角平分线练习题(答案)
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
角平分线模型对应练习(含答案)
角平分线模型对应练习1．如图，在ABC 中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于D 点，50A ∠=，则(D ∠= ) A ．1?5B ． 25C ． 30D ． 302．如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是△A 1BD 的角平分线CA 2是△A 1CD 的角平分线，BA 3是A 2BD△的角平分线，CA 3是△A 2CD 的角平分线，若△A 1=α，则△A 2013为（ ） A ．B ．C ．D ．3．如图，在∆ABC 中，∠A=80︒，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；……；∠A 7BC 与∠A 7CD 的平分线相交于点A 8，得∠A 8，则∠A 8的度数为（） A ．54B ．58C ．516D ．5324．如图，已知BD ，CD 分别是ABC ∠和ACE ∠的角平分线，若45A ∠=︒，则D ∠的度数是( ) A ．20 B ．22.5 C ．25 D ．305．已知，如图△ABC 中，△A=50°，BE 、CD 分别是△ABC 、△BCE 的角平分线，则△CDE=__°.6．如图，在△ABC 中，△ABC ，△ACB 的角平分线相交于O 点． 如果△A=α，那么△BOC 的度数为____________.7．如图，在△ABC 中，BO 、CO 分别平分△ABC 、△ACB ．若△BOC=110°，则△A=_____．8．如图，在△ABC 中，AI 和CI 分别平分△BAC 和△BCA ，如果△B=58°，那么△AIC=____________．9．如图，在△ABC 中，△B ＝42°，△ABC 的外角△DAC 和△ACF 的平分线交于点E ，则△AEC ＝____________．10．如图，在ABC 中，B ∠，C ∠的外角平分线相交于点O ，若74A ∠=，则O ∠=________度．11．如图，ABC 中，100A ∠=，BI 、CI 分别平分ABC ∠，ACB ∠，则BIC ∠=________，若BM 、CM 分别平分ABC ∠，ACB ∠的外角平分线，则M ∠=________．12．如图，ABC 中，30B ∠=︒，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠的度数为________．13．已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”． 在图2中，△DAB 和△BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．若△DAO=50°，△OCB=40°，△P=35°，△D = _________参考答案1．B【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到△D＝12△A.【详解】解：△△ABC的平分线与△ACB的外角平分线相交于D点，△1＝12△ACE，△2＝12△ABC，又△D＝△1－△2，△A＝△ACE－△ABC，△△D＝12△A＝25°.故选B【点睛】此题综合考查了三角形的外角的性质以及角平分线定义，熟练掌握这些知识是解答此题的关键.2．D【详解】试题分析：根据角平分线的定义可得△A1BC=△ABC，△A1CD=△ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得△ACD=△A+△ABC，△A1CD=△A1BC+△A1，整理即可得解，同理求出△A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．解：△A1B是△ABC的平分线，A1C是△ACD的平分线，△△A1BC=△ABC，△A1CD=△ACD，又△△ACD=△A+△ABC，△A1CD=△A1BC+△A1，△（△A+△ABC）=△ABC+△A1，△△A1=△A，△△A1=α．同理理可得△A2=△A1=α则△A 2013=．故选D ．点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 3．C 【详解】△△ABC 与△ACD 的平分线交于点A 1， △△A 1BC=12△ABC ，△A 1CD=12△ACD ， 由三角形的外角性质，△ACD=△A+△ABC ， △A 1CD=△A 1+△A 1BC ，△12（△A+△ABC ）=△A 1+△A 1BC=△A 1+12△ABC ， 整理得，△A 1=12△A=12×80°=40°，同理可得△A 2=12△A 1=12×40°=20°；……其规律为：△A n =（12）n △A=(802n )o ． 当n=8时，∠A 8=（12）3△A=(8802)o ＝（516）o .故选C. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与定义并求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 4．B 【分析】由外角关系与角平分线定义得2321A ∠=∠+∠和31D ∠=∠+∠可推出2A D ∠=∠即可． 【详解】解：1∠，2∠，3∠，4∠如图所示，△BD 是ABC ∠的角平分线， △12∠=∠，△CD 是ACE ∠的角平分线， △ 34∠=∠，△ 3412A ∠+∠=∠+∠+∠，31D ∠=∠+∠， △ 2321A ∠=∠+∠，23212D ∠=∠+∠， △ 2A D ∠=∠， △ 45A ∠=， △ 14522.52D ∠=⨯=． 故选择：B ． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握角平分线的定义，三角形的外角的性质，会利用外角构造等式解决问题是关键． 5．65 【解析】试题分析：根据三角形内角和定理可得：△ABC+△ACB=180°-50°=130°，根据角平分线的性质可得：△DBC+△DCB=130°÷2=65°，则根据三角形的外角的性质可得：△CDE=△DBC+△DCB=65°． 6．90°+12α 【解析】△△ABC 、△ACB 的角平分线相交于点O ，△△OBC=12△ABC ，△OCB=12△ACB ， △△OBC+△OCB=12(△ABC+△ACB)=12(180°-△A)=90°-12△A ，△在△OBC 中，△BOC=180°-△OBC -△OCB ，△△BOC=180°-（90°-12△A）=90°+12△A=90°+12.7．40°【分析】先根据角平分线的定义得到△OBC=12△ABC，△OCB=12△ACB，再根据三角形内角和定理得△BOC+△OBC+△OCB=180°，则△BOC=180°﹣12（△ABC+△ACB），由于△ABC+△ACB=180°﹣△A，所以△BOC=90°+12△A，然后把△BOC=110°代入计算可得到△A的度数．