数值积分论文
积分中值定理的推广及应用(论文)
衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分中值定理的推广及应用学号：姓名：年级：学院：信息科学技术学院系别：数学系专业：信息与计算科学指导教师：完成日期：年月日摘要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用。
有关ξ点的渐进性，我们对第一积分中值定理的ξ点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。
而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其它证明过程只做简要说明。
对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。
在此基础上，我们还讨论了在几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理，它使得积分中值定理更加一般化，此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。
在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间[,]f x的积分中值a b讨论函数()定理情形转换为在开区间(,)a b上讨论函数()f x上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。
不仅如此，我们还将几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理推广到第一、第二曲线型积分中定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。
关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性AbstractThe main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.About the Progressive of ξpoint, we have discussed the ξpoint of the mean-value theorem in detail and give clear proof of the process. While the gradual issues of the secondintegral mean value theorem has been demonstrated one of these situations. And the otherprocess of proving has been expressed in brief.According to application,we presented a simple situation, for example, estimate integralvalue ,solve the limits of definite integral, define integral sign, compare the magnitude of integralvalue, prove the monotonic of function and Abel test and Dirichlet testWe have discussed the definite integral mean-value theorem, the first mean value theorem,the second integral mean-value theorem, and have given a detailed proof of these theoremsprocess. On this basis, we also have discussed the Riemann first integral mean-value theorem onthe geometryΩ. It makes the integral mean-value theorem is more general, the case has asignificant role in the discussion of practical issues in general.In the promotion of integral mean value theorem, we have discussed the integralmean-value theorem of function ()a b in the case off x in the initial closed interval [,]discussing it in the open interval(,)a b, the change has more convenience in solving some practical mathematical problem. In addition, we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometryΩto the situation of the first and second type curve in integral theorem and The second type surface integral mean-value theorem.Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 引言 (1)2 积分中值定理的证明 (2)2.1 定积分中值定理 (2)2.2 积分第一中值定理 (3)2.3 积分第二中值定理 (3)2.4 几何形体上黎曼积分第一中值定理 (6)3 积分中值定理的推广 (9)3.1 定积分中值定理的推广 (9)3.2 定积分第一中值定理的推广 (9)3.3 定积分第二中值定理的推广 (11)3.4 第一曲线积分中值定理 (12)3.5 第二曲线积分中值定理 (12)3.6 第一曲面积分中值定理 (13)3.7 第二曲面积分中值定理 (14)4 第一积分中值定理中值点的渐进性 (16)5 第二积分中值定理中值点的渐进性 (20)6 积分中值定理的应用 (23)6.1 估计积分值 (23)6.2 求含定积分的极限 (24)6.3 确定积分号 (24)6.4 比较积分大小 (25)6.5 证明函数的单调性 (25)6.6 证明定理 (25)7 结论 (29)谢辞 (30)参考文献 (31)1引言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。
定积分的数值计算方法[文献综述]
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毕业论文文献综述信息与计算科学定积分的数值计算方法一、 前言部分在科学与工程计算中，经常要计算定积分()()().baI f f x dx a b =-∞≤≤≤∞⎰ （1．1）这个积分的计算似乎很简单，只要求出f 的原函数F 就可以得出积分（1．1）的值，即()()().I f F b F a =- （1．2）如果原函数F 非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分1dx x ⎰可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分2x edx -⎰，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三思而行[1]．例如411dx C x =++⎰， （1．3） 采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法[2]．通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．二、 主题部分2．1 牛顿-科茨求积公式[4]2．1．1 公式的一般形式[4]将积分（1．1）中的积分区间[],a b 分成n 等分，其节点k x 为1,()k x a kh h b a n=+=- (0,1,,)k n =L ． 对于给定的函数f ，在节点k x (0,1,,)k n =L 上的值()k f x 为已知．那么f 在n+1个节点01,,,n x x x L 上的n 次代数插值多项式为00()().n nj n kk j k j j k x x p x f x x x ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ 如果记x a th =+，则上式可以写为00()().n nn kk j j k t j p x f x k j ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ （2．1） 在积分（1．1）中的被积函数f 用其n+1个节点的代数插值多项式()n p x 来代替，可 得 ()()()()bbn n aaI f f x dx I f p x dx =≈=⎰⎰．多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为()()()nn n k k I f I f A f x =≈=∑， （2．2）其中 ()00(),n n n k k j j kb a t j A dt b ac n k j=≠--==--∏⎰ (2．3) ()00(1)().!()!n kn n n kj j kct j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ (2．4) 公式（2．2）称为牛顿-科茨求积公式或称为等距节点求积公式，k A 称为求积公式系数，()n k c 称为科茨求积系数．