82 2.28,ln10.18 2.32,ln54.27 3.99≈≈≈）【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车【解析】【分析】（1）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<，此时20,3332x x ππππ<<∴=时，()f x 取得最大值，即可求得.（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时2x >，解不等式()20f x <，两边取对数，即可求出..【详解】（1）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<.此时()44.21sin 0.213f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.当32x ππ=时，即32x =时，函数()f x 取得最大值为max 44.210.2144.42y =+=，故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时2x >，由0.354.2710.1820x e -+<，得0.39.8254.27x e-<，两边取自然对数得0.39.82ln ln 54.27x e -<，即0.3ln9.82ln54.27x -<-，∴ 2.28 3.99 5.70.3x ->=-，故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.【点睛】本题考查函数模型应用和分段函数，考查分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．21.已知函数()()()log 24log 5(0a a f x x x a =-+->且1)a ≠的图象过点()3,2P -.（1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（3）若52332m n t t ⎛⎫==<<⎪⎝⎭，比较()2f m 与()3f n 的大小.【答案】（1）12a =，定义域为(2,5)；（2）最大值是25log 2-，（3）(2)(3)f m f n <．【解析】【分析】（1）由(3)2f =-求得a ，由对数函数的定义得定义域；（2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；（3）指数式改写为对数式，然后比较2,3m n 的大小，并由已知得出2,3m n 的范围，在此范围内由()f x 的单调性得大小关系．【小问1详解】由已知(3)log 2log 22a a f =+=-，12a =，24050x x ->⎧⎨->⎩25x ⇒<<，定义域为(2,5)；【小问2详解】211112222()log (24)log (5)log (24)(5)log (21420)f x x x x x x x =-+-=--=-+-，2279214202()22x x x -+-=--+，932x ≤≤，则257992(2222x ≤--+≤，所以211122295log log (21420)log 22x x ≤-+-≤，92x =时取等号，最大值为12255log log 22=-；【小问3详解】52332m n t t ⎛⎫==<< ⎪⎝⎭，23m n t ==，2m t =，3n t =，=1=>=>，所以23m n >，532<<t ，则22log log 3m t =<，222log 3m <，∵7423>，所以274log 3>，27log 34<，即722m <，335log log 2n t =>，333512533log log log 9228n >=>=，所以72(2,)2m ∈，73(2,)2n ∈，∵22420u x x =-+-在7(2,)2上是增函数，又12log y u =在0u >时是减函数，∴()f x 在7(2,)2上是减函数，∴(2)(3)f m f n <．22.已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<。

2018-2019学年高一数学必修一学业分层测评：第一章集合(2)