【详解】解：△BO、CO分别平分△ABC、△ACB，△△OBC=12△ABC，△OCB=12△ACB，而△BOC+△OBC+△OCB=180°，△△BOC=180°﹣（△OBC+△OCB）=180°﹣12（△ABC+△ACB），△△A+△ABC+△ACB=180°，△△ABC+△ACB=180°﹣△A，△△BOC=180°﹣12（180°﹣△A）=90°+12△A，而△BOC=110°，△90°+12△A=110°△△A=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．8．119°【详解】试题分析：根据△B=58°以及△ABC的内角和定理可得△BAC+△BCA=180°－58°=122°，根据角平分线的性质可得：△IAC+△ICA=122°÷2=61°，则根据△IAC的内角和定理可得：△AIC=180°－61°=119°.考点：(1)、角平分线的性质；(2)、三角形内角和定理9．69°．【解析】试题分析：△AEC＝180°-△EAC-△ECA，因为△ABC的外角△DAC和△ACF的平分线交于点E，所以△EAC=12△DAC，△ECA=12△ACF，所以△AEC＝180°-12△DAC-12△ACF=12（360°-△DAC-△ACF）=12（180°-△DAC+180°-△ACF）=12（△BAC+△ACB）=12(180°-△B)=69°.10．53【解析】【分析】根据三角形的内角和定理，得△ACB+△ABC=180°-74°=106°；再根据邻补角的定义，得两个角的邻补角的和是360°-106°=254°；再根据角平分线的定义，得△OCB+△OBC=127°；最后根据三角形的内角和定理，得△O=53°．【详解】解：△△A=74°，△△ACB+△ABC=180°-74°=106°，△△BOC=180°-12（360°-106°）=180°-127°=53°．故答案为53【点睛】此题综合运用了三角形的内角和定理以及角平分线定义．注意此题中可以总结结论：三角形的相邻两个外角的角平分线所成的锐角等于90°减去第三个内角的一半，即△BOC=90°-1 2△A．11．14040【解析】【分析】首先根据三角形内角和求出△ABC+△ACB的度数，再根据角平分线的性质得到△IBC=1 2△ABC，△ICB=12△ACB，求出△IBC+△ICB的度数，再次根据三角形内角和求出△I的度数即可；根据△ABC +△ACB 的度数，算出△DBC +△ECB 的度数，然后再利用角平分线的性质得到△1=12△DBC ，△2=12ECB ，可得到△1+△2的度数，最后再利用三角形内角和定理计算出△M 的度数． 【详解】 △△A =100°．△△ABC +△ACB =180°﹣100°=80°． △BI 、CI 分别平分△ABC ，△ACB ，△△IBC =12△ABC ，△ICB =12△ACB ，△△IBC +△ICB =12△ABC +12△ACB =12（△ABC +△ACB ）=12×80°=40°，△△I =180°﹣（△IBC +△ICB ）=180°﹣40°=140°；△△ABC +△ACB =80°，△△DBC +△ECB =180°﹣△ABC +180°﹣△ACB =360°﹣（△ABC +△ACB ）=360°﹣80°=280°．△BM 、CM 分别平分△ABC ，△ACB 的外角平分线，△△1=12△DBC ，△2=12ECB ，△△1+△2=12×280°=140°，△△M =180°﹣△1﹣△2=40°． 故答案为：140°；40°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，以及角平分线的性质，关键是根据三角形内角和定理计算出△ABC +△ACB 的度数． 12．75︒ 【分析】本题先通过三角形内角和求解△BAC 与△BCA 的和，继而利用邻补角以及角分线定义求解△EAC 与△ECA 的和，最后利用三角形内角和求解此题． 【详解】 △30B ∠=︒，△+150BAC BCA ∠∠=︒，又△180BAC DAC ︒∠=-∠，=180BCA FCA ∠-∠︒， △210DAC FCA ∠+∠=︒．△三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ， △12EAC DAC ∠=∠，12ECA ACF ∠=∠， △+105EAC ECA ∠∠=︒， 即18010575AEC ∠=︒-︒=︒． 故填：75︒． 【点睛】本题考查三角形内角和公式以及角分线和邻补角的定义，难度较低，按照对应考点定义求解即可． 13．30° 【解析】△△DAB 和△BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，△DAO=50°，△OCB=40°， △△DAP=△PAB=25°，△DCP=△PCB=20°，在△DAM 和△PCM 中，根据三角形的内角和定理可得△DAM+△D=△DCP+△P ，即可求得△D=30°.点睛：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．。
角平分线同步试题(含答案)
FE O DC ABTQPNMOED CBAFEDC B A 角平分线同步试题 (含答案)一、选择题1．三角形中，到三边距离相等的点是（ ）（A ）三条高线交点． （B ）三条中线交点． （C ）三条角平分线交点． （D ）三边垂直平分线交点．2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△NMP 的角平分线，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列结论中，不正确的是（ ）（A ）TQ ＝PQ ． （B ）∠MQT ＝∠MQP ．（C ）∠QTN ＝90o． （D ）∠NQT ＝∠MQT ．（第2题） （第3题） （第4题）3．如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，则①△ABD ≌△ACE ；②△BOE ≌△COD ；③O 在∠BAC 的平分线上，以上结论（ ）（A ）都正确． （B ）都不正确． （C ）只有一个正确． （D ）只有一个不正确． 4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC ＝60o，则∠A 的度数是（ ） （A ）10o． （B ）20o． （C ）30o． （D ）40o． 5．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（ ） （A ）直角三角形． （B ）等腰三角形． （C ）等边三角形． （D ）等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ） （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．7．已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，BE 、CF 相交于D ，∠A ＝50o，则∠BDC 的度数是（ ） （第6题）（A ）70o． （B ）120o． （C ）115o． （D ）130o．