牛顿-科茨求积公式的误差估计()n E f ()()n I f I f =-，由下面定理给出 定理2．1 (1) 如果n 为偶数，(2)n f +在[],a b 上连续，则有[]3(2)()(),,n n n n E f c hf a b ηη++=∈， （2．5）其中 201(1)(2)()(2)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． (2) 如果n 为奇数，(1)n f+在[],a b 上连续，则有[]2(1)()(),,n n n n E f c h f a b ηη++=∈， （2．6）其中 01(1)(2)()(1)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． 定义2．1 如果求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰对所有次数不高于n 的代数多项式等式精确成立，但存在n+1次的代数多项式使等式不成立，则称上式求积公式具有n 次代数精度．由定理2．1可知，牛顿-科茨求积公式（2．2）的代数精度至少是n 次，而当n 是偶数时，（2．2）的代数精度可达n+1次．2．1．2 梯形公式[5]在牛顿-科茨公式（2．2）中，取n=1时(1)(1)011,2c c ==所以有 []1()()()().2b aI f I f f a f b -≈=+ （2．7） 公式（2．7）称为梯形公式，如果用连接(),()a f a 和(),()b f b 的直线来逼近f ，并对这线性函数进行积分可得到1()I f ．再用1()I f 来逼近()I f ． 定理 2．2 若[]2,f Ca b ∈，则梯形公式（2．7）的误差为[]3111()()()()''(),,.12E f I f I f b a f a b ηη=-=--∈ 2．1．3 辛普森公式[6]在牛顿-科茨公式（2．2）中,取n=2，则有220011(1)(2),46c t t dt =--=⎰221014(2),26c t t dt =--=⎰ 222011(1),46c t t dt =-=⎰有此得到2()()()4()().32h a b I f I f f a f f b +⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦（2．8） 其中1()2h b a =-．式（2．8）称为辛普森公式． 定理2．3 若[]4,f Ca b ∈，则辛普森公式（2．8）的误差为[]5(4)221()()()(),,.90E f I f I f h f a b ηη=-=-∈2．2 复化求积公式[7]上面已经给出了计算积分()()baI f f x dx =⎰的3个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿-科茨公式，并给出了它们误差的表达式．由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度．若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量．但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证．为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，()I f 等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为复化求积公式．将积分区间[],a b 作n 等分，并记,,0,1,,k b ah x a kh k n n-==+=L ，于是 11()()k kn x x k I f f x dx +-==∑⎰．2．2．1 复化梯形求积公式[8]如果需要求出一个已知函数()f x 在一个很大区间[],a b 上的积分，那么我们可以把区间分成n 个长度为x h ∆=的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加．于是就得到了计算定积分的复化梯形公式：1101210()()(222)22n bi i n n ai h hf x dx f f f f f f f -+-=≈+=+++++∑⎰L (2．9)整体积分误差等于n 个小区间上的积分误差之和：整体误差= []312''()''()''()12n h f f f ξξξ-+++L ，其中i ξ是第i 个小区间上的某一点．如果''()f x 在区间[],a b 上连续，那么由连续函数的性质可知，在区间[],a b 上存在点ξ使得''()i f ξ的平均值等于()f ξ．于是由于nh b a =-,有整体误差= 322''()''()()1212nh b a f h f O h ξξ--=-=， 局部误差是3()O h ，整体误差是2()O h ．2.2.2 复化辛普森求积公式[9]对于积分()baf x dx ⎰，将[],a b 等分，每个小区间长度b ah n-=，节点记为 (0,1,2,,)k x a kh k n =+=L ，第k 个小区间记为[]1,(1,2,,)k k x x k n -=L ．记[]1,k k x x -的中点为1121()2k k k xx x --=+，则复化辛普森公式为 1112()()()4()()6n bk k ak k h f x dx S h f x f x f x --=⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦∑⎰．2．3 龙贝格积分[10]现在要介绍用龙贝格（Romberg ）命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推形式，假设需要积分()baI f x dx =⎰ （2．10）的近似值．在讨论过程中函数()f x 和区间[],a b 将保持不变．2．3．1 递推梯形法则[10]设()T n 表示在长度是()/h b a n =-的n 个子区间上积分I 的梯形法则．根据()''()nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰，我们有 00()()''()''()nn n i i b a b a T h f a ih f a i n n ==--=+=+∑∑， （2．11） 这里求和符号中的两撇表示和式中第一项和最后一项减半． 2．3．2 龙贝格算法[10]在龙贝格算法中使用上述公式．设(,0)R n 表示具有2n个子区间的梯形估计，我们有[]1211(0,0)()()()21(,0)(1,0)((21))2n n n i R b a f a f b R n R n hf a i h -=⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++-⎪⎩∑ ， （2．12） 对于一个适度的M 值，计算(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)R R R R M L ，并且其中没有重复的函数值的计算．在龙贝格算法的其余部分中，还要计算附加值(,)R n m ．所有这些都可以被理解为积分I 的估计．计算出(,0)R M 后，不再需要被积函数f 值的计算．根据公式[]1(,)(,1)(,1)(1,1)41m R n m R n m R n m R n m =-+-----， （2．13）对于1n ≥和1m ≥构造R 阵列的各列．定理 2．4（龙贝格算法收敛性定理）[10]若[],f C a b ∈，则龙贝格阵列中每一列都收敛于f 的积分．因此，对每个m ，lim (,)()baR n m f x dx =⎰．2．4高斯求积[11]前面研究的求积公式都是事先确定了n 个节点，然后按使求积公式阶数达到最大的原 则选取最佳权．由于自由参数为n 个，所以阶数一般为n-1，但如果节点的位置也自由选择，则自由参数的个数将变为2n ，因此求积公式的阶数可达到2n-1．高斯求积公式就是通过选择最佳的节点和权，使求积公式的阶数最大化．一般地，对每个n ，n 点高斯公式都是唯一的，而且阶数为2n-1．因而，对一定的节点个数，高斯求积公式的精度是最高的．但它的求得比牛顿—柯特斯公式要困难得多．虽然它的节点和权也可由待定系数法确定，但得到的方程是非线性的．2．4．1 高斯求积公式[11]为说明高斯求积公式，推导区间[]1,1-上的两点公式1112221()()()()()I f f x dx w f x w f x G f -=≈+=⎰，其中的节点1x 、2x 及权1w 、2w 按使求积公式阶数最大化的原则选取．令公式对前四个单项式精确成立，得力矩方程组112111122112221122113331122112,0,2,30.w w dx w x w x xdx w x w x x dx w x w x x dx ----⎧+==⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪+==⎪⎪+==⎪⎩⎰⎰⎰⎰这个非线性方程组的一个解为12121,1,x x w w =-===另一个解可通过改变1x ，2x 的符号而得到．这样，两点高斯求积公式为2()(G f f f =-+，阶数为3．另外，高斯求积公式的节点也可以由正交多项式得到．若p 是n 次多项式，且满足()0,0,,1,bk ap x x dx k n ==-⎰L 则p 与[],a b 区间上所有次数小于n 的多项式正交，容易证明：1． p 的n 个零点都是实的、单的，且位于开区间(,)a b ．2． 区间[],a b 上以p 的零点为节点的n 点插值型求积公式的阶数为2n-1，是唯一的n 点高斯公式．定义2．2[12] 如果1n +个节点的求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰（2．14）的代数精度达到21n +，则称式（2．14）为高斯型求积公式，此时称节点k x 为高斯点，系数k A 称为高斯系数．定理2．