幂函数及函数应用(讲义)

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专题幂函数以及函数的应用(解析版)

专题10 幂函数以及函数的应用【考点预测】考点一、幂函数概念形如y x α=的函数，叫做幂函数，其中α为常数．考点诠释：幂函数必须是形如y x α=的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数．例如：4223,1,(2)y x y x y x ==+=-等都不是幂函数．考点二、幂函数的图象及性质 1．作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．考点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点()1,1；（2）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸；（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2．作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为(0,)+∞或[0,)+∞，作图已完成；若在(0)-∞，或0]-∞(，上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3．幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =． 4．幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．考点三、解决实际应用问题的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步：再转译为具体问题作出解答．【典型例题】例1．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+为奇函数.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题意，幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+，可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，函数()311322f x x x ++==为奇函数，当2m =时，()21152322f x xx ++==为非奇非偶函数，因为()f x 为奇函数，所以()3f x x =.（2）由（1）知()3f x x =，可得()f x 在R 上为增函数，因为()()132f a f a +<-，所以132a a +<-，解得23<a ，所以a 的取值范围为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.例2．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为2，求实数m 的值．【解析】（1）因为2()(33)af x a a x =-+为幂函数，所以2331a a -+=，解得2a =或1a = 因为()f x 为偶函数，所以2a =，故()f x 的解析式2()f x x =；（2）由（1）知()()2213g x x m x =+--，对称轴为122mx -=，开口向上，当1212m-≤即12m ≥-时，()()max 3362g x g m ==+=，即16m =-；当1212m ->即12m <-时，()()max 1122g x g m =-=--=，即32m =-；综上所述：16m =-或32m =-．例3．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时，20020018010020300y x x x =---=-，当产量大于50万盒时，222002006035001403700y x x x x x =----=-+-，故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时，2050300700y ≤⨯-=；当50x >时，21403700y x x =-+-，当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200．因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年⨯月⨯日，天气：阴；能见度：1.8千米；11:40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12:10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；12:35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离x （千米）与时间t （分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点(0,12)A ，点B 坐标为(,0)m ，曲线BC 可用二次函数：21(125s t bt c b =++，c 是常数）刻画. (1)求m 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度02(30)125v v t =+-，0v 是加速前的速度）【解析】（1）11:40到12:10的时间是30分钟，则(30,0)B ，即30m =，潮头从甲地到乙地的速度120.430=（千米/分钟）. （2）因潮头的速度为0.4千米/分钟，则到11:59时，潮头已前进190.47.6⨯=（千米），此时潮头离乙地127.6 4.4-=（千米），设小红出发x 分钟与潮头相遇，于是得0.40.48 4.4x x +=，解得5x =，所以小红5分钟后与潮头相遇.（3）把(30,0)，(55,15)C 代入21125s t bt c =++，得221303001251555515125b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得225b =-，245c =-，因此21224125255s t t =--，又00.4v =，则22(30)1255v t =-+，当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分，即0.48v =时，22(30)0.481255t -+=，解得35t =，则当35t =时，21224111252555s t t =--=，即从35t =分钟(12:15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头，设小红离乙地的距离为1s ，则1s 与时间t 的函数关系式为10.48(35)s t h t =+≥，当35t =时，1115s s ==，解得：735h =-，因此有11273255s t =-，最后潮头与小红相距1.8千米，即1 1.8s s -=时，有212241273 1.8125255255t t t ---+=，解得150t =，220t =（舍去），于是有50t =，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时0.48560.4⨯=（分钟），因此共需要时间为6503026+-=（分钟），所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.例5．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()2253mf x m m x =-+的定义域为全体实数R.(1)求()f x 的解析式；(2)若()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（1）∵()f x 是幂函数，∴22531m m -+=，∴12m =或2.