北京科技大学,北科,随机过程大作业—马氏链在市场占有率预测和促销决策中的应用_苏维
—马氏链的应用-随机过程论文
随机过程论文——马氏链的应用学院：东凌经济管理学院班级：金融0902班姓名:一、文献综述马氏链在日常生活诸多领域中有着广泛的应用0我引用了五篇文献，分别是刘家军的马氏链在无赔款优待模型中的应用；廖捷、陈功的叠加马尔科夫链模型在高原年降水量预测中的应用；郭小溪的借助于马尔柯夫链的无后效性性质，预测2000~ 2005年6年的8项支出量；吴加荣、谢明铎、何穗的一类马氏链的数据仿真与应用；肖定文、黄崇起的用马尔柯夫过程预测股市短期或中长期走势。
刘家军在2009年介绍了马氏链在无赔款优待模型中的应用，利用mat lab7. 0计算在未来几年中索赔事件发生的强度分布与被保险人所处折扣等级的分布以及两者的极限分布，并依此计算纯保费。
降水量的预测是气象学中一项重要的研究工作。
由于气象系统的复杂性、多样性，使得降水过程具有不确定性、较难精确预测的特点。
廖捷、陈功2010年引入了叠加马尔科夫链模型，以位于川西高原的小金站1961-2010年的全年降水量资料为例，探讨了叠加马尔科夫链模型在高原年降水量预测中的应用。
廖捷、陈功利用均值-均方差分级法对年降水量进行分级，并由此将小金站各年的全年降水量划分为5 个状态。
根据各年降水量的状态，可统计得到不同步长的概率转移矩阵。
在进行降水量的叠加预测时，主要考虑利用步长为1~4的概率转移矩阵进行计算。
首先利用1961〜2000长度为40年的降水量序列预测了2001年的降水量，之后去掉1961年降水量值，加入2001年实际观测降水量值，保持序列长度不变，预测2002年的降水量。
以此类推，利用叠加马尔科夫链模型预测了小金站200N2010共十年的降水量，并与该站实际观测降水量进行了对比。
2006年郭小溪利用长春市居民1998、1999连续两年的收、支数量变化，借助于马尔柯夫链的无后效性性质，建立居民消费性支出结构的概率转移矩阵，进而预测出自2000年至2005年6年的8项支出值；进一步分析居民消费性支出变化的基本规律和受控因素，并与经济发展条件一起探讨发展经济的人文环境影响作用。
马氏链模型在金融风险评估中的应用研究
马氏链模型在金融风险评估中的应用研究在金融领域，风险的评估是一项非常重要的工作。
如何准确地评估各种金融产品的风险程度，是各家金融机构与投资者必须研究的重要问题。
在金融风险评估中，马氏链模型成为了一种非常有效的分析工具，能够帮助我们理解和量化各种金融事件的概率和风险程度。
一、马氏链模型的原理马氏链模型是一种描述随机过程的数学工具，它基于概率转移矩阵，用于描述系统在不同状态之间的转移概率，并可以通过数学推导来预测未来发展趋势。
在金融领域，这种模型可以用来分析各种金融事件的发生概率，帮助投资者和金融机构评估风险程度。
二、金融风险评估中的应用在金融风险评估中，马氏链模型可以用来分析各种金融产品的风险程度。
比如，对于股票基金、债券基金、货币基金等金融产品，我们可以利用马氏链模型来评估未来一段时间内它们的收益率和风险程度。
对于股票基金，我们可以使用马氏链模型来分析其在不同的市场环境下的表现，比如在经济繁荣时期、危机时期、通货膨胀时期等。
在分析中，我们可以把市场环境看成是该模型的状态，根据历史数据来计算在每个市场环境下不同收益率之间的转移概率，从而预测股票基金在未来各种市场环境下的表现。
对于债券基金，我们可以利用马氏链模型来预测未来的市场利率变化。
一般来讲，债券基金的收益率和市场利率呈现负相关关系，因此我们可以通过分析市场利率的变化来预测债券基金的收益率。