5[12] 以01,,,n x x x L 为高斯点的插值型求积公式具有21n +次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式101()()()()n n x x x x x x x ω+=---L与任意次数不超过n 的多项式()p x 带权()x ρ均在区间[],a b 上正交，即1()()()0bn ax p x x dx ρω+=⎰． （2．14）定理2．6 高斯公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰（2．15）的求积系数k A 全为正，且 2()(),0,1,,bbk k k aaA l x dx l x dx k n ===⎰⎰L ． （2．16）定理2．7 对于高斯公式（2．14），其余项为 (22)211()()()()(22)!b n n a R f f x x dx n ξρω++=+⎰ ， （2．17） 其中[]101,,()()()().n n a b x x x x x x x ξω+∈=---L2．4．2 高斯—勒让德（Gauss-Legendre ）公式[13] 对于任意求积区间[],a b ，通过变换22a b b ax t +-=+，可化为区间[]1,1-，这时11()()222bab a a b b af x dx f t dt --+-=+⎰⎰． 因此，不失一般性，可取1,1a b =-=，考查区间[]1,1-上的高斯公式 11()()ni i i f x dx A f x -==∑⎰． （4．5）我们知道，勒让德多项式1211111()(1)2(1)!n n n n n d L x x n dx+++++⎡⎤=-⎣⎦+， （4．6） 是区间[]1,1-上的正交多项式，因此，1()n L x +的n+1个零点就是高斯公式（4．5）的n+1个节点．特别地，称1()n L x +的零点为高斯点，形如（4．5）的高斯公式称为高斯—勒让德公式．以上这些公式中的节点和求积系数可查表得到． 2．4．3 高斯—哈米特求积公式（Gauss-Hermite ）[14] Gauss-Hermite 求积公式2()0()()nx n k k k ef x dx f x ω∞--∞=≈∑⎰， （4．7）其余项为(22)1(().2(22)!n n n n R f f n ξ+++=+ （4．8）2．4．4 高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev ）求积公式[15] 区间为[]1,1-，权函数()x ρ=Gauss 型求积公式，其节点k x 是Chebyshev多项式1()n T x +的零点，即21cos (0,1,,)2(1)k k x k n n π⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦L ，而(0,1,,)1k A k n n π==+L于是得到1021cos 12(1)nk k f n n ππ-=⎡⎤+≈⎢⎥++⎣⎦∑⎰（4．9） 称为Gauss-Chebyshev 求积公式，公式的余项为 (22)2(1)2()(),(1,1)2(22)!n n n R f f n πηη++=∈-+ ， （4．10） 这种求积公式可用于计算奇异积分．2．5 递推型高斯求积[10]高斯求积公式不具有递推性：当节点个数一定时，如果自由选择所有的节点和权以达到最高的阶数，则节点个数不同的公式一般没有公共节点，这意味着与一组节点对应的积分值，在用另外一组节点计算积分值时不能被利用．Kronrod 求积公式避免了这种工作量的增加，这类公式是对称的，n 点高斯公式n G 与2n+1个点Kronrod 公式21n K +对应．21n K +节点的约束条件为：以n G 的节点作为21n K +的节点，按求积公式达到最高阶数的要求确定21n K +中剩下的n+1个节点及2n+1个权（其中包括n G 的节点的权）．这样，求积公式的阶数可达到3n+1，而真正2n+1个点高斯公式应该是4n+1阶的，所以精度和效率是一对矛盾．使用两个节点个数不同的求积公式的主要原因是可以用它们的差估计积分近似值的误差．使用Gauss-Kronrod 公式对时，若以21n K +的值作为积分的近似值，则一半基于理论，一半基于经验，可以得到关于误差的保守估计： 1.521(200)n n G K +-．Gauss-Kronrod 公式不仅有效地提供了较高的精度，还给出了可靠误差估计，所以它被认为是最有效的求积公式之一，并且构成了主要软件库中求积程序的基础，特别地，公式715(,)G K 已被普遍使用．三、 总结部分因为一些定积分的求解比较复杂，所以数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题．各种定积分的数值计算方法的出现和发展，加快和简化了求解定积分的效率和步骤．以上主要介绍了各种数值积分的方法——牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式等．每种方法都有各自的优缺点，针对不同的积分函数采用不同的方法，所以在实际计算时，要做适当的采取．相信随着理论分析和研究的日益深入，求定积分的数值计算方法将更加简单和完善，为我们的计算带来前所未有的方便，在数学领域也将会更上一层楼．四、参考文献[1] 孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习（第4版）[M]．南京：东南大学出版社，2009,(2)： 128~129．[2]Micheal T ．Heath ． 张威，贺华，冷爱萍译．科学计算导论（第2版）[M]．北京：清华大学出版社，2005，(10)： 396~297．[3]李桂成．计算方法[M]．北京：电子工业出版社，2005，(10)：186．[4] 现代应用数学手册编委会． 现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]． 北京：清华大学出版社，2005，(1)： 163~168．[5] 林成森． 数值计算方法（上）[M]． 北京：科学出版社，2004，(5)： 220~221．[6]冯康．数值计算方法[M]．北京：国防工业出版社，1978，(12)： 45~47．[7]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析（第2版）[M]．南京：东南大学出版社，2002，(1)： 191~194．[8] （美）柯蒂斯F ．杰拉尔德 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数学学年论文
数值积分中的代数精度的讨论学生姓名:滕伟峰 学号:20085034002 数学与信息科学学院 信息与计算科学专业指导教师:李连兵 职称:讲师摘 要:本文基于插值型求积公式及代数精度的概念，对代数精度的算法以及节点数分别为奇数和偶数时代数精度的情况进行讨论．关键词:插值型求积公式；代数精度；节点The Discussion of Algebra Precision in Numerical IntegrationAbstract: In this essay ,we base on interpolation quadrature formula and the concept of algebra precision to discuss the algebra precision algorithm and how will algebra precision going when the nodal point number is odd number or even number ．Keywords: I nterpolation quadrature formula ； algebra precision ； nodal point number前 言实际问题中常常需要计算积分．有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解问题也都和积分计算有关．在计算定积分时，根据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分dx x f ba⎰=I )(，只要找到被积函数)(x f 的原函数()x F ，便有下列牛顿莱布尼茨公式)()()(a F b F dx x f ba-=⎰．但是在很多场合下，用这种方法往往有些困难，如(1)实验与观测仅给出()x f 在一些离散点的函数值 )(k k x f y =，0,1,2....k n =(2)函数不能用初等函数表示，如 ⎰10sin dx xx，⎰-102dx x e 等． (3)计算某些数学模型时，经常遇到大量定积分需要计算，用牛顿莱布尼茨公式就显得过于费时费力．基于上述原因，我们有必要研究积分的计算问题．1 插值型的求积公式目前，数值积分用的最多的公式就是插值型的求积公式()()∑⎰===nk k k ban nx f A dx x L I，其中k x 为给定的一组节点，且满足 b x x x x a n ≤<<<<≤ 210，并且已知()x f 在这些节点上的函数值．作插值函数()x L n ，()⎰=ba n n dx x L I 为积分()dx x f ba⎰=I 的近似值，k A 为求积系数，通过插值基函数)(x l k 积分得出k A ⎰=bak dx x l )(．2 代数精度的概念数值求积方法是近似计算，为了保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确成立，这也就引出了代数精度的概念．定义1 如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于1+m 次多项式就不能准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度．显然，对于公式∑⎰=≈nk k k bax f A dx x f 0)()(具有m 次代数精度等价于mk k a b mk k a b ni k ii k k k k XA ≤+-=>+-≠=++++∑;1;101111{．