当12m =时，()12f x x =，此时不满足()f x 的定义域为全体实数R ， ∴m ＝2,∴()2f x x =.（2）()31f x x k >+-即2310x x k -+->，要使此不等式在[]1,1-上恒成立，令()231g x x x k =-+-,只需使函数()231g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0.∵()231g x x x k =-+-图象的对称轴为32x =，故()g x 在[]1,1-上单调递减， ∴()()min 11g x g k ==--，由10k -->，得1k <-， ∴实数k 的取值范围是(,1)-∞-.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一单元测试）若函数()f x x α=的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则19f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．3C ．9D ．8【答案】B【解析】由题意知()193f =，所以193α=，即2133α-=，所以12α=-，所以()12f x x -=，所以1211399f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）已知432a =，254b =，1325c =，236d =，则（） A ．b a d c <<< B ．b c a d <<< C ．c d b a <<< D ．b a c d <<<【答案】D 【解析】由题得4133216a ==，2155416b ==，1325c =，2133636d ==，因为函数13y x =在R 上单调递增，所以a c d <<．又因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <．故选:D ．3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()a f x x 的图象过点(9,3)，则函数1()()1f x y f x -=+在区间［1,9]上的值域为（） A ．［－1,0] B ．1[,0]2-C ．［0,2]D ．3[,1]2-【答案】B【解析】解法一：因为幂函数()a f x x 的图象过点()9,3 ，所以93=a ，可得12a =，所以()f x x =1()12(1)1()1111f x x x y f x x x x ---+===++++．因为19x ≤≤，所以214x ≤≤，故11,021y x ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦．因此，函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B ．解法二：因为幂函数()a f x x 的图象过点(9,3)，所以93a =，可得12a =，所以()f x x =[1,9]x ∈，所以()[1,3]f x ∈．因为y =1()()1f x f x -+，所以1()1y f x y -=+，所以1131y y -≤≤+，解得102y -≤≤，即函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B ．4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数mn y x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（）A ．m n 、是奇数且1mn< B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n> C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n< D ．m n 、是偶数，且1m n> 【答案】C【解析】函数n m nm y x x =y 轴对称，故n 为奇数，m 为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故1mn<，故选：C.5．（2022·全国·高一期中）幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（） A ．27 B ．9C ．19D ．127【答案】A【解析】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意；当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A.6．（2022·全国·高一课时练习）向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当容器是圆柱时，容积V =πr 2h ，r 不变，V 是h 的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D 不满足条件；由函数图象可以看出，随着高度h 的增加V 也增加，但随h 变大，每单位高度的增加，体积V 的增加量变小，图象上升趋势变缓，∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小， ∴A 、C 不满足条件，而B 满足条件. 故选：B ．7．（2022·全国·高一单元测试）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位60030x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元（试剂的总产量为x 单位，50200x ≤≤），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位【答案】D【解析】设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为750020x +元，后续保养总费用为60030x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元，则250750020306008100810040240220x x x x y x x x x x+++-+==++≥⋅=，当且仅当8100x x=，即90x =时取等号，满足50200x ≤≤，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D ．8．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x x ()1f x x =．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题，满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）幂函数()()22657mf x m m x--=+在()0,∞+上是增函数，则以下说法正确的是（） A ．3m =B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．函数()f x 是偶函数D ．函数()f x 的图象关于原点对称【答案】ABD【解析】因为幂函数()()22657m f x m m x--=+在()0,∞+上是增函数，所以2257160m m m ⎧-+=⎨->⎩，解得3m =，所以()3f x x =，所以()()()33f x x x f x -=-=-=-，故()3f x x =为奇函数，函数图象关于原点对称，所以()f x 在(),0∞-上单调递增；故选：ABD10．（2022·全国·高一课时练习）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润()p x （单位：万元）与每月投入的研发经费x （单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且21()6205p x x x =-+-，利润率()p x y x =.