8．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC 和BC 的距离分别等于（ ）（A ）2cm 、2cm 、2cm ． （B ）3cm 、3cm 、3cm ． （C ）4cm 、4cm 、4cm ． （D ）2cm 、3cm 、5cm ．（第7题） （第8题）二、填空题DCBAMFE DCBAB 1CB A 1AB CD EFG 流河路公北M 区CB A MDCB A PQCBAO PQCBA9．到一个角的两边距离相等的点在 ．10．一个三角形三边长为3，a ，7，若它的周长是4的倍数，则a ＝ ． 11．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于 ．12．如图，△APQ 为等边三角形，且∠B ＝∠BAP ＝∠QAC ＝∠C ，则∠BAC ＝ ． （第12题） （第13题） （第14题）13．如图，△ABC ≌△A 1B 1C 1，且∠A ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶3∶5，则∠BCA 与∠B 1A 1C 的比等于 ．14．如图，已知BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB ＝DC ，∠BAC ＝40o，∠ADG ＝130o，则∠DGF＝ ．15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90o，AM 是∠CAB 的平分线，CM ＝20cm ，那么M 到AB 的距离为 ．（第15题） （第16题） 16．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ． 三、解答题17．如图，∠AOB 是直角，OP 平分∠AOB ，OQ 平分∠AOC ，∠POQ ＝70o，求∠AOC 的度数．18．如图，∠B ＝∠C ＝90o，M 是BC 上一点，且∠AMD ＝90o，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB ．19．如图，BD ＝CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB ．求证：D 在∠BAC 的角平分线上． M CB AFED BAON MP CBA ABCDEPFECB AF E DCBA20．如图，P 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线AF 上的任意一点，求证：△ABC 的周长小于△PBC 的周长．21．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足，求证：D 在∠BAC 的角平分线上．22．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o，AC ＝BC ,AD 为∠BAC 的平分线，AE ＝BC ，DE ⊥AB垂足为E ，求证△DBE 的周长等于AB ．23．如图，已知PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA ＝PB ．∠MON ＝50o，∠OPC ＝30o，求∠PCA 的大小．NM DC BAAD NPM 24．如图，AE 平分∠BAC ，BD ＝DC ，DE ⊥BC ，EM ⊥AB ，EN ⊥AC ．求证：BM ＝CN ．25．已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线，它们交于P ，PD ⊥BM于M ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．C 8．A 二、填空题9．这个角的角平分线上 10．6 11．45o12．120o13．5：1 14．150o15．20cm 16．∠BAC 的平分线上且距A 点1cm 处，角的平分线上的点到角两边的距离相等 三、解答题17．50o． 18．∵∠B ＝∠C ＝90o，∴∠ADC ＋∠DAB ＝180o，又∵∠AMD ＝90o，∴∠ADM ＋∠DAM ＝90o，∠CDM ＋∠MAB ＝90o，∵∠CDM ＝∠ADM ，∴∠DAM ＝∠MAB ． 19．△BDE ≌△CDF ，DE ＝DF ，即D 在∠BAC 的角平分线上． 20．在AE 上截取AD ＝AC ． 21．△BDE ≌△CDF ． 22．Rt △ADC ≌Rt △ADE ，周长＝BE ＋ED ＋DB ＝BE ＋CD ＋DB ＝BE ＋BC ＝BE ＋AE ＝AB ． 23．55o ． 24．连结BE 、CE ，证△BME ≌△CNE ． 25．作PE ⊥AC 于E ．。
角平分线的性质和判定(人教版)(含答案)
答案：C
解题思路：
解：如图，
连接AP，
在Rt△APR和Rt△APS中，
,
∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)
∴∠1=∠2，AR=AS，
∵AQ=PQ
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴PQ∥AR
故①，②正确，③不确定，综上，选C
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定
10.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P.若∠BPC=40°,则∠CAP等于( )
A.40° B.45°
C.50° D.60°
答案：C
解题思路：
1．思路点拨
①见到两条角平分线相交，考虑角平分线的性质，过点P分别向角的两边作垂线，垂线段相等．
②借助常见结构：找到∠BPC和∠BAC的关系，求出∠BAC的度数．
③借助三角形的内角和定理和平角解决问题．
2．解题过程
解：如图，
过点P分别向BC，AC，BA边所在直线作垂线，垂足分别为点E，F，G，
3.如图,已知点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于( )
A.110° B.120°
C.130° D.140°
答案：A
解题思路：
①由点O到△ABC三边的距离相等，可知点O是△ABC三个角的角平分线；
②设 ，
分别在△ABC和△BOC中利用三角形内角和定理，
答案：C
解题思路：
（1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到DE=DC，
∴①正确；
（2）角平分线可以看成一个角的对称轴，对称轴两侧的图形全等，即△ADC≌△ADE，
角的平分线的性质同步练习含答案解析