在模型的分析中，我们可以将不同利率水平看作状态，然后利用历史数据来计算不同利率之间的转移概率，从而预测未来利率的变化趋势。
对于货币基金，我们可以使用马氏链模型来分析利率的变化对其收益率的影响。
与债券基金一样，货币基金的收益率也与市场利率呈现负相关关系。
我们可以将市场利率的变化看作模型的状态，然后通过分析历史数据来计算不同利率之间的转移概率，进而预测未来利率的变化趋势及其对货币基金收益率的影响。
三、马氏链模型的优势在金融风险评估中，马氏链模型具有很多优势。
首先，该模型能够将金融事件抽象成不同的状态，通过数学建模的方式，准确地估计各种状态之间的转移概率，从而得出未来的趋势和风险。
管理预测7.2 马尔可夫链
7.1 随机过程的基本概念与基本类型 7.2 马尔可夫链 7.3 马尔可夫预测方法应用示例 7.4 马尔可夫决策方法
7.2.1 马尔可夫链基本概念
有一类随机过程，它具备所谓的“无后效性” （即马尔可夫性），即要确定过程将来的状态， 知道它此刻的情况就足够了，并不需要对它以 往状况的认识，这类过程称为马尔可夫过程。
t
移意味着在第t周的照相机需求量为3或者更多，因为该周初有3台
照相机被增加到正在被消耗的库存中，而本周期末存货数为0。所
以有：P00 PYt 3，这正好是参数为的Poisson分布变量取值3或
大于3的概率，它可以通过Poisson分布表求出 P00 0.080
同样P10 P xt 0 xt1 1 。这一公式的含义是：因为 xt1 1
2
5
6
1 3
4
此马尔可夫链转移矩阵是： 0 1 2 1 2 0 0 0
1 2 0 1 2 0
0
0
1 4 1 4 0 1 4 1 4 0
P
0
0
1
0
0
0
0 0 1 2 0 0 1 2
0 0 0 0 1 0
例7－7 （定货问题）（不讲）
考虑定货问题，设某商店使用定货策略，每天早上检 查某商品的剩余量设为x，则定购额为
n
S
n n
若 若
S
n
S
n
则 X n , n 1 是马尔可夫链。其转移概率矩阵求解的推
导过程如下：
已知 X X YY XX ， n1
市场占有率预测——基于马尔可夫链的研究
市场占有率预测——基于马尔可夫链的研究当前，国内家用电器市场已经进入成熟阶段，国际品牌与国内的各路诸侯杀的不可开交,市场竞争已经趋于白热化。
企业想在市场中站稳脚跟就必须运用科学方法，为提高产品市场占有率做出准确预测并做出相关决策。
利用马尔可夫决策可以有效的对市场占有率做出预测。
一、分析预测过程为了便于说明，本文以冰箱为例进行说明。
我们建立假设如下：使用一阶马尔可夫模型；转移概率矩阵逐期保持不变；销售总额大小逐期保持不变；用户按规定时间购货，且每次购货数量相等。
1.确定系统状态及系统状态的初始分布对一个企业来说，不仅要预测本企业产品市场占有率，同时还应了解竞争对手的变化态势。
下面是某冰箱生产厂家昆明分公司提供2005年1月昆明市区各品牌冰箱市场占有率的调查数据：海尔市场占有率31%，西门子20%，伊莱克斯14%，容声10%，新飞8%，美菱7%，荣事达5%，TCL1%，三星1%，松下1%，其他2%。
根据马尔可夫的基本原理与方法，把系统分为海尔、西门子和其他品牌3个状态。
得到3个系统状态在2005年1月份的市场占有率分别为:海尔31%；西门子20%；其他品牌49%。
若以2005年1月份为基期来预测2005年2月、3月、4月的市场占有率，则2005年1月的3个状态的市场占有率即为系统状态的初始分布,用向量表示为(P1(0),P2(0),P3(0))=(31%,20%,49%)。
