移动平均法和平滑法
移动平均法和平滑法
5.5 温特线性和季节性指数平滑法
一、温特线性和季节性指数平滑法旳基本原理 温特线性和季节性指数平滑法利用三个方 程式，其中每一种方程式都用于平滑模型旳三 个构成部分（平稳旳、趋势旳和季节性旳）， 且都具有一种有关旳参数。
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温特法旳基础方程式：
St
xt ItL
1 St1
bt1
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设时间序列为 x1, x2 ,..., 移动平均法能够表达为：
1 t
Ft1
xt xt1 ... xtN 1
/
N
N
xi
t N 1
式中： xt 为最新观察值；
Ft 1为下一期预测值；
由移动平均法计算公式能够看出，每
一新预测值是对前一移动平均预测值旳修
正，N越大平滑效果愈好。
Ft1 xt (1 )Ft
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由一次指数平滑法旳通式可见： 一次指数平滑法是一种加权预测，权数为
α。它既不需要存储全部历史数据，也不需要
存储一组数据，从而能够大大降低数据存储问 题，甚至有时只需一种最新观察值、最新预测
值和α值，就能够进行预测。它提供旳预测值
是前一期预测值加上前期预测值中产生旳误差 旳修正值。
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计算公式：
St axt 1 a St1
St aSt 1 a St1
St为一次指数平滑值；St 为二次指数平滑值；
at 2St St
bt
1
St St
Ftm at bt m
m为预测超前期数
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二、霍尔特双参数线性指数平滑法 其基本原理与布朗线性指数平滑法相 似，只是它不用二次指数平滑，而是对趋 势直接进行平滑。
移动平均和指数平滑预测法
1992 60.61 54.89
49.88 5.01 59.91
5.01
1993
63.9 59.87
54.66 5.21 65.08
5.21 64.92
1994 65.65 63.39
59.38 4.00 67.39
4.00 70.28
1995 69.98 66.51
63.26 3.25 69.76
第二节 简单平均法
一、简单平均数法
▪ 该方法是用一定观察期内预测目标的时间序列的各期数据 的简单平均数作为预测期的预测值的预测方法。
▪ 在简单平均数法中，极差越小、方差越小，简单平均数作 为预测值的代表性越好。
▪ 简单平均数法的预测模型是：
n
x
x1 x2 x3 ... xn
xi
i 1
n
n
▪ 时间序列是指同一变量按事件发生的先后顺序排列 起来的一组观察值或记录值。
▪ 构成时间序列的要素有两个： 其一是时间，其二是与时间相对应的变量水平。 实际数据的时间序列能够展示研究对象在一定时期 内的发展变化趋势与规律，因而可以从时间序列中 找出变量变化的特征、趋势以及发展规律，从而对 变量的未来变化进行有效地预测。
▪ 预测模型为：
X G n x1 x2 x3 xn n
xi
（i=1，2，3，…n）
第二节 简单平均法
▪ 特点：更能消除历史数据的起伏变化，反 映出事物发展的总体水平。
▪ 主要步骤： 1) 计算历史数据的环比发展速度； 2）根据环比发展速度求几何平均数，作 为预测期发展速度； 3）以本期的历史数据为基数乘以平均发 展速度作为预测值。
历史数据、一次移动平均数和二次移动平均数的滞后关系
时间序列预测的常用方法
时间序列预测的常用方法时间序列预测是指根据过去一段时间内的数据，通过建立历史数据与时间的关系模型，预测未来一段时间内的数据趋势和变化规律。
时间序列预测在经济学、金融学、气象学、交通运输等领域有着广泛的应用。
本文将介绍时间序列预测的常用方法。
一、简单移动平均法简单移动平均法是最简单直观的时间序列预测方法之一。
它的原理是通过计算平均值来预测未来的值。
具体步骤为：首先选择一个固定的时间窗口，例如选择过去12个月的数据进行预测，然后计算过去12个月的平均值，将该平均值作为未来一个时间点的预测值。
这种方法的优点是简单易用，适用于数据变动较为平稳的时间序列。
二、指数平滑法指数平滑法是一种较为常用的时间序列预测方法，它适用于数据变动较为平稳的情况。
指数平滑法的原理是通过对过去的数据赋予不同权重，来预测未来的值。
指数平滑法将过去的值按照指定的权重递减，然后将过去的值与未来的值结合得出预测值。
常用的指数平滑法有简单指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。
三、趋势法趋势法是根据时间序列中的趋势来进行预测的一种方法。
趋势可以是线性的也可以是非线性的。
线性趋势法是通过拟合线性回归模型来预测未来的值，具体步骤为根据过去的数据建立一个线性回归模型，然后利用该模型来预测未来的数据。
非线性趋势法包括二次多项式拟合、指数增长拟合等方法，其原理是根据过去的数据来选择合适的含有趋势项的非线性模型，然后通过该模型来预测未来的数据。