角的平分线的性质同步练习含答案解析一、填空题1．如图，∠B=∠D=90゜，依照角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2，则______=______．（2）若∠3=∠4，则______=______．2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD =36，则S△BCD=______．3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC．则S△ABD ：S△ACD=______．二、选择题5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC 长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S=90，AB=18，BC=12，求DE的长．△ABC13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图，∠B=∠D=90゜，依照角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2，则BC = DC ．（2）若∠3=∠4，则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）依照角平分线性质推出即可；（2）依照角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°，∴AB⊥BC，AD⊥DC，∵∠1=∠2，∴BC=CD，故答案为：BC，DC．（2）∵AB⊥BC，AD⊥DC，∵∠3=∠4，∴AB=AD，故答案为：AB，AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD =36，则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】第一依照△ABD的面积运算出DE的长，再依照角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，然后运算出DF的长，再利用三角形的面积公式运算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36，∴•AB•ED=36，×12×ED=36，解得：DE=6，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∴DE=DF，∴DF=6，∵BC=15，∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45，故答案为：45．【点评】此题要紧考查了角平分线的性质，关键是把握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O 作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，∵O 是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF ，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题要紧考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线专门关键．4．如图，AD 是△ABC 的角平分线，若AB=2AC ．则S △ABD ：S △ACD = 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，依照角平分线性质得出DM=DN ，依照三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DM=DN ，∴S △ABD ：S △ACD =（AB ×DN ）：（AC ×DM ）=AB ：AC=2AC ：AC=2，故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直截了当依照角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】依照角平分线的性质得出CD长，代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=DC=1.5cm，∵BD=3cm，∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm，故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC 长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E，依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，然后求出BD的长，再依照BC=BD+DE代入数据进行运算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵点D到AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，∴DC=DE=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=×3=9，∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．8．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】依照三角形的角平分线相交于一点，连接AO，则AO平分∠BAC，然后依照角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，依照三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判定出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）依照角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等，再依照全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】依照“SSS”可得到△ABC≌△ADC，则∠BCA=∠DCA，再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】依照角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS），然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND，最后依照全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），BD=BD（公共边），∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边），∴△PMD≌△PND（AAS），∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S=90，AB=18，BC=12，求DE的长．