教育最新K122018_2019学年高中数学4.4.2参数方程与普通方程的互化学案苏教版选修4_4
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化参数方程与普通方程是数学中的两种表达形式。
参数方程使用参数来表示变量之间的关系，而普通方程则以变量直接表示变量之间的关系。
参数方程与普通方程可以进行互化，即从参数方程导出普通方程，或者从普通方程导出参数方程。
首先，我们来探讨从参数方程导出普通方程的方法。
假设我们有以下参数方程：x=f(t)y=g(t)我们的目标是找到一个普通方程，将x和y之间的关系用该方程表示出来。
为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.将第一个参数方程中的t表示为x的函数，即t=h1(x)。
这里的h1(x)是反函数，用来表示x的函数与t的关系。
2.将第二个参数方程中的t表示为y的函数，即t=h2(y)。
这里的h2(y)是反函数，用来表示y的函数与t的关系。
3.将上述两个方程联立，得到h1(x)=h2(y)。
4.最后将h1(x)=h2(y)代入第一个参数方程，得到x=f(h1(x))。
5.将x=f(h1(x))代入第二个参数方程，得到y=g(h2(y))。
最终，我们得到普通方程x=f(h1(x))和y=g(h2(y))。
接下来，我们来探讨从普通方程导出参数方程的方法。
假设我们有以下普通方程：F(x,y)=0我们的目标是找到一对参数方程，将x和y之间的关系用这对方程表示出来。
为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.假设x=f(t)，其中f(t)是x关于一些参数t的函数。
2.将上面的假设代入普通方程，得到F(f(t),y)=0。
3.将上述方程进行整理，解出y关于t的函数，即y=g(t)。
4.最终得到参数方程x=f(t)和y=g(t)。
需要注意的是，从普通方程导出参数方程的过程中，参数t的选择是自由的，并不唯一、不同的参数选择会导致不同的参数方程，但它们的图形表达的是同一个曲线。
参数方程与普通方程的互化在数学中有非常广泛的应用，尤其在几何学和物理学中经常会用到。
例如，在解决曲线的问题时，参数方程能够更直观地描述曲线的性质，而普通方程则更方便计算。
2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.4 4.4.1～4.4.2 参数方程的意义 参数方程与普通方程的互化
4．4．4.1～4.4.2 参数方程的意义 参数方程与普通方程的互化1．参数方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，就叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的范围保持一致．[例1] 指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t (t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －2－t ，y ＝2t＋2－t (t 为参数)． [对应学生用书P19] [对应学生用书P19][思路点拨] 分析参数方程的结构特征，恰当地选择方法消去参数． [精解详析] (1)∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝16cos 2t ＋16sin 2t ＝16， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16.它表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆． (2)∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x 5)2＋(y4)2＝cos 2t ＋sin 2t ＝1， 即x 225＋y 216＝1. 它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆． (3)∵x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，∴y 2－x 2＝4.又2t >0，y ≥22t ·2－t ＝2，故y 2－x 2＝4(y ≥2)，它表示双曲线的上支．1．化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法、加减消元法、利用恒等式(三角的或代数的)消元法，但要注意等价性，要先由参数范围求出x ，y 范围后再消参．2．普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x ，y 中之一的函数关系，对同一个普通方程，由于选择参数不同，得到的参数方程也不同．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝⎛⎭⎫t ＋1t (t 为参数，t ＞0)，求曲线C 的普通方程．解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.2．根据下列条件求椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程：(1)设y ＝sin θ，θ为参数； (2)设x ＝2t ，t 为参数．解：(1)把y ＝sin θ代入椭圆方程，得到x 24＋sin 2θ＝1，于是x 2＝4(1－sin 2θ)＝4cos 2θ，即x ＝±2cos θ，由于θ具有任意性，sin θ与cos θ的符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号，所以取x ＝2cos θ.因此，椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)．(2)把x ＝2t 代入椭圆方程，得到4t 24＋y 2＝1.于是y 2＝1－t 2，即y ＝±1－t 2.因此，椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－t 2，(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－1－t 2，(t 为参数).