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·德州市高一期中)已知集合A ＝{x |x －2≤1，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( )A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个【解析】因为集合A ＝{x |x －2≤1，x ∈N *}＝{1,2,3}，所以其真子集个数为23－1＝7，故选C.【答案】 C2．(2016·石家庄高一期末)已知{1,2}⊆X ⊆{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X 的个数为( )A ．2个B ．6个C ．4个D ．8个【解析】由题意知，集合X 中的元素一定含有1,2，另外可从3,4,5中可取0个，取1个，取2个，取3个，∴集合X ＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．故选D.【答案】 D3．(2016·北京高一月考)设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则2x ＋y 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．－1【解析】因为A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.x ＝0时，B ＝{0,0}不成立．当x ＝1，y ＝0时，A ＝{1,0}，B ＝{0,1}，满足条件．所以2x ＋y ＝2.故选C. 【答案】 C4．(2016·洛阳高一检测)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k3，k ∈Z，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k6，k ＝Z，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ＝BD ．A 与B 关系不确定【解析】集合A 中x ＝k 3＝2k 6，B 中x ＝k6，2k 为偶数，k 为整数，故A 中的元素都是B 中的元素，即A ⊆B ，故选A.【答案】 A5．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D【解析】选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .【答案】 B 二、填空题6．已知集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________．【解析】用数轴表示集合A ，B ，AB ，如图所示：则a≥4.【答案】a≥47．设集合A＝{x，y}，B＝{4，x2}，若A＝B，则x＋y＝__________.【解析】因为A＝B，当x＝4时，B＝{4,16}，A＝{4,16}，即x＝4，y＝16；x＝0时，B＝{4,0}，A＝{0,4}，即x＝0，y＝4；x＝1时，B＝{4,1}，A＝{1,4}，x＝1，y＝4.【答案】20或4或58．设集合P＝{(x，y)|x＋y<4，x，y∈N＋}，则集合P的非空子集的个数是________．【解析】∵x＋y<4，x，y∈N＋，∴x＝1，y＝3；x＝2，y＝2；x＝3，y＝1.故P＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，共有8个子集，其中非空子集有7个．【答案】7三、解答题9．判断下列各组中两集合之间的关系：(1)P＝{x∈R|x2－4＝0}，Q＝{x∈R|x2＝0}；(2)P＝{y∈R|y＝t2＋1，t∈R}，Q＝{t∈R|t＝y2－2y＋2，y∈R}；(3)P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}；(4)P＝{y|y＝x2－1，x∈R}，Q＝{(x，y)|y＝x2－1，x，y∈R}．【解】(1)集合P＝{x∈R|x2－4＝0}＝{2，－2}，集合Q＝{x∈R|x2＝0}＝{0}，所以P与Q不存在包含关系．(2)集合P＝{y∈R|y＝t2＋1，t∈R}＝{y∈R|y≥1}，集合Q＝{t∈R|t＝(y－1)2＋1，y ∈R }＝{t ∈R |t ≥1}，所以P ＝Q .(3)集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }是偶数集，集合Q ＝{x |x ＝4k ＋2，k ∈Z }＝{x |x ＝2(2k ＋1)，k ∈Z }＝{…，－6，－2,2,6，…}，显然Q P .(4)集合P 是数集，且P ＝{y |y ≥－1}，集合Q ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ，y ∈R }中的代表元素是点(x ，y )，所以Q 是点集，所以P 与Q 不存在包含关系．10．已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 取值的范围．【解】 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <2a ，又B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2a <x <1a . ∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，实数a 的取值范围是：a ＝0或a ≥2或a ≤－2.[能力提升]1．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，则集合A 、B 、C 之间关系完全正确的是( )A ．A ≠B ，AC ，BCB ．A ＝B ，AC ，B CC ．A ＝B ，C A ，C BD ．A ≠B ，C A ，C B【解析】集合A 中元素所具有的特征：x ＝2k ＋1＝2(k ＋1)－1，∵k ∈Z ，∴k ＋1∈Z 与集合B 中元素所具有的特征完全相同，∴A ＝B ；当k ＝2n 时，x ＝2k ＋1＝4n ＋1 当k ＝2n ＋1时，x ＝2k ＋1＝4n ＋3.即C 是由集合A 中的部分元素所组成的集合．∴CA ，CB .【答案】 C2．(2016·宣城市高一月考)已知集合A ＝{x |x 2－4＝0}，集合B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则实数a 的值是( ) 【导学号：04100005】A ．0B ．±12 C ．0或±12D ．0或12【解析】 ∵集合A ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，且B A ，∴B 有两种情况： (1)a ＝0，B ＝∅，满足B ⊆A ；(2)a ≠0，由1a ＝±2，得a ＝±12.综上a ＝0或±12. 【答案】 C3．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解】因为A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，B ⊆A ，所以B 可能为∅，{0}，{－4}，{0，－4}． ①当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无解．所以Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，所以a <－1.②当B ＝{0}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根0，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧0＋0＝－2(a ＋1)，0×0＝a 2－1，解得a ＝－1.③当B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根－4，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＋(－4)＝－2(a ＋1)，－4×(－4)＝a 2－1，该方程组无解．④当B ＝{0，－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个不相等的实数根0与－4，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧0＋(－4)＝－2(a ＋1)，0×(－4)＝a 2－1，解得a ＝1.综上可得a ≤－1或a ＝1.。

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣．（1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.已知全集，集合，则为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：,故选D.
考点：集合的运算.
2.已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：设直线的方程为，又因为该直线过点，所以，即
，的方程为；故选D．
考点：两直线的位置关系．
3.函数在区间上的最小值是
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
结合指数函数的单调性,计算最小值,即可.
【详解】结合指数函数的性质可知在该区间单调递减,故当,取到最小值,为,故选B.
【点睛】考查了指数函数的单调性,关键判断该指数函数在该区间的单调性,计算最小值,即可,难度中等.
4.下列函数中，是偶函数又在区间上递增的函数为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由偶函数排除A,B;由函数在区间上递增排除D,故答案为C.
5.两条直线a，b满足，，则a与平面的关系是
A. B. a与相交 C. a与不相交 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合直线与平面平行的判定，判断结果，即可。

【详解】直线a可能在平面内，也可能与平面平行，故选C。

【点睛】考查了直线与平面平行的判定，难度较容易。

6.已知函数，若，则a的值是
A. B. 或 C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令每个函数解析式等于,计算参数,即可.
【详解】当,解得,当,解得,故选C.
【点睛】考查了分段函数值计算,关键利用每个分段函数都等于,计算结果,即可.难度较容易.
7.方程的实数解的个数为
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
结合题意,构造两个函数,绘制图像,将解的个数转化为函数交点个数,即可.
【详解】令,绘制这两个函数的函数图像,可得
【点睛】考查了数形结合思想,关键将函数解的问题转化为函数交点个数的问题,难度中等.
8.在圆上一点的切线与直线垂直，则
A. 2
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合圆方程,计算切线斜率,利用直线相互垂直满足的斜率关系,计算,即可.
【详解】该圆的圆心坐标为,则切线的斜率为,因为切线与该直线垂直,可知
【点睛】考查了直线垂直的判定,关键利用垂直满足斜率之积为-1,计算参数,即可.
9.如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下
列结论中错误的是
A.
B.
C. 三棱锥的体积为定值
D.
【答案】D
【解析】
可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥
的体积为为定值，C正确；D错误。

