人教版九年级数学下册第二十六章考点整合
新人教版九年数学下第二十六章-反比例函数知识点总结
新人教版九年数学下第二十六章 反比例函数知识点总结26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；⑸函数x k y =（0k ≠）与ykx =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.3知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
26.4知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号0k >0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
数学知识点人教版数学九下《第26章二次函数》word总结提升-总结
第26章 二次函数全章总结提升◆本章总结归纳（一）知识框架（二）重点难点突破1．函数图象的理解与应用易错点：函数图象的意义认识不表，它的性质、特征与函数图象联系不上，不能达到数形互助；突破点：加强对函数图象中点的坐标的意义认识，分析各点的坐标，理解y 随x 的变化情况，从而达到能直接根据图象说出二次函数的有关性质。
（如：增减性、极值、对称轴等）理解,,a b c 的值对抛物线2y ax bx c =++的影响，提高解题效率 2.抛物线2y ax bx c =++的特征与,,a b c 符号：,,a b c 决定开口方向0,0,a a >⎧⎨<⎩开口向上;开口向下.,,a b c 与b 决定对称轴位置,,a b a b ⎧⎨⎩同号,在轴左侧;异号,在轴右侧.c 决定抛物线与y 轴交点的位置0,0,0,c c c >⎧⎪=⎨⎪<⎩交点在y 轴的正半轴上;交点在原点;交点在y 轴的负半轴上. 易错点：以上关系不清楚，导致做题盲目，出错。
突破点：数形结合，变式训练，特别是,,a b c 与b 一走决定对称轴位置的理解与判定。
3．解析式之间的转化与解析式的求法。
易错点：①将2y ax bx c =++化成顶点式224()24b ac b y a x a a -=++ ②用待定系数法求解时，不能根据不同条件恰当地选取解析式。
突破点：①强调配方的步骤、配方的规律，注意恒等变形与检验。
②比较不同形式的解析式的优劣，应用的环境，加强对顶点式、交点式的理解，并能正确运用。
4．抛物线的平移规律，表达式的变化。
易错点：抛物线的移动，对解析式变化理解不透，不同方向的移动，到底是加还是减判断不清。
突破点：抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减。
5．抛物线与x 轴交点情况。
易错点：此类题综合性较大，对应关系不很明确，隐含条件较多，极易出错。
突破点：抛物线与x 轴交点横坐标就是相应一元二次方程的两根，把交点的个数转化为方程。
初中数学九年级下册第二十六章二次函数知识点总结及(K12教育文档)
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新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结及精品试题第一部分 基础知识1。
定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴。
（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系。
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3）顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a 。
3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合)y 轴的抛物线。
4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5。
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2。
6。
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =。
新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题
新人教版九年级数学下册第26章反比率函数知识点概括和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比率函数的看法，能依据实质问题中的条件确立反比率函数的分析式（k 为常数，），能判断一个给定函数能否为反比率函数．2．能描点画出反比率函数的图象，会用代定系数法求反比率函数的分析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、分析式法和图象法的各自特色．3．能依据图象数形联合地剖析并掌握反比率函数（k 为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质剖析和解决一些简单的实质问题．4．对于实质问题，能“找出常量和变量，成立并表示函数模型，议论函数模型，解决实质问题”的过程，领会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反应在函数看法中的运动变化看法，进一步认识数形联合的思想方法．（三）要点难点1．要点是反比率函数的看法的理解和掌握，反比率函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比率函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比率函数的看法1．（）能够写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决相关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也能够写成xy=k 的形式，用它能够快速地求出反比率函数分析式中的k，进而获得反比率函数的分析式；3．反比率函数的自变量，故函数图象与x 轴、 y 轴无交点．（二）反比率函数的图象在用描点法画反比率函数的图象时，应注意自变量x 的取值不可以为 0，且 x 应付称取点（对于原点对称）．（三）反比率函数及其图象的性质1．函数分析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（ 1）图象的形状：双曲线．越大，图象的曲折度越小，曲线越平直．越小，图象的曲折度越大．（ 2）图象的地点和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．