[例2] 求经过点0[思路点拨] 写出直线的普通方程，选择恰当参数得参数方程． [精解详析] 如图，由题意知，直线的普通方程是y ＋1＝(x －2)tan α，直线方程可化为y ＋1sin α＝x －2cos α.令y ＋1sin α＝x －2cos α＝t ，选择t 为参数， 得直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)．其中参数t 的几何意义是有向线段M 0M 的数量．1．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．对于上述参数方程要注意以下几点：(1) 参数方程中α、x 0、y 0都是常数，t 是参数且α是直线的倾斜角．(2)参数t 的几何意义是有向线段M 0M 的数量，|t |表示直线上的动点M 到定点M 0的距离．(3)若令a ＝cos α，b ＝sin α，则直线方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ，(t 为参数)且a 2＋b 2＝1，b ≥0.3．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角．解：法一：直线的斜率k ＝－cos 20°sin 20°＝－sin 70°cos 70°＝－tan 70°＝tan 110°. ∴倾斜角为110°.法二：将方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝－(x －3)tan 70°，即y ＝(x －3)tan 110°， ∴倾斜角为110°.法三：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋(－t )cos 110°，y ＝(－t )sin 110°，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°(t ′为参数)．∴直线的倾斜角为110°.4.(湖南高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，求常数a 的值．解：先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意.[例3](1)x 2＋y 2＝9；(2)(x －2)2＋(y －3)2＝9.[思路点拨] 联想三角函数选择角为参数可求参数方程．[精解详析] (1)如图，设M (x ，y )为圆上任一点，射线Ox 轴逆时针旋转到OM 形成的角为α，取α为参数．则圆x 2＋y 2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数 )．(2)设x －2＝cos α，y －3＝sin α，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α. 因此圆(x －2)2＋(y －3)2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos α，y ＝3＋3sin α(α为参数)．1．圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数)．2．圆心在(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)．3．利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型，可以根据条件，用圆的参数把动点的坐标表示出来，然后利用坐标之间的关系，得到动点的轨迹方程．5．(陕西高考改编)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：由x 2＋y 2－x ＝0，得⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14， 即圆的半径r ＝12.∵OP ＝2r ·cos θ＝cos θ， ∴x ＝OP ·cos θ＝cos 2θ，y ＝OP ·sin θ＝cos θ·sin θ.∴圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)．6.如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹的参数方程．解：设点M (x ，y )．∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．∴设点P (4cos θ，4sin θ)，由线段中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2，(θ为参数)．即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)．1．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t ，(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，(α为参数)的交点个数． [对应学生用书P21]解：直线的普通方程为x ＋y －1＝0， 圆的普通方程为x 2＋y 2＝32， 圆心到直线的距离d ＝22＜3， 故直线与圆的交点个数是2.3．已知A ＝{(x ，y )|x ＝2cos α，y ＝2sin α＋m ，α为参数}，B ＝{(x ，y )|x ＝t ＋3，y ＝3－t ，t 为参数}，且A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α＋m ，得x 2＋(y －m )2＝2cos 2α＋2sin 2α＝2. 所以A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －m )2＝2}．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t ，得x ＋y ＝6， 所以B ＝{(x ，y )|x ＋y －6＝0}． 因为A ∩B ≠∅，所以|m －6|2≤2，解得4≤m ≤8.4．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，求此直线的倾斜角α.解：直线化为：y ＝x ·tan α， 圆化为：(x －4)2＋y 2＝4，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于2，如图， ∴sin α＝24＝12，α＝π6或56π.5．