2014年第五届启智杯真题及试题分析(中学组)
蓝天教育(启智杯希望杯)报名表
2014年第五届“启智杯”竞赛
2015年第十三届小学“希望杯”全国邀请赛
2015年第二十六届中学“希望杯”全国邀请赛
蓝天教育报名登记表
赛区：广东省深圳市报名站：蓝天教育
1、在是否报名启智杯与希望杯比赛的选项栏中，是的请打“√”；
2、启智杯报名费50元，资料费20元（参考资料看家长选择）
3、希望杯报名费蓝天教育收取28元，资料费费用见附件，其中资料费均邮购价收取
4、居住片区为合理安排考点使用，请按照以下15个片区就近选填：
罗湖翠竹、罗湖黄贝岭、福田莲花、福田益田、福田竹子林、南山蛇口、南山华侨城、南山西丽、盐田、宝安、光明、龙华、龙岗、坪山、大鹏
5、蓝天教育9月9日上午10点起接受报名
附件：
第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛资料介绍。
试卷：2014年上海市新知杯初中数学试题(含答案解析)
2014上海市初三数学竞赛试卷（2014年12月7日 上午9：00—11:00）解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.化简：3223222a a b ab b a ab b--+=-+ 2. 若y xa x z+=，z y b y x +=，x z c z y +=，则()()()b c a c a b a b c +-+-+-的值为3. 已知ABCD 是等腰梯形， ABIICD ，AB=6，CD=16，△ACE 是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD ，则AE 的长为4. 方程2014xyz xy yz zx x y z ++++++=的非负整数解（x ,y ,z ）的组数为5.在三角形ABC 中，∠ABC=440，D 是边BC 上的一点，满足DC=2AB, ∠BAD=240，则∠ACB 的大小为6. 在直角坐标平面xOy 上，由不等式221x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪-≤⎩确定的区域的面积为7. 使得关于x 的方程2221130a x ax a ++-=有两个整数根的所有正实数a 是8. 设20142的所有正约数为d 1,d 2,…,d k ,则12111 (201420142014)k d d d +++=+++二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 解关于x 的方程：(1)xx x x x a x x+--=++10.如图，在凸四边形ABCD 中，已知∠ABC +∠CDA =3000，AB CD BC AD ⨯=⨯, 求证：AB CD AC BD ⨯=⨯11. 已知边长为a 的正方形ABCD 的内部有n 个圆，每个圆的面积都不大于1，且与正方形ABCD 的边平行的直线都至多与一个圆相交，求证：这n 个圆的面积之和小于a 。
12. （1）证明：可以将全体正整数分成3组A 1，A 2，A 3，使得对每一个整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3的每一组中都能取出两个不同的数，它们的和为n（2）证明：将全体正整数任意分成4组A 1，A 2，A 3，A 4，则存在整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3 ，A 4中一定有一组A i ，在A i 中不存在两个不同的数，它们的和为n2014上海市初三数学竞赛试卷解答（2014年12月7日上午9：00—11:00）解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.化简：3223222a ab ab ba ab b--+= -+2. 若y xax z+=，z yby x+=，x zcz y+=，则()()()b c a c a b a b c+-+-+-的值为3. 已知ABCD是等腰梯形，ABIICD，AB=6，CD=16，△ACE是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD，则AE的长为4. 方程2014xyz xy yz zx x y z ++++++=的非负整数解（x ,y ,z ）的组数为5.在三角形ABC 中，∠ABC=440，D 是边BC 上的一点，满足DC=2AB, ∠BAD=240，则∠ACB 的大小为6. 在直角坐标平面xOy 上，由不等式221x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪-≤⎩确定的区域的面积为7. 