（3）对称性：图象对于原点对称，即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象对于直线对称，即若（ a， b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4． k 的几何意义矩形如图 1，设点 P（a，b）是双曲线上随意一点，作PA⊥x轴于 A点， PB⊥y轴于 B 点，则PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图 2，由双曲线的对称性可知，P 对于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1图2 5．说明：（ 1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比率函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不可以混为一谈．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点对于原点成中心对称．（3）反比率函数与一次函数的联系．（四）实质问题与反比率函数1．求函数分析式的方法：（ 1）待定系数法；（ 2）依据实质意义列函数分析式．2．注意学科间知识的综合，但要点放在对数学知识的研究上．（五）充足利用数形联合的思想解决问题．三、例题剖析1☆．反比率函数的看法（ 1）以下函数中，y 是x 的反比率函数的是（）．A． y=3x B． C ．3xy=1D．（ 2）以下函数中，y 是x 的反比率函数的是（）．A．B．C．D．答案：（ 1） C；（2） A．2．图象和性质（1）已知函数是反比率函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________ ．②若 y 随 x 的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比率函数经过点（， 2），则一次函数的图象必定不经过第_____象限．（4）已知 a·b＜ 0，点 P（ a， b）在反比率函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比率函数图象上的两点，则一次函数 y=kx+m 的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（ 6）已知函数和（ k≠0），它们在同一坐标系内的图象大概是（）．A．B．C．D．答案：（ 1）①② 1；（ 2）一、三；（3）四；（4） C；（5） C；（ 6） B．3．函数的增减性（ 1）在反比率函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数 C ．非正数D．非负数（ 2）在函数（ a 为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（ 3）以下四个函数中：①；②；③；④．y 随 x 的增大而减小的函数有（）．A．0个 B ．1个C．2个D．3个（ 4）已知反比率函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比率函数的函数值y 随 x 的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（ 1） A；（2） D；（3） B．注意，（ 3）中只有②是切合题意的，而③是在“每一个象限内”y 随 x 的增大而减小．4．分析式确实定（ 1）若与成反比率，与成正比率，则y 是 z 的（）．A．正比率函数 B ．反比率函数C．一次函数D．不可以确立（ 2）若正比率函数y=2x 与反比率函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（ 3）已知反比率函数的图象经过点，反比率函数的图象在第二、四象限，求的值．（ 4）已知一次函数y=x+m与反比率函数（）的图象在第一象限内的交点为P （ x 0，3）．①求 x 0 的值；②求一次函数和反比率函数的分析式．（ 5）☆为了预防“非典”，某学校正教室采纳药薰消毒法进行消毒．已知药物焚烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比率，药物焚烧完后，y 与 x 成反比率（如下图），现测得药物 8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请依据题中所供给的信息解答以下问题：①药物焚烧时y 对于 x 的函数关系式为___________，自变量 x 的取值范围是_______________ ；药物焚烧后y 对于 x 的函数关系式为_________________．②研究表示，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，起码需要经过 _______分钟后，学生才能回到教室；③研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且连续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒能否有效？为何？答案：（ 1） B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数分析式为，反比率函数分析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（ 1）☆如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（ 1）题图第（2）题图（2）☆如图， A、B 是函数的图象上对于原点 O对称的随意两点， AC//y 轴， BC//x 轴，△ABC的面积 S，则（）．A． S=1B． 1＜S＜ 2C．S=2D．S＞ 2（ 3）如图， Rt△AOB 的极点 A 在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（ 3）题图第（ 4）题图（ 4）☆已知函数的图象和两条直线y=x， y=2x 在第一象限内分别订交于P1和P2两点，过 P1分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P1Q1， P1R1，垂足分别为Q1， R1，过 P2分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P2 Q 2，P2 R 2 ，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1并比较它们的大小．（ 5）如图，正比率函数y=kx（ k＞0）和反比率函数的图象订交于轴垂线交x 轴于 B，连结 BC，若△ ABC面积为 S，则 S=_________．和OQ2P2R2 的周长，A、C两点，过 A 作 x第（ 5）题图第（6）题图（ 6）如图在Rt△ABO中，极点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的分析式；②求直线与双曲线的两个交点A、 C的坐标和△ AOC 的面积．