多项式
一般多项式的形式
一般多项式的形式多项式是数学中的一个重要概念，它在代数学、微积分、数论等领域中都有广泛的应用。
多项式的一般形式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 是实数或复数，称为多项式的系数，n 是多项式的次数，x 是变量。
多项式的次数是指最高次项的次数。
多项式的次数对于多项式的性质和解的求解有很大的影响。
下面将介绍一些与多项式相关的重要概念和性质。
1. 零点和因式定理多项式 P(x) 的零点是使得 P(x) = 0 的 x 值。
零点可以用来确定多项式的因式。
例如，如果 x = a 是多项式 P(x) 的一个零点，那么 (x - a) 就是 P(x) 的一个因式。
2. 多项式的乘法多项式的乘法是指将两个多项式相乘的运算。
多项式的乘法可以通过分配律和结合律来进行。
例如，将多项式 P(x) 乘以多项式 Q(x)，可以将 P(x) 的每一项与 Q(x) 的每一项相乘，然后将结果相加。
3. 多项式的除法多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式的运算。
多项式的除法可以通过长除法来进行。
长除法的步骤是：首先将除式的最高次项与被除式的最高次项相除，得到商的最高次项；然后将商的最高次项与除式相乘，并减去得到的结果与被除式相减，得到一个新的多项式；接着将新的多项式再次除以除式，重复上述步骤，直到无法再进行除法为止。
4. 多项式的根和重数多项式的根是使得多项式等于零的x 值。
一个多项式可以有重根，即多个不同的x 值对应于相同的根。
重根的个数称为多项式的重数。
多项式的重数可以通过求导来确定，对多项式进行求导后，多项式的重数等于导数为零的次数。
5. 多项式的插值多项式的插值是指通过已知的数据点来确定一个多项式，使得该多项式经过这些数据点。
插值多项式可以用来近似一个函数，并在给定的数据点上计算函数的值。
多项式的概念及例子
多项式的概念及例子多项式是数学中的一个概念，它是由几个单项式的和组成的表达式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
例如，我们可以将表达式3a^2 + 4b - 5c 看作一个多项式，其中每一项（3a^2、4b 和5c）都是一个单项式。
值得注意的是，多项式中的每一项都必须包括它前面的符号，并且多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。
例如，表达式3a + 4b - 5c 可以被视为一个二次三项式，因为它包含三项（3a、4b 和5c），并且每一项的次数都是1或2。
对于多项式的次数，它是根据多项式中次数最高项的次数来确定的。
例如，多项式3a^2 + 4b - 5c 的次数是2，因为它包含的最高次项是3a^2，其次数为2。
除了上述概念外，多项式还可以与单项式相乘。
在这种情况下，我们可以用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如，如果我们有一个多项式3a^2 + 4b - 5c 和一个单项式x，我们可以将x 与每一项相乘，得到(3a^2)x + (4b)x - (5c)x。
综上所述，多项式是由几个单项式的和组成的数学表达式，它包括项数、次数等概念，并且可以与单项式相乘。
除了基本的数学概念，多项式在各种科学和工程领域中也有广泛的应用。
例如，在物理学中，多项式可以用来描述和解决各种复杂的问题，如量子力学、热力学和流体动力学。
在化学中，多项式可以用来描述化学反应的平衡和反应速率。
在经济学中，多项式可以用来建立和分析复杂的经济模型。
此外，多项式也是计算机科学中的一个重要工具。
例如，在人工智能领域中，多项式可以用来表示和分类数据，以及进行机器学习和模式识别。
在计算机图形学中，多项式可以用来描述和生成复杂的几何形状和曲面。
因此，多项式不仅在数学中有重要的地位，而且在科学、工程和计算机科学等领域中也有广泛的应用。
理解和掌握多项式的概念和技巧对于深入学习和应用这些领域的知识是非常重要的。
多项式知识点
多项式知识点在数学的广袤天地中，多项式是一个重要的概念，它就像是一座桥梁，连接着代数运算和方程求解等多个领域。
首先，咱们来聊聊什么是多项式。
简单来说，多项式就是由几个单项式相加或相减组成的式子。
那什么是单项式呢？比如 3x 、 5 、－2y²，这些只有一个项的式子就是单项式。
而多项式就是把这些单项式用加、减号连起来，像 3x ＋ 5 、 2x² 3x ＋ 1 等等。
多项式中的每一项都有它自己的系数和次数。
系数就是前面的数字，比如在 3x 中， 3 就是系数；次数呢，是指变量的指数之和。
在单项式5x²中，次数就是 2 。
多项式是按照其中变量的次数从高到低排列的。
比如说，多项式4x³ 2x²＋ 5x 1 ，这就是一个按照降幂排列的多项式。
多项式的加法和减法相对来说比较简单，就是把同类项的系数相加或相减就行。
同类项呢，就是变量部分完全相同的项，像 3x 和 5x 就是同类项。
再来说说多项式的乘法。
这个稍微有点复杂，但也不难理解。
比如说（2x ＋ 3)（x 1) ，我们就用第一个括号里的每一项去乘第二个括号里的每一项，然后把得到的结果相加，最后就能得到 2x²＋ x 3 。
多项式的除法呢，常用的方法是长除法。
这就像是我们做整数除法一样，一步一步地算。
多项式的因式分解也是一个重要的知识点。