因此，讨论代数精度m 时，就要从两方面讨论，一是在m 次成立，二是在1+m 次不成立．一般地，欲使求积公式∑⎰=≈nk k k bax f A dx x f 0)()(具有m 次代数精度，只要令它对于m x x x x f 2,,1)(=都准确成立，这就要求∑=-=nk ka b A，()a b x A nk k k -=∑=021， (1)()nk k k A f x =∑=()1111k k b a k ++-+． 以下将通过一道例题来说明这个问题．例2.1 求))(()(a b a f x f ba -=⎰的代数精度．解 由于当1)(=x f 时，⎰bax f )())((a b x f a b -=-=；当x x f =)(时，)()(21)(22a b a a b dx x f ba-≠-=⎰； 因此公式))(()(a b a f x f ba-=⎰具有1次代数精度．2.1 对于给定节点不等距的情况 如果事先已给定[],a b 中的求积节点k x 如下01n a x x x b ≤<<<≤ ，此时，式（1）成为n+1个未知数01,,n A A A 的m+1阶线性方程组，显然m n <时，有无穷多组解．用n+1个互异节点01,,n x x x 可以构造具有多高的代数精度的求积公式呢？我们有如下定理:定理 对于任意给定的n+1个互异节点01n a x x x b ≤<<<≤ ，总存在求积系数01,,n A A A ，使求积公式()()∑⎰===nk k k ban nx f A dx x L I至少具有n 次代数精度．3 牛顿—科特斯公式在做积分运算的过程中我们常常将积分区间][b a ,划分为n 等份，步长为nab h -=选取等距节点，kh a x k +=， i=0,1,2 ,n ，构造出插值型求积公式∑=-=I nk n k n x f C a b 0)()()(，此公式即为牛顿---科特斯公式．特别地当1=n 时，2)()()(a f b f a b I n --=， 此公式为梯形公式．当2=n 时，不难求02114,66C C C ===．此时相应的牛顿—科特斯公式为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=)()2(4)(6b f b a f a f a b S ， 此公式称为为辛普森公式．当4=n 时，C [])(7)(32)(12)(32)(79043210x f x f x f x f x f ab ++++-=， 此时的牛顿—科特斯公式特别地称为科特斯公式．但作为插值型的求积公式，n 阶的牛顿—科特斯公式至少具有n 次代数精度．实际的代数精度能否进一步提高则是我们更应该关注的问题．首先我们考虑偶数阶牛顿科特斯公式的代数精度．引理 牛顿科特斯公式至少具有n 次代数精度；如果n 为偶数，则其代数精度能提高到n+1次．容易验证辛普森公式的代数精度刚好是3．先看辛普森公式:它是二阶牛顿—科特斯公式，因此至少具有二次代数精度．进一步用3)(x x f =进行检验，按辛普森公式计算得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=333)2(46b b a a a b S ； 另一方面)(51443a b dx x I ba -==⎰， 此时有I S =．即辛普森公式对不超过三次的代数精度均能准确成立．同样，我们用4)(x x f =进行检验⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=444)2(46b b a a a b S ， 另一方面)(51554a b dx x I ba -==⎰， 此时有I S ≠．因此，辛普森公式具有3次代数精度．一般地，当被积函数()f x 在区间][b a ,内具有连续的高阶导数时，牛顿—科特斯公式余项具有下列结论:(1)当n 为偶数时，设[]2(),n f x C a b +∈，则总存在(,)a b ζ∈，使得(2)1()()()(2)!n bn af E f xp x dx n ζ++=+⎰；(2)当n 为奇数时，设[]2(),n f x C a b +∈，则总存在(,)a b ζ∈，使得(1)1()()()(1)!n bn a f E f p x dx n ζ++=+⎰； 由引理及上面的余项公式我们有如下定理．定理2 当n 为偶数时，牛顿—科特斯公式∑=-=I nk n k n x f C a b 0)()()(具有1+n 次代数精度；当n 为奇数时，它有n 次代数精度．下面我们给出此定理的具体证明．证明 我们只要证明出当n 为偶数时，牛顿—科特斯公式1)(+=n x x f 的余项全为零，2)(+=n x x f 的余项不为零即可．按余项dx x n f I I f R ban n )(!)1()()()1(ωξ⎰+=-=+，式中ξ与变量x 有关，)())(()(10n x x x x x x x ---= ω．由于)!1()()1(+=+n x f n ，从而有)(f R dx xx banj j⎰∏=-=0)(．引入变量th a x +=，并注意到jh a x j +=有)(f R dt j t hn nj n ⎰∏=+-=002)(．若n 为偶数，则2n 为整数，再令2nu t +=，进一步有 )(f R du j nu hn n nj n ⎰∏-=+-+=2202)2(． 据此就可以制定)(f R =0．因为被积函数∏=-+=nj j nu u H 0)2()(=∏-=-22)(n nj j u 是一个奇函数，并且，当2)(+=n x x f 时，dx x n f f R ba n )(!)1()()()1(ωξ⎰+=+⎰=badx x x )(ωdx x x x banj j ⎰∏=-=0)(引进变量th a x +=，并注意到jh a x j +=有)(f R dt j t x hnnj b an ⎰∏⎰=+-=002)(．因为n 为偶数，则2n 为整数，再令2nu t +=，有 )(f R du j nu hx n n nj n ba⎰∏⎰-=+-+=2202)2(． 由于∏=-+=nj j nu x u g 0)2()(是偶函数，故 )(f R ≠0．因此，当n 为偶数时，牛顿科特斯公式具有n+1次代数精度．同理，当n 为奇数时，由)(f R dx xx banj j⎰∏=-=0)(，引入变量th a x +=，并注意到jh a x j +=有)(f R dt j t hn nj n ⎰∏=+-=002)(．若n 为奇数，则21-n 为整数，再令21-+=n u t ，进一步有 )(f R du j n u hn n nj n ⎰∏-=+--+=2202)21(． 因为被积函数∏=--+=nj j n u u Q 0)21()(=∏+--=-2121)(n n j j u 是一个奇函数，故)(f R =0．同理，当1)(+=n x x f 时，)(f R ≠0．即n 为奇数时，牛顿—科特斯公式具有n 次代数精度．以上讨论的是给定等距节点的情况，下面简单说一下节点不等距的情况． 3.1 对于给定节点不等距的情况 为了使()()nbk k ak f x dx A f x ==∑⎰=()1111k k b a k ++-+ 成立，（这里(),k f x ()1111k k b a k ++-+为已知），则要有n 个条件，即有n 个节点，构成n-1次多项式，使线性组合有唯一解．即nk i i i A X =≠∑()1111k k b a k ++-+． 所以，当1m n =- 等式有唯一解；当1m n >-等式无解；当1m n <-等式有无穷多解．因此，在节点给定的情况下，代数精度m 为1n -． 3.2 未给定节点的情况在未给定节点位置的情况下，1()nk k k A f x =∑里，k A 是n 个待定系数，()k f x 是n 个待定的点，因此，为使()1101()1nk k k k k A f x b a k ++==-+∑成立，要待定2n 个条件，构成21n -次多项式，使等式唯一确定，即当21m n =-等式有唯一解；当21m n >-等式无解； 当21m n <-等式有无穷多解．因此，在未给定节点位置时，代数精度m 为21n -．结束语:数值积分是近似计算，代数精度就是基于数值积分中出现的问题提出来的概念．所谓数值积分问题，就是要通过某种途径确定求积系数及节点，并使得求积结果逼近函数达到所要求的精度．本文就是在此基础上对数值积分中由于节点给出的情况不同对代数精度的算法做了浅显的讨论．这点多于做一些提高代数精度确定求积公式中的待定参数的试题有一定的帮助．参考文献:［1］吴波英主编.数值分析原理[M]．北京:科学出版社,，2003［2］李庆杨王能超易大义.数值分析[M]第4版[M].北京:清华大学出版社,2001［3］徐萃薇孙绳武.计算方法引论[M] 3版[M].北京:高等教育出版社,2007［4］孙亮.具有三阶精度的数值微分紧致格式及其应用[J].数学的实践与认识,2003,(3):64-66 ［5］郑华盛喻德生.求解数值微分公式及其余项的一种新方法[J].科技通报,2004(2):147-150。
数值积分(论文)
break;
else
{
T0=T1;
T1=0;
add_T=0;
err_T=0;
}
}
在这个函数中我们将复化cotes公式和积分过程都用计算机语言表示出来。首先我们给出复化cotes公式，进行迭代，直到精确度达到设定要求，算出最后结果。
4.3 测试结果
用复化cotes有效数字四位求得的结果如下：
对区间[a，b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2K}。
T1=h[f(a)+f(b)]/2
把区间二等分，每个小区间长度为h/2=(b-a)/2，于是
T2 =T1/2+[h/22]f(a+h/2）
把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/22 =（b-a）/4，于是
T4 =T2/2+[h/2][f（a+h/4）+f（a+3h/4).....................
