二项分布经典例题+测验题
二项分布专题练习
二项分布专题练习1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P (X ＝2)＝( )． A ．316B ．4243C ．13243D ．802432．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )．A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ． 21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )．A ．0.6k －1×0.4B ．0.24k －1×0.76C ．0.4k －1×0.6D ．0.76k －1×0.244．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )．A ．2191010n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ． 191010k n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1119C 1010kn kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ．13B ．25C ．56D ．346．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________．7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答)8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)9．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查(安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的， 每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：(1)恰好有三家煤矿必须整改的概率； (2)至少关闭一家煤矿的概率．(精确到0.01)10.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， （I ）甲恰好击中目标的2次的概率； （II ）乙至少击中目标2次的概率；（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．2132参考答案1. 答案：D解析：P (X ＝2)＝24201180C 133243⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2. 答案：C解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P (X ＝3)＝21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.3. 答案：B解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76. 所以P (X ＝k )的概率是前k －1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则P (X ＝k )＝0.24k－1×0.76. 4. 答案：C解析：10个球中有一个红球，每次取出一球是红球的概率为110，不是红球的概率为910，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，说明前n －1次中已取得红球k －1次，其余均不为红球．则概率为11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭×110＝1119C 1010k n kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 答案：A解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ， 由题意得1－04C p 0(1－p )4＝6581. 所以1－p ＝23，p ＝13.6. 答案：96625解析：每粒种子的发芽概率为45，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B 44,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：22244196C 55625⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7. 答案：0.947 7解析：治愈的病人数X ～B (4,0.9)，则4个病人中至少被治愈3人的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝34C 0.93×0.1＋44C 0.94＝0.947 7.8. 解：由题意，设“一个人生日是元旦”为事件A ，要研究50人的生日，则相当于进行50次试验，显然各人的生日是随机的，互不影响的，所以属于50次独立重复试验，P (A )＝1365，设50人中生于元旦的人数为ξ， 则P (ξ＝0)＝0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， “两人以上生于元旦”的概率为：P (ξ≥2)＝1－P (ξ＜2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≈0. 008 4. 9. 解：(1)每家煤矿需整改的概率是1－0.6＝0.4，且每家煤矿是否整改是独立的．所以恰好有三家煤矿必须整改的概率是p 1＝36C ·0.43·0.63≈0.28.(2)每家煤矿被关闭的概率是0.4×0.1＝0.04，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是p 2＝1－(1－0.04)6≈0.22.。
二项分布 经典题2
1.实力相等的甲乙两队参加乒乓球团体比赛，规定五局3胜制，分别求甲打完3，4，5局才能取胜的概率求甲打完3局胜利的概率是1/2的3次方，为1/8这个很明显。
求甲打完4局胜利的概率是C(3,1)*(1/2)^3*1/2=3/16要打4局，前3局必需2胜1负，所以有前3局选一局的组合数C(3,1），中间的1/2的3次方是胜的3局的概率，最后的1/2是输1局的概率。
求甲打完5局胜利的概率是C(4,2)*(1/2)^3*(1/2)^2=3/16要打5局，前4局必需输2局胜两局，所以有个C(4,2），中间的1/2的3次方是胜的3局的概率，最后的1/2的平方是输2局的概率。
3个加起来为甲胜利的概率，为1/2。
甲打完3局取胜的概率0.5^5=0.125 (=1/8) 甲打完4局取胜的概率0.5^2*(1-0.5)*C( 3,2)*0.5=0.0625*3=0.1875 (=3/16)甲打完5局取胜的概率0.5^2*(1-0.5)^2*C( 4,2)*0.5=0.03125*6=0.1875 (=3/16)2.概率题:实力相当的甲.乙两队参加乒乓球团体比赛,实行5局3胜,求甲队打完4局获胜的概率3. 一次测量中出现正误差和负误差的概率是1／2，在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是多少？在5次中选2个有C(5,2)种方法所以概率是C(5,2)*(1/2)^5=5/164. 一次测量中出现正误差和负误差的概率分别为2/3和1/3在6次测量中恰好出现2次正误差的概率是正误差概率：2/3，负误差概率1/36次中两次正误差，剩下的是4次负误差所求概率：C(6,2)*(2/3)^2*C(4,4)*(1/3)^4=40/2435. 每次试验成功的概率为p（0<p<1),重复进行十次试验，其中前七次都未成功后三次都成(1-p)^7*p36. 每次试验成功率为p(0<p<1)进行重复试验直至第十次试验才取得4次成功的概率为每次试验成功率为p(0<p<1)进行重复试验直至第十次试验才取得4次成功的概率为c(9,3)*p^3*(1-p)^6 *p=84*p^4*(1-p)^6-------解释---------c(9,3)*p^3*(1-p)^6 是前9次取得3次成功的概率c(9,3)*p^3*(1-p)^6 *p 是恰好到第10次试验才取得4次成功的的概率7.设每次试验成功的概率为1/2,则在3次独立重复试验中,至少成功一次的概率为1-(1-1/2)^3=1-1/8=7/8在3次独立重复试验中,至少成功一次的概率为7/8。
高中数学二项分布例题
高中数学二项分布例题二项分布适用于一系列独立重复试验，每次试验只有两种结果，通常称为“成功”和“失败”。
设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1p，进行n次试验后，成功的次数X遵循二项分布，其概率质量函数为：P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k)其中，C(n, k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
例题一：简单二项分布的应用在一项产品质量检验中，某种产品合格率为80%。
若随机抽取10件产品，求其中恰好8件合格的概率。
解：此问题可以看作进行10次独立试验，每次试验成功的概率p 为0.8，失败的概率为0.2，n为10，k为8。