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（） A ．此时获得最大利润率B ．再投入6万元研发经费才能获得最大利润C ．再投入1万元研发经费可获得最大利润率D ．再投入1万元研发经费才能获得最大利润【答案】BC【解析】当16x ≤时，2211()620(15)2555p x x x x =-+-=--+，故当15x =时，获得最大利润，为()1525p =，故B 正确，D 错误；()12012012066262555p x y x x x x x x x ⎛⎫==-+-=-++≤-⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1205x x=，即10x =时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C 正确，A 错误.故选：BC.11．（2022·全国·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y 1(千元)､乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（）A ．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的总费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为10.51y x =+C ．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y 2与证书数量x 之间的函数关系式为21542y x =+ 【答案】ABCD【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A 正确；设甲厂的费用1y 与证书数量x 满足的函数关系式为y kx b =+，代入点(0,1),(6,4)，可得164b k b =⎧⎨+=⎩，解得0.5,1k b ==，所以甲厂的费用1y 与证书数量x 满足的函数关系式为10.51y x =+，故B 正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为32 1.5÷=元，故C 正确；设当2x >时，设2y 与x 之间的函数关系式为y mx n =+代入点(2,3),(6,4)，可得2364m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得15,42k b ==，所以当2x >时，2y 与x 之间的函数关系式为21542y x =+，故D 正确.故选：ABCD.12．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 在定义域内的某区间M 是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（） A ．若()2f x x =，则不存在区间M 使()f x 为“弱增函数” B ．若()1f x x x=+，则存在区间M 使()f x 为“弱增函数”C ．若()3f x x x =+，则()f x 为R 上的“弱增函数”D ．若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则4a =【答案】ABD【解析】对于A ：()2f x x =在[)0,∞+上为增函数，()==f x y x x在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M 使()2f x x =为“弱增函数”，A 正确；对于B ：由对勾函数的性质可知：()1f x x x=+在[)1,+∞上为增函数，()21f x y x x-==+，由幂函数的性质可知，()21f x y x x-==+在[)1,+∞上为减函数，故存在区间[)1,M =+∞使()1f x x x =+为“弱增函数”，B 正确；对于C ：()3f x x x =+为奇函数，且0x ≥时，()3f x x x =+为增函数，由奇函数的对称性可知()3f x x x=+为R 上的增函数，()21f x y x x==+为偶函数，其在0x ≥时为增函数，在0x <时为减函数，故()3f x x x=+不是R 上的“弱增函数”，C 错误；对于D ：若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则()()24f x x a x a =+-+在(]0,2上为增函数，所以402a --≤，解得4a ≤，又()()4f x ay x a x x==+-+在(]0,2上为减函数，由对勾函数的单调性可知，2a ≥，则4a ≥，综上4a =.故D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．（2022·全国·高一单元测试）已知1114,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若函数()af x x =在()0,+∞上单调递减，且为偶函数，则=a ______．【答案】4-【解析】由题知：0a <，所以a 的值可能为4-，1-，12-．当4a =-时，()()1440f x x x x -==≠为偶函数，符合题意．当1a =-时，()()110-==≠f x x x x为奇函数，不符合题意．当12a =-时，()12f x x x-==，定义域为()0,+∞，则()f x 为非奇非偶函数，不符合题意．综上，4a =-．故答案为：4-14．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()2232(1)m m f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【答案】()2f x x =【解析】()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =. 故答案为：()2f x x =15．（2022·全国·高一课时练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩()*1620,n n n ∈<<N 粒.则红豆和白豆共有________粒. 【答案】58【解析】设红豆有x 粒，白豆有y 粒，由第一轮结果可知：1042x y -=，整理可得：220x y =-；由第二轮结果可知：2yx n =-，整理可得：22y x n =-；当17n =时，由220234x y y x =-⎧⎨=-⎩得：883743x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；当18n =时，由220236x y y x =-⎧⎨=-⎩得：923763x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；当19n =时，由220238x y y x =-⎧⎨=-⎩得：3226x y =⎧⎨=⎩，322658x y ∴+=+=，即红豆和白豆共有58粒. 故答案为：58.16．（2022·全国·高一期中）已知幂函数()223()p p f x x p N --*=∈ 的图像关于y 轴对称，且在()0+∞，上是减函数，实数a 满足()()233133pp a a -<+，则a 的取值范围是_____．【答案】14a <<【解析】幂函数()()223*p p f x xp N --=∈在()0+∞，上是减函数， 2230p p ∴--<，解得13p -<<，*p N ∈，1p ∴=或2．当1p =时，()4f x x -=为偶函数满足条件，当2p =时，()3f x x -=为奇函数不满足条件，则不等式等价为233(1)(33)ppa a -<+，即()11233(1)33a a -<+，()13f x x =在R 上为增函数， 2133a a ∴-<+，解得：14a <<.故答案为：14a <<. 