四、季节性分解法季节性分解法是一种将时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分的方法。
首先对时间序列进行季节性调整，然后利用调整后的数据建立趋势模型和季节模型，最后将趋势模型和季节模型相加得到预测结果。
季节性分解法适用于时间序列中存在明显的季节性变化的情况，如销售数据中的每年的圣诞节销售量增加。
五、ARIMA模型ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model）是一种基于时间序列的统计模型，常用于对非平稳时间序列的预测。
移动平均与指数平滑
— 203.8 206.9 213.8 216.8 218.0 212.1 210.8 216.1 213.2 217.3 226.5
— 203.8 209.0 230.0 226.9 223.8 211.1 209.5 219.0 212.8 219.8 233.8
设时间序列为x1,x2, …： 移动平均法可以表示为：
( xt xt 1 xt N 1 ) 1 t Ft 1 xi N N t N 1
式中：
xt为最新观察值； Ft+1为下一期预测值；
由移动平均法计算公式可以看出，每一新预测值是对
前一移动平均预测值的修正，N越大平滑效果愈好。
（1）移动平均法有两种极端情况
在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实
际个数N=1，这时利用最新的观察值作为下一期
的预测值；
N=n ，这时利用全部 n个观察值的算术平均值作
为预测值。
当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样有
利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差；
当数据的随机因素较小时，宜选用较小的N，这有利 于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的期数也少。
（1）一次指数平滑法的初值的确定有几种方法： 取第一期的实际值为初值； 取最初几期的平均值为初值。
一次指数平滑法比较简单，但也有问题。问题之 一便是力图找到最佳的 α 值，以使均方差最小，这需 要通过反复试验确定。
例：用一次指数平滑法对1981年1月我国平板玻璃月产量进行预
测（α=0.3，0.5 ，0.7）。并选择使均方误差最小的α进行预测
0.7 259 .5 0.3 240 .1 253 .68
业务预测方法
业务预测方法随着企业竞争的日益激烈，业务预测对于企业的发展至关重要。
准确的业务预测可以帮助企业制定合理的经营策略，提前解决潜在问题，降低经营风险，提高竞争力。
本文将介绍一些常用的业务预测方法，以帮助企业做出更准确的预测。
一、时间序列分析方法时间序列分析是一种根据数据的时间顺序推断未来发展趋势的方法。
它基于历史数据来识别和分析时间序列中的趋势、周期性和季节性等规律，从而预测未来的业务发展。
时间序列分析方法通常包括移动平均法、指数平滑法和ARIMA模型等。
移动平均法是一种简单而广泛使用的时间序列分析方法。
该方法通过计算一定时间段内的平均值来平滑数据，然后根据平滑后的数据拟合出趋势线，从而进行预测。
指数平滑法是一种根据过去数据的加权平均值来预测未来的方法。
该方法常用于对季节性变动较大的数据进行预测，通过调整加权因子来平衡过去数据对预测结果的影响。
ARIMA模型是一种广泛应用于时间序列分析的统计模型，它结合了自回归、滑动平均和差分运算，能够更准确地捕捉时间序列中的趋势和周期性。
ARIMA模型通常通过对历史数据进行拟合，得到最优模型参数，然后使用该模型进行未来预测。
二、回归分析方法回归分析是一种通过建立变量之间的数学关系来预测业务发展的方法。
回归分析方法通常包括线性回归和非线性回归两种。
线性回归是一种基于线性关系假设的回归分析方法。
通过拟合得到的线性模型，可以对未来的业务发展进行预测。
线性回归模型可以通过最小二乘法进行求解，得到最优的模型参数。
非线性回归是一种基于非线性关系假设的回归分析方法。
与线性回归不同，非线性回归模型可以更准确地描述复杂的业务发展规律。
非线性回归模型的求解通常采用迭代优化算法，通过逐步调整模型参数来最小化误差。
三、机器学习方法随着人工智能技术的发展，机器学习方法在业务预测中的应用越来越广泛。
机器学习方法可以通过对大量历史数据的学习，建立复杂的数学模型，从而实现对未来业务的预测。
常用的机器学习方法包括决策树、支持向量机、神经网络和随机森林等。
几何平均法、移动平均法、指数平滑法预测
•平均预测法原理
-随机因素对数据的影响，通过对数据的平均或平滑消除后，呈现出事物的本质规律
•算术平均
-简单平均、加权平均、几何平均
几何平均
•概念：几何平均数是一个统计的概念，某一变量的几何平均值定义为：
移动平均法
原理：
通过对历史数据的移动平均，消除随机因素影响，建立模型，进而预测。
一次移动平均法、二次移动平均法
一次移动平均法
指数平滑法
•移动平均法存在着以下不足：
-丢失历史数据。