△ABC【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F，依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后依照三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，=AB•DE+BC•DF=90，∴S△ABC即×18•DE+×12•DE=90，解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）依照角平分线性质得出OR=OQ=OP，依照勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，∴AR=AQ，同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，则x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵O在∠A的平分线，∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。
三角形中线高角平分线的30题（有答案）ok
题（有答案）三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．（1）试说明∠BCD=∠ECD；（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，中线，的度数；（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；边上的高；（2）在△BED中作BD边上的高；边的距离为多少？（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，的长．求AB和AC的长．4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求的大小．∠B的大小．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．的大小．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．是否相等？若相等，请说明理由．6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．的度数．7．在△ABC中．中．（如图）（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= _________°，再用你已学过的数学知识加以说明．，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=_________°．8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．的交点．的度数．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．的高；（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．的长．10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．的度数．11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．的平分线．（1）求∠DAE的度数；的度数；是哪几个三角形的高．（2）指出AD是哪几个三角形的高．12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，的度数．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线为角平分线的度数；（1）求∠EAD的度数；的关系并说明理由．（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．14．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．的度数．15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，的角平分线，的度数．（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．的代数式表示）（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．的度数．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．18．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？确吗？为什么？19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．长．20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．40°60°90°120°∠BAC的度数的度数∠BIC的度数∠BDI的度数21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA 的度数．的度数．22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：是高，填空：（1）BE=_________=_________（2）∠BAD=__________________（3）∠AFB=_________=90°（4）S△ABC=_________S△ABE．23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长是差是多少？的周长是差是多少？24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．的长．25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？的边长的差吗？26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．，请说明理由．27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．的角平分线，对吗？说明理由．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，的长．求AC的长．29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．的长．30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．