数学物理方法 7 数学物理方程的定解问题
（2）
因为： T2 sin2 T1 sin1 T
ux
xdx ux
x
dx0
Tdux
Td
du dx
Td
du dx
F
(
x,
m= dx
物理规律：
用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：
牛顿运动定律：
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d2u
f
m dt 2
mutt
10
u(x)
F
u+du
u 1
B
T1
0
x
x+dx
T2 ①沿x-方向：
2
弦横向振动不出现x方向平移， 得力平衡方程
T2 cos2 T1 cos1 0 （1）
弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动 目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程 设定: (1)弦不振动时静止于x轴; (2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于
x轴方向上的横向位移（偏离）情况
弦的横振动
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研究对象:
u(x)
F
T2
u+du
2
选取不包括端点的一微元 u
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7.1 数学模型（泛定方程）的建立
建模步骤：
（1）明确要研究的物理量是什么？ 从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部
分与它的相互作用。
（2）研究物理量遵循哪些物理规律？
（3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。
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(一）均匀弦横振动方程 现象描述（如图） ：沿x轴绷紧的均匀柔软的细
参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，《实用偏微分方
程》 2019/5/18 （原书第四版），机械工业出版社，2007
1
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2
一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示
数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程， 特别是偏微分方程和积分方程。
物理现象数学语言描述 物理量u 在空间和时间中的变
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f (x, t) F(x, t) / 质量线密度， 9
u(x)
F
u+du
u 1
B
T1
0
x
x+dx
T2 B段弦的原长近似为dx. 2 振动拉伸后：
ds (dx)2 (du)2 dx 1 (du / dx)2 dx
B段的质量：弦长dx ，质量线密度，则B段质量
T2 sin2 T1 sin1
T ux xdx ux x
11
T（ux xdx ux x ） F ( x, t )dx (dx)utt
T ux
xdx ux dx
x F( x, t) Tuxx F( x, t) utt
令 a2 T / 波速a
体现历史状态的数学方程称为初始条件 例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件
→ 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。
三、定解问题
在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
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它反映了问题的共性。
5
具体问题求解的一般过程：
1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律．
2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和
初始条件——求解所必须的已知条件．
6
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、积分变换法、格林 函数法和变分法
f (x,t) F(x, t) /
波动方程：
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utt a2uxx f ( x, t )
受迫振动方程
………一维波动方程
单位质量弦所受 外力，线力密度
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u(x)
F
u+u
u 1
B
T1
gdx
0
x
x+x
讨论：
T2 2
如考虑弦的重量：
沿x-方向，不出现平移
T2 cos2 T1 cos1 （1）
化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值
之间的联系。 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具
体条件无关。
例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，
跟具体条件无关。
2019/5/1重8 点讨论：二阶线性偏微分方程。
3
三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 扩散方程为代表
B
1
[x, x+dx]弧B段作为研究对象.
T1
假设与近似：
0
x x+dx
(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向
(2)振幅极小, 张力与水平方向的夹角1和2 很小， 仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量
(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略
(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：
②沿垂直于x-轴方向：
由牛顿运动定律得运动方程
T2 sin2 T1 sin1 F(x, t)dx (dx)utt
在微小振动近似下：
1，2 0, cos1，2 1.