根据二项分布的概率质量函数，可以计算如下：P(X = 8) = C(10, 8) (0.8)^8 (0.2)^2计算组合数C(10, 8) = 45，带入公式后得：P(X = 8) = 45 (0.8)^8 (0.2)^2 ≈ 0.1937。
恰好8件合格的概率约为19.37%。
例题二：计算不超过某个成功次数的概率在一场考试中，某学生在过去的测试中，答对题目的概率为0.7。
若该学生参加5次测试，求至少有3次答对的概率。
解：求至少有3次答对的概率，可以通过计算0到2次答对的概率并用1减去得到：P(X ≥ 3) = 1 P(X ≤ 2)计算P(X ≤ 2)：P(X = 0) = C(5, 0) (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 1 0.00243 ≈ 0.0024。
P(X = 1) = C(5, 1) (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 0.7 0.0081 ≈ 0.028.P(X = 2) = C(5, 2) (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 (0.49) 0.027 ≈ 0.1323。
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.0024 + 0.028 + 0.1323 ≈ 0.1627。
高中试卷-7.4 二项分布与超几何分布(精练)(含答案)
7.4 二项分布与超几何分布（精练）【题组一 二项分布】1．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（ ）A ．2764B ．964C ．364D ．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C æöæö=´´=ç÷ç÷èøèø故选：B 2．（2020·北京高二期末）已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =【答案】D【解析】随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D.3．（2020·山西晋中市）某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120【答案】D【解析】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5X B æöç÷èø:，所以()320125E X =´=，()3324201555D X æö=´´-=ç÷èø，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =´=，方差为()224551205D X =´=.故选：D4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X ，已知()3E X =，则m 等于（ ）A ．2B ．1C ．3D ．5【答案】C【解析】根据题意可得出63()()(33kk m k m P X k C m m-==++ ，即3(6,)3X B m ~+ 所以()36333E X m m=´=Þ=+故选C 5.（多选）（2020·全国高二单元测试）若随机变量ξ～B 1(5,)3，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】依题意5512()33kkk P k C x -æöæö==ç÷ç÷èøèø，k=0，1，2，3，4，5.可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243.故当k=2或1时，P (ξ=k )最大.故选：AB .．6．（2021·广东东莞）为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶)，如图，若跑步时间不高于5.6秒，则称为“好体能”.（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生(人数众多)任取3人，记X 表示抽到“好体能”学生的人数，求X 的分布列【答案】（1）众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）19140；（3）分布列见解析；【解析】（1）这组数据的众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）设至少有2人是“好体能”的事件为A ，则事件A 包含得基本事件个数为；2134124C C C +g 总的基本事件个数为316C ，213412431619()140C C C P A C +==g （3）X 的可能取值为0，1，2，3，由于该校男生人数众多，故X 近似服从二项分布1(3,)4B 3327(0)()464P x ===，1231327(1)()4464P x C ===g ，223139(2)(4464P x C ===g ，311(3)(464P x ===X 的分布列为：X123P276427649641647．（2021·山东德州市·高三期末）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],,(1.7,1.8]L 这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m 、n 、t 的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.25m = ， 1.25n =， 3.5t =；（2）分布列见详解；2.1.【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为180.15120= 记d 为学生身高，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120p p d d ££=<£== ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120p p d d <£=<£==()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352p p d d <£=<£=-´-´=所以0.0250.250.1m == ，0.125 1.250.1n ==，0.353.50.1t ==；（2）由（1）知学生身高在[]1.41.6, 的概率20.350.7p =´=随机变量X 服从二项分布()~3,0.7X B 则()()33010.70.027p x C ==´-= ()()213110.70.70.189p x C ==´-´=()()1223210.70.70.441p x C ==´-´=()33330.70.343p x C ==´=所以X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.34330.7 2.1EX =´=8．（2020·湖北随州市·高二期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X ，求X 的分布列；（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为110（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为13，抽到白球的概率为23，依题意，X 的取值可能为90，110，130，150.且30328(90)327P X C æö==×=ç÷èø，1213124(110)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø223122(130)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø，33311(150)327P X C æö==×=ç÷èø其分布列为X 90110130150p8274929127（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为8421()90110130150110279927E X =´+´+´+´=（元），选择方案二时，设摸到红球的次数为Y ，最终可能获得返金券金额为Z 元，由题意可知，1~3,3Y B æöç÷èø，得1()313E Y =´=()(100)100()100E Z E Y E Y ===由()()E X E Z >可知，该顾客应该选择方案一抽奖.【题组二 超几何分布】1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）910；（2）13.【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3，所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===， ()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===．所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =´+´+´+´=.