随机过程大作业
(完整word版)随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程第二章作业及参考答案
第二章 平稳过程2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。
试证 （1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。
（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。
随机过程作业和答案第三章
第三章 马尔科夫过程1、将一颗筛子扔多次。
记X n 为第n 次扔正面出现的点数，问{X(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。
又记Y n 为前n 次扔出正面出现点数的总和，问{Y(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。
解：1)由已知可得，每次扔筛子正面出现的点数与以前的状态无关。
故X(n)是马尔科夫链。
E={1,2,3,4,5,6} ,其一步转移概率为:P ij = P ij =P{X(n+1)=j ∣X(n)=i }=1/6 (i=1,2,…,6,j=1,2,…,6) ∴转移矩阵为2)由已知可得，每前n 次扔正面出现点数的总和是相互独立的。
即每次n 次扔正面出现点数的总和与以前状态无关，故Y(n)为马尔科夫链。
其一步转移概率为其中2、一个质点在直线上做随机游动，一步向右的概率为p , (0<p<1)，一步向左的概率为 q , q =1-p 。
在x = 0 和x = a 出放置吸收壁。
记X(n)为第n 步质点的位置，它的可能值是0,1,2,···,a 。
试写出一步转移概率矩阵。
解：由已知可得, 其一步转移概率如下：故一步转移概率为3、做一系列独立的贝努里试验，其中每一次出现“成功”的概率为p ( 0<p<1 ) ,出现“失败”的概率为q , q = 1-p 。
如果第n 次试验出现“失败”认为 X(n) 取得数值为零；如果第n 次试验出现“成功”，且接连着前面k 次试验都出现“成功”，而第 n-k 次试验出现“失败”，认为X(n)取值k ，问{X(n) , n =1,2,···}是马尔科夫链吗？试写出其一步转移概率。
解：由已知得：故为马尔科夫链，其一步转移概率为616161616161616161616161616161616161P ={6,,2,1,6/1,,8,7,,0)1,(+++=<++==+i i i j i j i i i j ij n n P 或)1(6,,2,1;6,,2,1,+++=++=n n n j n n n n i {}α,,2,1,0 =E )(0,1;)0(0,1)1,1(0,,1,,2,1101,1,ααααα≠==≠==+-≠===-=-+j P P j P P i i j P q P P P x j j ij i i i i 而时，当 10000000000000001Pp q p q p q ={}{}m m m m m m i n X l n X i n X i n X i n X l n X P ==+=====+)(0)()(,,)(,)(0)(2211 {}{}mm m m m m in X k l n X i n X i n X i n X k l n X P ==+=====+)()()(,,)(,)()(22114、在一个罐子中放入50个红球和50个蓝球。
随机过程作业和答案第一二章
随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。
求X(t)的一维和二维分布。
解 先求一维分布。
当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。
这亦是随机过程X(t)的一维分布。
再求二维分布。
当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。
则其线性变换也服从正态分布。
且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。
P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。
X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
哈尔滨工程大学研究生课程：随机过程大作业答案
1．答：(1)前50个数为:0.9862 0.8479 0.0301 0.1746 0.91000.8853 0.5268 0.9537 0.8352 0.67650.4048 0.8074 0.7144 0.9701 0.62320.6271 0.3935 0.6465 0.1350 0.51220.3855 0.9617 0.4467 0.2510 0.00350.8479 0.0301 0.1746 0.9100 0.22690.5268 0.9537 0.8352 0.6765 0.97850.8074 0.7144 0.9701 0.6232 0.86130.3935 0.6465 0.1350 0.5122 0.01440.9617 0.4467 0.2510 0.0035 0.4858(2) 分布检验:(3)均值检验:0.5042(4) 方差检验：0.0832(5) 计算相关函数分布：p =199 178 207 193 211 193 206 216 191 206本题运用MATLAB进行编程,程序如下：for n=1:2000xt(n)=unifrnd(0,1); %产生2000个（0，1）均匀分布白序列endsubplot(2,1,1);plot(xt),title('2000个(0,1)均匀分布的白噪声');for i=1:5for j=1:10sc(j,i)=xt((i-1)*5+j);end;end;disp([sc]) %打印前50个数mx=mean(xt) %求平均数并输出dx=cov(xt) %求方差并输出subplot(2,1,2);p=hist(xt,10) %将产生的2000个随机数分为10组p=p/100; t=0.025:.1:.975; %求概率密度bar (t,p,1);title('0-1均匀分布的白噪声直方图');xlabel('x');ylabel('f(x)');[bx,i] = xcov(xt,10); %τ取-10到10Bx=bx/2000; %求自相关函数Bx(τ)figuresubplot(2,1,1);plot(i,Bx),title('自相关函数Bx分布图');xlabel('τ');ylabel('Bx(τ)');[tx,i] = xcorr(xt,10); %τ取-10到10Tx=tx/2000;subplot(2,1,2);plot(i, Tx),title('自相关函数Γx分布图');xlabel('τ');ylabel('Γx(τ)');2.