2.建立转移概率矩阵运用马尔可夫链进行预测的关键在于建立状态转移概率矩阵。
如果在时刻m 系统状态Sm=i,在下一时刻系统转移到状态Sm+1=j，i,j=1,…,n,其转移概率为Pij.它可以排成一个矩阵P,称为转移概率矩阵。
表中的数据是对昆明市商场的调查,统计其2005年1月份购买和2月份欲订购的电冰箱的转移数量而获得的。
按照上表，可构建转移概率矩阵。
其中:横行元素表示保留或输出的概率,如P11=0.917表示购买海尔冰箱的用户保留率为91.7%；P12=0.083表示1月份购买海尔冰箱的用户到2月份转至购买西门子冰箱的概率(输出率)为8.3%。
随机过程课件-马尔可夫链
本课件将介绍随机过程中一种重要的模型——马尔可夫链。探讨马尔可夫链 的定义、特性、应用及改进方法，展望其未来发展。
什么是随机过程？
随机过程是一种数学模型，用于描述随机变量在时间上的演化。根据性质和分类不同，随机过程可分为多种类 型。
马尔可夫链的概念
定义
马尔可夫链是一种随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态仅与当前状态相关。
马尔可夫链的局限性和优缺点
马尔可夫链具有简单、易于实现的优点，但在某些情况下存在局限性。
马尔可夫链的未来发展方向
未来，马尔可夫链有望结合更多机器学习、深度学习技术，在更多领域得到应用和改进。
马尔可夫链的改进
局限性
马尔可夫链模型在某些情况下存 在局限性，如长期依赖性和大状 态空间问题。
改进方法
针对马尔可夫链的局限性，研究 者提出了多种改进方法，如隐马 尔可夫模型和条件随机场。
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是对马尔可夫 链进行扩展，引入了决策和奖励 机制，用于解决决策问题。
总结与展望
马尔可夫链的平稳分布
平稳分布是马尔可夫链在长期 运行后，状态分布稳定的概率 分布。
马尔可夫链的应用
1
模拟系统
2
马尔可夫链在模拟系统中用于模拟随机
事件和状态转移，如队列模型和流程模
3
型。
自然语言处理
马尔可夫链在自然语言处理中用于语言 模型、文本生成和机器翻译等。
金融领域
马尔可夫链在金融领域中用于风险评估、 投资组合优化和市场分析等。
特性
马尔可夫链具有无记忆性、状态空间有限、状态转移概率固定等特性。
状态转移图
马尔可夫链可用状态转移图表示，展示各状态之间的转移概率。
马氏链的应用
份子，两者有很大差别。
03
马氏链的应用
PageRank基本思想
1. 对于前者，似乎可用对方的重要性传播过来来刻画。
2. 对于后者，对方的重要性的影响跟对方发出的链接数目(出度)有关，
出度越大, 能分到的越少，因此可以采用（1/出度）进行加权。
03
马氏链的应用
随机冲浪模型
根据上面的思想，对于网页 u, 如果它被多个网页 v 所链接，如果 用pr(u)表示网页 u 的重要性，那么该网页的重要性可以由下面的公式确
03
马氏链的应用
参考文献
1. 钱敏平, 龚光鲁. 应用随机过程教程及在算法和智能计算中的随机模型. 北京： 清华大学出版社, 2004. 2. David W. Mount. Bioinformatics, Sequence and Genome Analysis. Cold Spring Harbor Laboratory Press, 2002. 3. Amy N. Langville，Carl D. Meyer. Deeper Inside PageRank. Internet Mathematics, 2004, 1(3): 335-380.