（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ×====，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=．2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：员工编号12345678910捐款数额120802155013019530090200225（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65.【解析】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：1136210182455C C P C ===（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()4741035102106C P X C ====，()133********12102C C P X C ====，()2237410623221010C C P X C ====()313741071321020C C P X C ====则X 的分布列为X0123P1612310130()1131601236210305E X =´+´+´+´=；（用超几何分布公式()366105nM E X N ´===计算同样得分）3．（2020·河北省盐山中学高二期末）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a ，b 的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）10a =，3b =.（2）61天（3）见解析【解析】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的12，所以5+a=15，8+4+b=15，可得10a =，950.（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为51306P ==，则一年中空气质量指数为优的天数约为1366616´=.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，4541051(0)21042C P X C ====，135510505(1)21021C C P X C ====，225541010010(2)21021C C P X C ====，3551410505(3)21021C C P X C ====，4541051(4)21042C P X C ====，X 的分布列为X1234P142 521 1021521 142故151051()0123424221212142E X =´+´+´+´+´=.4．（2020·延安市第一中学）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量x 为取得红球的个数.（1）求x 的分布列；（2）求x 的数学期望()E x 和方差()D x .【答案】（1）详见解析（2）6()5E x =，9()25D x =【解析】（1）x 的取值为0,1,2.()0232251010C C P C x ===，()113225631105C C P C x ====，()2032253210C C P C x ===，则x 的分布列为：x012P11035310（2）()1336012105105E x =´+´+´=，2226163639()0125105551025D x æöæöæö=-´+-´+-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.5．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望．【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15´+´+´+´+´+´´=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-=解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ====()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ====X012P371021221所以()31022012721213E X =´+´+´=6．（2021·福建莆田市）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 的分布列和数学期望．【答案】（1）715；（2）见解析.【解析】（1）记事件:A 取出的4个球中恰有1个红球，事件1:A 取出的4个球中唯一的红球取自于甲盒，事件2:A 取出的4个球中唯一的红球取自于乙盒，则12A A A =U ，且事件1A 与2A 互斥，由互斥事件的概率公式可得()()()1221134324122246715C C C C C P A P A P A C C +=+==，因此，取出的4个球中恰有1个红球的概率为715；（2）由题意知随机变量x 的可能取值为0、1、2、3，()22342246105C C P C C x ===，()7115P x ==，()111223243222463210C C C C C P C C x +===，()123222461330C C P C C x ===.所以，随机变量x 的分布列如下表所示：x123P15715310130因此，随机变量x 的数学期望为17317012351510306E x =´+´+´+´=.7．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题．(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平．【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =U ．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =È=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B æöç÷èø，故()39344E X =´=，设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===，故随机变量Y 的分布列为Y123P153515所以，()1311232555E Y =´+´+´=，则()()E X E Y >，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=；（2）同解法二．8．（2020·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A 、B 、C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．（1）求3个人来自两个不同专业的概率；（2）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列．【答案】（1）79120（2）见解析【解析】()1令事件A 表示“3个来自于两个不同专业”，1A 表示“3个人来自于同一个专业”，2A 表示“3个人来自于三个不同专业”，()3335131011120C C P A C +==，()111235231030120C C C P A C ==，3\个人来自两个不同专业的概率：()()()1211307911120120120P A P A P A =--=--=．()2随机变量X 有取值为0，1，2，3，()0337310350120C C P X C ===，()1237310631120C C P X C ===，()2137310212120C C P X C ===，()307331013120C C P X C ===，X \的分布列为：X123P3512063120211201120【题组三 二项分布与超几何分布综合运用】1．（2020·甘肃省会宁县第四中学） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记x 表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求x 的分布列及数学期望；（3）以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，x 服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，x 的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C x ===，()116921518135C C P C x ===，()2069215512357C C P C x ====，所以x 的分布列为：x012P1235183517()121814012353575E x =´+´+´=.（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =，一年中空气质量达到一级或二级的天数为h ，则3365,5B h æöç÷èø:，33652195E h =´=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.2．