答：(1)前50个数为:-0.4326 1.1909 -0.1867 0.1139 0.2944-1.6656 1.1892 0.7258 1.0668 -1.33620.1253 -0.0376 -0.5883 0.0593 0.71430.2877 0.3273 2.1832 -0.0956 1.6236-1.1465 0.1746 -0.1364 -0.8323 -0.69181.1909 -0.1867 0.1139 0.2944 0.85801.1892 0.7258 1.0668 -1.3362 1.2540-0.0376 -0.5883 0.0593 0.7143 -1.59370.3273 2.1832 -0.0956 1.6236 -1.44100.1746 -0.1364 -0.8323 -0.6918 0.5711(2) 分布检验: 如下图所示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
随机过程课程设计之
马尔可夫过程在评估商品广告效果中的作用
学院
专业班级
姓名
学号
2014年6月
【设计背景】
马尔可夫链原理复杂，应用非常广泛。
通过对马尔可夫链理论和切普曼一柯尔莫哥洛夫方程（方程）的探讨，结合商家不易判断某一广告是否有效的特点，构想了用马尔可夫链对商品广告效果进行评估的模型，给出了马尔科夫链的初始概率和多重转移概率的计算方法，根据此算法可以帮助商家制作更能吸引顾客的广告。
【马尔可夫过程】
马尔可夫理论指出：“系统达到每一状态的概率仅与近期状态有关，在一定时期后马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态而与原始条件无关”的这一特性称为“无后效性”。
即：事物的第n次试验结果仅取决于第（n一1）次试验结果，第（n一1）次试验结果仅取决于第（n一2）次试验结果，依此类推。
这一系列转移过程的集合叫做“马尔可夫链”。
马尔可夫预测方法的特点是：不需要大量的统计资料，只需有限的近期资料即可实现定量预测，而且马尔科夫预测方法适用于短期预测的基础上，只要状态转移矩阵滚动次数足够的多，同时也适用于长期预测。
但要求市场比较稳定并在一定时期内没有大的变动。
马尔可夫过程实际上是一个将系统的“状态”和“状态转移”定量化了的系统状态转换的数学模型：
状态{X（n），n≥1}：指现象在某一时刻上的某种状态，是表示系统的最小一组变量。
当系统可完全由定义状态的变量取值来描述时，称系统处于一个状态。
状态转移：指当系统的描述变量从一个状态的特定值变化到另一个状态特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态，从而该系统实现了状态的转移。
【模型建立】
A种饮料近期的销售情况不容乐观，决定改变广告方式，广告设计师设计了两种广告方案，分别为方案一和方案二，现模拟两个购买力，购买需求完全相同的两地X，Y，在X地采用方案一推销饮料A，在Y地采用方案二推销饮料A。
（实际中需要在不同时间分别采用不同方案）一段时间后，经市场调查发现以下事实：
在X地买A饮料及另外三种饮料B、C、D（设市场只有4种饮料）的顾客每两个月的平均转移概率为：
在Y 地买A 饮料及另外三种饮料B 、C 、D （设市场只有4种饮料）的顾客每两个月的平均转移概率为：
设在X ，Y 地目前购买A 、B 、C 、D 这4种饮料的顾客分布均为（25%，30%，35%，10%），求半年后在X ，Y 地，A 种饮料占有的市场份额。
【计算讨论】
首先对方案一的效果，即A 饮料在X 地半年后的市场占有份额进行计算。
根据题意可知，转移概率矩阵为
令P(0)=[0.25,0.30,0.35,0.10]
半年后顾客的转移概率矩阵为P （3），且P （3）=P^3
由于只关心从A ，B ，C ，D 这四种饮料经3次转移后转到A 种饮料的概率，所以市场占有率M 等于P(3)的第一列乘以P （0）。
概率计算相对复杂，使用MATLAB 软件进行计算。
MATLAB 程序及实验结果：
50
.010.020.020.000.070.010.020.004.006.060.030.001.002.002.095.0P
因此我们可以知道，A种饮料在半年后占有的市场份额约为62.2%。
●同理，我们可以对A饮料在Y地半年后的市场占有份额进行计算
MATLAB程序及实验结果：
因此我们可以知道，A种饮料在半年后占有的市场份额约为60.1%。
●广告方式的改变带来的效果是非常大的，同时经过计算比较，我们可以判断出广告方案一比方案
二的效果更好，商家应该利用广告方案一对饮料A进行推广。
【思路扩展】
通过计算我们知道广告方式的改变带来的效果是非常大的，一直利用广告方案一对饮料A进行推广，那么饮料A占有市场份额的变化情况是什么呢。
通过使用MATALB计算和拟合，我们发现大约30个月之后，饮料A的市场份额，将保持稳定，稳定在82.9%。
这也恰恰与实际相符，即人们的爱好需求不同等因素，使某一产品不可能完全占有市场。
MATLAB计算的结果如下（M n为2n个月A种饮料的占有率）
MATLAB拟合曲线的结果如下（横轴为经过月份，纵轴为A饮料的市场占有率）
上图也恰恰论证了我们在课程中所学的马氏链的遍历性和平稳分布，加深了对知识理解。
【总结】
通过本次课程设计，巩固了所学的随机课程的知识，加深了对马尔可夫过程的理解和认识，通过计算和绘制图像对平稳分布有了更深的认识。
同时深刻体会到了随机过程这门课的应用价值，通过查阅资料，我还了解到这门课的知识不仅在广告效果评估，在其他很多实际问题的预测等很多方面与领域都有着极强大作用。
从死板的学习中终于看到了这门课的实际利用价值，也熟练了MATLAB的相关技能。
希望今后能将所学的随机过程知识运用到专业的学习中去。
最后，感谢老师在课程上给予的帮助与指导！。