的周长的差．参考答案：1．（1）∵∠B=70°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠BCD=90°﹣70°=20°，在△ABC 中，∵∠A=30°，∠B=70°， ∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°， ∵CE 平分∠ACB ， ∴∠BCE=∠ACB=40°，∴∠ECD=∠BCE ﹣∠BCD=40°﹣20°=20°， ∴∠BCD=∠ECD ；（2）∵CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 于F ， ∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°， ∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，所以，与∠B 相等的角有：∠CED 和∠CDF ． 2．（1）∵∠BED 是△ABE 的一个外角，的一个外角， ∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF 即是△BED 中BD 边上的高．边上的高． （3）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为三角形ABD 中线， ∴S △BED =S △ABC =×60=15； ∵BD=5，∴EF=2S △BED ÷BD=2×15÷5=6， 即点E 到BC 边的距离为6．3．∵AD 是BC 边上的中线，边上的中线， ∴BD=CD ，∴△ABD 的周长﹣△ADC 的周长=（AB+AD+BD ）﹣（AC+AD+CD ）=AB ﹣AC=4，（2分）分） 即AB ﹣AC=4①， 又AB+AC=14②， ①+②得．2AB=18， 解得AB=9，②﹣①得，2AC=10， 解得AC=5，∴AB 和AC 的长分别为：AB=9，AC=5． 4．∵DE 是CA 边上的高，边上的高， ∴∠DEA=∠DEC=90°， ∵∠A=20°，∴∠EDA=90°﹣20°=70°， ∵∠EDA=∠CDB ，∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°，在Rt △CDE 中，∠DCE=90°﹣40°=50°， ∵CD 是∠BCA 的平分线，的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°，在△ABC 中，∠B=180°﹣∠BCA ﹣∠A=180°﹣100°﹣20°=60°．故答案为：60 5．（1）∵∠B=30°，∠C=70° ∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=80° ∵AE 是角平分线，是角平分线， ∴∠EAC=∠BAC=40°∵AD 是高，∠C=70° ∴∠DAC=90°﹣∠C=20°∴∠EAD=∠EAC ﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC ﹣∠DAC=∠BAC ﹣（90°﹣∠C ）①把∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C 代入①，整理得，整理得 ∠EAD=∠C ﹣∠B ，∴2∠EAD=∠C ﹣∠B ．6．∵AD 是高，∠C=60°，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°； ∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°， ∵AE 是角平分线，是角平分线， ∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAE ﹣∠CAD=50°﹣30°=20°． 7．（1）∵BD 、CE 分别是边AC ，AB 上的高，上的高， ∴∠ADB=∠BEC=90°， 又∵∠BAC=60°，∴∠ABD=180°﹣∠ADB ﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°； （2）如图所示：）如图所示：∠BAC+∠BOC=180°；理由如下：∵BD 、CE 分别是边AC ，AB 上的高，上的高， ∴∠ADB=∠BEC=90°，∵∠ABD=180°﹣∠ADB ﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠BAD=90°﹣∠BAD ，∠O=180°﹣∠BEO ﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣（90°﹣∠BAD ）=∠BAD ， ∵∠BAC=180°﹣∠DAB ， ∴∠BAC=180°﹣∠O ， ∴∠BAC+∠O=180°； （3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．8．∵BE是AC上的高，上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°，∵CF是AB上的高，上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°，∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°，∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．9．（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B ∴∠B+∠BCD=90°∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；的高；（2）∵∠ACB=∠CDB=90°∴S△ABC=AC •BC=AB•CD，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴CD===10.∵∠B=26°，∠ACD=56°∴∠BAC=30°∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=15°∴∠AED=∠B+∠BAE=41°11．（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的平分线，的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高．的高．12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．13．（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，又∵AE为角平分线，为角平分线，∴∠EAB=∠BAC=50°，在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）∠BAD=90°﹣∠B，则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B ）=（∠B﹣∠C）．