（2020·山东高二期末）1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求A 恰好答对两个问题的概率；（2）求B 恰好答对两个问题的概率；（3）设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)35 ;(2)49；(3)选择A .【解析】(1) A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=；(2) B 恰好答对两个问题的概率为223214339C æö´=ç÷èø；(3) X 所有可能的取值为1,2,3. ()124236C C 11C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =´+´+´=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-´+-´+-´=；而23,3Y B æö-ç÷èø，2()323E Y =´=，212()3333D Y =´´=，所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定.所以选择投票给学生A .3．（2021·湖南高二期末）一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数x 的分布列和数学期望()E x 【答案】（1）34；（2）分布列见解析；期望为2.【解析】(1)一次拿到奇数的概率3162P ==，所以拿2次得分为0分的概率为2021124C æö=ç÷èø所以拿2次得分不小于1分的概率为2211311244C æö-=-=ç÷èø（2）x 可以取值：0，1，2，3，4所以()404121601C P x æö=ç÷èø==()13141112124C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()22241132228C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()31341112324C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()404411122164P C x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==分布列x01234P116143814116满足二项分布概率1~42B x æöç÷èø，1()=4=22E x \´4．（2020·武汉外国语学校高二期中）为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记x 表示成绩优良的人数，求x 的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值．【答案】（Ⅰ）分布列见解析；()2E x =；（Ⅱ）7k =.【解析】（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良，x 可能的取值为0，1，2，3，()343121055C P C x ===，()128431212155C C P C x ×===，()218431228255C C P C x ×===，()3831214355C P C x ===，所以x 的分布列为：x0123P155125528551455数学期望()1122814 01232 55555555E x=´+´+´+´=；（Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数210,3X Bæöç÷èø∼，所以()10 102133k k kP X k C-æöæö==××ç÷ç÷èøèø，0,1,210k=×××，令()()10110111010101101110102121333321213333k k k kk kk k k kk kC CC C------+-++ìæöæöæöæö×׳××ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíïæöæöæöæö×׳××ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî，解得192233k££，又kÎN，所以7k=，所以当7k=时，抽到k人的成绩是优良的可能性最大.。
专题14 二项分布(解析版)
专题14 二项分布例1．已知随机变量1~(4,)3X B ，那么随机变量X 的均值()(E X = )A ．89B ．43C ．2D ．83【解析】解：随机变量1~(4,)3X B ，14()433E X ∴=⨯=．故选：B ．例2．设随机变量Y 满足1~(4,)2Y B ，则函数2()44f x x x Y =-+无零点的概率是( )A ．1116B ．516C ．3132D ．12【解析】解：因为函数2()44f x x x Y =-+无零点， 所以△2(4)4140Y =--⨯⨯<， 所以1Y >，所以2223344044411111111(1)(2)(3)(4)()()()()()()22222216P Y P Y P Y P Y C C C >==+=+==++=．故选：A ．例3．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，⋯，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2k ==，3，⋯，那么()(E Z =)A ．11(1)p p --B ．21p C ．11(1)p p +-D ．21(1)p -【解析】解：11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2k ==，3，⋯，1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，⋯，可得1()E Y p=． 1()(1)k P Y k p p -∴==-，2k =，3，⋯，1()E Y p p=-．那么2211()2(1)2(1)3(1)3(1)(1)(1)k k E Z p p p p p p p p kp p k p p --=-+-+-+-+⋯⋯+-+-+⋯ 2112(1)3(1)(1)k p p p p p k p p p-=-+-+-+⋯⋯+-+⋯． 设2123k k A p p kp -=++⋯⋯+．23123(1)k k k pA p p k p kp -=++⋯⋯+-+． 1231(1)(1)21k k kk k p p p A p p p pkp p kp p---∴-=+++⋯⋯+-=+--．k ∴→+∞时，(1)1k pp A p p-→+-． 11()11(1)p E Z p p p p p p ∴=-++=---． 故选：A ．例4．已知随机变量X ，Y 满足8X Y +=，若~(10,0.6)X B ，则()E Y ，()D Y 分别是( ) A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6【解析】解：随机变量X ，Y 满足8X Y +=，~(10,0.6)X B ，()100.66E X ∴=⨯=， ()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=，()(8)8()862E Y E X E X =-=-=-=， ()(8)() 2.4D Y D X D X =-==．故选：B ．例5．设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，若5(1)9P X =，则()(D Y = ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，5(1)9P X =， 0224(0)1(1)(1)9P X P X C p ∴==-=-=， 解得13p =，1~(2,)3X B ∴，114()2(1)339D X ∴=⨯⨯-=，4()9()949D Y D X ∴==⨯=． 故选：A ．例6．已知1~(4,)3B ξ，并且23ηξ=+，则方差(D η= )A ．329B ．169 C ．89D ．49【解析】解：23ηξ=+，4D D ηξ∴=，又1284339D ξ==，329D η∴=． 故选：A ．例7．设X 为随机变量，1~(,)3X B n ，若随机变量X 的数学期望()2E X =，则(2)P X =等于( )A ．80243B ．13243C ．4243D ．1316【解析】解：随机变量X 为随机变量，~X B 1(,)3n ，∴其期望1()23E X np n ===，6n ∴=，22461180(2)()(1)33243P X C ∴==-=． 故选：A ．例8．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ．若()2E X =，4()3D X =，则(p = ) A ．34B ．23 C ．13D ．14【解析】解：由随机变量X 服从二项分布(,)B n p ． 又()2E X =，4()3D X =， 所以24(1)3np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13p =，故选：C ．例9．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回．重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是( )A ．