对历史数据平等对待。
•方法
-一次指数平滑法。
二次指数平滑法。
噪声平滑方法
噪声平滑方法噪声平滑方法是一种常用的信号处理技术，它可以用于去除信号中的噪声，提高信号的质量。
本文将介绍噪声平滑方法的原理、常用技术和应用领域。
一、噪声平滑方法的原理噪声是信号中的一种干扰，它会引起信号的波动和不稳定。
噪声平滑方法的原理是通过对信号进行滤波，将噪声信号抑制，保留原始信号的主要特征。
常用的噪声平滑方法包括移动平均法、中值滤波法和高斯滤波法。
1. 移动平均法移动平均法是一种简单且有效的噪声平滑方法。
它通过计算信号中一段时间内的平均值来抑制噪声。
移动平均法可以分为简单移动平均法和加权移动平均法两种。
简单移动平均法对所有数据点的权重相同，而加权移动平均法则根据数据点的重要性赋予不同的权重。
2. 中值滤波法中值滤波法是一种基于排序统计的噪声平滑方法。
它通过对信号中一段时间内的数据进行排序，然后选择中间值作为滤波结果。
中值滤波法能够有效地抑制噪声，尤其对于脉冲噪声的抑制效果更好。
3. 高斯滤波法高斯滤波法是一种基于高斯函数的噪声平滑方法。
它通过对信号进行加权平均，使得离中心点越近的数据点权重越大。
高斯滤波法可以兼顾抑制噪声和保留信号细节的效果，是一种常用的滤波方法。
三、噪声平滑方法的应用领域噪声平滑方法广泛应用于各个领域，如图像处理、语音处理、传感器信号处理等。
在图像处理中，噪声平滑方法可以用于去除图像中的噪点，提高图像的清晰度和质量。
在语音处理中，噪声平滑方法可以用于去除语音信号中的背景噪声，提高语音的可听性和识别准确率。
在传感器信号处理中，噪声平滑方法可以用于去除传感器信号中的噪声，提高传感器的测量精度和稳定性。
四、总结噪声平滑方法是一种常用的信号处理技术，通过对信号进行滤波，可以有效地抑制噪声，提高信号的质量。
常用的噪声平滑方法包括移动平均法、中值滤波法和高斯滤波法。
这些方法在图像处理、语音处理、传感器信号处理等领域都有广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求选择适合的噪声平滑方法，并根据实际情况调整参数，以达到最佳的滤波效果。
趋势分析法的实例
趋势分析法的实例
趋势分析法是一种利用过去的数据来预测未来发展趋势的方法。
以下是一些趋势分析法的实例：
1. 线性趋势分析：线性趋势分析是通过拟合一条直线来描述数据的发展趋势。
例如，可以使用线性趋势分析来预测一个产品在未来几个季度的销售量。
2. 指数平滑法：指数平滑法是一种根据数据的权重赋予较大值的近期数据，从而更好地反映最新趋势的方法。
这种方法可以用于预测股票价格或者季度销售额等时间序列数据。
3. 移动平均法：移动平均法是一种利用连续时间段内的平均值来预测趋势的方法。
例如，可以使用二十日移动平均法来预测股票的短期趋势。
4. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是一种利用已知数据来推测未知数据的方法。
该方法通过将已知数据拟合为一个多项式来进行预测。
例如，可以使用拉格朗日插值法来预测一个地区的人口增长趋势。
5. Box-Jenkins方法：Box-Jenkins方法是一种用于建立时间序列模型的方法。
它将数据分解为趋势、季节性和残差等多个部分，并通过拟合这些部分来进行预测。
该方法通常用于研究经济和金融领域的数据。
这些实例展示了趋势分析法在不同领域中的应用，但请注意，在进行趋势分析时，需要考虑数据的可靠性、趋势的非线性特征等因素，以确保预测结果的准确性。
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例题分析
•例 1
分析预测我国平板玻璃月产量。 下表是我国1980-1981年平板玻璃月产量，试选用N=3 和N=5用一次移动平均法进行预测。计算结果列入表中。
时间 1980.1 1980.2 1980.3 1980.4 1980.5 1980.6 1980.7 1980.8 1980.9 1980.10 1980.11 1980.12 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 实际观测值 203.8 214.1 229.9 223.7 220.7 198.4 207.8 228.5 206.5 226.8 247.8 259.5 三个月移动平均值 215.9 222.6 224.8 214.6 209.0 211.6 214.3 220.6 227.0 五个月移动平均值 218.4 217.4 216.1 215.8 212.4 213.6 223.5
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5.2 线性二次移动平均法
一、线性二次移动平均法 （1）基本原理 为了避免利用移动平均法预测有趋势 的数据时产生系统误差，发展了线性二次 移动平均法。这种方法的基础是计算二次 移动平均，即在对实际值进行一次移动平 均的基础上，再进行一次移动平均。
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（2）计算方法 线性二次移动平均法的通式为：