使得关于x 的方程2221130a x ax a ++-=有两个整数根的所有正实数a 是8. 设20142的所有正约数为d 1,d 2,…,d k ,则12111 (201420142014)k d d d +++=+++二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 解关于x 的方程：(1)xx x x x a x x+--=++⨯=⨯, 10.如图，在凸四边形ABCD中，已知∠ABC+∠CDA =3000，AB CD BC AD⨯=⨯求证：AB CD AC BD11. 已知边长为a的正方形ABCD的内部有n个圆，每个圆的面积都不大于1，且与正方形ABCD的边平行的直线都至多与一个圆相交，求证：这n个圆的面积之和小于a。
第三届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(小学组)
参考答案及评分标准本卷共12题，每题10分，满分120分。
答题时间120分钟。
如图所示的算式中，相同的汉字表示相同的一位数字，不同的汉字表示不同的一位数字，则我+爱+启+智+杯= 或。
写出你的推算过程。
杯智杯启智杯爱启智杯+ 爱启智杯我爱启智杯参考答案：25或29五个杯字之和的个位数为杯，说明杯 = 0或5（进2）；若杯=0，则四个智字之和的个位数为智，智=0；从而三个启字之和的个位数为启，启=0；两个爱字之和的个位为爱，进位为我，无解。
因此，杯=5（进2），由此推出智字之和加2的个位数为智，智=6（进2）；三个启字之和加2的个位数为启，启=4（进1）或9（进2），进而得知爱等于9或8，而我=1.因此：我爱启智杯= 19465或18965，而我+爱+启+智+杯=25或29评分标准：只写出正确答案而未加说明，给5分；基本思路正确，而答案错误，给5分；答案写成19365或18965给8分。
其他情况酌情给分。
有三个封口的袋子，里面都装着同样重量和大小的小球，A袋子内装着红球，B袋子内装着白球，C袋子内混合装着红球和白球。
三个袋子分别贴有“红色”、“白色”、“混合色”的标签，可惜每一个标签都与袋子中球的实际颜色不符。
现在允许你只打开一个袋子，从中摸出一球（不准看袋子里面），看着这个球的颜色，你能立刻为三个袋子贴上正确标签吗？请说明你的具体操作方法。
参考答案：打开“混合色”标签的袋子由于三个袋子都标错了标签，所以三种标签构成一种“轮换”，不会出现“对换”。
打开“混合色”标签的袋子，由于依据假设，该袋子内必然是单色的，若拿出的是红色球，则该袋子应该标注“红色”；而原来标注红色的必然是“白色”，白色标签的也就是混合色了。
若拿出的是白色球，则该袋子应该标注“白色”；而原来标注白色的必然是“红色”，红色标签的也就是混合色了。
评分标准：只写出正确答案而未加说明，给5分；分析正确，而说明不清晰或者不简练，给7分；其他情况酌情给分。
2014年第五届启智杯真题及试题分析(中学组)讲诉
8 8x811 1 1 1 11\(1)(n 2) n13 511 3 12 4 7 9 11 13 15 17321(n 1 (n 1)3 5 12 5 7 9222014年(第五届)启智杯数学思维及应用能力竞赛(初中组)试卷特别注意:(1 )请把解答写在答题纸上，不要在本卷上答题。
(2 )本试卷在考试结束时请考生带走。
(3)本卷共12题，每题10分，满分120分。
答题时间120分钟。
1、观察如下几个灯饰:你发现了什么规律？请据此规律写出第 100个式子。
(2 )求 a<i + a 2 + a 3 +...+ a 353 的值。
写出答案和理由4、已知正整数n 满足:质的最小的六位数，写出答案和理3、一个数列 a 1 ,a 2 ,a 3,...,a n ,...,已知a 1 =8，之后的每一项有如下规律: a n 为奇数时,1an 1 =5 a n +1 ； a n 为偶数时，an 1 =2 。
(1 )求a 2014的值,2011 1 -20132、数“ 11125 ”具有这样的性质：它的各位数码之和等于它的各位数码之积。
求满足该性求正整数n 的值，写出答案和计算过程。
5、如右图所示，一个长方形 ABCD 中嵌入三个大小相同的小正方形构成一个“品”字，如 果AB=26mm ，BC=28mm ，问每个小正方形的面积是多少？ABC 中，延长BC 至D ， ABC 与 ACD 的角平分线相交于点 A !， A i BC 与A i CD 的角平分线相交于点A 2，……，以此类推， A 5BC 与A 5CD 的角平分线相交于点A 6，若 A 6 2，求 A 的度数。
