数学物理方法课件：7-数学物理定解问题

x
T (ux |xdx ux |x ) (dx)utt 因 dx很小
T
ux
xdx ux dx
x
utt
utt Tu xx (7.1.5)
5
utt Tu xx (7.1.5)
因为B段是任选的，所以方程（7.1.5）适用于弦上各处， 是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。
记
T a2
(a 0)
响 ➢ 将这种影响用数学关系式表达出来，并简化
整理数学物理方程
2
（一）均匀弦的微小横振动
有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某 种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动．列出弦的 横振动方程。
假定：
➢弦是理想柔软的横截面方向无应力，张力沿弦切线
➢弦的质量线密度为；
➢静止时弦位于x 轴，横向振动时各点的位移为 u(x,t); ➢弦没有纵向振动，横向振幅是微小的； ➢张力 T>>重力 mg。
x x+dx x A u Bu+du C
t 时刻杆伸长 u(x dx,t) u(x,t)
相对伸长量 u(x dx,t) u(x,t) u(x,t) 随x而异
dx
x
由胡克（Hooke）定律 P(x,t) E u(x,t) x
由牛顿运动定律 Sdxutt P(x dx,t)S P(x,t)S
第七章 数学物理定解问题(5)
1.数学物理方程（又称为泛定方程）
物理量在时空中的变化规律，并把它写成数学形式(偏 微分方程)即为数学物理方程。它反映了同一类物理问题 的共性。
2.定解条件（包括初始条件与边界条件）
对具体的实际问题，我们必须考虑周围环境的影响和 初始状态对具体物理问题演化的影响。它反映了具体物 理问题的个性。
小 平行六面体 将扩散定律 q(r,t) Du(r,t)
弦的长度近似不变，由胡克定律可知，弦上各点的张力与 时间无关。
根据近似条件，运动方程化简为：
x方向: T2 T1 0
y方向: T2ux |xdx T1ux |x (dx)utt
u
B α1
T2 α2 C
弦中各点的张力T 相等；张力既跟空 间量无关，又与时间无关，记为常数T。 进而：
T1 o
A
x
x+dx
8
由牛顿运动律 Sdxutt P(x dx,t)S P(x,t)S
1 P(x dx,t) P(x,t) 1 P
即 utt
dx
x
P(x,t) E u(x,t) x
utt
1
E x
u x
均匀材料
utt
E
2u x 2
记 a2 E
utt a2uxx 0
如果，杆每单位长度上每单位横截面所受纵向外力为 F(x,t) ，则杆的受迫振动方程为：
q(r,t) Du(r,t) ——本构方程
constitutive equation
其中：D 是扩散系数，不同的物质有不同的扩散系数
基本规律：粒子数守恒（或质量守恒）
11
确定物理量：浓度的空间和时间分布u(x, y, z, t)
确定研究微元： x, x dxy, y dyz, z dz dV
假定：
P E l l
A u Bu+du C
➢静止时杆位于x 轴，纵向振动时各截面的位移为 u(x,t)
坐标为 x的截面在 t 时刻沿 x方向的位移;
➢杆的质量体密度为，Young 模量为 E；
➢振动是无限小的。
7
设张应力为P（单位横截面两方的相 互作用力），小段B (1)通过截面x，受到张应力P(x,t)S的作 用，方向-x， (2)通过截面x+dx，受到张应力 P(x+dx,t)S的作用，方向+x。
物理规律：
牛顿运动定律，弹性规律
3
➢确定物理量：位移量 u(x,t) ➢确定研究微元:小段 B(x,x+dx) ➢研究邻近点的相互作用：受力分析 ➢短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响：
物理定律：F=ma ➢数学语言描述，并简化整理→数学物理方程
小段B的纵向和横向运动方程分别为： u
x方向：T2 cos2 T1 cos1 0
定解问题 (泛定方程＋定解条件)
求一个偏微分方程的解 u( x, y, z, t )使之满足一定的初 始条件和边界条件的问题称为定解问题。
1
§7.1 数学物理方程的导出
导出步骤
➢ 确定物理量 u( x, y, z, t ):速度、位移、… ➢ 确定研究微元，研究与邻近部分的相互作用
（抓主要矛盾，忽略次要因素） ➢ 短时间内这种相互作用对所研究物理量的影
E
F (x,t)
utt uxx f (x, t)
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可见：两个方程具有相同的形式，可以写成统一的形式， 这一类方程统称为波动方程：
utt a2uxx 0
式中 a T 或者 a E
以后将看到，a 是振动在弦上（横波）或杆中（纵波）传
播的速度。在各向同性情况下，将一维波动方程推广至二
维、三维空间：
f (x,t)
(7.1.7)
讨论P121,3
6
（二）均匀杆的纵振动
设有一柱体，横截面积为S，长为l， 两端受拉力 f 的作用时，伸长Δl ， 则应力（胁强）为 P=f /S，相对伸 长（胁变）为 Δl / l ，由胡克定律， 胁强与胁变成正比，比例系数为杨 氏模量：
f
f
l
ll
x x+dx x
E P f /S l / l l / l
，a是弦的振动传播速度，则
utt a2uxx 0 (7.1.6)
如果，弦受到线密度为F(x,t) 的横向 力作用，弦 y方向方程应为：
T2ux xdx T1ux x F(x,t)dx (dx)utt
则弦的受迫振动方程为：
u
T2
B
α2
α1
C
T1 A
o x x+dx x
utt
a2uxx
F ( x, t )
2u t 2
a22u
0
其中 2 2 2 2 x2 y2 z 2
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（七）扩散方程
物理过程：由于浓度不均匀，物质从浓度大的地方向浓度
小的地方转移—称为扩散。
描述物理量：浓度的空间和时间分布 u(r ,t)
扩散流强度 q(r,t) —单位时间通过单位横截面积
的原子或分子数或质量表示。
物理规律：扩散定律
T2
B
α2 C
y 方向：T2 sin 2 T1 sin 1 (ds)utt
因弦作微小横振动，故有
α1 T1 A
cos α1 ≈1, cos α2≈1
o x x+dx x
sin 1
1
tg1
u x
x
ux
x
,ห้องสมุดไป่ตู้
sin 2
tg 2
u x
xdx
ux
xdx
4
ds (dx)2 (du)2 1 ux 2 dx dx