数值积分 （一）
第一章 数值积分计算的重述
1.1引言
数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。
s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);
d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);
for(j=1;j<=sum_num;j++)
{
add_T=add_T+f_x(s_point+(j-1)*d_point);
数值积分法在定积分求解中的应用
数值积分法在定积分求解中的应用数值积分法是一种通过近似求解定积分的方法，它在科学计算和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍数值积分法的基本原理和常见的数值积分方法，并探讨其在定积分求解中的应用。
一、数值积分法的基本原理定积分是数学中的重要概念，它表示函数在一定区间上的累积效果。
然而，很多函数的积分无法用解析方法求得，这就需要借助数值积分法进行近似计算。
数值积分法的基本原理是将定积分转化为求和的形式。
通过将积分区间划分成若干小区间，然后在每个小区间上选择一个代表点，将函数在该点的值与小区间的长度相乘，得到该小区间的近似积分值。
最后将所有小区间的积分值相加，即可得到对定积分的近似结果。
二、常见的数值积分方法1. 矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分成若干个等宽的小区间，然后在每个小区间上选择一个代表点，将函数在该点的值与小区间的宽度相乘，得到该小区间的近似积分值。
最后将所有小区间的积分值相加，即可得到对定积分的近似结果。
2. 梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分成若干个等宽的小区间，然后在每个小区间上选择两个代表点，将函数在这两个点的值乘以小区间的宽度的一半，得到该小区间的近似积分值。
最后将所有小区间的积分值相加，即可得到对定积分的近似结果。
3. 辛普森法则辛普森法则是一种更加精确的数值积分方法。
它将积分区间划分成若干个等宽的小区间，然后在每个小区间上选择三个代表点，将函数在这三个点的值乘以小区间宽度的一部分系数，得到该小区间的近似积分值。
最后将所有小区间的积分值相加，即可得到对定积分的近似结果。
三、数值积分法的应用数值积分法在科学计算和工程领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学在物理学中，很多物理量的计算需要进行积分。
例如，计算物体的质量、电荷、能量等都需要进行定积分的求解。
数值积分法可以帮助物理学家快速准确地得到这些物理量的近似值。
数值积分方法比较论文素材
数值积分方法比较论文素材在数值计算领域，数值积分方法是一种常用的数值计算技术。
它通过将函数转化为离散的数值点来近似计算函数的积分值。
数值积分方法有多种不同的算法和技巧，各有优劣之处。
本文将介绍几种常见的数值积分方法，并对它们进行比较分析。
一、矩形法（Rectangle Method）矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它的基本思想是将积分区间分为若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为函数积分的近似值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \]其中，n表示分割的矩形数量，x_i是每个矩形的横坐标，Δx是每个矩形的宽度。
矩形法的主要优点是计算简单、直观，适用于函数变化较平缓的情况。
然而，由于它只利用了函数在各个矩形端点的函数值来进行近似，所以精度较低，对于曲线变化剧烈的函数不适用。
二、梯形法（Trapezoid Method）梯形法是另一种常用的数值积分方法。
它的思想是将积分区间分割为若干个小梯形，计算这些梯形的面积之和作为函数积分的近似值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1})+f(x_i)) \Delta x \]梯形法相对于矩形法的优势在于，它不仅利用了函数在端点的取值，还考虑了函数在每个小梯形的中点的取值。
因此，梯形法的精度比矩形法更高，适用于更多种类的函数。
三、辛普森法（Simpson's Method）辛普森法是一种更为精确的积分方法，它通过将积分区间分割为若干个小的三角形形状，计算这些三角形的面积之和来近似函数的积分值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1}) +4f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right) + f(x_i)) \Delta x \]辛普森法相比于矩形法和梯形法，在积分近似值的计算上更为准确。
数值分析论文
数值分析论文数值分析课程总结姓名：吴玉武学号：13121524 班级：数研1301目录第一章数值分析的历史背景 (2)1、背景 (2)2、发展历程 (3)第二章数值积分的主要方法 (3)1、牛顿-柯特斯求积公式 (3)2、梯形求积公式 (5)（1）梯形公式 (5)（2）复合梯形公式 (5)3、辛普森求积公式 (6)（1）辛普森公式 (6)（2）复合辛普森公式 (6)4、龙贝格求积公式 (6)（1）算法的基本思想 (6)（2）递推公式 (7)5、高斯求积公式 (7)（1）高斯型求积公式 (7)（2）常用的高斯型求积公式 (7)6、自适应求积方法 (8)7、振荡函数的积分方法 (8)8、奇异函数的积分 (9)（1）一个奇异点的函数 (9)（2）多个奇异点的函数积分方法10 第三章数值积分的应用 (10)第四章在学习过程中遇到的问题 (12)参考文献 (14)第一章 数值分析的历史背景 1、背景数值积分方法发展的前提是在17世纪以牛顿和莱布尼茨为首的一批数学家发展起来的微积分。
在最初的研究中，求解积分的方法便是找到求解原函数的方法，得到原函数，以此为基础解决其他问题。
但是在深入的研究中，逐渐发现一些函数的原函数求解极其困难，甚至无法表示出来，是超越函数，还有的根本没有原函数，比如对于延拓函数：sin ,0()1,0xx f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩无法求出它的原函数，这时要求它的积分就无法使用牛顿-莱布尼茨公式了，解决积分的问题便受到阻碍。
这种情况下就需要寻求一种新的求积分的方法来解决这些问题了。
数值积分方法便在数学家们的需求下发展起来。
2、发展历程等距节点的多项式插值求积法的观点最早是1676年出现在Newton 给Leibniz 的一封信中。
1711年，Cotes在总结了牛顿的观点后，系统归纳了小于10个节点的插值求积方法，并发表了一篇相关论文。
1743年，Simpson发表他所研究的求积方法。
数学分析论文：积分的思想及其应用
积分的思想及其应用院系：数学科学学院专业：信息与计算科学年级： 2011级日期： 2012年5月摘要本论文概述了积分思想的产生和发展过程.根据积分区域的不同，积分可分为：定积分，二重积分，三重积分等.本论文正是讨论这前三种积分的定义及求解.利用积分可以解决求物体运动的路程，变力做功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题.关键词：积分思想；定积分；二重积分；三重积分AbstractThis paper summarizes the production and the development of the integral thought process.According to the difference of integral area,integral can be divided into:the integral,the double integral,the triple integral,etc.This paper is to discuss the first three integral definition and solving,Use of integral can solve for the motion of distance,become force work by curve and surrounded by the surface area and surrounded the volume.Keywords: the integral thought ; the integral ; the double integral ; the triple integral目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)Keywords (Ⅱ)前言 (1)1.积分思想的产生与发展 (2)2.积分思想的理解 (2)定积分的定义 (2)决定函数可积的因素 (2)多重积分 (4)积分的应用 (5)3.再述重积分 (5)3.1积分与微分 (5)3.2积分思想的理解 (6)4.积分的计算 (6)4.1二重积分的计算 (6)4.2三重积分的计算 (9)参考文献 (12)前言本论文主要借鉴数学分析教材中的理论，参考《积分思想基础》一书总结了积分的产生和发展历程，认识到积分思想是经过历代数学家的努力与积累才逐渐产生的.