四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小： (1)()32--，()32.5--； (2)788--，7819⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)3412⎛⎫ ⎪⎝⎭，3415⎛⎫ ⎪⎝⎭，1412⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为幂函数3y x -=在(),0∞-上单调递减，且2 2.5->-，所以()()332 2.5---<-．（2）因为幂函数78y x =在[)0,∞+上为增函数，且7788188-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1189>，所以77881189⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以77881189⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7788189-⎛⎫-<- ⎪⎝⎭．（3）41341128⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3144115125⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11112582<<，因为幂函数14y x =在()0,∞+上单调递增，所以331444111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x x =()2g x x =-.(1)求方程()()f x g x =的解集；(2)定义：{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩.已知定义在[)0,∞+上的函数{}()max (),()h x f x g x =，求函数()h x 的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数()h x 的简图，并根据图象写出函数()h x 的单调区间和最小值. 【解析】（12x x =-，得2540x x -+=且0x ≥，解得11x =，24x =；所以方程()()f x g x =的解集为{1,4}（2）由已知得()2,01,2,14222,4x x x x x h x x x x x x x x -≤<⎧⎧-⎪⎪==≤≤⎨⎨-<-⎪⎪⎩->⎩. （3）函数()h x 的图象如图实线所示：函数()h x 的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，其最小值为1.19．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知幂函数()a g x x =的图像经过点(22,，函数2(4)()1g x af x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数a 的值；(2)判断函数f （x ）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明【解析】(1)由条件可知22a=12a =，即()12g x x x ==，()42g =，因为()221x a f x x +=+是奇函数，所以()00f a ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以2a =成立； (2)由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <， ()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.20．（2022·全国·高一课时练习）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t （件）与销售价格x （元/件）（*x ∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，()()2510050t x a x =-++；②当6076x ≤≤时，()1007600t x x =-+.记该店月利润为M （元），月利润=月销售总额-月总成本.(1)求M 关于销售价格x 的函数关系式；(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.【解析】（1）当60x =时，()260510050100607600a -++=-⨯+，解得2a =.∴()()()()()2**220100003420000,3460,,10076003420000,6076,x x x x x N M x x x x x N ⎧--+--≤≤∈⎪=⎨-+--≤≤∈⎪⎩即()32*2*24810680360000,3460,,10011000278400,6076,x x x x x N M x x x x x N ⎧-++-≤≤∈=⎨-+-≤≤∈⎩（2）当3460x ≤≤，x ∈R 时，设()3224810680360000g x x x x =-++-，则()()26161780g x x x '=---.令()0g x '=，解得182461x =-，()28246150,51x =+，当3450x ≤≤时，()0g x '>，()g x 单调递增；当5160x ≤≤时，()0g x '<，()g x 单调递减.∵*x ∈N ，()5044000M =，()5144226M =，()M x 的最大值为44226.当6076x ≤≤时，()()21001102784M x x x =-+-单调递减，故此时()M x 的最大值为()6021600M =.综上所述，当51x =时，()M x 有最大值44226.∴该打印店的最大月利润为44226元，此时产品的销售价格为51元/件. 21．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为1，求实数m 的值. 【解析】（1）因为()f x 为幂函数所以233112a a a a -+===，得或因为()f x 为偶函数所以2a = 故()f x 的解析式2()f x x =.（2）由（1）知()()2213g x x m x =+--，当1212m-≤即12m ≥-时，()()max 3361g x g m ==+=，即13m =- 当1212m ->即12m <-时，()()max 1121g x g m =-=--=即1m =- 综上所述：13m =-或1m =-22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()()22tf x t t x t R -=+∈，且()f x 在区间()0,∞+上单调递减.(1)求()f x 的解析式及定义域； (2)设函数()()()221g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦，求证：()g x 在()0,∞+上单调递减.【解析】（1）因为幂函数()()()22t f x t t x t R -=+∈，()f x 在区间()0,+∞上单调递减，所以221+=t t ，解得1t =-或12t =，所以()12f x x -=，定义域为()0,+∞.（2）由（1）知函数()()()()2222110--=-=-≠⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦g x f x x x x f x ，设120x x >>，则()()()222222211212212222121211------=--+=-+x x g x g x x x x x x x x x因为120x x >>，所以2212x x >，222221210,0-<>x x x x ，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <，所以()g x 在()0,+∞上单调递减.。