316 B ．516 C ．716 D ．916【解析】解：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回．取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率21513612C C p C == 重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是： 3336115(3)()()2216P X C ===．故选：B ．例10．我国的5G 研发在世界处于领先地位，到2020年5月已开通5G 基站超过20万个．某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件A 和元件B 按如图方式连接而成．已知元件A 至少有一个正常工作，且元件B 正常工作，则该装置正常工作．据统计，元件A 和元件B 正常工作超过10000小时的概率分别为12和45． （Ⅰ）求该装置正常工作超过10000小时的概率；（Ⅱ）某城市5G 基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的件数．【解析】解：（Ⅰ）元件A 至少有一个正常工作超过10000小时的概率3171()28-=，则该装置正常工作超过10000小时的概率为3147[1()]2510P =-⨯=．（Ⅱ）设1200台该装置能正常工作超过10000小时的有X 台， 则X 服从二项分布7~(1200,)10X B ， ∴这1200台装置能正常工作超过10000小时的约有：7120084010⨯=台． 例11．设有3个投球手，其中一人命中率为q ，剩下的两人水平相当且命中率均为(p p ，(0,1))q ∈，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ． （1）当12p q ==时，求数学期望()E ξ及方差()V ξ； （2）当1p q +=时，将ξ的数学期望()E ξ用p 表示． 【解析】解：（1）每位投球手均独立投球一次，当12p q ==时，每次试验事件发生的概率相等， 1~(3,)2B ξ∴，由二项分布的期望和方差公式得到结果13322E np ξ∴==⨯=，113(1)3(1)224D np p ξ=-=⨯⨯-= （2）ξ的可取值为0，1，2，3． 22(0)(1)(1)P q p pq ξ==--=；21322(1)(1)(1)(1)2P q p q C p p q p q ξ==-+--=+；12232(2)(1)(1)2P qC p p q p pq p ξ==-+-=+；2(3)P qp ξ==．ξ的分布列为23223201(2)2(2)31E pq q p q pq p qp p ξ=⨯+⨯++⨯++⨯=+．例12．某射手每次射击击中目标的概率是45，求这名射手在10次射击中， （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率．【解析】解：（1）某射手每次射击击中目标的概率是45，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为8821041()()55C ．（2）至少有8次击中目标的概率为8829910101041414()()()()55555C C ++．例13．一个盒子里有2个黑球和m 个白球*(2,)m m N ∈．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中． （Ⅰ）求每次中奖的概率p （用m 表示）； （Ⅱ）若3m =，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为()f p ，当m 为何值时，()f p 取得最大值？ 【解析】解：（Ⅰ）取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率2222222232m m C C m m p C m m ++-+==++； （Ⅱ）若3m =，每次中奖的概率25p =， ∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为1232254(1)55125C -=； （Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为12323()(1)363(01)f p C p p p p p p =-=-+<<， ()3(1)(31)f p p p ∴'=--，()f p ∴在1(0,)3上单调递增，在1(3，1)上单调递减，13p ∴=时，()f p 取得最大值，即2221323m m p m m -+==++ 2m ∴=，即2m =时，()f p 取得最大值．例14．作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能6:15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为13，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：（1）设学校规定7:20后（含7:20)到校即为迟到，求这名学生迟到的概率； （2）设X 表示该学生上学途中遇到的红灯数，求(2)P X 的值；（3）设Y 表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y 的分布列和数学期望． 【解析】解：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时， 该同学会迟到，∴这名学生迟到的概率：41121()()33381p =+=． （2）由题意知1~(5,)3X B ，(2)1(0)(1)P X P X P X ∴=-=-=0514552121311()()()333243C C =--=．（3）由题意知0Y =，1，2，3，4，5， 1(0)3P Y ==，212(1)339P Y ==⨯=，2214(2)()3327P Y ===，3218(3)()3381P Y ===， 42116(4)()33243P Y ===，5232(5)()3243P Y ===， ∴随机变量Y 的分布列：24816324221234592781243243243EY ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 例15．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：根据表格，解答下面的问题：（Ⅰ）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据：2133405307259646)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．（以样本的频率作为总体的概率）【解析】解：（Ⅰ）幸福感指数在[4，6)，[6，8)内的频数分别为220180400+=和125175300+=， 因为总人数为1000，所以，相应的频率÷组距为：400100020.2÷÷=，300100020.15÷÷=， 据此可补全频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01210.015230.2250.15270.12529 6.46⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； （Ⅱ）男市民幸福的概率是1251250.5500+=， 女市民幸福的概率是1751250.6500+=， 一对夫妇都幸福的概率是0.50.60.3⨯=，故所求的概率为332503070.1323C =．例16．德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望E ξ．【解析】解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ， 且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++ 322132213211543324332433212=++=．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，5~(3,)12B ξ， 0337343(0)()121728P C ξ===， 12357735(1)()()12121728P C ξ===， 22357525(2)()()12121728P C ξ===， 3335125(3)()121728P C ξ===， ξ∴的分布列为：5~(3,)12B ξ， 553124E ξ∴=⨯=． 例17．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是23，乙胜的概率是13，不会出现平局．（1）如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；（2）如果采用五局三胜制（若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜），求甲获胜的概率．【解析】解：（1）甲恰好胜2局的概率2213214()339P C ==； 乙至少胜1局的概率322191()327P =-=；（2）打3局：328()327=；打4局：2232128()33327C ⨯⨯⨯=； 打五局：22242124816()()33334381C ⨯⨯⨯==因此甲获胜的概率为6481例18．