8、如右图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AD=2AB , AF=5cm ，且DE 丄AF , E 为垂足,DE=3.6cm 。
你能求出图中哪些线段的长度？请写出求出线段的长度及解答过程。
6、如右图，正方形 为49，那么四边形7、如图所示，在△BDEF 的面积最小为多少?ABCD 的面积为1，延长BC 至E ,延长DC 至F ，如果矩形CEGF 面积9、如图所示的乘法竖式中，“我爱启智杯”分别代表 0~9中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“我爱启智杯”代表的数字分别是多少？写□9□□□□ 匸□□□□□ □ □□□□□ □□□□10、右图中ABCD 和DEFG 是两个不等的正方形，连接 BG 交DE 于H ，如果A BHE 面积为11、有2014颗旗子，甲乙二人做如下游戏：甲将旗子分为数目不等的两堆交给乙，乙将其中较少数目的一堆留下，另一堆再分为数目不等的两堆交给甲，如此往复进行下去。
2013年第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初中组,pdf版,含答案)
数n ,当n≥9时，总能将正三角形分割成 n 个正三角形。
8．将1、2、3、…、10、11、12这12个数填入如图所示66的某些方格中，要求同时满足 （1）每一行、每一列都只有一个奇数、一个偶数； （2）每一行、每一列和两条对角线上都恰好各有2个数，而且两数之和均不小于9。
部确定再得 2 分。
2. 请完成以下两个问题：
（1）将 999 表示成 9 个连续的奇数之和的形式；
（2）将 7n1 表示成 7 个连续的奇数之和的形式时，则其中最小的奇数是多少？（用含有字母 n 的代 数式表示，其中字母 n 正整数）
【参考答案】 （1）由于 999 9 = 111，所取 9 个奇数的中间数应该是 111，这个表示为 999 = 103 +105 +107 +109 + 111 + 113 +115 +117 +119。
或
图 1，
图2
【评分标准】发现重叠阴影部分面积不变性（正方形面积的 1 ）占 5 分；算出正方形边长占 5 分。 4
第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷（初学组） 第 4 页 共 8 页
7. 把一个边长为 9 的正三角形分割成若干正三角形（不要求每个正三角形边长相等）。 （1）最少能分割成多少个正三角形？ （2） 你还能把一个正三角形分割成 5,6,7,8,9,10,11个正三角形吗？能做到的分别画
SAED：SABD= 2：3，SAED= 8cm2，
(3)
第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷（初学组） 第 3 页 共 8 页
而△CDG 相似于△AEG，相似比为 CD: AE=3:2，故 DG:EG = 3:2，SDGA : SEGA= 3：2，
2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分.） 1.已知x 、y 、z 满足2x =3y-x =5z+x ，则5x-yy+2z的值为（ ）（A ）1 （B ）13 （C ）-13 （D ）12【答】B ．解：设 2x =3y-x =5z+x =1k 则x=2k ，y-z=3k ，z+x=5k ，即x=2k ，y=6k ，z=3k 。
所以5x-y y+2z =5·2k-6k 6k+6k =13，故选B.2.已知等腰三角形的周长为12，则腰长a 的取值范围是（ ）（A ）a ＞3 （B ）a ＜6 （C ）3＜a ＜6 （D ）4＜a ＜7 【答】C.解：腰长为a ，则底长为12-2a ，由2a ＞12-2a 及12-2a ＞0可得3＜a ＜6 故选C. 3.设 21x x 、 是一元二次方程032=-+x x的两根，则 1942231+-x x 等于（ ）（A ）-4 （B ）8 （C ）6 （D ）0 【答】D.解：将21x x 、代入方程，将目标整式降次，利用两根之和求解.4．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）14【答】D.解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=. 故选D.5. 如图，正方形A BCD 和EFGC 中，正方形EFGC 的边长为a ，用a 的代数式表示阴影部分△AEG 的面积为（ ）（A ）232a （B ）223a （C ）212a （D ）2a【答】C ．6.