因式分解就是把一个多项式变成几个整式乘积的形式。
常见的方法有提公因式法，比如 3x ＋6 ，我们可以提出公因式 3 ，得到 3(x ＋ 2) ；还有公式法，像平方差公式 a² b²＝（a ＋ b)（a b) ，完全平方公式（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²等等。
在实际应用中，多项式也有很多用处。
比如在物理学中，描述物体的运动规律可能会用到多项式；在工程学中，计算各种数据和设计模型时也常常会碰到多项式。
多项式的概念及运算
多项式的除法运算
定义：多项式除以 除数 与被除数的每一项 分别相除，得到商 和余数
注意事项：除数不 能为0，否则无意 义
举例说明：多项式 除以单项式的具体 运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。 代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。 通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。 代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个 单项式通过加减运 算得到的代数式。
多项式的次数是所 有单项式中次数最 高的那一项的次数。
多项式中每一项的 系数不能为0。
多项式中单项式的 排列顺序不影响多 项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
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添加标题
添加标题
三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式 举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变 运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)
多项式及其根和系数
多项式及其根和系数多项式在数学中占据着重要的地位，是数学中重要的一类函数。
在现代数学的各个领域中，多项式都有着广泛的应用。
在本文中，我们将以多项式为主题来探讨它的性质，包括多项式的根和系数等方面内容。
一、多项式的定义多项式是由若干个单项式经过加减运算得到的函数。
通常，多项式的形式为：$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，其中$a_n$为多项式的次数，$a_i$为多项式中每一项的系数。
二、多项式的根多项式函数的根是指满足多项式函数等于0的$x$值。
对于一个次数为$n$的多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，它有$n$个复根。
根据代数基本定理，一个次数为$n$的多项式在复数域上必有$n$个复根。
多项式的根在数值计算和应用中有着广泛的应用。
比如说，求解方程$x^2 - 2x +1=0$，该方程的解是$x=1$。
这里的方程就是一个二次多项式，方程的根就是多项式函数的根。
三、多项式的系数在多项式的定义中，多项式的系数占据了重要的位置。
多项式的系数不仅决定了多项式函数的取值，而且还决定了多项式的性质和特征。
多项式系数的特征表示出多项式的对称性质。
对于一个次数为$n$的多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，它的系数$a_i$可以表示出多项式的对称性质。
比如说，如果多项式具有偶对称性，那么多项式的系数$a_i$必须满足$a_{n-i}=a_i$。
而如果多项式具有奇对称性，那么多项式的系数$a_i$必须满足$a_{n-i}=-a_i$。
多项式系数的展开式是指将多项式按照系数的大小排列成一个数列，并将该数列进行展开的操作。
多项式系数的展开式与多项式函数的泰勒展开式有着密切的联系。
四、多项式运算多项式的运算主要有加、减、乘、除。
在实际应用当中，多项式的运算一般都是通过计算机进行的，因为计算机可以快速、准确地计算多项式的值和多项式的运算结果。
多项式
(2) 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除
f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x) h (x)
成立. 我们用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 整除 f (x) ，
用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式.
的一个最大公因式.
(2) 最大公因式有以下性质：
1) P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)一定有最大 公因式. 两个零多项式的最大公因式是零多项式， 它是唯一确定的. 两个不全为零的多项式的最大 公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子 的差别；这时，首系数为1的最大公因式是唯一 确定的. f(x)与g(x)的首系数为1的最大公因式记为 (f(x), g(x)).