具体来说是为了解决求物体运动的路程，变力做功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题,才导致了积分的产生.论文中例1是采用定积分思想中无限分割的方法，来求取解侧面积，先利用替换再采用分割的方法，即在区间[]0,?,T T 中插入无穷多个分点，利用定积分定义求取极限最后采用莱布尼茨（Leibnitz ）公式求解定积分.例2则是定积分性质的一个简单证明，充分体现了积分与极限的关系.例3、例4、例5、例6直接简单的验证了多重积分的计算和应用.第1章积分思想的产生与发展积分思想的萌芽，可以追溯到古代.在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中,有不少是用无穷的过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长.例如：古希腊德谟克利特（Democritus）的“数学原子论”，阿基米德（Archimedes）的“穷竭法”，刘徽的“割圆术”均有积分思想的雏形.在这些方法中都可以清楚的看到无穷小分析的原理.随着数学科学的发展，开普勒（Kepler）的“同维无穷小方法”，卡瓦列利（Cavalieri）的“不可分量法”，费马（Fermat）的“分割求方法”（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）揭示了微分与积分的内在联系——微积分基本定理，从而产生了微积分，开创了数学发展的新纪元.第2章 积分思想的理解1.定积分的定义设ƒ(x )是定义在区间[],a b 点012311i i n n x a x x x x x x x --=<<<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<b =将区间[,]a b 任意分成n 个子区间[]1,i i x x - (1,2,3,4,)i n =⋅⋅⋅这些子区间及其长度均记作1i i i x x x -∆=- (1,2,3,4,)i n =⋅⋅⋅在每个子区间i x ∆上任取一点i ξ作n 个乘积()i i f x ξ∆的和式()1niii f x ξ=∆∑如果当最大的子区间长度{}1max 0i i nx λ≤≤=∆→时,和式()1niii f x ξ=∆∑的极限存在，并且其极限值与[],a b 的分法及i ξ的取法无关，则称()f x 在区间[],a b 上可积，此极限值称为()f x 在区间[],a b 的定积分，记作 ()baI f x dx=⎰即()baf x dx ⎰=01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑.2. 决定函数可积的因素 函数()f x 在区间[],a b 上的和式1()niii f x ξ=∆∑的值，一般依赖于四个因素：a .函数()f x ；b .区间[],a b ；c .区间[],a b 的分法；d .[]-1,i i i x x ξ∈的取法.但当()f x 在区间[],a b 上可积，即01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑存在时，则不依赖于区间[],a b 的分法与i ξ的取法，因此只与函数()f x 和区间[],a b 两个因素有关.例1：已知一母线平行于z 轴的柱面介于曲线0(),(),()()x x t y y t z z t T t T ===≤≤与xoy 面之间，其中'''(),(),()x t y t z t 在[]0,T T 上连续，且()22''()+()0,0.x t y t z t ⎡⎤⎡⎤≠≥⎣⎦⎣⎦证明该柱面的侧面积为s=.TT z ⎰ 证明: 设空间曲线0(),(),()()x x t y y t z z t T t T ===≤≤在xoy 面上的投影曲线为L ,则L 的方程可写为{0=x(t),=(t)().x y y T t T ≤≤在区间 0[,]T T 内任意插入-1n 个分点0012-1=<<<<<=,n n T t t t t t T 将区间[]0,T T 分成n个小区间[]()-1,t =1,2,,,k k t k n 并记-1=-(=1,2,,),k k k t t t k n ∆则曲线L 在每个小区间[]-1,t k k t 上对应曲线段的长度k s ∆为,=kk t k k t s t ∆⎰其中[]()-1,t =1,2,,,k k k T t k n ∈并且该小曲面的面积'k s ∆为()'(=1,2,,k k k s z T t k n ∆≈.又因为z 在[]0,T T 上连续，所以由定积分的定义可得00=1=lim (=nT k k T k s z T t z λ→∑⎰其中1=max k k nt λ≤≤∆.例2：若(),()f x g x 在[,]a b 可积，证明(()())baf xg x dx +⎰也在[,]a b 可积，并且(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.证明：因(),()f x g x 在[,]a b 可积，即()baf x dx ⎰与()bag x dx ⎰存在，故对任意分法∆：012n a x x x x b =<<<⋅⋅⋅<=以及1[,]i i x x -中任意i ξ，有()01lim ()()nbi i ai f x f x dx λξ∆→=∑∆=⎰由分法∆及i ξ的任意性，得()g x 在此任意分法下，对上述1[,]i i x x -中的i ξ，也有()01lim ()()nbi i ai g x g x dx λξ∆→=∑∆=⎰，于是有()01()01()01()()lim ()lim ()lim (()())n n nbbi i i i i i i aai i i f x dx g x dx f x g x f g x λλλξξξξ∆→=∆→=∆→=+=∑∆+∑∆=∑+∆=⎰⎰(()())baf xg x dx +⎰从而(()())baf xg x dx +⎰也在[,]a b 上可积，并且(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.3.多重积分定义：设Ω为一几何形体（它或者是直线段，或者是曲线段，或者是一曲面图形、一块曲面、一块空间区域等）这个几何形体是可以度量的（也就是它是可以求长的，或者是求面积的、可以求体积的等等）.在这个几何形体Ω上定义了一个函数()f M （M ∈Ω），将此几何形体Ω分为若干可以度量的小块123,,,n ∆Ω∆Ω∆Ω⋅⋅⋅⋅∆Ω，既然每一小块都可度量，故它们皆有度量大小可言.同样的，把它们的度量大小记为i ∆Ω()1,2,3i n =⋅⋅⋅⋅并令{}1max i i nd ≤≤=∆Ω的直径在每一块∆Ω中任取一点i M ，作下列和式1()ni i i f M =∆Ω∑，如果这个和式不论对于Ω怎样划分以及i M 在i ∆Ω上如何选取，只要当0d →时恒有同一极限I ，则称此极限为()f M 在几何形体Ω上的黎曼积分，记为()I f M d Ω=Ω⎰，也就是()01lim ()ni id i I f M d f M Ω===Ω=∆Ω∑⎰4.积分的应用a.若几何形体Ω是一块可求面积的平面图形σ，那么σ上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为(),f x y dxdy σ⎰⎰.b.若几何形体Ω是一块可求体积的平面图形ν，那么ν上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为(),,Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰.c.若几何形体Ω是一可求长的空间曲线段l ，那么l 上的积分就称为第一类曲线积分，记为(),,lf x y z ds ⎰.d.若几何形体Ω是一可求面积的曲面s ，那么s 上的积分就称为第一类曲面积分，记为(,,)Sf x y z ds ⎰⎰.1.积分与微分积分与微分是相对的统一.微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度.客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀.对简单的，规则的，均匀的，我们都是建立所有人都认可的标准，从而建立简单的认识.而对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理.可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁.2.积分思想的理解积分学只是极限的一个简单应用.但其可以帮助我们解决生活中的许多问题.在此，谈论的是我们对积分思想的理解.一重积分，即定积分，通过莱布尼茨（Leibniz）公式处理，关键是确定原函数，即不定积分.二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别基于X型Y型区域去处理.XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征，整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示.