三角形的外角定理
三角形三边关系、内角和、外角定理
三角形三边关系、三角形内角和定理定理：三角形两边的和大于第三边。
表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c 则b-c ＜a ＜b+ca-c ＜b ＜a+ca-b ＜c ＜a+b 给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。
④已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。
1、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG 的面积有何关系？2、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对3、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能4、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、05、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ7、已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的范围是专题检测1.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=62.已知等腰三角形的两边长分别为11cm 和5cm ，求它的周长。
3.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，求这个三角形的腰长。
73. 如何在初中数学中掌握三角形外角定理？
73. 如何在初中数学中掌握三角形外角定理？一、关键信息1、三角形外角定理的定义及表述定义：＿___________________________表述：＿___________________________2、学习三角形外角定理的目标知识层面：＿___________________________应用层面：＿___________________________3、适用的初中数学教材版本版本名称：＿___________________________对应章节：＿___________________________4、学习方法与技巧理论学习：＿___________________________实践练习：＿___________________________5、考核与评估方式日常作业：＿___________________________阶段测试：＿___________________________二、协议内容11 三角形外角定理的详细阐述三角形外角定理是初中数学中的重要知识点，它对于解决与三角形相关的角度计算和证明问题具有关键作用。
其定义为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在表述上，可以用数学语言表示为：若∠ACD 是△ABC 的外角，则∠ACD ＝∠A ＋∠B。
111 理解定理的内涵为了更好地掌握这一定理，学生需要深入理解其内涵。
外角是三角形一边的延长线与另一边所形成的角，而不相邻的两个内角是指除了与外角相邻的内角之外的另外两个内角。
通过图形的直观展示和实例分析，能够帮助学生清晰地理解外角与内角之间的关系。
112 定理的推导过程了解定理的推导过程有助于学生从本质上把握其原理。
可以通过平行线的性质、内角和定理等已有知识来推导三角形外角定理，让学生体会数学知识之间的内在联系和逻辑推理的严谨性。
12 学习三角形外角定理的目标121 知识层面的目标学生应能够准确记忆和表述三角形外角定理的定义和表述，理解其推导过程和原理。
证明三角形外角判定方法
证明三角形外角判定方法证明三角形外角判定方法三角形内角和定理三角形三个内角的和等干180°已知：如图已知△abc 求证：∠a+∠b+∠c=180°。
1、证法一:作bc的延长线cd，过点c作ce∥ba则∠1=∠a，∠2=∠b 又∵∠1+∠2+∠acb=180°∴∠a+∠b+∠acb=180°2、证法二:过点c作de∥ab则∠1=∠b，∠2=∠a 又∵∠1+∠acb+∠2=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°3、证法三:在bc上任取一点d，作de∥ba交ac于e，df∥ca交ab于f则有∠2=∠b，∠3=∠c,∠1=∠4,∠4=∠a ∴∠1=∠a 又∵∠1+∠2+∠3=180° ∴∠a+∠b+∠c=180°4、证法四:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画∠1=∠a，于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°5、证法五:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画∠1=∠a，于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°6、证法六: 过点c作cd∥ba，则∠1=∠a ∵cd∥ba ∴∠1+∠acb+∠b=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°证明三角形外角判定性质三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
角形的外角性质三角形的外角具有以下性质：①顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线。
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
④三角形的外角和是360° 三角形内角是两条线段的夹角三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于另外两个内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理在三角形中，有一个有趣的性质：三角形的外角和等于360度。
这个性质被称为三角形的外角和定理。
在本文中，我们将深入探讨三角形的外角和定理，以及它的证明和应用。
1. 定义和性质：首先，让我们来定义什么是三角形的外角和。
三角形的外角是指一个三角形的两个相邻内角所对的外角。
如下图所示，对于三角形ABC，∠1，∠2和∠3是三个内角，而∠4，∠5和∠6是对应的外角。
[插入图片：三角形外角的示意图]根据三角形的外角和定理，∠4 + ∠5 + ∠6 = 360度。
这意味着三角形的三个外角之和总是等于360度。
除了这个定义，三角形的外角和还有以下一些性质：- 每个外角都是相邻内角的补角。