注：由于重因式一定是不可约因式，所以f (x)的
重因式也和所在的数域有关.
(3) 关于重因式有下列结论：
1) 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k重因式
(k 1)，那么它是导数 f (x) 的 k - 1 重因式. 特别
(2) 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x)
的 k 重因式，如果 pk(x) | f (x) , pk+1(x) | f (x) . 如果 k = 0 , 那么 p(x) 根本不是 f (x) 的因式；
如果 k = 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式； 如果
k > 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式.
2) 设f (x) , g(x) 是P[x] 中两个多项式，g(x) 0，
多项式的定义是什么
多项式的定义是什么多项式函数以其简单的结构和性质在数值逼近中起到重要的作用,多项式的定义是什么?以下是小编为大家整理的关于多项式的定义，欢迎大家前来阅读!多项式的定义多项式是代中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。
例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。
多项式是整式的一种。
不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。
多项式在数学的很多分支中乃至许多自然以及工程学中都有重要作用。
多项式数学术语多项式 polynomial不含字母的项叫做常数项。
如：5X+6，6就是常数项。
比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。
按这个定义，多项式就是整式。
实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。
0作为多项式时，次数为正无穷大。
单项式和多项式统称为整式。
多项式几何特性多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。
泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。
多项式定理基本定理代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。
高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。
应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。
这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。
关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式，如果有一个素数p能整除αn-1，αn-2，…，α1，α0，但不能整除αn，且p2不能整除常数项α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。
由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。
因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。
分解定理F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。
多项式的概念、系数和次数
多项式的概念、系数和次数多项式是数学中的一个重要概念，它在代数学、微积分、数论等领域都有广泛的应用。
本文将介绍多项式的概念、系数和次数，以及它们之间的关系。
一、多项式的概念多项式是由若干个单项式相加或相减而得到的一种代数式。
其中，单项式是指只有一个未知量或常数的代数式，例如x、2x、3x等。
多项式的一般形式如下：P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0其中，an、an-1、…、a1、a0是常数，n是非负整数，x是未知量。
多项式的系数是指每个单项式中未知量的系数，例如上面的多项式P(x)中，系数an、an-1、…、a1、a0分别为多项式的系数。
二、多项式的系数多项式的系数可以是任意实数或复数，也可以是任意整数或有理数。
例如，下面是一些多项式的例子：P(x) = 2x - 3x + x - 7Q(x) = -5x + 6x - 2x + 3x - 1R(x) = 3x + 2x + 5x - 4x + 1在这些多项式中，系数都是实数或整数。
多项式的系数可以用于求解方程、计算导数和积分等问题。
三、多项式的次数多项式的次数是指多项式中最高次项的次数。
例如，上面的多项式P(x)、Q(x)、R(x)的次数分别为3、4、4。
如果多项式中所有系数都是0，则多项式的次数为0。
例如，多项式S(x) = 0是一个次数为0的多项式。
多项式的次数对于求解方程、计算导数和积分等问题都有重要的作用。
例如，对于一个n次多项式，它最多有n个不同的实根或复根，这是代数基本定理的一个重要结果。
四、多项式的系数和次数的关系多项式的系数和次数之间有一些重要的关系。
例如，如果多项式的系数都是实数或复数，则多项式的次数可以表示为多项式的根的个数，其中每个根的重复次数等于它的代数重数。
这是代数基本定理的一个重要结果。
另外，多项式的次数也可以用于判断多项式的性质。
例如，如果一个多项式的次数为偶数，则它在无穷远处的值为正数；如果一个多项式的次数为奇数，则它在无穷远处的值为正数或负数，具体取决于多项式的首项系数的符号。
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第二章 多项式§2.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 222)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§2.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-d x 整除1-n x 必要且只要d 整除.n §2.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f(ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f == 证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4． 证明：（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式； （ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。