“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影.只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析.三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套表示.将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或者先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式.其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可以看作是确定具有变化密度的物体的质量的过程.必须强调指出的是，确定出这些重积分的过程也反映着很多其他的现实过程.1.二重积分的计算解决二重积分时可以将复杂的区域分割为若干简单区域，即将二重积分转换成两个一次积分，分别基于X 型Y 型区域去处理.通俗来说就是首先考虑一个变量的取值范围，对其积分；然后用第一个变量或其它常数作为第二个变量的取值范围，最后运用莱布尼茨（Leibniz ）公式求解即可.例3：解二重积分{}22(),(,)1,1Dx y d x y x y σ+≤≤⎰⎰其中D= 解：积分区域如下图所示22()Dx y d σ+⎰⎰112211123111121311()13223223383dx x y dyx y y dx x dxx x ------=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰例4：解二重积分2,Dxy dxdy ⎰⎰其中D 是由抛物线()220y px p =>和直线()02ax a =>所围成的区域.解：由方程组22,2px y a x ==⎧⎨⎩解得两个交点分别为,,.22a a ⎛⎛ ⎝⎝故由题意可知，积分区域D 可表示为(),0,,2a D x y x y ⎧=≤≤≤≤⎨⎩于是2220aDxy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰3205207220327a a y x dx x dxx ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎫=⎪⎪⎝⎭=⎰2.三重积分的计算三重积分的先一次再两次积分是常用的方法.可以向任何一个平面投影,但我们一般向XOY 面投影.先两次再一次积分适合于某一个变量,如z 具有明确上下限,而由z 所确定的z D 平面区域可以很容易处理,例如:用于球体,半球体,锥体,椭球体等.关于平面极坐标,空间柱面坐标,极坐标.我们可以看作是重积分的换元法.换元后微元都发生了改变,其他过程则跟直角坐标系下一致.（1）平面极坐标主要适用于积分的区域有:圆域,环域,扇形域等.（2）柱面坐标本质是对某一个变量,如z ,用直角坐标系表示,对XY XY 用极坐标表示后, z 也要用半径跟角度表示.其主要适用于:圆柱,圆锥,球体,半球体等.（3）关于空间极坐标,其主要适用于圆锥,球体,半球体.例5：求()vI x y z dxdydz =++⎰⎰⎰，V 是平面1x y z ++=和三个坐标所围成的区域.解：因为这区域对三个变量是对称的，并且被积函数也是对称的，因此有等式,VVVxdxdydz ydxdydz zdxdydz ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰计算其中一个积分10xyx yvxdxdydz dxdy xdzσ--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()110012201201230(1)(1)112121221,24xy xx x y dxdyx x y dy dxx x x x dx x x dx x x x dx σ-=--=--⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦=-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以 ()113.248Vx y z dxdydz ++=⨯=⎰⎰⎰一些三重积分求解问题用柱面坐标会比较简单.例6：求,VI zdxdydz =⎰⎰⎰V 是球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围部分.解： 用柱面坐标作变换，上面两个方程分别变换为224r z +=及23r z =. 它们的交线是{1,z r =因此V 在(),r θ平面的投影r θσ为r =()=在z 0平面上的一个圆，于是213r r I rdrd zdz θσθ=⎰⎰⎰221313.4r d πθπ==⎰⎰总之,所有计算方法,都基于积分区域在不同坐标系下的表示,主要注意在不同坐标系下的微元即可.参考文献：【1】欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋.数学分析（下），高等教育出版社，2007年4月，第三版【2】朴志会，冯良贵，廖基定.积分思想基础，国防科技大学出版社，2004年6月【3】刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（下），高等教育出版社，2003年6月，第四版。
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数值积分的理论及其应用研究数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用张冲聪（西安文理学院数学系陕西西安 710065）摘要：数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用的探讨是计算数学的一个重要课题，数值积分是数学上的重要课题之一，是数值分析中的重要内容之一，也是数学的研究重点。
并在实际问题及应用中有着广泛的应用。
常用于科学与工程的计算中，如涉及到积分方程，工程计算，计算机图形学，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有很重要的意义。
研究方法有插值法和抽样插值法等。
当然大家都知道计算积分可以借助原函数和查找积分表，但是，用这些方法只能解决很狭隘的一类积分，而且在计算的过程中，肯定会产生误差，我们要想法子使得误差尽可能的小。
因此，数值积分的公式应满足：计算简单，误差小，代数精度高等。
首先，我们通过构造函数并运用罗必达法则探讨数值积分中的矩形公式，梯形公式吧，抛物线公式，高斯公式的渐进性质。
结果表明，当积分区间的长度趋于零时，不但可以确定求积公式余项中的中介点的位置，还可以得到与之相应的修正公式，而且通过数值试验还能发现经过修正后的求积公式具有较高的代数精确度，我们可以通过构造函数运用分部积分的方法得到矩形公式，梯形公式吧，抛物线公式，高斯公式的推广并结合一些例子。
关键字：数值积分，矩形公式，梯形公式，抛物线公式，高斯公式近些年来，有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域，所以研究数值积分有很重要的意义。
设f是闭区间[]ba,上某一给定的可积函数，现在要计算定积分⎰dtxf)(，我们可以借助原函数，或借助函数逼近的方法来计算，对于不熟悉的我们也可以借助参考积分表。
但都有一定的局限性，由于许多函数的无定积分无法用简单的函数表达出来，如一些离散点上的函数。
在微积分理论中，我们知道了牛顿—莱布尼茨（N ewtou_Leibniz）公式⎰-=)()()(aFbFdxxf其中f(x)在闭区间[]ba,上连续，F（x）是被积函数f(x)的某一个原函数，但是对于很多实际问题都无能为力。
主要原因：1.被积函数f(x)的原函数F(x)理论上存在，但无法用简单函数表示出来，即无法用与上式计算，例如：x xe y xsin,等初等函数；2. 被积函数f(x)无法详尽描述，即没有可用的计算表达式，也就是如f(x)是在一些离散点上的函数，就无法显示微分方程的解。
3. 被积函数f(x)的原函数F(x),表示相当复杂，求值困难。
因此，需要研究计算定积分的近似方法，即数值积分法。
当然，可积函数的种类是极其多的，那么我们应该考虑满足：计算简单，误差小，代数精度高，故此，我们常寻找新的方法来修正已知的求积公式。
当()x f 的情况使得无法精确计算()dx x f ba ⎰时，若能已知()x f 在部分点上的函数值，利用已经学过的差值知识，可以构造一个多项式()x P 来逼近被积函数()x f ，而多项式()x P 为被积函数，在区间[]b a ,上的定积分是容易计算的，这样得到计算定积分()dx x f ba⎰的一种数值积分方法，即()()dx x p dx x f baba⎰⎰≈下面，我们就根据这一想法构造计算积分的各种近似计算公式。
