函数思想在中学数学中的应用-(2)

函数思想在中学数学中的应用-(2)函数思想在中学数学中的应用韩伟摘要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用.关键词: 函数思想数列不等式最值一、知识回顾1.引言在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.2.函数的概念(1)对应说:在变化过程中,有两个变量x和y.如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.(2)集合说:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数()f x与之对应,那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数,记作f:A→B或(),=∈.y f x x A此时x叫做自变量,集合A叫做函数的定义域,集合{()f x|x A∈}叫作函数的值域,习惯上称y是x的函数.(3)映射说:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B称为A到B的函数.3.函数的本质函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系.4.函数的性质(1)有界性:如果存在正数M ,对于函数()f x 定义域(或其子集)内的一切x 值,都有|()f x |≤M 成立,那么函数()f x 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M 不存在,那么称这个函数是无界的.(2)单调性:一般地,对于函数()y f x =的定义域内的一个子集A ,如果对于任意的1x ,2x∈A,当1x<2x 时都有12()()f x f x <(或12()()f x f x >),就称函数()y f x =在数集A 上是增加的(或减少的).(3)奇偶性:对于函数()f x 在定义域内的任意一个x 值,如果都有()()f x f x -=-成立,那么函数()f x 叫做奇函数;如果都有()()f x f x -=成立,那么函数()f x 叫做偶函数.(4)周期性:设()f x 是定义在数集M 上的函数,如果存在常数T ≠0,对于任意的x M ∈,都有x ±T ∈M ,且()()f x T f x +=总成立,则函数()f x 叫做周期函数,常数T 称为()f x 的周期.二. 利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:例1．若数列{na }的通项公式为na=38⨯n 1()8-3⨯n 1()4+1()2n (其中*n N ∈),且该数列中最大项为ma ,求m 的值.分析:由于该数列不是直接与等差数列、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,难以下手.但如果我们能认真观察通项公式na 的形式特点,不难发现它可以变形为:na = 38⨯31()2n-3⨯21()2n +1()2n，此时若令x =1()2n ∈1(0,]2,则na 所对应的函数为()f x =32833xx x-+, x ∈1(0,]2.这样由函数()f x 的导数易得该函数的极大值点,即可求得该数列中最大项为ma 中的m 的值.解: 由已知,得na=38⨯31 ()2n -3⨯21()2n +1()2n ， (*n N ∈)令()f x =na , x =1()2n, 则x ∈1(0,]2,且()f x =32833xx x-+, 则'()f x =2861xx -+=8(x -21)(x -41).令'()f x ≥0,得x ∈1(0,]4 , 所以该函数在1(0,]4上是单调递增的; 令'()f x ≤0,得x ∈11[,]42 , 所以该函数在11[,]42上是单调递减的. 故x =41为其极大值点,即2n =时该数列取得最大项,所以2m =. 例 2.设数列{na }的首项为156a=-,且1n n aa +-=12(1,2,n =……),求此数列到第几项的和最先大于100？解: 由已知1n n aa +-=12，可知数列{na }为等差数列,且112,56d a==-.所以该数列通项公式为56(1)121268nan n =-+-=-.则56nS n =-+2)1(-n n 12⨯2662n n =-.令100nS>, 得26621000nn -->, 即2331500n n -->⇒n <6156131-(0)<,或n >6156131+(7.11≈).由于*n N ∈,所以满足上述条件的最小正整数为12. 故此数列到第12项的和最先大于100.注：此类题是利用等差数列前n 项和公式nS=n 1a +2)1(-n n d =2d2n +(1a -2d )n =2d 211()2a n d ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦-2d 211()2a d -是关于n 的二次函数来解题的.当0d >时，nS 有最小值；当0d <时，nS 有最大值 .由于n 取正整数，因而当(12-1ad)不是正整数时，nS 的最小值或最大值不等于-2d 211()2ad -，此时n 取最接近于(12-1a d)的正整数时，才是nS 的最小值或最大值.值得注意的是接近于(12-1ad)的正整数有时是一个，有时有两个.三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3.<135212462n n -⋅⋅⋅⋅L <(1,)n n N >∈.