10.高一寒假数学讲义：幂函数的图像与性质(应用)【学生版】

高一寒假数学讲义“幂函数的图像与性质（应用）”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。

知识梳理一、幂函数的定义一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。

特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。

二、幂函数的图像α取值范围不同，图像也不相同，α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。

比如幂函数11234,,y x y x y x -===定义域分别为x ∈R ，x ∈R ，x ≠0。

三、幂函数的性质（1）所有的幂函数在x ∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数（3）α>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. α<0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数;(3)在第一象限内,图象向上与Y 轴无限接近,向右与X 轴无限地接近.四、幂函数的运算（一）两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

（二）有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m na a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11(0,,1)mn m nmnaa m n N n a a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

高一数学《幂函数》PPT课件

根据n, m, p的取值不同，图像形状各异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半径，利用幂函数表示圆的面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正方形边长，利用幂函数表示面积与边长关系。

3幂函数-学生讲义

幂函数1、幂函数的概念=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.一般地，形如y xα2、幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞）上是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.注：1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y＝αx，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．3.幂函数的奇偶性，()q pf x x =3、函数图像的变换平移变换（1）水平平移()()(0)h h y f x y f x h >==+→向左平移的图像的图像()()(0)-h h y f x y f x h >==→向右平移的图像的图像（2）竖直平移()()(0)+h h y f x y f x h >==→向上平移的图像的图像()()(0)-h h y f x y f x h >==→向下平移的图像的图像对称变换：（1）()()-x y f x y f x =←−−−−→=关于轴对称的图像的图像；（2）()()y y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称的图像的图像；（3）()()y f x y f x =←−−−−→=--关于原点对称的图像的图像（4）将函数()y f x =的图像在x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴的上方，去掉原来x 轴下方的部分即可得到函数()y f x =的图像。

第11讲幂函数(讲义)