若△ABC 的三条边a,b,c 满足关系式a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）等边三角形（C ）直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【答】D.解法一：原方程左边变形为 （a 4-b 4）+（b 2c 2-a 2c 2）=0， （a 2+b 2）（a 2-b 2）+（b 2-a 2+）c 2=0，∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a=b 或c 2=a 2+b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解法二：应用配方法a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0， （a 4-a 2c 2）-（-b 2c 2+b 4）=0 （a 2-22c ）2 -（22c -b 2）2=0 ∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a 2-b 2=0,或a 2+b 2-c 2=0. ∴a=b 或c 2=a 2+b 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选D.7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第n (n ≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时(参考数据: 51.22.5≈，61.2 3.0≈，71.2 3.6≈)，相应的n 的值为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 【答】D.8．如图：点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD = ∠DAB = 60°，AC = 3 ，AB = 6，则AD 的长度是（ ）（A ）2 （B ）2.5 （C ）3 （D ）3.5 【答】A.解：如图，作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，在Rt △ABE 中， ∠BAE= 60° ∴∠ABE= 30° ∴AE=21AB = 3 由勾股定理得BE =33∴21BCA s △AC ·BE =329 ∵∠CAD = ∠DAB = 60°同理得△ADC 和△ABD 中AD 边上的高分别是323和33 ∴=CD A s △343AD ,=B DA s △323AD 又CD A s △+B DA s △=BC A s △ ∴343AD + 323AD =329 ∴AD = 2 故选A9.若m=20132+20132×20142+20142，则m ( )（A ）是完全平方数，还是奇数 （B ）是完全平方数，还是偶数 （C ）不是完全平方数，但是奇数 （D ）不是完全平方数，但是偶数 【答】A.解 ：原式=20132-2×2013×2014+20142+2×2013×2014+20132×20142=(2013-2014)2+2×2013×2014+(2013×2014)2=1+2×2013×2014+(2013×2014)2=(2013×2014+1)2所以(2013×2014+1)2是一个完全平方数，末尾数字是9，所以也是奇数. 故选A. 10、设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ） （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1 【答】A.解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故 2()0a b c ++=．于是 2221()2ab bc ca a b c ++=-++， 所以22212ab bc ca a b c ++=-++．故选A.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）11.已知整数1234a a a a ⋅⋅⋅，，，，满足下列条件：10a =，21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =-+，…，依次类推，则2012a 的值为 ．【答】1006-12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°， BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝ ．【答】解：.如图，可以通过旋转变换将△ABE 绕点B 逆时针旋转90°，得到△CBF.证明出四边形BFDE 是正方形,且它的面积是8，则边长是或者过点B 作BF ⊥BE ，交DC 延长线于F. 证明△ABE ≌△CBF ，其余思路同上。