分析：此不等式的证明若用一般的方法难以证明，仔细观察不等式的特点，可利用函数y =1x x+在(1,)-+∞上的单调增加性质可得1112k k k k k k -+<<++,k =1,2,...,21n -.可对不等式两边采用压缩法和放大法即可证明.证明：令c =135212462n n -⋅⋅⋅⋅L ,利用函数y =1xx+在(1,)-+∞上的单调增加性质， 1112k k k k k k -+<<++，k =1,2,...,21n -.∴123234<<, 234345<<,……,2221221221n n nn n n --<<-+,又 2c=1133552121()()()()22446622n n n n--⋅⋅⋅⋅L , ⇒11232221()()()2234212n n n n--⋅⋅⋅-L <2c<1234212()()()2345221n n n n -⋅⋅⋅+L ,⇒ 12211221cnn ⋅<<+ 即c <<.例4.已知实数a b e >>,其中e 是自然对数的底，证明ba <ab .分析：欲证ba<ab ，只需证ln ln b a a b <,即b b a a ln ln <.由此联想到函数()f x =xx ln 在(,)e +∞上若是严格递减的即可证明结论.证明: 对于函数()f x =x x ln 在(,)e +∞上，其导函数'()f x =2ln 1x x -0<.∴()f x 在(,)e +∞上是严格递减的.∴对∀a b e >>，都有()()f a f b < ,即 b b a a ln ln <.故ln ln b a a b <,从而ba<ab .四．利用函数思想解决最值问题求最值问题是函数思想的重要应用，此类题综合性强，知识面覆盖广，尤其在实际问题中利用函数思想解决最值问题最为广泛.下面举两例来看一下:例5．已知0a >,0π2<≤x ,函数y =2cossin x a x b-+的最大值是0，最小值是4-，求使y 取得最大值和最小值的x 值以及a 和b 的值.解: 设sin x t =,t1≤,则21y t at b =--++=-(t +2a)2+42a +b +1.因为(t +2a )2≥ ，所以-(t +2a)2≤ . 因此y ≤42a +b +1.故当t +2a =0时，y最大值=42a +b +1=0.又0a >, t 1≤ ，所以当1t =时,(t +2a )有最大值， 从而 114ya b b a =--++=-=-最小值.所以由42a +b +1=0,4b a -=-， 解得 2,2a b ==-.综上可得y 取最小值时，1t = 即 sin 1x = ，所以x =2π; y 取最大值时，1t =-即sin 1x =-，所以x =23π.例6、渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (0k >).（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）(1) 2()24k m km y x m =--+写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2) 求鱼群年增长量的最大值；(3) 求鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.解： (1)由题意，得()m x y kx m -=,即(1)xy kx m=-，0x m <<. （2）2()24k mkm y x m=--+.因为0x m <<,所以当2m x =时，y 有最大值4km. （3）依题意，得0x y m <+<,即02m<+4kmm <. 解得22k -<<, 又0k >,所以02<<.k五．总结函数思想是研究问题的重要思想，用函数思想来研究问题是一种重要观念.本文主要通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用，来体会函数思想在中学数学中的应用.当然，函数思想在中学数学中的应用远远不止这些，至于在其他方面的应用还须大家在进一步的学习过程中共同探讨、总结.参考文献:[1] 钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999年7月.84-90.[2] 李永新，滕文凯.中学数学教材教法[M].长春：东北师范大学出版社，2005年6月.100-107.[3]李晓玲.培养生动活泼的函数思想[J].成材之路,2007年第12期.25-26.[4]尤泽燕,谢碧华,王孝振.函数对称性的探究[J].福建中学数学(月刊),2007年第3期.33-34.The Application of Function Thinking in MathematicsName: Jia Liping Student Number: 2003405456Advisor: Yang ShaohuaAbstract: The function thinking is an important way to solve some mathematics problems.This article through enumerating the application of function thinking in the sequence,the inequality and the most value question to embody the role of function thinking in mathematics.Key word: function thinking sequence inequality most value。