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．甲一次种植了4株沙柳，根据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各株沙柳成活与否是相互独立的． （Ⅰ）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值；（Ⅱ）为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植24000株成活沙柳．如果参加种植沙柳的人每人种植4株沙柳，问至少需要具有甲的种植水平的多少人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害．【解析】解：（Ⅰ）设成活沙柳的株数为X ，则0X =，1，2，3，4，且有44()(1)(0,1,2,3,4)k kk P X k C p p k -==-=------------------------------（4分）据题意，每种植3株就有2株成活，∴23p =， ∴株数X 的分布列为X∴的期望值188321680123481812781813EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=------------------------------------（7分） （Ⅱ）设参加种植沙柳且具有甲的种植水平的人数为x ，则这当中的每一个人都种植了4株沙柳． 据（Ⅰ）的结果，这些人每人都能种植成活的沙柳83株，因此，共种植成活的沙柳83x 株．-----------------（10分） 据题意，需8240003x ，解得9000x ．所以，估计至少需要具有甲的种植水平的9000人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害． 例19．袋中装有13个红球和n 个白球，这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，若从袋中同时取两个球，取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白两个球的概率的3倍． （1）试求n 的值；（2）某公司的某部门有21位职员，公司将进行抽奖活动，规定：每个职员都从袋中同时取两个球，然后放回袋中，摇匀再给别人抽奖，若某人取出的两个球是一红一白时，则中奖（奖金1000元）；否则，不中奖（也发鼓励奖金100元）．试求此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值． 【解析】解：（1）记“取出两个红球”和“取出一红一白两球”分别为事件A 和B ， 根据题意，得：213213()n C P A C +=，P （B ）1113213n nC C C +=， 令P （A ）3P =（B ），*k N ∈ 即21113132213133n n nC C C C C ++=， 解得2n =．（2）设中奖人数为η，不中奖人数为21η-，奖金为ξ，则1000100(21)ξηη=+-，即9002100ξη=+，每人中奖的概率为P （B ）11132213226105C C C +==， 26~(21,)105B η∴ 2626211055E η∴=⨯=， 26900210067805E ξ=⨯+=． 故此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值为6780元．例20．为备战2012年伦敦奥运会，两家篮球队分轮次进行分项冬训．训练分为甲、乙两组，根据经验，在冬训期间甲、乙两组完成各项训练任务的概率分别为23和(0)P P >假设每轮训练中两组都各有两项训练任务需完成，并且每项任务的完成与否互不影响．若在一轮冬训中，两组完成训练任务的项数相等且都不小于一项，则称甲、乙两组为“友好组”()I 若12p =求甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率； ()II 设在6轮冬训中，甲、乙两组成为“友好组”的次数为ξ，当2E ξ时，求P 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为1P ，则11222221222221121211()()()33232993P C C C C =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．（5分） （Ⅱ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为2P ，则11222222222221284(1)()33399P C C p p C C p p p =⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯=-，（9分） 2~(6,)B P ξ，262E P ξ∴=即2846()299p p -， 24830p p ∴-+0p >， 102p ∴<．（12分） 例21．已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是12．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为X ，对该项目每投资十万元，X 取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．【解析】解：每次调整中价格下降的概率都是12，由题设得1~(2,),2X B p p =， 则X 的概率分布为故收益1X 的概率分布为12EX ∴=10.08DX =．。
二项分布题目
二项分布题目一、一个篮球运动员投篮的命中率为0.6，他独立进行5次投篮，恰有3次投中的概率是多少？（答案：C）A. 0.12B. 0.23C. 0.26D. 0.35二、某药品对某种疾病的治愈率为0.8，现有10位患者独立使用该药品，恰有8位被治愈的概率是多少？（答案：B）A. 0.10B. 0.17C. 0.40D. 0.60三、一枚硬币投掷的正面概率为0.5，独立投掷8次，出现4次正面的概率是多少？（答案：A）A. 0.27B. 0.35C. 0.50D. 0.65四、某种电子产品的合格率为0.95，现随机抽取20个进行检验，恰有1个不合格的概率是多少？（答案：D）A. 0.01B. 0.05C. 0.10D. 0.19五、一个骰子投掷的点数大于3的概率为0.5，独立投掷6次，出现3次点数大于3的概率是多少？（答案：C）A. 0.10B. 0.15C. 0.25D. 0.35六、某品牌手机的故障率为0.05，现随机售出100部手机，恰有2部出现故障的概率是多少？（答案：B）A. 0.01B. 0.18C. 0.50D. 0.82七、一个学生做题的正确率为0.7，他独立做10道题，恰有7道做对的概率是多少？（答案：A）A. 0.20B. 0.25C. 0.30D. 0.35八、某种疫苗的接种成功率为0.9，现有50人独立接种该疫苗，恰有45人接种成功的概率是多少？（答案：D）A. 0.01B. 0.05C. 0.10D. 0.18九、一个网站的用户点击广告的概率为0.2，独立有1000次用户访问，恰有200次点击广告的概率是多少？（答案：C）A. 0.01B. 0.05C. 几乎为零（实际值极小）D. 0.20十、某种植物的种子发芽率为0.8，现随机播种10粒种子，恰有8粒发芽的概率是多少？（答案：B）A. 0.10B. 0.20C. 0.40D. 0.60。
【高中】二项分布经典练习题
【高中】二项分布经典练习题问题1假设一枚硬币有50%的概率正面朝上，50%的概率反面朝上。
现在我们投掷这枚硬币10次，问以下问题：1. 正面朝上的次数是多少？2. 反面朝上的次数是多少？问题2某班级有30名学生，其中有60%的学生是女生。
现在我们从这个班级随机选择5名学生，问以下问题：1. 这5名学生中女生的人数是多少？2. 这5名学生中男生的人数是多少？问题3有一个大，里面装有500个小球。
其中有40%的小球是红色的，60%的小球是蓝色的。
现在我们从这个中随机取出20个小球，问以下问题：1. 这20个小球中红色小球的个数是多少？2. 这20个小球中蓝色小球的个数是多少？问题4假设每个人生日的概率是均等的，每年有365天。
现在考虑一个班级有30个学生，问以下问题：1. 这个班级的学生中，至少有两人生日相同的概率是多少？2. 这个班级的学生中，至少有三人生日相同的概率是多少？问题5某公司的质量控制部门进行产品检验，发现其中10%的产品存在缺陷。
现在他们从一个批次中随机选择了100个产品进行检验，问以下问题：1. 这100个产品中存在缺陷的产品数量是多少？2. 这100个产品中没有缺陷的产品数量是多少？问题6假设一个城市的某种传染病的患病率为5%，一天中有1000人去医院就诊。
问以下问题：1. 这1000个人中患有该传染病的数量是多少？2. 这1000个人中没有患有该传染病的数量是多少？以上是关于二项分布的经典练习题，根据题目情况进行分析和计算，可以应用二项分布的知识解决。
《二项分布及其应用》练习题(教师版)