14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°15．（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°16．∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°，∵AD为∠BAC的角平分线，的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°，在△ABD 中，∠ADB=180°﹣∠BAD ﹣∠B=82.5°， 则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°． 17．∵∠ACB=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠2+∠4=90°，又∵BE 平分∠ABC ， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∵∠4=∠5， ∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．18．（1）在△ABC 中，∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°； ∵AD 是角平分线，是角平分线， ∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC 中，∠ADC=180°﹣∠C ﹣∠DAC=75°； 在△ADE 中，∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=15°． （2）∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=180°﹣∠ADC ﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠DAC ）=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠BAC ）=90°﹣[180°﹣∠C ﹣（180°﹣∠B ﹣∠C ）]=（∠C ﹣∠B ）． （3）（2）中的结论仍正确．）中的结论仍正确．∠A ʹDE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B ﹣∠C ）=90°+∠B ﹣∠C ；在△DA ʹE 中，∠DA ʹE=180°﹣∠A ʹED ﹣∠A ʹDE=180°﹣90°﹣（90°+∠B ﹣∠C ）=（∠C ﹣∠B ）． 19．∵AB=6cm ，AD=5cm ，△ABD 周长为15cm ， ∴BD=15﹣6﹣5=4cm ， ∵AD 是BC 边上的中线，边上的中线， ∴BC=8cm ，∵△ABC 的周长为21cm ， ∴AC=21﹣6﹣8=7cm ． 故AC 长为7cm ． 20．（1）填写表格如下：）填写表格如下：∠BAC 的度数40° 60° 90°120° ∠BIC 的度数的度数 110°120°135°150°∠BDI 的度数110° 120° 135°（2）∠BIC=∠BDI ，理由如下：，理由如下：∵△ABC 的三条内角平分线相交于点I ， ∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB ） =180°﹣（∠ABC+∠ACB ） =180°﹣（180°﹣∠BAC ） =90+∠BAC ； ∵AI 平分∠BAC ， ∴∠DAI=∠DAE ． ∵DE ⊥AI 于I ， ∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC ． ∴∠BIC=∠BDI ．21．∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°， 又∵AD 是高，是高， ∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°， ∵AE 、BF 是角平分线，是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°， ∴∠DAE=∠DAC ﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°， ∴∠DAC=30°，∠BOA=120°． 故∠DAE=5°，∠BOA=120°． 22．（1）∵AE 是中线，是中线， ∴BE=CE=BC ， （2）∵AD 是角平分线，是角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC ， （3）∵AF 是高，是高，∴∠AFB=∠AFC=90°，（4）S △ABC =，S △ABE =，∵BC=2BE，∴S△ABC=2S△ABE，故答案为CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，2 23．∵BM是△ABC的中线，的中线，∴MA=MC，∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM =AB﹣BC=5﹣3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．24．方法1：由题意知：AB+AC+BC=34，AB+AD+BD=30，∵AB=AC，BD=BC，∴②×2得：2AB+2AD+BC=60③，③﹣①得：2AD=26，∴AD=13cm．方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，∴BD=BC，AB=（AB+AC），∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm （周长的一半）．∵AB+BD+AD=30cm，AD=30﹣17=13cm．25．能．．能．由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，边上的中线，所以BD=CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．即AC与AB的边长的差为5 26．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，∵AC=AB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．27．错误．．错误．因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线．的平分线．28．∵AD是BC边上的中线，边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，的中线， ∴BD=CD=2DE=4cm，∴BE=BD+DE=6cm，∴BC=2BD=8cm．30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，边上的中线，∴BD=DC=BC，∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）=AB﹣AC=1．。