（一）牛顿-柯特斯求积公式 一 梯形公式过b x a x ==10,两点作一次拉格朗日插值多项式)()()(1b f ab ax a f b a b x x L --+--= ()()()()()()b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x L ba ba +-=⎪⎭⎫⎝⎛--+--=⎰⎰21用()()x f x L 代替1得 ()()()()b f a f ab dx x f ba+-≈⎰2()1,1,4 称式()1,1,4为梯形公式，式()1,1,4也可以写成()()()1010x f A x f A dx b a x f +≈⎰ 其中0A =1A =2a b -。
图（1）给出了梯形公式的几何意义，()dx x f ba ⎰是以()x f y =为顶的曲边梯形的面积，()dx x L ba⎰1是以直线AB 为顶的梯形的面积，因此，梯形公式就是以梯形的面积来近似代替以()x f y =为顶的曲边梯形面积。
图（1） 定理4,1 若函数f(x)在[]b a ,上具有连续的二阶导数，则梯形公式的截断误差为 ()()()()()()ηf a b b f a f a b dx x f R ba''--=+--=⎰12231[]()b a ,∈η 证明：()()()()[]()()()dx b x a x f dx x L x f dx x L dx x f R babababa--''=-=-=⎰⎰⎰⎰!2111ξ其中，ξ是依赖于x 的函数。
由已知条件()x f ''在[]b a ,上连续，而()()0≤--b x a x 在[]b a ,上不变号， 由积分中值中值定理，在[]b a ,上一定存在η，使得()()()()()()()()ηηξf a b dx b x a x f dx b x a x f baba''--=--''=--''⎰⎰63[]()b a ,∈η因此，()()ηf a b R ''--=1231 []()b a ,∈η 定理得证。
例题 对n=1公式估计截断误差解 对这种简单情况我们可以直接积分公式()()ξ210))((21)()(y x x x x x p x y --=-并应用中值定理如下，得到精确误差：()()()()()()()()()()()),(121212121231022101010101ξξξy h dxx x x x y dx y x x x x y y h dx x y x x x x x x -=--=--=+-⎰⎰⎰其中.01x x h -=由于).)((10x x x x --在),(10x x 中不改变符号，还有())(2ξy 的连 续性，应用中指定理是可能的。
（二） 辛普森公式或Simpson 公式（抛物线公式）把区间[]b a ,二等分，2ab h -=，取ax =0，21ba h a x +=+=，b h a x =+=22三点，做二次拉格朗日插值多项式()()()()()()()()()()()()()()()()1202102210120*********x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x L ----+----+----=令th x x +=0，则()()()()()()()()()()()()210202102432112221x f x f x f h hdt t t x f t t x f t t x f dx x L ba++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+--=⎰⎰用()x L 2代替f(x)，则得()()()()()21043x f x f x f hdx x f ba++≈⎰（4,1,4）或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++-≈⎰b f b a f a f a b dx x f ba246 （4,1,5） 也可写成 ()()()()()2211x f A x f A x f A dx x f Oba++≈⎰其中620A B A A -==,()641a b A -=。
式（4,1,4）和（4,1,5）称为辛普森公式从几何上看是以抛物线为顶点的曲边梯形面积来近似代替()x f y =为顶的曲边梯形面积（见图2），所以辛普森公式也称为抛物线求积公式。
图2定理 4,2 若函数f(x)在[]b a ,上具有连续的四阶导数，则辛普森公式的截断误差为()()()()()()η4522880246f a b b f b a f a f a b dx x f R ba--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++--⎰= (4,1,6)例题 比较小区间分别为2h 与h 时应用Simpson 法则的结果，并获得一个新的截断误差估计。
解 假设数据误差可以忽略不计，我们比较这二种截断误差，令E1及E2分别表示对小区间分别为2h 与h 的误差，于是 ()()()()()()()(),180,180224421441ξξy h a b E yh a b E --=--=所以.1612EE = 区间折半时误差减少原来的161，现在他可以用来获取Simpson 法则截断误差的另一种估计，称I 为积分的精确值，二个Simpson 逼近值为A1及A2，则 21221116E A E A E A I +=+=+=解出2E ，区间h 相关的截断误差为().15122A A E -≈（三 ）柯特斯公式把区间[]b a ,四等分，4ab h -=，取ax =0，h a x +=1，h a x 22+=，h a x 33+=，b h a x =+=44为插值节点，做四次拉格朗日插值多项式4L ，并以4L 代替[]b a ,上做定积分，得()()()()()()()43210146424641445x f x f x f x f x f hdx x f ba++++≈⎰或 (4,1,7)()()()()()()()b f h a f h a f h a f a f ab dx x f ba733221232790+++++++-≈⎰(4,1,8) 也可以表示为 ()()()()()()()44332211x f A x f A x f A x f A x f A dx x f Oba++++≈⎰其中()90740a b A A -==,()323231a b A A -==,()90122a b A -=,式(4,1,7)及(4,1,8)称为柯特斯公式。
定理4,3 若函数f(x)在[]b a ,上具有连续的六阶导数，则柯特斯公式的截断误差()()()()()()()()()η67449458733221232790f a b b f h a f h a f h a f a f a b dx x f R ba⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++++++--=⎰[]b a ,∈η )9,1,4(例题 试用柯特斯公式计算定积分 dx x ⎰15.0解 h=0.125,)4,3,2,1,0(=+=k hk a x k,1,875.0,75.0,625.0,5.043210=====x x x x x()43096407.07875.03275.012625.0325.07905.015.0=++++≈⎰dx x 与积分的准确值()...4309640.0125.01325.01322315.0=-==⎰x dx x（四） 牛顿-柯特斯积公式（Newton-Cotes 公式） 把[]b a ,区间n 等分，其分点为ih a x i +=，i=0.1,2,...,n ，na b h -=过这n+1个节点，构造一个n 次多项式()()()()()i ni i i n x f x w x x x w x P ∑='-=0 其中，()()()()n x x x x x x x w ---=...10，用()x P n 代替被积函数f(x)，则有()()()()()()()()()()()i ni i i ni bax w x x x w ban i i x w x x x w ban b ax f A x f dx dxx f dx x P dx x f i i i i ∑∑⎰⎰∑⎰⎰=='-='-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==000（5,5）其中， ()()()⎰'-=b ai i i dx x w x x x w A 公式（5,5）叫做牛顿-柯特斯积公式（Newton-Cotes 公式），使用牛顿-柯特斯公式（Newton-Cotes 公式）的关键是计算系数iA ，用变量替换tha x +=，于是()()))...(1(1n t t t h th a w x w n --=+=+而()()()()!1!11--''='-i i h x w n i 这样()()()()()()()()dt it n t t t i n i h hdt i t h i n i h n t t t h dxx w x x x w A n n nnn n bai i i ⎰⎰⎰-----=-----='-=--+01011))...(1()!)(!()1(!!1))...(1( 引进记号()dt i t n t t t i n i n c n n n i ⎰-----=-01)())...(1()!)(!()1( （5,6）则 ()()n i i c a b A -=这时()n ic 是不依赖与函数f(x)和[]b a ,区间常数，可以事先计算出来，叫牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）系数。