（ 7）如图，已知正方形OABC的面积为 9，点 O为坐标原点，点A、C 分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 在函数（ k＞ 0， x＞0）的图象上，点P （ m， n）是函数（ k＞ 0， x＞ 0）的图象上随意一点，过P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为E、F，设矩形 OEPF在正方形OABC之外的部分的面积为S．①求 B 点坐标和 k 的值；②当时，求点P 的坐标；③写出 S 对于 m的函数关系式．答案：（ 1） D；（2）C；（3）6；（4），，矩形 O Q 1P1 R 1 的周长为 8， O Q 2P2 R 2 的周长为，前者大．（5） 1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（， 0），且 A（ 1，）和 C（， 1），所以面积为 4．（7）① B（ 3， 3），；②时， E（6， 0），；③．6．综合应用（ 1）若函数y=k1x （k1≠0）和函数（ k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和 k2（）．A．互为倒数 B ．符号同样C．绝对值相等 D ．符号相反（ 2）如图，一次函数的图象与反比率数的图象交于A、 B 两点： A（， 1）， B（ 1， n）．①求反比率函数和一次函数的分析式；②依据图象写出使一次函数的值大于反比率函数的值的x 的取值范围．（ 3）如下图，已知一次函数（ k≠0）的图象与x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比率函数（m≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD垂直于 x 轴，垂足为 D，若OA=OB=OD=1．①求点 A、 B、D 的坐标；②求一次函数和反比率函数的分析式．（4）☆如图，一次函数的图象与反比率函数的图象交于第一象限C、D 两点，坐标轴交于 A、 B 两点，连结 OC， OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比率函数的分析式和m的值；②双曲线上能否存在一点P，使得△ POC和△ POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．（5）不解方程，判断以下方程解的个数．①；②．答案：（1） D．（2）① 反比率函数为，一次函数为；②范围是或．（3）① A（ 0，）， B（ 0，1）， D（ 1，0）；②一次函数为，反比率函数为．（4）①反比率函数为，；②存在（ 2， 2）．（5）①结构双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②结构双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。
初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结及
新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结及精品试题第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x k－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-. （2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,第9题则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）．∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=aBC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-aa a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+a aa ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2121245x x x x -2（+）∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩L L ①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =±- .这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上，NMCx y O∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）． 解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ．iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ． 所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2.解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式： （3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．。
人教版九年级数学下册知识点总结：第二十六章反比例函数
人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章、反比例函数知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。
人教版九年级数学下册ppt课件第二十六章小结与复习
据以上信息解答下列问题： (3)若每毫升血液中的含药量不低于 2 (毫1)克求时当治0≤疗x≤有2效时，，则y 与服药x 的一函次数，解治析疗式； 疾病的有效时间是多长？ (2)求当 x>2 时，y 与 x 的函数解析式；
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
一 反比例函数的概念
命题角度：
1. 反比例函数的概念；
2. 求反比例函数的解析式．
例 已知点 P(1，－3)在反比例函数 y＝kx(k≠0)的
图象上，则 k 的值是( B )
A．3
B．－3
1
1
C.3
D．－3
解析：把 P(1，－3)代入 y＝kx(k≠0)得 k ＝1×(－3)＝－3.故选择 B.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
归纳 此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形 面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路，在直角坐标 系中，求三角形或四边形面积时，常常采用分割法，把所求的 图形分成几个三角形或四边形，分别求出面积后再相加．
2
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