由（1）式，弦中各点的张力相等
（2）
T2 T1
sin 1
tan 1
u x
x ux
x
2019/5/18 sin2 tan2 ux xdx
t
)dx
gdx
(
dx
)utt
所以有：
2u t 2
a2
u2 x 2
f
g
------非齐次方程
忽略重力和外力作用：
………一维波动方程
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2u a2 u2 0 ------齐次方程
13
t 2
x 2
（二）输动问题--扩散问题
扩散现象：系统的浓度 不均匀时，将出现物质从高浓度处 向低浓度处转移的现象，称之为扩散。
椭圆型方程 泊松方程为代表
utt a2uxx
f (x,t)
u a2u F( x, y, z, t) t
a2u F( x, y, z)
F 0
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退化为拉普拉斯方程
u 0
4
二、定解条件
1 边界问题---边界条件 体现边界状态的数学方程称为边界条件
2 历史问题----初始条件
数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程
物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础 ①扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律
②粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的 粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积 内的单位时间内粒子数的增加量
数学物理方程及定解问题
这个初始问题有解
u( x, y) n2 sinh ny sin nx
数学物理方法2015.02
D 为扩散系数
数学物理方法2015.02
第三节 位势方程
稳定的温度场
a2u f ( x, y, z)
膜平衡方程
2u 2u a 2 2 f ( x, y ) x y
2
数学物理方法2015.02
第三节 位势方程
定解条件与定解问题的提法
第一类边界条件： u( x, y, z) g( x, y, z)
b u t2 b t2 u dx dx dt f0dx T0 ux (b, t ) ux (a, t ) dt a a t1 a t1 t t t2 t t t1 b
dt
t1
t2
b
a
数学物理方法2015.02
物理模型 在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。 假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质 有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。 均匀物体： 物体的密度为常数 各向同性： 物体的比热和热传导系数均为常数
数学物理方法2015.02
第二节 热传导方程与扩散方程
数学模型的建立 设： u(x,y,z,t)表示物体于时刻 t 在位置 x,y,z 处的温度 C 表示是比热 (焦耳/度· 千克) 表示密度 (千克/米3)， k 表示导热系数 f 0(x,y,z,t)表示热源强度(焦耳/千克· 秒)
数学物理方法2015.02
第一节 波动方程及定解条件
三维波动方程或声波方程
2 2u 2u 2u 2 u a 2 2 2 f ( x, y , z , t ) 2 t z x y
数物
《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。
本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。
为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。
本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。
本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。
二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。
参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。
三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。
2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。
3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数ivu 。
第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。
3、掌握柯西公式计算积分。
第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。
2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。
3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。
4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。
第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
温 度 分 布 满 足2u F f k
特 别 ， 如 果 f0,则2u 0
位 势 (Poisson)方 程 Laplace 方程
☆ 三种典型的数学物理方程
方程类型 方程形式
典型例子
弦振动方程
2u t 2
a2
2u x2
波动方程
2u t 2
a22u
膜的横振动方程
2u t 2
a2
(
2u x2
2u y2
我 们 就 称 其 为 齐 次 边 界 条 件 ， 反 之 ， 称 非 齐 次 的 。
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。
(1) 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；
其中： u (x x d x ,t) u (x x ,t) x u (x x ,t) d x 2 u ( x x 2 ,t)d x
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu2(x,t)
2u(x,t)
g
x2
t2
令： a 2 T
运动时，弦上各点的运动规律。
简化假设：
(1)柔软：弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦的截面直径与长度相比可忽略，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀的，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦的平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴的方向运动；
(3)热交换状态
(或u f) ns
第二类边界条件
数学物理方法课件第七章-----行波法
变量代换
x at
x at
2 u( , ) 0
a a u ( x, t ) 0 x t x t
u f1 ( ) f 2 ( )
行波法解题要领
• 行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为： • （1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从 而得到方程的通解； • （2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微 分方程为常数），从而得到其特解。 • 注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程 的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或 常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但 是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点(实际 上我们主要只使用它研究波动问题)。因此行波法是求 解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