也就是说，∠4 = 180度 - ∠1，∠5 = 180度 - ∠2，∠6 = 180度 - ∠3。
- 任意两个非相邻外角的和等于一个内角。
例如，∠4 + ∠6 = ∠2。
2. 证明：接下来，让我们来证明三角形的外角和定理。
我们可以利用一些几何原理来证明这个性质。
首先，我们将三角形的一个内角延长，形成一个平行线。
如下图所示，我们延长∠1，使之与边BC形成一条平行线段。
[插入图片：三角形外角和的证明图1]根据平行线的性质，我们可以得到：∠4 = ∠1（对应角）∠3 + ∠1 = 180度（内角和为180度）∠5（外角） = ∠3 + ∠1（因为平行线所形成的锐角与外角互补）将以上两个等式结合起来得到：∠5 = ∠4∠5 + ∠4 = 2∠4我们可以使用同样的方法延长∠2，得到：∠6 = ∠5∠6 + ∠5 = 2∠5将∠5 + ∠6的结果相加，得到：∠5 + ∠6 + ∠4 = 2∠4 + 2∠5∠5 + ∠6 + ∠4 = 2(∠4 + ∠5)∠5 + ∠6 + ∠4 = 2(∠4 + ∠5 + ∠6)∠5 + ∠6 + ∠4 = 2(360度) （根据三角形的外角和定理，∠4 + ∠5 + ∠6 = 360度）∠5 + ∠6 + ∠4 = 720度由于角度的度数是有限的，所以我们只能得到以下结论：∠5 + ∠6 + ∠4 = 720度 = 360度因此，我们证明了三角形的外角和定理。
三角形外角定律
三角形外角定理
三角形外角定理：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°。
三角形内角和定理：三角形的内角和等于18 0°。
也可以用全称命题表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°。
三角形外角的性质
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；
2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；
3、三角形的外角和为360°。
外角正弦定理
外角正弦定理外角正弦定理是三角形中一个重要的几何定理，它描述了一个三角形的外角和它对应的两个内角正弦之间的关系。
这个定理在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
在介绍外角正弦定理之前，我们先来了解一下什么是外角。
一个三角形有三个内角，这三个内角的和是180度。
当我们将三角形的一个内角延长成一个外角时，这个外角和与它对应的内角之和也是180度。
例如，如果一个三角形的一个内角是x度，那么它对应的外角就是180度减去x度。
那么，外角正弦定理是如何描述这个关系的呢？外角正弦定理的表达式如下：sin(A) = sin(B+C)其中，A是一个三角形的外角，B和C是它对应的两个内角。
外角正弦定理的应用非常广泛。
在解决三角形相关问题时，我们经常需要求解未知的角度或边长。
通过应用外角正弦定理，我们可以根据已知的信息来求解未知的角度或边长。
这个定理在解决实际问题时非常有用。
下面，我们通过一个具体的例子来演示一下外角正弦定理的应用。
假设我们有一个三角形ABC，已知边长AB为5，边长AC为8，角B 为30度。
我们需要求解角A和角C。
我们可以利用三角形的内角和为180度的性质来求解角A和角C。
根据已知信息，我们可以得到角A和角C的和为150度（180度减去角B的30度）。
接下来，我们可以利用外角正弦定理来求解角A和角C的正弦值。
根据外角正弦定理，我们可以得到：sin(A) = sin(B+C) = sin(150度)通过查表或计算器，我们可以得到sin(150度)的值是0.5。
因此，我们可以得到：sin(A) = 0.5接下来，我们可以通过反正弦函数来求解角A的值。
通过计算，我们可以得到角A的值是30度。
由于角A和角B的和为180度，我们可以得到角C的值是150度。
通过应用外角正弦定理，我们成功地求解出了三角形ABC的角度。
外角正弦定理的应用不仅限于求解角度，它还可以用来求解三角形的边长。
例如，如果我们已知一个三角形的两个角度和一个边长，我们就可以利用外角正弦定理来求解未知的边长。
三角形的外角与内角和计算技巧
三角形的外角与内角和计算技巧一、三角形的外角1.定义：三角形的一个外角是指与三角形的一个内角不在同一直线上的角。
a)三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。
b)三角形的外角大于任何一个不相邻的内角。
c)外角与它相邻的内角互补（即外角加相邻内角等于180°）。
2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角的外角：用180°减去这两个内角的和。
b)已知三角形的一个内角和一个外角，求另一个内角：用180°减去这个外角。
二、三角形的内角和1.定理：三角形的三个内角和等于180°。
a)画出任意一个三角形，将其分为两个三角形。
b)每个小三角形的内角和都是180°，因此，整个三角形的内角和是360°。
c)由于两个小三角形的公共角被计算了两次，所以将其减去一次，得到三角形的内角和为180°。
2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角：用180°减去这两个内角的和。
b)已知三角形的三个内角，验证内角和是否等于180°。
三、外角与内角和的联系1.每个三角形的三个外角和等于360°。
2.三角形的外角与它相邻的内角互补，即外角加相邻内角等于180°。
3.利用外角可以转换求解内角，利用内角和定理可以验证外角的计算结果。
四、应用拓展1.利用三角形外角性质解决几何问题，如证明线段平行、求解三角形面积等。
2.利用内角和定理求解三角形的问题，如求解三角形的角度、边长等。
3.外角与内角和的知识在实际生活中的应用，如测量土地面积、建筑物的设计等。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握三角形外角与内角和的计算技巧，并能运用到实际问题中。
习题及方法：1.习题：已知三角形ABC的内角A、B分别为90°和45°，求三角形ABC的外角D的度数。
答案：外角D的度数为180° - 90° - 45° = 45°。
初中几何证明口诀
初中几何证明口诀在初中几何中，证明是学习的重要内容之一、通过证明，可以巩固和提高自己对几何知识的理解和应用能力。
以下是一些常用的初中几何证明口诀：1.三角形的内角和定理：三角形内角和为180度。
可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。
2.外角定理：三角形的外角等于其余两个内角的和。
可以通过绘制平行线等方法证明。
3.垂直角定理：垂直角相等。
可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。
4.同位角定理：同位角相等。
可以通过平行线等方法证明。