数学九年级二十六章知识点
数学九年级二十六章知识点数学九年级是一个关键的学习阶段，在这个阶段，学生们将学习到数学的许多重要概念和技能。
其中，第二十六章是一个比较综合的章节，包含了多个知识点。
在本文中，我将为大家逐一介绍这些知识点，并提供一些实用的学习方法。
首先，我们来谈谈排列组合的概念。
在数学中，排列组合是研究对象的不同排列和组合方式的一门学科。
在九年级数学中，我们将学习如何计算排列组合的数量。
例如，当我们要从一组不同的元素中选择几个进行排列时，应该如何计算可能的排列数量。
这是一个非常实用的技巧，可以应用于很多实际问题中，比如统计学、概率论等领域。
接下来，让我们来看看数列与递推的概念。
数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。
在九年级数学中，我们将学习如何通过给定的规律来找出数列的通项公式。
这个技巧对于解题非常有帮助，能够让我们快速找到数列中任意位置的数值。
另外，我们还将学习递推的概念，即通过前一项或前几项来确定后一项的值。
递推在数学中有着广泛的应用，比如斐波那契数列、等差数列等。
在数九中，我们还将学习一些基本的图形变换知识。
图形变换是指通过一系列操作将原始图形变换成另一个图形的过程。
我们将学习平移、旋转、翻转和放缩等四种基本的图形变换方式，并研究它们的性质和作用。
通过学习这些知识点，我们可以更好地理解几何图形的特性，并能够运用它们解决各种实际问题。
此外，在九年级数学中，我们还将学习一些关于函数的重要知识。
函数是数学中的一个基本概念，描述了输入和输出之间的关系。
我们将学习如何表示函数，并研究它们的性质和图像。
通过学习函数的知识，我们可以更好地理解数学中的关系和变化，也能够运用函数解决各种实际问题。
最后，让我们来谈谈概率的概念。
概率是研究事物发生可能性的一门学科。
在九年级数学中，我们将学习如何计算事件的概率。
通过概率的学习，我们可以更好地理解随机事件的规律，并能够应用概率解决实际问题，比如赌博、抽奖等。
总结起来，九年级数学第二十六章包含了排列组合、数列与递推、图形变换、函数和概率等多个重要知识点。
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(2)问血液中药物浓度不低于4 μg/mL的持续时间是多少？
解：(1)当0≤x＜4时，设y与x的函数解析式为y＝kx，将
(4，8)代入，得8＝4k，解得k＝2，
故解析式为y＝2x；
a
当4≤x≤10时，设y与x的函数解析式为y＝ a
△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为
( )B
A. 4
3
C．3
B. 8
3
D．4
16．(中考·舟山)如图，点C在反比例函数y＝ k (x>0)的图
x
象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A，B，
且AB＝BC，△AOB的面积为1，则k的值为( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
3
6
17．(中的，考图交·象y东＝，营3 点的)如P图是图象y是＝于函点6x数的Cy，图＝P象xB与上⊥函一y轴数动于y点＝点，BxP，在A交⊥第yx一＝轴象于3限点内A
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … y … 1 1.2 1.5 2 3 6 －6 －3 －2 －1.5 －1.2 －1 …
(1)试猜想y与x的函数关系可能是你学过的哪种函 数，并写出这个函数的解析式；
(2)画出这个函数的图象．
解：(1)反比例函数，y＝－
6 x
.
∵一次函数y＝x＋b的图象经过点A(1，2)，
∴2＝1＋b，∴b＝1.
∴反比例函数的解析式为y＝
2 x
，一次函数的解
析式为y＝x＋1.
6．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx
＋b的图象和反比例函数y＝
m x
的图象的两个交点．
求：
(1)反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
y1<y2
8．(中考·永州)在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝
(bb≠0)与二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象大致是( x
)D
9．画出反比例函数y＝
6 x
的图象，并根据图象回答问题：
(1)根据图象指出当y＝－2时x的值；
(2)根据图象指出当－2＜x＜1且x≠0时y的取值范围；
(3)根据图象指出当－3＜y＜2且y≠0时x的取值范围．
14 ．(中考·江西)如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例
函数y1＝
k1 x
(x＞0)及y2＝
k2 x
(x＞0)的图象分别交于点
A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则
k1－k2＝___4___．
15．(中考·眉山)如图，A，B是双曲线y＝
k x
(k≠0)上的两
点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若
(2)根据题意，得y≥24，所以 120 ≥24. x
解不等式，得x≤5， 即每小时消耗的原料量应控制在大于2 t且不大于5 t的 范围内．
11．(中考·呼伦贝尔)某药品研究所开发一种抗菌新药， 经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成 人服药后血液中药物浓度y(μg/mL)与服药时间x(h) 之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比 例)．
间的函数解析式是( C )
A．v＝5t
C．v＝
5 t
B．v＝t＋5
D．v＝
t 5
3．判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数：
①
xy＝－
2a
；1② 3
y＝5－x；③
y＝
；2
5x
④ y＝ (ax为常数且a≠0)．
其中_________①__③_是④反比例函数(填序号)．
考点 2 两个方法
方法1 画反比例函数图象的方法 4．已知y与x的部分取值如下表：
x
把点A(－4，2)，B(2，－4)的坐标分别代入y＝kx＋b，
得∴一2次k4k函b数b的解42 析解式得为y＝bk － x－21 2.
(2)在y＝－x－2中，令y＝0，
则－x－2＝0，解得x＝－2.
∴C(－2，0)，
∴OC＝2. ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝
1 2
×2×2＋12
×2×4＝6.
m
(3)方程kx＋b－
x
＝0的解(请直接写出答案)； m
(4)不等式kx＋b－ x <0的解集(请直接写出答案)．
解：(1)将点B(2，－4)的坐标代入y＝
m x
，得－4＝
m 2
，
解得m＝－8.