03
马氏链的应用
句子的平均长度
1. 序例如列为
TGCAATCGGATAACCAAACA
2. 限制性内切酶将序列切成如下片断
TGCAATCGGATAACCAAACA
03
马氏链的应用
句子的平均长度——马氏链
1. 状态集合{A, B, AA} 。 2. xn={原始链上第 n 个位置示从网页 v 发出的网页数目，L(u) 表示所有指向网页 u 的
03
马氏链的应用
随机冲浪模型的迭代计算
应用随机过程markov链5.1例题
随机过程是概率论的一个重要分支，而Markov链则是随机过程中的一个经典模型。
在实际应用中，Markov链可以用来描述各种随机现象，比如金融市场的走势、气候的变化、信息的传递等等。
今天，我们就来探讨一下应用随机过程中的Markov链，并通过一个例题来深入理解这个概念。
让我们来简单回顾一下Markov链的基本概念。
在一个Markov链中，假设我们有一些状态，每个状态发生的概率只与其前一状态有关，而与其他状态无关。
这个性质就是所谓的“无记忆性”，也就是说，一个状态的发生只受到前一个状态的影响，而与更早的状态无关。
这种性质使得Markov链在描述许多现实问题时非常方便，因为它可以有效地简化问题的复杂度。
接下来，我们将以一个例题来具体说明Markov链的应用。
假设我们有一个赌徒，他每天的赌博结果只与前一天的输赢有关，如果前一天赢了，那么第二天继续赢的概率为0.6，输的概率为0.4；如果前一天输了，那么第二天继续输的概率为0.7，赢的概率为0.3。
现在我们要求这个赌徒在连续三天内至少赢两次的概率是多少。
根据上述情况，我们可以建立这个问题的Markov链模型。
假设赌徒的状态有两种，分别表示赢和输。
然后我们可以根据给定的转移概率来构建状态转移矩阵，从而求出连续三天内至少赢两次的概率。
在实际操作中，我们可以通过矩阵乘法或者迭代法来得到最终的概率结果。
具体的计算过程可以参考相关的数学推导。
通过这个例题，我们不仅深入理解了Markov链的基本概念，还学会了如何将其应用到实际问题中。
我们也可以发现，在实际问题中，Markov链的应用往往需要一定的数学知识和计算技巧来解决。
对于这个主题，我们除了要了解其基本概念外，还需要具备一定的数学建模和求解能力。
应用随机过程中的Markov链是一个相当有趣且广泛应用的领域。
通过学习和掌握Markov链的相关知识，我们不仅可以更好地理解许多随机现象，还可以应用到实际问题中去解决各种复杂的情况。
马尔柯夫转移概率矩阵的估计及其在市场占有率预测中的应用
马尔柯夫转移概率矩阵的估计及其在市场占有率预测中的应用钟 卫 市场经济条件下,每个企业都力图稳固地占领自己的产品销售市场,并千方百计打入别的厂家占有的市场,以扩大自己的产品销路,获得最大限度的利润。
因而即时了解市场动态,掌握各类品牌的市场份额。
对企业的生存和发展来说至关重要。
这就使的企业的决策者非常重视市场占有率的预测。
本文将要介绍的马尔柯夫链理论就是其中一种定量的预测方法,它只要求有上期市场占有率和转移概率矩阵的资料,就可对本期和以后几期市场占有率作短期预测。
然而,在实际操作中,有关状态转移的数据是很难获得的。
例如,我们往往只知道各年份甲、乙、丙三种商品的需求数量和它们各占的比重,而无法得知对某一种商品的需求数量中,有多少数量是由其它商品转化过来的,状态转移概率也因此难以求得。
这就大大限制了马尔柯夫预测法的应用。
这就使得马尔柯夫链方法在实际应用中具有很大的局限性,以至于近年来介绍这种方法的文章不少,但实际应用的例子却很少。
本文将以中国碳酸饮料行业市场占有率为例,说明在没有状态转移资料的情况下,如何从二次规划模型的角度,估计状态转移概率矩阵,从而使马尔柯夫链方法在对市场占有率预测时得到广泛的应用。
一、应用马尔柯夫链理论研究市场占有率的两个前提11满足马尔柯夫性假设所谓马尔柯夫性,也称为无后效性,即将来t+1时刻市场占有率仅依赖于t时刻市场占有率的分布,与过去时刻t-1,t-2,……的市场占有率的转移状态及过程无关。
从消费者对商品选择的心理来看,市场的马尔柯夫性是基本符合的。
因为消费者选择商品通常依据前一期各种可供选择的商品的评价,与再远期关系不大。
21满足转移概率矩阵稳定性的假定马尔柯夫链理论以固定的转移概率矩阵为根本规律和特征。
所以对于市场占有率问题同样也要求转移概率矩阵具有相对稳定性,这包括:在研究期内没有商品发生价格变动,无新产品冲击市场,消费者的收入没有大幅变动等等。
这样我们就可通过往年的数据资料模拟出较精确的转移概率矩阵,从而进行下期的预测。