5.三角形的相似性定理：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
可以通过AA、SSS、SAS等方法证明。
6.圆周角定理：圆周角是圆心角的两倍。
可以通过绘制弧、使用同位角等方法证明。
7.弦切角定理：弦切角等于其对应的弧的一半。
可以通过绘制切线、弧等方法证明。
8.正方形的特性：正方形的四条边相等，四个角为直角。
可以通过对角线等方法证明。
9.等腰三角形的特性：等腰三角形的两边相等，两个底角相等。
可以通过绘制高线等方法证明。
10.平行四边形的特性：平行四边形的对边相互平行，对角线相互平分。
可以通过角平分线等方法证明。
11.三角形的中线定理：三角形的三个中线交于一点，且这点距离三个顶点的距离是各边长的一半。
可以通过线段等方法证明。
12.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
可以通过平行四边形等方法证明。
13.外切圆定理：三角形的外接圆的圆心是三个顶点的垂直平分线的交点。
可以通过角平分线、圆心角等方法证明。
14.圆的切线定理：切线与半径垂直。
可以通过绘制切线、使用垂直角等方法证明。
15.纵横切割定理：两条平行线被一条截线切割，那么两个内角和为180度。
可以通过平行线等方法证明。
这些口诀可以帮助初中生记住一些重要的初中几何证明定理，并引导他们学习如何使用特定的几何性质进行证明。
同时，更重要的是理解定理的证明过程，培养逻辑思维能力和几何推理能力。
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E A
A
5
4
3
6 12
B
7
8
9
C
E A
B
F
外角
D C
FB
C D
外角
归纳：
1、每一个三角形都有_6___个外角; 2、每一个顶点相对应的外角都有_2__个。 3、这6个外角中有_3____对外角相等。
4、一个三角形的每一个外角对应一个
_相___邻__的___内__角__和两个__不___相__邻___的__内__.角
课堂反馈:
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内
角,则这个三角形是( c)
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则 ∠DFE等于( ) B A.120° B.115° C.110° D.105°
AD
F C
BE
3.如图所示,∠1=___1_2__0_.°
∠1=25°, ∠2=62°, ∠3=118°
3、三角形的一个外角与它不相邻的任意一 个内角有怎样的大小关系?
∵∠ACD= ∠A+ ∠B
A
∴∠ACD﹥∠A ∠ACD﹥ ∠B
结论：
B
C
D
三角形的一个外角大于任何一个与 它不相邻的内角。
4.把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到 小的顺序排列
∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3
看一看： 图中哪些角是三角形的内角，
哪些角是三角形的外角？
E A
125°
算一算：
若∠ A＝ 55º， ∠ B=60º,
55°
试求∠ ACB, ∠ACD, ∠CAE
的度数．并说出你的理由．
60°
65° 115°
D
B
C
三角形内角和定理的推论：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和。
已知：如图：△ＡＢＣ中，点D在BC的延长线上， 求证：∠ACD=∠A+∠B
A
B
C
D
方法一:
A
证明： B
C
D
∵∠ACD+ ∠ACB=180° （邻补角的定义）
∴∠ACD =180 ° －∠ACB
又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180° （三角形内角和定理 ° ）
∴∠A+ ∠B =180 ° －∠ACB
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
(等量代换)
方法二：作直线CE//BA
A E
B
80 °
1
140 °
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的 底角为__3_0__或__7_5_°.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,
则∠BDC=_1_2_0__°___.
A
D
B
C
生活应用
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠ 1， ∠ 2，∠ 3）， 那么回到原来位置时，一共转了几度？
练一练 判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ） 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ） 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和。（ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它 不相邻的外角。（ ）
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ? 2
1
3
证明：
∵∠1＋ ∠BAC=180°
A 1
∠2＋ ∠ABC=180°
3Leabharlann ∠3＋ ∠ACB=180° B
C
三个式子相加得到
2
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
结论：三角形的外角和等于360°
三角形的三个性质
①三角形的一个外角与它相邻的内角
② 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和
针对性训练：
1. 求下列各图中∠1的度数。
30°
1
60°
∠1= 90º
1
120°
35°
1
45°
50°
∠1= 85º ∠1= 95º
2. 如图所示, ∠A=37°, ∠CBE=155°,
求∠1, ∠2, ∠3的度数.
D
C 3
2
A 37°
155°
1B
E
13.2三角形的外角定理
三角形的外角：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，
叫做三角形的外角． A
B
C
三角形的外角的三个特征:
D
1.顶点在三角形的一个顶点上;
2.一条边是三角形的一条边;
3.另一条边是三角形的某条边的延长线
画一个三角形，再画出它所有的外角。
想一想: 1、每一个三角形有几个外角？ 2、每一个顶点处相对应的外角有几个？ 3、这些外角中有几个外角相等？ 4、三角形的每一个外角与三角形的三个内 角有什么位置关系?