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013
解：由题设
an
2(n 1) n
an1
2(n 1) n
2n n 1 an2
2(n 1) n
2n n 1
23 2
a1
2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013
2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ． 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 ， 故 PO CH ， 又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．
第1~6届启智杯真题+答案
6．已知 a 1 1 1 23
1 ，b 1 2 4 5 7 8
672
369
2014 2015 ．求 a b 的值，写出计算过程． 2016
7．下图左边是一个 4 4 的正方形去掉六个1 1的小正方形后剩下的“十字”形图形，右边的六个图形也是有 1 1的小正方形拼成的图形，这些图形中，选择两块可以在平面上移动（可转动，但不翻动）拼成左边“十 字”形图形，请把所有可能选出两块的拼法画在“十字”形图形上，并标出拼图组件所对应的字母．
7．在一个孤岛上生活着三种怪物：奇虎、奇狮、奇豹，数量分别为 2010、2015、2020 个．这些怪物有一种 古怪的习性：它们任何两种怪物一旦见面，就双方都变成第三种怪物（比如，一个奇虎和一个奇狮见面，就 都变成奇豹），见一种怪物见面则不会产生变化．问，如此下去，它们是否有可能到某种时刻全部变成同一 种怪物？请说明理由．
10．右边乘法算式中，只有四个位置源自的数已知，它们分别是 2，0，1，5，请你在空白位置填上数字，使 得算式能够成立，写出所有可能成立的算式．
3
11．如下图，在正方形 ABCD 的四个顶点 A 、 B 、 C 、 D 上按照顺时针方向依次进行如下标注：首先在顶 点 A 、 B 上分别标注数 1、2，之后将 AB 两点的标注数之和（1+2=3）标注在下一个顶点 C 处，再将 BC 两 点的标注数之和（2+3=5）标注在下一个顶点 D 处．接下来再把 A 点的标注数 1 擦去，将 CD 两点的标注数 之和（3+5=8）标注在 A 点，如此下去，请问：对 A 点进行第 2015 次标注的数被 3 除的余数是多少？说明 你的依据．
2015 深圳市第 6 届“启智杯”数学思维竞赛题（A1 中年级组）
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2014年（第五届）启智杯数学思维及应用能力竞赛（初中组）试卷特别注意：（1）请把解答写在答题纸上，不要在本卷上答题。
（2）本试卷在考试结束时请考生带走。
（3）本卷共12题，每题10分，满分120分。
答题时间120分钟。
1、观察如下几个灯饰： （1）21853=+； （2）228975=++； （3）2381715131197=+++++；......你发现了什么规律？请据此规律写出第100个式子。
2、数“11125”具有这样的性质：它的各位数码之和等于它的各位数码之积。
求满足该性质的最小的六位数，写出答案和理由。
3、一个数列1a ,2a ,3a ,...,n a ,...,已知1a =8，之后的每一项有如下规律：n a 为奇数时，1+n a =5n a +1；n a 为偶数时，1+n a =n a21。
（1）求2014a 的值，（2）求1a +2a +3a +...+353a 的值。
写出答案和理由 4、已知正整数n 满足：201320111)1(111211......531142113111+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+n n n n ）（）（求正整数n 的值，写出答案和计算过程。
5、如右图所示，一个长方形ABCD 中嵌入三个大小相同的小正方形构成一个“品”字，如果AB=26mm ，BC=28mm ，问每个小正方形的面积是多少？6、如右图，正方形ABCD 的面积为1，延长BC 至E ，延长DC 至F ，如果矩形CEGF 面积为49，那么四边形BDEF 的面积最小为多少？7、如图所示，在△ABC 中，延长BC 至D ，ABC ∠与ACD ∠的角平分线相交于点1A ，BC A 1∠与CD A 1∠的角平分线相交于点2A ，......，以此类推，BC A 5∠与CD A 5∠的角平分线相交于点6A ，若︒=∠2A 6，求A ∠的度数。