《二项分布及其应用》练习题一、单选题1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%， 已知一学生语文不及格，则他数学也不及格的概率是 ( ) A ．0.2 B ．0.33 C ．0.5 D ．0.62．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．353．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A = ( )A ．18B ．14C ．25D ．124．已知P (B )>0，A 1A 2＝∅，则下列成立的是( )A ．P (A 1|B )>0 B ．P (A 1∪A 2|B )＝P (A 1|B )＋P (A 2|B )C ．P (A 12A )≠0D ．()12P A A ＝15．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的命题是( )A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥事件C ．A 与B 不相互独立D ．A 与B 是相互独立事件 6．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A ．12p pB ．1221(1)(1)p p p p -+-C ．121p p -D ．121(1)(1)p p ---7．袋中有大小相同的3个红球，7个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是 ( )A ．15B ．13C ．38D ．378．已知()13P B A =，()25P A =，则()P AB 等于( ) A ．56 B ．910C ．215D ．1159．设A,B 为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)=13，P(A)=23，则P(B|A)= ( )A ．B ．C ．D ．10．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在已知第一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是A ．14B ．34C ．12 D ．1811．下列说法正确的是( )A ．()()PB A P AB < B ．()()()P B P B A P A =是可能的 C ．()()()P AB P A P B =⋅ D ．()0P A A =12．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A ．56B ．34C ．23D ．1313．有一匹叫Harry 的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天,在30场下雨天的比赛中，Harry 赢了15场．如果明天下雨，Harry 参加赛马的胜率是A ．15B ．12 C ．34D ．310 14．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）A ．35B ．110C ．59D ．2515．一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A 1表示第一次摸得白球,A 2表示第二次摸得白球,则事件A 1与2A 是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件16．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( ) A ．0.02 B ．0.08 C ．0.18 D ．0.7217．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A ．119B ．1718 C ．419D ．21718．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是( )A ．34B ．23C ．12 D ．1319．若()34P A =，()12P B A =，则()P A B ⋂等于( ) A ．23 B ．38 C ．13 D ．5820．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A ．49B ．29 C ．23 D ．1321．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．12p pB ．1221(1)(1)p p p p -+-C ．121p p -D ．121(1)(1)p p ---二、填空题22．以集合{}2,4,6,7,8,11,12,13A＝中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是______．23．如图,J A ,J B 两个开关串联再与开关J C 并联,在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.5,计算在这段时间内线路正常工作的概率为___.24．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．25．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为__________． 26．已知A 、B 、C 相互独立，如果()16P AB =，()18P BC =，()18P ABC =，()P AB =_________. 27．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸得白球的概率为________． 28．某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A ＝_______，()P A B ＝__________三、解答题29．现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立,假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列.30．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
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二项分布1. n次独立重复实验一般地，由n次实验构成，且每次实验相互独立完成,每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A与A ，每次实验中P(A)=P 。
0。
我们将这样的实验称为n次独立重复实验,也称为伯努利实验。
(1)独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。
(2)n次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率P（X =kr C：p k （1-p严。
2. 二项分布若随机变量X的分布列为P(X =k)= C k P k q n^ ,其中0 p 1p∙q=1K=0,1,2,∣，n,则称X服从参数为n， P的二项分布，记作XLl B(n， P)。
1. 一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布。
3. 甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为丄，乙每次击2中目标的概率为2。
3(1)记甲击中目标的此时为，求•的分布列及数学期望；(2)求乙至多击中目标2次的概率；(3)求甲恰好比乙多击中目标 2次的概率.【巩固练习】1。
（2012年高考(浙江理))已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分。
现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等）3个球,记随机变量X为取出 3球所得分数之和。
(I) 求X的分布列。
(H ）求X的数学期望E（X）。
2. (2012年高考(重庆理））(本小题满分13分，（I ）小问5分,（H ）小问8分。
)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球，。
约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为—,乙每次投篮投中的概率为丄，且各次投篮互不3 2影响.(I )求甲获胜的概率。
（H )求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望3. 设篮球队A与B进行比赛,每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束,假定A)B在每场比赛中获胜的概率都是—，2试求需要比赛场数的期望.3. （2012年高考(辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100名观众进行调查。
下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。