第11讲幂函数（讲义）1.10.0 幂指对函数的算术背景让我们从乘方运算谈起，设变量r q p ,,满足等式r p q =（例如8,2,3===r q p ），则称“r 是p 的q 次方”. 若其中一个变量的值确定，则另外两个变量之间可能具有函数关系. 所谓“可能具有”，是指某些情况下一个变量的值不足以唯一确定另外一个值，例如当确定变量2=q 时，变量p 的值可以唯一确定变量r 的值，因此r 是p 的函数，即2p r =；但是反过来，变量r 的值不足以唯一确定p 的值. 在后一种情况下，我们可以通过引入某种“单值化”条件来保证函数关系成立，例如，引入算术平方根的概念（也就是要求变量p 只能取非负值），就可以使p 是r 的函数，即r p =.现在，我们设三个变量中已确定具体值的为a ，另外两个分别称为y x ,，则这样的表达式总共有6种形式：①y a x =，②x a y =，③y x a =，④x y a =，⑤a x y =，⑥a y x =. 我们认为其中三种是重要的（①②③），因此为它们赋予专门的名称并加以研究：（A ）幂函数：R a x y a ∈=,①；（B ）指数函数：R a a y x ∈=,；（C ）对数函数：*∈=R a x a y ,②；你可能会好奇另外三种为什么会被认为是不重要的？简单的代数变形可以帮我们看清楚上述选择的理由：④a a xy x y 1=⇒=与③本质上是一样的，⑤y y a x a x 1=⇒=与②本质上是一样的，⑥x x a y a y 1=⇒=本质上是一样的.补充：有理指数的乘方运算初中阶段我们已经学习过正整数指数的乘方运算，并给出了最重要的运算规则：()*+∈∈=⋅N n m R a a a a n m n m ,,下面我们将看到，如果保留这条基本性质并假设它对于指数不是正整数的情况也成立，就可以顺利地导出指数为任意有理数情况的意义.（1）整数指数考虑到n n n a a a a ==⋅+00，因此应该定义10=a ，同时保证除法运算n n n n a a aa ==-0的有效性，约定()010≠=a a . 接着，由于10==⋅-a a a n n ，定义()01≠=-a a a nn . 例如，① 不过在中学阶段，我们实际上只研究有理指数即Q a ∈的情况. 在各种场合下，如果没有特别加以说明，我们总是对Q a ∈的情况进行具体研究（并不加论证地假设研究结果可以推广到R a ∈的情况）. ② 关于每一种函数对a 的取值范围以及定义域的要求，我们会在后继内容中详细讨论.()441121121,4917172222===⎪⎭⎫ ⎝⎛==--. （2）分数指数最容易理解的分数指数当属开方运算：()a a a a a =⇒==⋅1212221，实际上平方后得a 的数通常是两个符号相反的实数，我们约定只考虑其中非负的那个（即算术平方根），就使得1a 具有唯一的意义. 类似地，a N n 1,*∈∀具了唯一的意义. 而()m nn m a a 1=也随之具有了唯一确定的含义. 例如，()()23834834333122216,12525252883======⋅，，()91313332722-23-32-332-=====⋅.*（3）实数指数：以23为例. 我们对实数2的认识是：存在一族闭区间[][][][] 415.1414.142.1,41.15.1,4.12,1，，，，使得2始终位于这个闭区间内，且这族闭区间的“长度”（即闭区间两端点所对应实数的距离）可以小于任意给定的正数，因为它们每次比原先缩小10倍，因此一定能够变到足够小③. 在此基础上我们可以理解23是一个什么样的实数，即考虑闭区间族[]213,3，[]5.14.13,3，[] ，5.141.13,3，由于每个端点所代表的实数是唯一确定的，因此它们自身也是确定的，并且确实将23包含于其中；此外，由于指数之间的差距可以充分小，因此闭区间的长度也随之而变得充分小，由此可知它们最终必将唯一确定某一实数，即23④.利用上述思想我们可以知道，任意实数指数的乘方运算是有明确意义的，它可以唯一确定一个实数. 当然，大多数情况下，我们可以借助计算器来完成这一工作.1.11.1 幂函数的定义与基本性质我们称形如()R a x y a∈=的函数为幂函数. 但是在这个约定中，我们还没有说明函数的定义域，因此这个“定义”还不够完整. 在下面的讨论，我们将针对a 的不同取值情况来加以考察.例1、画图象找规律（1）在同一坐标系内画出函数32x y x y x y ===、、的图象；（2）将函数5.25.1x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；③这里我们实际上使用了实数的“阿基米德公理”：b an N n R b a >∈∃∈∀*+,,,. ④ 我们所使用的想法可以概括为：一族长度趋近于0的闭区间套唯一确定了一个实数，它是实数理论中一个具有基础性地位的定理.（3）将函数11x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；接着观察图象，看看能发现哪些规律？将你的发现归纳出来. 解答：右图中包含12132x y x y x y x y x y =====、、、、的图象；（1）定义域：图中所有函数的定义域都包含()∞+，0，或者说，包含()∞+，0是一个必要条件；（2）在区间()∞+，0上各函数的值域是()∞+，0；（3）在5.1x y =的图象时，需保证它始终位于函数x y =与2x y =的图象之间，类似地，5.2x y =始终介于2x y =与3x y =之间；（4）()0>=a x y a 在()∞+，0上是增函数；（5）()02>=x x y 与21x y =关于x y =轴对称，()03>=x x y 与31x y =关于x y =轴对称；猜测更一般地，在()+∞,0上，()0>=a x y a 与()01>=a x y a 关于x y =轴对称；例2、画图象研究性质：32xy =. 分析：由()122x x y ==可知它是偶函数，考虑到()23132x x y ==，列表描点时不妨代入一些可以开立方的x 值。

幂函数与二次函数讲义

幂函数与二次函数讲义一、知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域值域单调性对称性函数的图象关于x＝－b2a对称(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212x 是幂函数．( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) 题组二：教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点)22,21(，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3题组三：易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_____．三、典型例题1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2．若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c3．若12(21)m >122(1)m m＋－，则实数m的取值范围是思维升华：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二：二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.思维升华：求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.题型三：二次函数的图象和性质命题点1：二次函数的图象典例：对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2：二次函数的单调性典例函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 命题点3：二次函数的最值典例已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值．命题点4：二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是____． (2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．思维升华：解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．四、反馈练习1．幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．23．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a ＜0或a ＞3D ．0＜a ＜34．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是____________． 7．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是__________． 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈]212[--，时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．11．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2,3]D ．[1,2]12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．。

3.3幂函数(共43张PPT)

解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn，因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)，所以 3＝3n，解得 n＝12，即 f(x)＝ x，所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减，所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0，所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.