解： 1 ）做特征变换，求定解问题Ⅰ中方程①的通 () 一、达朗贝尔公式 dx 2 ①的特征方程为： ( ) a2 0 算符分解 dt ①式 dx dx a a u 0 x0 x 即( a )(t a) t dt dt 从而得到两簇特征线 (积分后得到 )如下： x a( ) t 坐标变换： x at c1 , x at c2 做特征变换 x at x at ④
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式 利用复合函数求导法则，有 u u u u u x x x
数理方法-第一讲-定解问题
YS
ux x
dx
2u
F（x，t）Sdx Sdx
Y 2u F（x，t）
2u t 2
t 2 x2
0
utt a2uxx f（x，t）
练习题
在两端固定弦的自由问题中，若弦 受到一与速度成正比的阻力，试导 出弦的阻尼振动方程。
u
如图：任意小段dx的受力情况。
x
b
u t
2u t 2
课下作业：试推导
T
2u x 2
b
u t
2u t 2
一匀质细圆锥杆的 纵振动方程
a2
2u x 2
2u t 2
c
u t
(a2uxx utt cut )
a2 T c b
（二）写出或导出定解条件、定解问题
要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必
（1）从所研究的系统中划出一小部分，分析 邻近部分与这一部分的相互作用。
（2）根据物理学的规律用算式表达这个作用。 （3）化简、整理所研究问题满足的数理方程。
例1：小振幅的弦的横振动方程是：
utt a2uxx f (x, t) （一维波动方程）
其中 a2 T ,f (x, t) F(x, t)
u（x x
dx）
u（x x）
ux x
dx
2u x 2
dx
T
2u x 2
dx
F（x，t）dx
2u t 2
dx
2u t 2
T
2u x 2
F（x，t）
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。
本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。
为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。
本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。
本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。
二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。
参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。
三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。
2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。
u 。
3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。
3、掌握柯西公式计算积分。
第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。
2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。
3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。
4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。
第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。
数学物理方程(很好的学习教材)
数学物理方程(很好的学习教材)
二、数学物理方程的一般分类
一般分类 按自变量的个数，分为二元和多元方程； 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二 阶和高阶微分方程。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
数学物理方程(很好的学习教材)
四、常见数学物理方程的定解条件
波动方程
方程形u式 tt ： a2u f 定解条初 件边始界条条件件：：包第含一 位初 第类 移始 二或 ”“ 类者 和或初者始第“三速
输运方程
方程形u式 t a： 2uf 定解条边 件初 界始 条条 件件 ：： 第物 一 第理 类 始 二量 或 时 类在 者 刻 或初 的 者值 第
三类线性边界条件
第一类边界条 u(x件 ,y,： z,t)边界x0,y0,z0 f(x0,y0,z0,t)
第二类边界条件： u n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
第三类边界条 u件 H： u
n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
初始条件
定解条件
边界条件
数学物理方程(很好的学习教材)
u u 2u u u 2
2
yy
y数学物理方程(很好y的学y习教材) y
yyu
yy
于是，方程化为：
哈尔滨工程大学《数学物理方法》2020考研专业课复试大纲
2020年考试内容范围说明
考试科目名称:数学物理方法
考查要点:
一、数学物理方程的定解问题
1．要求考生熟悉数学物理方程定解问题的相关概念，掌握数学物理方程的导出过程；
2．要求考生熟练运用达朗贝尔公式求解相关的定解问题。
二、分离变数法
1．要求考生熟练掌握用分离变数法求解齐次方程；
2．要求考生掌握用傅立叶级数法和冲量定理法求解非齐次振动方程和输运方程；
3．要求考生熟练掌握非齐次边界条件的处理方法；掌握用特解法求解泊松方程；
4．要求考生熟练掌握运用叠加原理处理非齐次方程，非齐次边界条件的定解问题。
三、球函数
1．要求考生熟练掌握勒让德多项式及勒让德函数的性质，掌握任意函数的勒让德多项式展开；2．要求考生熟练掌握拉普拉斯方程的轴对称定解问题；
3．要求考生掌握一般的球坐标系下的拉普拉斯方程的定解问题；
四、柱函数
1．要求考生熟练掌握三类柱函数的相关性质，递推公式及积分运算；
2．要求考生熟练掌握用三类柱函数表示贝塞尔方程的通解形式；
3．要求考生掌握柱坐标系下用贝塞尔函数求解定解问题。
五、格林函数解的积分公式
1．要求考生掌握用格林函数表示泊松方程及其边界条件下的通解形式；
2．要求考生掌握用电像法求解格林函数。
考试总分：200分（复试）考试时间：2小时考试方式：笔试
考试题型：计算题（120分）
简答题（80分）。
数学物理方法课件：第7章 数学物理方程定解问题
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
数学物理方法课程教学大纲
《数学物理方法》课程教学大纲（供物理专业试用）课程编码：140612090学时：64学分：4开课学期：第五学期课程类型：专业必修课先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》教学手段：（板演）一、课程性质、任务1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。
2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。
理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。
可以在后续的选修课中加以介绍。
3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。
注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。
但是，它与其它的数学课有所不同。
本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。
因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。
学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。
教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。
二、课程基本内容及课时分配第一篇复数函数论第一章复变函数（10）教学内容：§1.1．复数与复数运算。
复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。