将日均收看该体育节目时间不低于 40分钟的观众称为“体育迷”.（I ）根据已知条件完成下面的2 2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别（H)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷"人数为X若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列, 期望E(X）和方差D(X).5. (2007陕西理)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试, 否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为纟、、2 ,且各轮问题能5 5 5否正确回答互不影响. (I)求该选手被淘汰的概率；(H)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ ，求随机变量ξ的分布列与数数期望•(注：本小题结果可用分数表示6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下,分别求直至取得正品时所需次数•的概率分别布。
（1）每次取出的产品不再放回去；（2）每次取出的产品仍放回去；(3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. (2007?山东）设b和C分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）。
(1）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；8. (本题满分12 分）某商场为吸引顾客消费推出一项优活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券。
例如：消费218元, 可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和。
（I )若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；(II ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X (元），求随机变量X的分布列和数学期望。
9. （本题满分12分）中国•黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于 2012 年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者,将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位:Cm若身高在175cm以上(包括175Cm定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175Cm定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子"才能担任“兼职导游"。
（1)根据志愿者的身咼编茎叶图指湖北理工学院湖北师范学院出湖北师范学院志愿者身高的中位数；9158 9（2 ）如果用分层抽样的方法从“ 一高916 1 2 5 8 9 6 5 017 3 4 64 / 14119个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子"的概率是多少？(3)若从所有“高个子”中选 3名志愿者，用•表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数,试写出•的分布列，并求•的数学期望。
10. 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2,……,8,其中X≥5为标准A, X ≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准(I)已知甲厂产品的等级系数X i的概率分布列如下所示:Xi 5 6 7 8P 0. 4 a b 0。
1且X i的数字期望EXι=6,求a, b的值；(II)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望・11. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下:！1 ＊ ≡，■一 ≡≡*--W •，＊ P T * •!≡F 9!4W ＊＊-品 牌—U- ..Lfl■■ W —≡/ ＊!EJ甲≡乙苒次出现故障时间试年）O 〈x ⅛l l<3c ⅛2 x 〉2 0〈x≤2 x>2 轿车数量（辆） 23 45 5 45 毎辆利润（万兀)123L 82 9将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆， 求首次出现故障发生在保修期内的概率；(II )若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的 利润为X i ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X 2，分别求X l , X 2 的分布列;(III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制， 只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑， 你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由巩固练习答案1.【解读】本题主要考察分布列，数学期望等知识点（I ） X 的可能取值有34，5，6。
故,所求X 的分布列为P(X =5) UP(X =4) UCfCiC 320 O42 15 42P(X =6) UC：3 92 4220 1015 424221425 14421 21P(X =3)= 5 42 c ；c ：(∏)所求X的数学期望E(X)为：E(X)=^ i P(X =i) =i3.i -4 3【答案】(I )见解读。
(H ) 13∙32.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.解:设A k,B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则1 1PAk 盲PB kw k皿(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，PC =P A P A1B1A2 P A1B1 A2 B2A3=PA PAPB I PA2 PA1PB1PA2PB2PA31丄2 1 1丄『2 ↑ M Y 13 3 2 3 3 2 31 1 1 13=—I —I --------- = ------3 9 27 27⑵'的所有可能为：1,2,3由独立性知：P丄1 =P A1P A1B1 =1 -丄=23 3 2 3------------------------ --------- 2 11 i‘2 '2i‘1 2卩(—2)*(入盼2)卄(砂机比)石二笃十石J込丿=-= 3 i=P A1 B1 A2B2 =门2综上知,•有分布列从而，E =1 2 2 - 3 1=13(次)39993。
解:(1)事件“ X =4 ”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场),且两两互斥。
P(X =4^C ： (—）4(-）0C 40 (—）0W ；2 2 2 2 16(2) 事件“ X =5"表示,A 在第5场中取胜且前4场中胜3场， 或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场(即第5场A 负且4场中A 负T 3场)，且这两者又是互斥的，所以131 3 1 4 _3P(XpsC 4（?）（2)(3) 类似地，事件“ X =6”、“ X =7”的概率分别为这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行 6场才能分出胜负. 4。
［答案及解读】⑴由频率颁布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷"有2516比赛场数的分布列为故比赛的期望为 E(X)=4 — 5 — 6 — 7 -5.8125 （场)16 16 16 161 1 1 1 1 4 _1 +2C 4(2)(2)4 16P(X=6)冷呢)3护÷⅛(2)5^16 “却吟中七呢儿扩 P(X人，从而2× 2列联表如下：非体育迷休育迷合计男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525IoO由2×2列联表中数据代入公式计算，得：因为3∙030<3∙841，所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、 离散型随机变量的分布列，期望E(X ）和方差D(X)，考查分析解决 问题的能力、运算求解能力，难度适中.准确读取频率分布直方图 中的数据是解题的关键.5・(I)解法一：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A(i =1,2,3），⅛2⅛ - W021）"=nl÷πZ+π+l π⅛2IOO X （30 X 10-45 X 15)275 X 25 X 45 X 551003Γ ≈303°’X0 1 2 3 iΓ⅝Γ 27 27 91PE-i ⅝⅝—⅝64 64 64 6441 3视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 —,由题意,4从而X 的分布列为:则 P(A ）U ，P(A 2)=匚,P （∆3^-，555。