多项式

第二章 多项式

§2.1一元多项式的定义和运算

1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 222)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x f

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：

!

)

)...(1()1(!

)

1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n

n

---=+---+--+

-

§2.2 多项式的整除性

1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x

3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且

()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g

4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式

()()

()()

()(),121211

n

k

n k n

k x x x x x x f ++++++=-++

这里k 和n 都是非负整数．证明：

()()()

.11|1

n k 1+++++-x x f x x k

7．证明：1-d x 整除1-n x 必要且只要d 整除.n §2.3 多项式的最大公因式

1. 计算以下各组多项式的最大公因式：

( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f

(ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=

2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f == 证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与

()x g 的一个最大公因式．

3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且

0≠-bc ad

证明：

()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++

4． 证明：

（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式； （ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。

5． 设()()22,242234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f 都是有理数域Q 上的多项式。求()()][,x Q x v x u ∈使得

()()()()()()).,(x g x f x v x g x u x f =+

6． 设.1),(=g f 令n 是任意正整数，证明：.1),(=n g f 由此进一步证明，对于任意正整数n m ,，都有.1),(=n m g f

7． 设.1),(=g f 证明：

.1),(),(),(=+=+=+g f fg g f g g f f

8． 证明：对于任意正整数n 都有).,(),(n n n g f g f =

9． 证明：若是()x f 与()x g 互素，并且()x f 与()x g 的次数都大于0，那么定理3.3.2里的()x u 与()x v 可以如此选取，使得()x u 的次数低于()x g 的次数，()x v 的次数低于()x f 的次数，并且这样的()x u 与()x v 是唯一的。

10． 决定k ，使24)6(2++++k x k x 与k x k x 2)2(2+++的最大公因式是一次的。

11． 证明：如果()(),1),(=x g x f 那么对于任意正整数m ，

()()()1,=m

m

x g x f

12． 设()()x g x f ,是数域F 上的多项式。()x f 与()x g 的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式()x m ：

()a ()()x m x f 且()()x m x g ；

()b 如果)(x h ∈F[x]且()()()()x h x g x h x f ,，那么()().x h x m

()i 证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的

差别外，是唯一的。

()ii 设 ()()x g x f ,都是最高次项系数是1的多项式，令()()[]x g x f ,表示()x f 和

()x g 的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明 ()()()()()()()[]x g x f x g x f x g x f ,,=

13． 设()()(),1x f x f x g n 并且()()().1,,2,1,1,-==n i x f x g i 证明：()().x f x g n 14． 设()()()].[,,21x F x f x f x f n ∈ 证明：

()i ()()()()()()()()()()()().11,,,,,,,,12121-≤≤=+n k x f x f x f x f x f x f x f x f n k k n ()ii ()()()x f x f x f n ,,21 互素的充要条件是存在多项式()()()]

[,,21x F x u x u x u n ∈ 使得

()()()()()()12211=++x u x f x u x f x u x f n n