《角平分线的性质》拓展练习(含答案)
《角平分线的性质》拓展练习(含答案)
1.（中）已知点A （m 2－5，2m +3）在第三象限角平分线上，则m =（ ）
A ．4
B ．－2
C ．4或－2
D ．－1
2.（中）在直角△ABC 中，∠B =30°，∠CAE =∠BAE ，ED ⊥AB 于D ，则下列结论⑴AC =AD ；⑵AE =BE ；⑶AD =BD ；⑷CE =DE 其中正确的有( )
A
C B
E D
A ．⑴⑵⑶⑷
B ．⑴⑵⑷
C ．⑵⑶⑷
D ．⑴⑵⑶
3.（中）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，BC 上，且BF =CE ，连结BE 、AF 相交于点G ，则下列结论：(1)BE =AF (2)∠DAF =∠BEC (3)∠AFB +∠BEC =90 (4)AG ⊥BE ，正确的个数是( )
G
E
F C B
A
《
A ．1
B ．2 D ．4 4.（中）如图，已知△AB
C ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA=PB ．下列确定P 点的方法正确的是( )
A ．P 为∠A 、∠
B 两角平分线的交点；
B ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点；
C ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点；
D ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点；
参考答案：
1．B 2．A 3．C 4．B。
角的平分线的性质练习题及答案精选
同步习题及讲解一、选择题．1．如图6，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）．A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC>AD2．如图7：△ABC中，∠C=90°，E是AB中点，D在∠B的平分线上，DE⊥AB，则（）． A．BC>AE B．BC=AE C．BC<AE D．以上全不对3．下列命题正确的是（）．A．三角形的一个外角等于两个内角和 B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有两边对应相等的两个直角三角形全等二、证明题．4．如图，AD是∠BAC的角的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那么EB与EC•的关系是怎样的呢？请证明你的结论．5．如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于F，那么点F是否在∠DAE的平分线上？请证明你的结论．三、探索题:6．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角的平分线，探索：在AB上是否存在点E，DE•不与AB垂直，而△BDE之周长等于AB的长．若点E存在，请你出证明；若点E不存在，请说明理由．四、聚焦中考:7．下面是一个正确的命题：在下图中，如果BD⊥AC，CE⊥AB，CE与BD相交于点O，并且BO=CO，那么∠1=∠2，如果把上面的命题中的“BO=CO”改为结论，把“∠1=∠2”移入条件，所得到的命题是正确的命题，还是不正确的命题？请给出证明：如果是不正确的命题，则举出反例．答案:一、1．B 2．B 3．D二、4．提示：∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠DBA=∠DCA，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，BD=DC，又∵DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴BE=EC5.过F作FM⊥AD于M，作FN⊥AE于N，作FP⊥BC于P，∵BF是∠DBC平分线，•∴FM=FP，同理FN=FP，∴FM=FN，∴F在∠DAE平分线上．三、6.不存在，作DH⊥AB于H，设点F在AB上，且AF=BD，点E是HB上任一点，有FE=FH+HE，又可证得DH=DC，△BDE的周长等于AB的长，由三角形三边关系得FE=•EH+•DH>DE，所以“周长”BD+DE+EB<EB+AF+DH+HE=AB，同样可证：AH•上任一点也不满足题目要求．四、7．是正确命题，可先用“AAS”证△AOE≌△AOD，再证△DEG≌△DFH．。
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巩固练习
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）
A. 4
B.
6 C.
8 D. 10
2. 到三角形三边距离相等的点是（）
A. 三条高的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 不能确定
3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 二处
C. 三
处 D. 四处
第3题图第4题图第5题图
4.如图，AB∥CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则∠P=
5、如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于
6、BD是∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥AB于点E，AB=36，BC=24，
S△ABC=144则DE=
7、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC=CD，求证∠B+∠D＝180°
8. （上一题变式）如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC 上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．求证：DE＝DF；
9．如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
10．如图，已知在△ABC中，∠B=600,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，
求证：AE+CD=AC．。