5． 设()()22,242234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f 都是有理数域Q 上的多项式。
求()()][,x Q x v x u ∈使得()()()()()()).,(x g x f x v x g x u x f =+6． 设.1),(=g f 令n 是任意正整数，证明：.1),(=n g f 由此进一步证明，对于任意正整数n m ,，都有.1),(=n m g f7． 设.1),(=g f 证明：.1),(),(),(=+=+=+g f fg g f g g f f8． 证明：对于任意正整数n 都有).,(),(n n n g f g f =9． 证明：若是()x f 与()x g 互素，并且()x f 与()x g 的次数都大于0，那么定理3.3.2里的()x u 与()x v 可以如此选取，使得()x u 的次数低于()x g 的次数，()x v 的次数低于()x f 的次数，并且这样的()x u 与()x v 是唯一的。
10． 决定k ，使24)6(2++++k x k x 与k x k x 2)2(2+++的最大公因式是一次的。
11． 证明：如果()(),1),(=x g x f 那么对于任意正整数m ，()()()1,=mmx g x f12． 设()()x g x f ,是数域F 上的多项式。
()x f 与()x g 的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式()x m ：()a ()()x m x f 且()()x m x g ；()b 如果)(x h ∈F[x]且()()()()x h x g x h x f ,，那么()().x h x m()i 证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。
()ii 设 ()()x g x f ,都是最高次项系数是1的多项式，令()()[]x g x f ,表示()x f 和()x g 的最高次项系数是1的那个最小公倍式。
证明 ()()()()()()()[]x g x f x g x f x g x f ,,=13． 设()()(),1x f x f x g n 并且()()().1,,2,1,1,-==n i x f x g i 证明：()().x f x g n 14． 设()()()].[,,21x F x f x f x f n ∈ 证明：()i ()()()()()()()()()()()().11,,,,,,,,12121-≤≤=+n k x f x f x f x f x f x f x f x f n k k n ()ii ()()()x f x f x f n ,,21 互素的充要条件是存在多项式()()()][,,21x F x u x u x u n ∈ 使得()()()()()()12211=++x u x f x u x f x u x f n n15． 设()()].[,,1x F x f x f n ∈ 令()()()()(){}.1],[11n i x F x g x g x f x g x f I i n n ≤≤∈+=比照定理1.4.2，证明：()()x f x f n ,,1 有最大公因式．[提示：如果()()x f x f n ,1不全为零，取()x d 是I 中次数最低的一个多项式，则()x d 就是()()x f x f n ,,1 的一个最大公因式．] §2.4 多项式的分解1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：()i ;132+x ().12223+--x x x ii2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式14+x 为不可约因式的乘积.3. 证明：()(),22x f x g 当且仅当()().x f x g4. ()i 求 ()1222345-++--=x x x x x x f 在][x Q 内的典型分解式；()ii 求()61416161022345-+-+-=x x x x x x f 在][x R 内的典型分解式5.证明：数域F 上一个次数大于零的多项式()x f 是][x F 中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意()],[x F x g ∈或者()()()1,=x g x f 或者存在一个正整数m 使得()().mx g x f6．设()x p 是][x F 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意()()],[,x F x g x f ∈只要()()()x g x f x p 就有()()x f x p 或()(),x g x p 那么()x p 不可约. §2.5 重因式1. 证明下列关于多项式的导数的公式：()i ()()()()();x g x f x g x f '+'='+ ()ii ()()()()()()().x g x f x g x f x g x f '+'='2. 设()x p 是()x f 的导数()x f '的1-k 重因式.证明：()i ()x p 未必是()x f 的k 重因式；()ii ()x p 是()x f 的k 重因式的充分且必要条件是()().x f x p3. 证明有理系数多项式()!!212n x x x x f n+++=没有重因式.4. b a ,应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？()i ;33b ax x ++()ii.44b ax x ++5. 证明：数域F 上的一个n 次多项式()x f 能被它的导数整除的充分且必要条件是()()nb x a x f -=，这里的b a ,是F 中的数§2.6 多项式函数 多项式的根1．设1532)(345+--=x x x x f ,求)2(),3(-f f .2．