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0 .616 0 .0168 0 .055 0 .028 0 .04 0 .025 0 .016 0 .052 0 .255 0 .506 0 .042 0 .031 0 .035 0 .043 0 .021 0 .067 0 .102 0 .095 0 .435 0 .064 0 .078 0 .059 0 .094 0 .073 0 .051 0 .098 0 .209 0 .413 0 .115 0 .089 0 .014 0 .016 P= 0 .128 0 .075 0 .072 0 .061 0 .512 0 .040 0 .038 0 .074 0 .145 0 .068 0 .070 0 .045 0 .102 0 .457 0 .023 0 .090 0 .073 0 .123 0 .064 0 .056 0 .092 0 .035 0 .520 0 .037 0 .160 0 .084 0 .039 0 .056 0 .087 0 .074 0 .093 0 .417 通过 Matlab6. 5 软件 ,可以计算出 : S1 = S0·P = {0 . 255 8 , 0 . 191 0 , 0 . 129 2 , 0 . 082 1 ,0 . 109 5 , 0 .081 2 , 0 .068 3 , 0 .087 3 } 8 月份各品牌牙膏的市场占有率为高露洁 25 .58 % , 佳洁士 19 . 10 % , 两面 针 12 . 92 % , 田 七 8 .21 % , 中 华 10 . 95 % , 黑 妹 8 . 12 % , 冷 酸 灵 6 .83 % ,其他品牌 8 .73 %. S2 = S0·P2 = {0 . 260 7 , 0 . 189 4 , 0 . 124 5 , 0 . 074 3 ,0 . 114 6 , 0 .079 9 ,0 .071 1 ,0 .091 2 } 9 月份各品牌牙膏的市场占有率为高露洁 26 .07 % , 佳洁士 18 . 94 % , 两面 针 12 . 45 % , 田 七 7 .43 % , 中 华 11 . 46 % , 黑 妹 7 . 99 % , 冷 酸 灵 7 .11 % ,其他品牌 9 .12 %. 同理可以计算出其他各月份的市场占有率 , 如果消费者的选择倾向按照如上规律 (即转移概 率矩阵具有稳定性) ,则可以计算出各品牌最终的 市场占有率. 显然由状态转移矩阵知道 ,该马氏链是非周 期和具有遍历性的 ,由平稳方程和正规方程 :
∞
氏 链 的 任 意 状 态 k 有 πk = ∑πj Pjk , k Ε 0 ,则 称 j=0
{πk ,k Ε 0 }为马氏链的平稳分布.
2 马尔可夫模型在商品的市场占有率预测 中的几点说明
1 ) 各种状态实际上就是消费者选购商品时能
够选择的不同品牌.
2 ) 在现实生活中 ,商品的品牌一般是有限的 ,
4 ) 转移概率矩阵
A B C ∗ N
A P00 P01 P02 ∗ P0 n
B P10 P11 P12 ∗ P1 n P=
C P20 P21 P22 ∗ P2 n
∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗
N Pn0 Pn1 Pn2 ∗ Pnn 的行表示在某一时刻 (t) , 消费者选择购买的各种
苏 维 :马氏链在市场占有率预测和促销决策中的应用
∗ ∗ ∗∗ 由概率的非负性和完备性知 : ① Pij Ε 0 , i ,j Ε 0 ② ∑Pij = 1 , i = 0 ,1 ,2 , ∗
j=0
一步转移概率是一个固定概率 ,它与系统在 什么时刻发生转移无关 ,只要系统由状态 i 转移到 状态 j 只经历一次发展演变 ,则这个转移过程发生 的概率就为 Pij. 因此转移概率矩阵揭示了事物各 状态演变转换的基本规律 , 它是马氏链的灵魂所 在. 1 .2 .2 N 步转移概率矩阵 P (n)
一步转移概率是系统某时刻处于状态 i , 经过 1 次发展演变后 (即下一时刻) , 它处于状态 j 的概 率 (记为 Pij) . 由状态空间中所有状态的一步转移 概率构成的二维矩阵称为一步转移概率矩阵 , 记 为 P = (Pij) .
P00 P01 P02 ∗
P10 P11 P12 ∗ P=
P20 P21 P22 ∗
P10
P11
∗
P1 n
=
{S
1 1
,S
1 2
,
∗
,S
1 N
}
;
∗ ∗∗∗
Pn0 Pn1 ∗ Pnn
第 2 期的市场占有率为 :
S2
=
S1
P=
S0
P2
=
{S
2 1
,S
2 2
,
∗
,S
2 N
}
;
第 K 期的市场占有率为 :
S K = S K - 1 P = S K - 2 P2 = ∗= S0 PK =
{S
K 1
,S
K 2
, ∗ ,SNK}
.