Ft+m = ( St + bm) It−L+m t
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使用此方法时一个重要问题是如何确 定α、β和γ的值，以使均方差达到最小。 通常确定α、β和γ的最佳方法是反复试 验法。
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5.3 线性二次指数平滑法
• 一次移动平均法的两个限制因素在线性二 次移动平均法中也才存在，线性二次指数 平滑法只利用三个数据和一个α值就可进 行计算； • 在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次 指数平滑法作为预测方法。
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一、布朗单一参数线性指数平滑法 • 其基本原理与线性二次移动平均法相 似 ，因为当趋势存在时，一次和二次 平滑值都滞后于实际值，将一次和二 次平滑值之差加在一次平滑值上，则 可对趋势进行修正。
xt + xt −1 + xt −2 +... + xt −N+1 St′ = N
St′ + St′−1 + St′−2 +... + St′−N+1 St′′ = N
（5.1） （5.2）
at = 2St′ − St′′
2 bt = ( St′ − St′′) N −1
（5.3）
（5.4）
F+m = at + bm t t
指数平滑法 α=0.5 — 203.8 209.0 230.0 226.9 223.8 211.1 209.5 219.0 212.8 219.8 233.8 α=0.7 — 203.8 211.0 224.2 223.9 221.7 205.4 207.1 222.1 211.2 222.1 240.1
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（3）移动平均法的两个主要限制 限制一：计算移动平均必须具有N个过 去观察值，当需要预测大量的数值时， 就必须存储大量数据；
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限制二：N个过去观察值中每一个权数 都相等，而早于（t-N+1）期的观察值的 权数等于0，而实际上往往是最新观察值 包含更多信息，应具有更大权重。
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当数据的随机因素较大时，宜选用较大 的N，这样有利于较大限度地平滑由随机性 所带来的严重偏差；反之，当数据的随机因 素较小时，宜选用较小的N，这有利于跟踪 数据的变化，并且预测值滞后的期数也少。
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设时间序列为 x x2 ,..., 移动平均法可以表示为： 1,
αt ct = S′ − 2St′′+ St′′′ ) 2( t (1−α )
1 2 Ft +m = at + bm+ ct m t 2
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5.5 温特线性和季节性指数平滑法
一、温特线性和季节性指数平滑法的基本原理 温特线性和季节性指数平滑法利用三个方 程式，其中每一个方程式都用于平滑模型的三 个组成部分（平稳的、趋势的和季节性的）， 且都含有一个有关的参数。
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• 在移动平均值的计算中包括的过去观察值 的实际个数，必须一开始就明确规定。每 出现一个新观察值，就要从移动平均中减 去一个最早观察值，再加上一个最新观察 值，计算移动平均值，这一新的移动平均 值就作为下一期的预测值。
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（1）移动平均法有两种极端情况 • 在移动平均值的计算中包括的过去观察值 的实际个数N=1，这时利用最新的观察值 作为下一期的预测值； • N=n，这时利用全部n个观察值的算术平 均值作为预测值。
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二、霍尔特双参数线性指数平滑法 其基本原理与布朗线性指数平滑法相 似，只是它不用二次指数平滑，而是对趋 势直接进行平滑。
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计算公式：
St = αxt + (1−α )( St−1 + bt−1 )
（5.5） （5.6）
bt = γ ( St − St−1 ) + (1−γ ) bt−1
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由上表可见：
α=0.3，α=0.5，α=0.7时，均方误差分别为： MSE=287.1 MSE=297.43 MSE=233.36 233.