选D。

10.已知函数满足且当时，，设，，
，则a，b，c的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合偶函数的性质,计算对应的函数解析式,结合单调性关系,判定大小,即可.
【详解】可知为偶函数,则,则当
,可知都为增函数,故在单调递增,
,,可知
,结合单调性的关系,故
【点睛】考查了偶函数的性质,考查了函数单调性的性质,难度中等.
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
11.函数y=+的定义域为____________．
【答案】[，3）∪（3，+∞）
【解析】
【分析】
具体函数的定义域，要求函数的每一部分要有意义，最终将每一部分的定义域取交集即可.本题需满足,解不等式即可.
【详解】函数y=+有意义，需满足，解得x≥且x≠3，∴函数的定义域为[，3）∪（3，+∞）．
故答案为：[，3）∪（3，+∞）.
【点睛】这个题目考查了具体函数的定义域问题，常见的有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，次数是零次幂的式子，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.
12.化简_____________．
【答案】7
【解析】
，
故答案为：7
13.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为。

【答案】
【解析】
试题分析：因为，圆锥的侧面积为，底面积为，
所以，
解得，，所以，该圆锥的体积为。

考点：圆锥的几何特征
点评：简单题，圆锥之中，要弄清r,h,l之间的关系，熟练掌握面积、体积计算公式。

14.若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
结合二次函数的性质,判定单调区间和对称轴的关系,。

建立不等式,计算a的范围，即可【详解】结合单调性满足的条件可知,故
【点睛】考查了二次函数单调性的性质，关键得出当区间位于对称轴的两边时才能保证单调性，即可，难度中等。

三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）
15.已知集合，，全集．
当时，求；
若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）由集合并集的运算得：A=，所以A∪B=，
（2）由集合间的包含关系及空集的定义得：A∩B=A，得A⊆B，讨论①当A=∅，②当A≠∅，综合可得解．
【详解】解：（1）当a=2时，A=，
所以A∪B=，
（2）因为A∩B=A，所以A⊆B，
①当A=∅，即a-1≥2a+3即a≤-4时满足题意，
②当A≠∅时，由A⊆B，有，
解得-1，
综合①②得：
实数a的取值范围为：或-1，
【点睛】本题考查了集合并集的运算及集合间的包含关系及空集的定义，属简单题．16.已知函数．
判断并证明函数的奇偶性；
若，求实数m的值．
【答案】（1）奇函数；（2）.
【解析】
【分析】
要判断函数的奇偶性，只要检验与的关系即可；
结合中是奇函数可知，代入即可求解；
【详解】解：解：是奇函数
故的定义域为
设任意则，
所以是奇函数
由知，是奇函数，则
，即
即，
解得
【点睛】本题主要考查了奇函数的定义及性质的简单应用，属于基础试题．
17.已知圆C：，圆：，直线l：．
求圆：被直线l截得的弦长；
当m为何值时，圆C与圆的公共弦平行于直线l．
【答案】（1）8；（2）
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离和半径与弦长的一半构成直角三角形，利用勾股定理求出弦长；
利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，利用直线平行列方程求得m的值．
【详解】解：因为圆：的圆心坐标为，半径为5；
则圆心到直线l：的距离为，
所以直线l被圆：截得的弦长为；
圆C与圆的公共弦直线为，
因为该弦平行于直线l：，
所以，
得，经检验符合题意，所以m的值为
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，是基础题．
18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，且．
求证：平面EAD；
求证：平面BDEF．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
推导出，由此能证明面EAD．
设AC与BD相交于点O，连接FO，推导出，，由此能证明平面BDEF．【详解】证明：因为四边形BDEF为菱形，
所以，
因为面EAD，面EAD，
所以面
设AC与BD相交于点O，连接FO，
因为四边形ABCD为菱形，
所以，且O为AC的中点，
又，所以，
因为，
所以平面
【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.已知定义域为R的函数是奇函数．
求a，b的值；
用定义证明在上为减函数；
若对于任意，不等式恒成立，求k的范围．
【答案】(1) a=1,b=1 (2)见解析 (3) k<-
【解析】
试题分析：（1）为上的奇函数,再由，得即可；（2）任
取，且，计算即可；（3）不等式恒成立等价于
恒成立，求函数
的最小值即可.
试题解析：（1）∵为上的奇函数，∴，.
又，得.
经检验符合题意.
（2）任取，且，则
.
∵，∴，又∴，
∴，∴为上的减函数
（3）∵，不等式恒成立，
∴，
∴为奇函数，∴，
∴为减函数，∴.
即恒成立，而，
∴
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数与不等式.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数与不等式，属中档题；高考对函数性质的考查主要有以下几个命题角度：1.单调性与奇偶性相结合；2.周期性与奇偶性相结合；3.单调性、奇偶性与周期性相结合.。