离散数学期末测验考试A答案及评分标准
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北 京 工 商 大 学
离散数学试卷(A)答案及评分标准
一、（30分）设A ={1,2,3,4}，给定A 上二元关系R 如下：
R ={<1,1>, <1,2>, <2,3>, <3,3>, <4,4>}
请回答以下各问题：
1.写出
R 的关系矩阵. （3分） 2.画出R 的关系图. （3分）
3.求包含R 的最小的等价关系，并写出由其确定的划分. （6分）
4.分别用关系矩阵表示出R 的自反闭包r (R )、对称闭包s (R ). （6分）
5.求传递闭包t (R ).（写出计算步骤）（6分）
6.求R 2的关系矩阵. （3分）
7.集合A 上最多可以确定多少个不同的二元关系？说明理由。（3分）
[解] (1) ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=10
0001000100
0011
R M 。 ……（3分）
（2）
……（3分）
(3)法一：直接由等价关系与划分之间的一一对应可知，包含R 的最小等价关系为: {<1, 2>, <1, 3>, <2, 1>,<2, 3>, <3, 1> <3, 2>}∪I A , ……（3分） 对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分） 法二：包含R 的最小的等价关系就是tsr (R ), 计算过程如下：
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=+=100001000110
0011
100001000010000110
0001000100
0011
)(E M M R R r
,10000110011100111000011000
1100011000010001100011][)()()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=T R r R r R sr M M M ,3,10
000111011101111000011001
1100111000011001110011)]([)()()]([2≥=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⨯
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=k M M M M k R sr R sr R sr R sr 从而
,10
00
01110111011
110
00
01110111011
11000
01110111011
11000
01110111011
11000011001110011432)]([)]([)]([)()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=+++=R sr R sr R sr R sr R tsr M M M M M
即}2,3,1,3,3,2,1,2,3,1,2,1{)(><><><><><><⋃=A I R tsr =包含R 的最小的等价关系， ……（3分） 故其对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分） 法三：由于4=A ，包含R 的最小的等价关系就是
4131211)()()()()()(----⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃==R R R R R R R R I R rts R tsr A ,
计算过程如下：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=+=-⋃10
00
01100101001
110
00
01100001000
110
00010001000011][1
T
R R R R M M M ⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=+=-⋃1000011
1011
1011
11000011001010011)][(2
2
)(2
1T R R R R M M M
41213
1)()(3
3
)(100
0011
1011
101111000011001010011)][(---⋃⋃⋃==⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=+=R R R R T R R R R M M M M M
从而 ,10000111011101114131211)()()()(⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=++++=----⋃⋃⋃⋃R R R R R R R R R tsr M M M M E M
即}2,3,1,3,3,2,1,2,3,1,2,1{)(><><><><><><⋃=A I R tsr =包含R 的最小的等价关系， ……（3分） 故其对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分）
(4) ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+=1000010001100011)(E M M R R r , ……（3分）
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=-10000
110010100111)(R R R s M M M , ……（3分） (5)由于4=A ，则 4
3
2
1)(R R R R R R t i i
⋃⋃⋃==∞
= ……（2分）
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=10
00010001000011R M ， ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⨯=10
00
010********
110
00
010********
110
000100010
000112R R R M M M ……（3分）
22310000
1000100011110000100010000111000010001000111R R R R M M M M =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯= ……（4分） 则432R R R M M M ==， ……（5分） 故432)(R R R R R t M M M M M +++=
,10000100010001111000010001000111100001000100011110000100010001111000010001000011⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= }4,4,3,3,3,2,3,1,2,1,1,1{)(><><><><><><=R t ， ……（6分）
(6) ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⨯=10
00
010********
110
00
010********
110
0001000100
0011
2
R R R M M M 。 ……（3分）
(7) 因为集合A 中有4个元素，所以A ×A 中共有16个元素， ……（1分）
根据二元关系的定义可知集合A 上可以确定16
2个不同的二元关系。 ……（3分） 二、(10分)设R 是集合A 上的传递关系，证明1R R -⋂也是A 上的传递关系。 [证] 法一：
如果11,,,--⋂>∈<⋂>∈ ),,(),,(11-->∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇒R z y R y x R z y R y x ……（5分） ),,(,R y z R x y R z x >∈<∧>∈<∧>∈⇒< ……（6分） R x z R z x >∈<∧>∈⇒<,, 1,,->∈<∧>∈⇒ 故1-⋂R R 也是A 上的传递关系。 ……（10分） 法二： 如果11,,,--⋂>∈<⋂>∈ ),,(),,(11-->∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇒R z y R y x R z y R y x ……（5分） 由于R 是集合A 上的传递关系，有1-R 也是集合A 上的传递关系，……（7分） 所以，),,(),,(11-->∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈ 1,(,->∈<∧>∈⇒