1981年1月的平板玻璃月产量的预测值为：
最小
因此可选α=0.7作为预测时的平滑常数。
0.7× 259.5 + 0.3× 240.1 = 253.68
m为预测超前期数 回总目录 回本章目录
其中： （5.1）式用于计算一次移动平均值； （5.2）式用于计算二次移动平均值； （5.3）式用于对预测（最新值）的初始点进 行基本修正，使得预测值与实际值 之间不存 在滞后现象； （5.4）式中用 ( St′ − St′′) 除以
N −1 2
，这是因为
移动平均值是对N个点求平均值，这一平 均值应落在N个点的中点。
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一次指数平滑法的初值的确定有几种方法： 取第一期的实际值为初值； 取最初几期的平均值为初值。 一次指数平滑法比较简单，但也有问题。 问题之一便是力图找到最佳的α值，以使均 方差最小，这需要通过反复试验确定。
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• 例 2 利用下表数据运用一次指数平滑法对1981年1 月我国平板玻璃月产量进行预测（取α=0.3，0.5 ， 0.7）。并计算均方误差选择使其最小的 α 进行预 测。 拟选用α=0.3，α=0.5，α=0.7试预测。 结果列入下表：
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温特法的基础方程式：
St = α xt + (1−α )( St −1 + bt−1 ) It−L
0 < α <1
0 < γ <1 0 < β <1
bt = γ ( St − St−1 ) + (1−γ ) bt−1
xt It = β + (1− β ) It −L St
其中，L为季节的长度；I为季节修正系数。
1 t F+1 = ( xt + xt −1 +... + xt−N+1 ) / N = ∑ xi t N t −N+1
式中：
xt为最新观察值；
F&以看出，每 一新预测值是对前一移动平均预测值的修 正，N越大平滑效果愈好。
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（2）移动平均法的优点 计算量少； 移动平均线能较好地反映时间序列 的趋势及其变化。
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计算公式：
St′ = αxt + (1−α ) St′−1 St′′ = αSt′ + (1−α ) St′′1 − St′′′= αSt′′+ (1−α ) St′′′1 −
at = 3S′ −3St′′+ St′′′
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αt bt = 6 −5α ) St′ −(10 −8α ) St′′+ ( 4 −3α ) St′′′ 2 ( 2(1−α )
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时间 1980.01 1980.02 1980.03 1980.04 1980.05 1980.06 1980.07 1980.08 1980.09 1980.10 1980.11 1980.12 1981.01
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
实际观测值 α=0.3 203.8 214.1 229.9 223.7 220.7 198.4 207.8 228.5 206.5 226.8 247.8 259.5 — 203.8 206.9 213.8 216.8 218.0 212.1 210.8 216.1 213.2 217.3 226.5
5 时间序列平滑预测法
5.1 一次移动平均法和一次指数平滑法 5.2 线性二次移动平均法 5.3 线性二次指数平滑法 5.4 布朗二次多项式（三次）指数平滑法 5.5 温特线性和季节性指数平滑法
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5.1 一次移动平均法和一次指数平滑法
一、一次移动平均法 • 一次移动平均方法是收集一组观察值， 计算这组观察值的均值，利用这一均值 作为下一期的预测值。
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计算公式：
St′ = axt + (1− a) St′−1
St′′ = aSt′ + (1− a) St′′1 −
St′为一次指数平滑值； t′′ 为二次指数平滑值； S
at = 2St′ − St′′ α bt = ( St′ − St′′) 1−α m为预测超前期数 F+m = at + bm t t