数环R 的一个数c 说是][)(x R x f ∈的一个k 重根,如果)(x f 可以被kc x )(-整除,但不能被1)(+-k c x 整除.判断5是不是多项式5057422243)(235+++-=x x x x x f的根.如果是的话,是几重根?3．设d x c x b x a x x x +-+-+-=-+-)2()2()2(5322323 求.,,,d c b a [提示:应用综合除法．]4．将下列多项式)(x f 表成a x -的多项式.)(i 1,)(5==a x x f ;)(ii 2,32)(24-=+-=a x x x f .5．求一个次数小于4的多项式)(x f ,使2)5(,0)4(,1)3(,3)2(==-==f f f f6．求一个2次多项式,使它在ππ,2,0=x 处与函数x sin 有相同的值.7．令)(),(x g x f 是两个多项式,并且)()(33x xg x f +可以被12++x x 整除. 证明.0)1()1(==g f8．令c 是一个复数,并且是][x Q 中一个非零多项式的根,令}0)(|][)({=∈=c f x Q x f J证明:)(i 在J 中存在唯一的最高次项系数是1的多项式)(x p ,使得J 中每一多项式)(x f 都可以写成)()(x q x p 的形式,这里][)(x Q x q ∈. )(ii )(x p 在][x Q 中不可约.如果32+=c ,求上述的)(x p [提示:取)(x p 是J 中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]9．设][x C 中多项式0)(≠x f 且)(|)(n x f x f ,n 是一个大于1的整数. 证明:)(x f 的根只能是零或单位根.[提示:如果c 是)(x f 的根,那么 ,,,32n n n c c c 都是)(x f 的根.] §2.7 复数和实数域上多项式1．设n 次多项式n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 的根是n ααα,,,21 .求)(i 以n ca ca ca ,,,21 为根的多项式,这里c 是一个数;)(ii 以nααα1,,1,121 (假定n ααα,,,21 都不等于零)为根的多项式.2．设)(x f 是一个多项式,用)(x f 表示把)(x f 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:)(i 若是g )(x |f )(x ,那么)(|)(x f x g ;)(ii 若是)(x d 是)(x f 和)(x f 的一个最大公因式,并且)(x d 的最高次项系数是1,那么)(x d 是一个实系数多项式).3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4．在复数和实数域上,分解2-n x 为不可约因式的乘积. 5．证明:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. §2.8 有理数域上多项式1．证明以下多项式在有理数域上不可约:)(i 108234-+-x x x ; )(ii ;66182245+++x x x )(iii 32234-+-x x x ;)(iv 136++x x .2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是t p p p ,,,21 是t 个不相同的素数而n 是一个大于1的整数,那么n t p p p 21是一个无理数.3．设)(x f 是一个整系数多项式.证明:若是)0(f 和)1(f 都是奇数,那么)(x f 不能有整数根.4．求以下多项式的有理根:)(i 1415623-+-x x x ; )(ii 157424---x x x ;)(iii 3212252345--+--x x x x x .§2.9多元多项式1．写出一个数域F 上三元三次多项式的一般形式. 2．设),,(1n x x f 是一个r 次齐次多项式.t 是任意数.证明),,(),,(11n r n x x f t tx tx f =.3．设),,(1n x x f 是数域F 上一个n 元齐次多项式,证明:如果),,(),,(),,(111n n n x x h x x g x x f =,则h g ,也是n 元齐次多项式.4．把多项式xyz z y x 3333-++写成两个多项式的乘积.5．设F 是一个数域.],,[,1n x x F g f ∈是F 上n 元多项式.如果存在],,[1n x x F h ∈使得gh f =,那么就说g 是f 的一个因式.或者说g 整除f .)(i 证明,每一多项式f 都可以被零次多项式c 和cf 整除,0,≠∈c F c .)(ii ],[1n x x F f ∈说是不可约的,如果除了)(i 中那两种类型的因式外,f 没有其它的因式.证明,在],[y x F 里,多项式y x y x y x -+2,,,都不可约.)(iii 举一反例证明,当2≥n 时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.)(iv ],,[,1n x x F g f ∈说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公共因式.证明],[,y x F y x ∈是互素的多项式.能否找到],[),(),,(y x F y x v y x u ∈使得1),(),(=+y x yv y x xu ? §2.10 对称多项式1．写出某一数环R 上三元三次对称多项式的一般形式.2．令],,,[21n x x x R 是数环R 上n 元多项式环,S 是由一切n 元对称多项式所组成的],,[1n x x R 的子集.证明:存在],,[1n x x R 到S 的一个双射.[提示：利用对称多项式的基本定理，建立],,[1n x x R 到S 的一个双射]3．把下列n 元对称多项式表成初等对称多项式的多项式：)(i ∑231xx ；)(ii ∑4x；)(iii ∑32221x x x．4．证明：如果一个三次多项式c bx ax x +++23的一个根的平方等于其余两个根的平方和，那么这个多项式的系数满足以下关系：2324)22(2)2(c ab a b a a +-=-5．设n ααα,,,21 是某一数域Ｆ上多项式n n n n a x a x a x ++++--111在复数域内的全部根．证明：n αα,,2 的每一个对称多项式都可以表成Ｆ上关于1α的多项式．［提示：只需证明n αα,,2 的初等对称多项式可以表成Ｆ上关于1α的多项式即可．］。