《幂函数》讲义

《幂函数》讲义一、幂函数的定义一般地，形如\（y ＝x^α\）（＼（α\）为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

其中\（x\）是自变量，＼（α\）是常数。

需要注意的是，在幂函数中，系数必须为\（1\）。

例如，＼（y ＝3x^2\）不是幂函数，而\（y ＝ x^2\）是幂函数。

二、幂函数的图像1、当\（α ＞ 0\）时（1）＼（α ＝ 1\）此时幂函数\（y ＝ x\）的图像是一条经过原点和点\（（1,1)＼）的直线，斜率为\（1\）。

（2）＼（α ＝ 2\）幂函数\（y ＝ x^2\）的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为\（y\）轴，顶点为原点。

（3）＼（α ＝ 3\）幂函数\（y ＝ x^3\）的图像是一条经过原点，在第一、三象限单调递增的曲线。

2、当\（α ＜ 0\）时（1）＼（α ＝－1\）幂函数\（y ＝ x^｛－1} ＝＼frac{1}｛x}＼）的图像是位于第一、三象限的双曲线。

（2）＼（α ＝－2\）幂函数\（y ＝x^｛－2} ＝＼frac{1}｛x^2}＼）的图像是位于第一、二象限，开口向上的抛物线。

通过对不同幂函数图像的研究，我们可以发现幂函数的图像具有多样性，但也存在一些共性特征。

三、幂函数的性质1、定义域幂函数的定义域与指数\（α\）的取值有关。

当\（α\）为正整数时，定义域为\（R\）。

当\（α\）为负整数时，定义域是\（x ≠ 0\）。

当\（α\）为正分数时，可将\（α\）表示为\（＼frac{m}｛n}＼）（＼（m\）、＼（n\）为正整数且互质），若\（n\）为奇数，定义域为\（R\）；若\（n\）为偶数，定义域为\（0, ＋∞）＼）。

2、值域同样，值域也与\（α\）的取值相关。

当\（α ＞ 0\）时，值域为\（0, ＋∞）＼）。

当\（α ＜ 0\）时，值域为\（（0, ＋∞）＼）。

3、单调性当\（α ＞ 0\）时，幂函数在\（0, ＋∞）＼）上单调递增。

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幂函数及函数应用（讲义）
➢ 知识点睛
一、幂函数
1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．
2. 函数图象及图象性质
（1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3
，12
y x =，1y x -=的图象：
（2）图象性质
（3）幂函数图象的画法
第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势．
①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如
1
2
y x =；
③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=．第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况．
① 当m
n
α=
（m ，n ∈N *，且互质）时：若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称；若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称；若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． ② 当m
n
α=-
（m ，n ∈N *，且互质）时：若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称；若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称；若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．
3. 幂函数指数变化与图象分布规律
函数y x α=在第一象限的图象：
①a y x =；②b y x =；③c y x =；④d y x =；⑤e y x =；⑥f y x =，则有a <b <0<c <d <1<e <f ．
二、函数的零点
1. 对于函数()y f x =，我们把_____________________叫做函数()y f x =的零
点．
2. 方程()0f x =有实数根
⇔_________________________________ ⇔_________________________________
1. 下列函数是幂函数的是（）
A ．y =(x +2)2
B ．y =
C ．12
y x -
=
D ．y =3x
2. 若函数2
223()(1)m m f x m m x --=-+是幂函数，且()()f x f x -=，则实数m 的值
为（）
A ．0或1
B ．1
C ．0
D ．
12
± 3. 函数y x α=（x ≥1）的图象如图所示，则α满足的条件是（）
A ．α<-1
B ．-1<α<0
x
【参考答案】
➢ 知识点睛二、函数的零点 1. 使()0f x =的实数x
2. 函数()y f x =的图象与x 轴有交点
函数()y f x =有零点 3. ()()0f a f b <⋅，()a b ，，存在()c a b ∈，，()0f c = ➢ 精讲精练 1. C 2. B 3. C 4. A 5. C
6.
（1）[0)+∞R ，
，（2）(0)(0)(0)(0)-∞+∞-∞+∞，
，，，，（3）(0)(2)-∞+∞，
， 7. （1）1
()2
-+∞，；（2）-1，1，3，5
8.C
9.D
10.（1）>；（2）<；（3）>；（4）>
11.B
12.A
13.B
14.B
15.B
16.C。