如果该马氏链是不可约且具有遍历性的 ,各
品牌商品的最终市场占有率即为平稳分布
{πk ,k
Ε 0 } , lim S K = K →∞
{π1 π, 2
, ∗π, Ν} .
3 市场占有率预测
运用马尔可夫模型对企业产品在销售市场的 占有率预测时 ,具体有以下 3 个步骤 : ①确定预测 对象出现的各种状态 ; ②做详尽的市场调查 ,获得 真实可靠的数据 ,通过获得的数据建立转移概率 矩阵 ; ③通过计算 ,预测产品在未来的市场占有 率.
Abstract : This paper introduces the basic principle of Markov chain , and predicts the market occupation rate for the selling process of toothpaste products by using Markov model . By providing scientific and rea2 sonable promotion strategy , this paper tries to help enterprises achieve the objective of the maximal expect2 ed profit according to different selling states. Key words : Markov chain ; transition probability matrix ; expected profit
(Pij ( n) ) .
P00 (n) P01 (n) P02 (n) ∗
P10 (n) P11 (n) P12 (n) ∗ P(n) =
P20 (n) P21 (n) P22 (n) ∗
∗
∗
∗∗
由切普曼 - 柯尔莫哥洛夫方程 :
∞
Pij (m , h + k) = ∑pir (m , h) prj (m + h ,k) r=0
实例分析如下 : 为了对重庆市沙坪坝区内各品牌牙膏的市场 占有率进行预测 ,2006 年 7 月底随机选取了区内 500 名消费者进行问卷调查. 其中购买高露洁的 124 人 (24. 8 %) ,佳洁士的 98 人 (19. 6 %) ,两面针 的 67 人 (13. 4 %) ,田七的 52 人 (10. 4 %) ,中华的 47 人 (9. 6 %) ,黑妹的 41 人 (8. 2 %) ,冷酸灵的 32 人 (6. 4 %) , 纳爱斯的 15 人 ( 3 %) , 蓝天的 10 人 (2 %) ,L G竹盐的 9 人 (1. 9 %) ,黑人的 5 人 (1 %) . 将市场占有率较少的纳爱斯 ,蓝天 ,L G 竹盐 , 黑人 4 个品牌归为一类 , 由此得初始分布 S0 =
即状态有限. 在进行商品的市场占有率预测过程
中 ,如果出现的状态较多 , 可以将占有率很少的几
个状态进行合并.
3 ) 初始概率分布指当前各种品牌商品的市场
占有率. 记为 S0
=
{S
0 1
,S
0 2
,∗,S0 N来自},如S
0 1
=
0 .4
表示
N
品牌
1
此刻的市场占有率为
40
%, 显然
∑S
0 1
=
i =1
1 .
如果离散参数的马尔可夫链 {X (t) , t ∈T} 还 满足 对 任 意 非 负 整 数 m 都 有 : P { X ( tm +1 ) = j| X (tm) = i} = P { X ( t1 ) = j| X (t0 ) = i} , 则 称 { X (t) ,t ∈T} 为离散参数齐次马尔可夫链 , 简称马 氏链. 以下讨论的都将是离散参数的齐次马尔可 夫链. 1 .2 转移概率矩阵 [3 ] 1 .2 .1 一步转移概率矩阵
Ξ 收稿日期 :2006 - 09 - 30
作者简介 :苏维 (1983 - ) ,男 ,重庆渝北人 ,硕士 ,主要从事随机系统研究.
50
重庆工学院学报
状态 i0 , ∗ ,in - 1与 j 均有 : P{ X (tn) = j| X (tn - 1 ) = in - 1 , ∗ ,X (t0 ) = i0 } = P{ X (tn) = j| X (tn - 1 ) = in - 1 } 则称 {X (t) ,t ∈T} 为离散参数的马尔可夫链.
The Application of Markov Chain in Market Occupation Rate and Promotion Decision Making