8、如右图所示，在矩形ABCD 中，已知AD=2AB ，AF=5cm ，且DE ⊥AF ，E 为垂足，DE=3.6cm 。
你能求出图中哪些线段的长度？请写出求出线段的长度及解答过程。
9、如图所示的乘法竖式中，“我爱启智杯”分别代表0~9中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“我爱启智杯”代表的数字分别是多少？写出答案，并在各方框内填写正确的数字。
10、右图中ABCD和DEFG是两个不等的正方形，连接BG交DE于H，如果△BHE面积为10，问△DHF面积为多少？11、有2014颗旗子，甲乙二人做如下游戏：甲将旗子分为数目不等的两堆交给乙，乙将其中较少数目的一堆留下，另一堆再分为数目不等的两堆交给甲，如此往复进行下去。
在进程中，一旦谁将较少数目的一堆留下后，剩下的一堆旗子不能再按要求分为数目不等的两堆，则该人为负。
问：甲是否有必胜的策略？如果没有，请说明理由；如果有，请给出你的策略。
12、某班有50位同学，要推选班长，现在有三位候选人A、B、C，没人可以将三位候选人进行排序，如果有人认为A第一、B第二、C第三，我们记之为A＞B＞C（下同）。
民意测评的结果是：有15人认为A＞B＞C；有9人认为B＞C＞A；有9人认为A＞C＞B；有17人认为C＞B＞A；现在采用评分方式推选班长。
如果规定每个人给自己认为的第一、第二、第三名分别打3分、2分、1分，容易算出：A得98分，B得100分，C得102分，C当选。
请你分别设计两种不同的但却是合理的评分标准，分别让A当选，B当选。
给出你的方案，并算出各自的得分，指出当选人。
2014 年(第五届)启智杯数学思维及应用能力竞赛（初中组）参考答案与评分标准1．观察如下几个等式：……你发现了什么规律？请据此规律写出第100个式子。
解：第n个式子是2n个连续奇数之和被8除等于n的平方，其中开始的奇数为2n+1，结束的奇数为6n-1.—————————————————————————6分第100个式子为2.“11125”具有这样的性质：它的各位数码之和等于它的各位数码之积。
求满足该性质的最小的六位数。
写出答案和理由。
解答：依题意可知这六位数的数码都不是0，且因为所求满足该性质的最小六位数，故1的个数越多越好；————————————————————2分（1）若六位数的数码都是1，则各位数码之和等于6，但它的各位数码之积是 1.不合题意；————————————————————+1 = 3分（2）若六位数的数码中有5个都是1，另一个设为a，（其中2≤a≤9），则各位数码之和等于5+a，但它的各位数码之积是a，而5+a>a，不合题意；——+1= 4 分（3）若六位数的数码中有4个都是1，另2个设为a和b，（其中2≤a≤9，2≤b≤9 且a≥b），则各位数码之和等于4+a+b，但它的各位数码之积是ab，则4 +a+b=ab⇒(a-1)(b-1)=5 ⨯1，于是a-1 = 5 ，b-1 = 1。
即a=6,b=2。
——————————+3 =7分满足该性质且有4个的最小六位数是111162。
————————+1 = 8分（4）若六位数中有3个或3个以下的1，则其值都大于111162。
————+1 = 9分故满足该性质的最小六位数是111162。
————+1 = 10分3．一个数列a1、a2、a3,、a n,，已知a1=8，之后的每一项有如下规律：a n为奇数时，a n+1=5a n+1；a n为偶数时，a n+1=12 a n.（1）求a2014的值。
（2）求a1+a2+a3+ +a353的值。
写出答案和理由。
解：根据已知条件，数列是一个周期为7的数列，各项依次为：8,4,2,1,6,3,16，8,4,2,1,6,......——————————————————————————— 4 分（2）= 50 ⨯ (8 + 4 + 2 +1 + 6 + 3 +16) + 8 + 4 + 2=50 ⨯ 40 +14=2014———————+3 =10分4．已知正整数n满足：A B 5．如右图所示，一个长方形ABCD中嵌入三个大小相同的小正方形构成一个“品”字。
如果AB = 26mm，BC = 28mm，问每个小正 方形的面积是多少？【参考答案】DC解：（1）如图，从每个小正方形各顶点引垂直线或水平虚线，两条第 5 题图相交虚线和小正方形的一条边可以构成一个直角三角形，其中小正方形的一条边为斜边 c ，记该直角三角形的两个直角边分别为 a 和 b ，a >b , 则根据勾股定理，小正方形的面积为 c 2 = a 2 + b 2。