8 ∴反比例函数的解析式为y＝ x .
∵点A(－4，n)在双曲线y＝8 上，
∴n＝2.∴A(－4，2)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (2)若恰好经过24 h才有新的原料进厂，为了使机器不停止运 转，则x应控制在什么范围内？ 解：(1)库存原料为2×60＝120(t)，根据题意可知y关于x的函
数解析式为y＝ 120 . x
因为生产能力提高，每小时消耗的原料量大于计划
消耗的原料量，所以自变量的取值范围是x＞2.
6
(2)解：S四边形OBPA＝ m ·m＝6.
设C点坐标为
a,
3 a
，由(1)知D点坐标为
3 m
,
m
，
则 S△SO△ACO＝BD＝12 ·12a··ma33＝·m32＝.
3 2
，
∴S四边形ODPC＝S四边形OBPA－S△OBD－S△OAC＝6－
3－ 2
3 2
＝3.
(3)x1＝－4，x2＝2. (4)－4<x<0或x>2.
考点 3 三个应用
应用1 反比例函数图象和性质的应用 7．(中考·衡阳)对于反比例函数y＝－ 2 ，下列说法不正确的
x
是( ) A．图象分布在第二、四象限 B．当x>0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点(1，－2)
D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且x1<x2，则 √
小关系正确的是( )
A．p1＞p2＞p3 C．p2＞p1＞p3
B．p1＞p3＞p2
D．p3＞p2＞p1 √
考点 4 一个技巧——用k的几何性质求图形的面积
13．(中考·烟台)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的
面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝ k 的图 x
象上，则k的值为___－__6___．
解：图略． 观察图象可知：(1)当y＝－2时x＝－3. (2)当－2＜x＜1且x≠0时，y＜－3或y＞6. (3)当－3＜y＜2且y≠0时，x＜－2或x＞3.
应用2 反比例函数的实际应用
10．某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消 耗2 t，可用60 h．由于技术革新，实际生产能 力有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划 消耗的原料量．设现在每小时消耗的原料量为 x(单位：t)，库存的原料可使用的时间为y(单 位：h)．
解得x＝8.
∵8－2＝6(h)， ∴血液中药物浓度不低于4 μg/mL的持续时间是6 h.
应用3 反比例函数在物理中的应用
12．(中考·宜昌)如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比
为4 2 1.如果A，B，C面分别向下放在地上，地面
所受压强为p1，p2，p3.压强的计算公式为p＝ F ，其中 p是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，S p3的大
第二十六章 反比例函数
全章热门考点整合应用
考点 1 一个概念——反比例函数的概念
1．若y＝(m－1)x|m|－2是反比例函数，则m的取值为( B ) A．1 B．－1 C．±1 D．任意实数
2．某学校到县城的路程为5 km，一同学骑车从学校到县
城的平均速度v(单位：km/h)与所用时间t(单位：h)之
(2)如图所示．
方法2 求反比例函数解析式的方法 5．已知反比例函数y＝ k 的图象与一次函数y＝x＋b的
x 图象在第一象限相交于点A(1，－k＋4)．试确定这
两个函数的解析式．
解：∵反比例函数y＝ k 的图象经过点A(1，－k＋4)，
∴－k＋4＝ k
x ，即－k＋4＝k，
1
∴k＝2.
∴A(1，2)．
，
x
将(4，8)代入，得8＝ ，解得4 a＝32，
故解析式为y＝ 32 . x
因此血液中药物浓度上升阶段的函数解析式为y＝2x(0≤x
＜4)，下降阶段的函数解析式为y＝ 3(x42≤x≤10)．
(2)当0≤x＜4时，令y＝4，得4＝2x，
解得x＝2；
当4≤x≤10时，令y＝4，得4＝ 32 ， x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
的图象于点D.
(1)求证：D是BP的中点；
(2)求四边形ODPC的面积．
6
(1)证明：∵点P在函数y＝
的第一象限内的图象上，
x
∴设P点坐标为
∴BP＝ 6 .
6 m
,
m
(m＞0)，
m
3
∵点D在双曲线y＝ x 上，BP⊥y轴，D在BP上，
∴∴DBD点＝的3坐.标为
3 m
,
m
.
m
∴D是BP的中点．