—————————-4 分AB = 3a + b = 26（2）从图中容易看出， BC = 2 a + 2b = 28 ，由此解出 a = 6，b =8，—-------— +4 = 8 分 因此小正方形的面积为 c 2= 62+82=100mm 2。
—-------— + 2 = 10 分A Bcc b a ccDC6． 如右图。
正方形 ABCD 面积为 1，延长 BC 至 E ，延长DC 至 F ，如果矩形 CEGF 面积为 49，那么四边形 BDEF的面积最小为多少？解：记正方形边长 AB = a ，长方形边长 CF = b ，CE = c 。
则a 2 =1, bc = 49, ———————————2 分四边形 BDEF 可以分割为四个三角形，其中 ∆ BCD 和 ∆ ECF A DBCEF G第 6 题面积分别是（定值），而 ∆ DCE 和 ∆ BCF 都是直角三角形，其面积之和 。
———————————— + 3 = 5 分问题转化为：当 bc = 49 时，何时使21(b + c ) 最小？ —————————— + 1 = 6 分由于两个正数和一定，两数相等时乘积最大，所以当两个正数乘积一定，两数相等时和最小，因此b = c =7 —————————— + 2 = 8 分所以四边形BDEF的最小面积为：1 + 49 + 1 (b+c) = 25 + 7 = 32———— + 2 = 10 分2 2 237．如图所示，在∆ABC中，延长BC至D，∠ABC与∠ACD的角平分线相交于点A1，∠A1 BC 与∠A`1CD 的角平分线相交于点A2，……,以此类推，∠A5BC与∠A`5CD 的角平分线相交于点A6，若∠A6=2︒，求∠A的度数。
解答：因为∠A11∠A 。
∠A21 ⎛ 1⎫2 1∠A2⎛ 1 ⎫ 3=2=2∠A1= ⎪ ∠A ，∠A3 =2= ⎪ ∠A ，……，⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭————————————————----------6分⎛ 1 ⎫ 6∠A ⇒∠A=64∠A6 = 128︒。
------------------ +4 = 10 分归纳出∠A6= ⎪⎝ 2 ⎭A1A A2A3B C D,8 ．如右图所示，在矩形ABCD中，已知AD=2AB， A DAF =5cm ，且DE⊥AF，E为垂足，DE =3.6 cm 。
你能求出图中哪些线段的长度，请写出所求线段的长度及解答过程。
答案：可以求出AB=CD=3cm； EBC =AD=2AB=6 cm ；BF =4cm ；FC =2 cm ；B F C24 1第8题AE =5cm ；EF=5；（每正确写出一个正确答案得1分，共6分）解答过程：连结DF，则S∆AFD= 1 AF ⨯ DE = 1 AD ⨯ AB,于是DE⨯AF=AB⨯AD。
2 2又AD=2AB，所以3.6⨯5=2AB2 ⇒ AB 2=9⇒ AB =3（cm ）。
AD=2AB=6（cm ）。
——————————————————————————————+ 2 = 8 分在直角∆ABF中，根据勾股定理得：BF2=AF2 -AB 2=52 - 32 = 42,BF=4cm，FC = BC - BF =6-4=2( cm ) -------------------------- +1 = 9 分在直角∆AED中，根据勾股定理得：2 2 2 2 ⎛18 ⎫ 2 62(52- 32) ⎛ 24 ⎫2 24AE = AD - ED = 6 - ⎪ = = ⎪ . AE= ,52 5⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭所以，EF=AF-AE=5- 24 = 1 （cm）。
（10分）--------------- +1 = 10 分5 59．如图所示的乘法竖式中，“我爱启智杯”分别代表 0～9 中的一个数字，相同的汉字代 表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字， 那么“我爱启智杯”代表的数字分别是多少？写出答案和分析过程。
9 解：根据最后一步的进位情况，说明“我⨯我爱启智杯 = 9☐☐☐☐”,因此“我=3”； -------- 2 分 根据“启⨯我爱启智杯 = 0”,因此“启=0”；—————————————— +2 =4 分根据第二步、第三步，“爱⨯我爱启智杯”、“智⨯ 我爱启智杯 ⨯我爱启智杯9第 9 题图我爱启智杯”均为五位数，因此“爱”“智”只能为 1、2、3，但由于“我=3”，所以“爱”“智”只能为 1、2。