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，求实数b 的取值范围．解：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ即为圆(x －2)2＋y 2＝1.∵直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点， ∴圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1，即|2－b |2<1. 解得2－2<b <2＋ 2.即b 的取值范围为(2－2，2＋2)．6．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2.由x ＝1＋2t ，得t ＝x －12，代入y ＝t 2，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122， 即(x －1)2＝4y .故曲线C 的普通方程为(x －1)2＝4y .7．圆的方程是x 2＋y 2－2a cos θ·x －2a sin θ·y ＝0. (1)若a 是参数，θ是常数，求圆心的轨迹； (2)若θ是参数，a 是常数，求圆心的轨迹． 解：将方程x 2＋y 2－2a cos θ·x －2a sin θ·y ＝0配方，得(x －a cos θ)2＋(y －a sin θ)2＝a 2.设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，①y ＝a sin θ.②(1)若a 是参数，θ是常数，当cos θ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ表示直线x ＝0.当cos θ≠0，由①，得a ＝xcos θ .③把③代入②，得y ＝xcos θ·sin θ＝tan θ·x .所以轨迹是过原点，斜率为tan θ的直线． (2)若θ是参数，a 是常数， ①2＋②2，得x 2＋y 2＝a 2.由于a ≠0，所以轨迹是以原点为圆心，|a |为半径的圆．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1－t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，试在椭圆C 上求一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小．解：法一：由题设可知l 的普通方程为x ＋2y －4＝0，设P (2cos θ，sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝15⎣⎡⎦⎤4－22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，d 取最小值，此时θ＝2k π＋π4(k ∈Z )，所以2cos θ＝2cos π4＝2，sin θ＝sin π4＝22.所以点P 坐标为⎝⎛⎭⎫2，22. 法二：设与直线l 平行的直线l 1方程为x ＋2y ＝m ，当l 1与C 只有一个公共点且l 1与l 距离最小时，l 1与C 的公共点即为所求的点P .椭圆的普通方程为x 24＋y 2＝1.将x ＋2y ＝m 代入此方程，消去x ，得8y 2－4my ＋m 2－4＝0.由题意，Δ＝16m 2－32(m 2－4)＝0，解得m ＝±2 2.l 1与l 的距离为d ＝|m －4|5，所以当m ＝22时，d 最小，此时点P的坐标为⎝⎛⎭⎫2，22.。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化首先，我们来了解一下参数方程的定义。
参数方程是指使用单一变量来表示曲线上的点的坐标，其中变量通常表示为 t。
对于平面上的曲线，参数方程可以表示为 x=f(t)，y=g(t)，其中 f(t) 和 g(t) 是 t 的函数。
参数方程通常用来表示曲线上每一个点的坐标，在数学中有着广泛的应用。
例如，圆的参数方程可以表示为 x=rcos(t)，y=rsin(t)，其中 r 表示圆的半径，t 表示角度。
与之相对应的，普通方程是用一个或多个变量的代数方程来表示曲线的方程。
对于平面上的曲线，普通方程可以表示为F(x,y)=0，其中F(x,y)是二元函数。
普通方程常常用来表达曲线的性质和方程，例如直线的普通方程可以表示为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
1.由参数方程到普通方程：要将参数方程转换为普通方程，可以将参数方程中的参数表示为普通方程中的变量，并解出其他变量的表达式。
具体步骤如下：a.将x=f(t)，y=g(t)中的t表示为普通方程中的变量，如令t=x。
b.将t的表达式代入f(t)和g(t)中，得到x=f(x)，y=g(x)。
c.将得到的方程进行整理，化为普通方程的形式。
2.由普通方程到参数方程：要将普通方程转换为参数方程，可以选取一个合适的参数来表示曲线上每一点的坐标，并构造对应的参数方程。
具体步骤如下：a.选择一个变量作为参数，通常可以选择x或y。
b.将选取的参数代入普通方程中，得到一条关于参数的方程。
c.将方程整理，化为参数方程的形式。
值得注意的是，参数方程和普通方程在表示曲线时的优势和劣势不同。
参数方程可以方便地描绘复杂的曲线，如椭圆、双曲线等，而普通方程可以方便地计算曲线的性质和方程。
因此，在不同的问题和计算需求中，我们可以选择合适的方程形式。
除了上述的基本转换方法，还有一些特殊的曲线可以通过参数方程和普通方程的互化来简化求解。
例如，对于一些特殊的曲线，我们可以通过参数方程的方法来求解它的曲率和切线方程，然后转换为普通方程表示的形式。
【2019最新】高中数学4-4参数方程4-4-2参数方程与普通方程的互化同步测控
【2019最新】高中数学4-4参数方程4-4-2参数方程与普通方程的互化同步测控 参数方程与普通方程的互化同步测控我夯基,我达标1.已知三个方程：①⎩⎨⎧==;,2t y t x ②⎩⎨⎧==;tan ,tan 2t y t x ③⎩⎨⎧==t y t x 2sin ,sin （都是以t 为参数）．那么表示同一曲线的方程是（ ）Ａ．①②③ Ｂ．①② Ｃ．①③ Ｄ．②③解析：①②③的普通方程都是y=x 2，但①②中x 的取值范围相同，都是x∈R ，而③中x 的取值范围是－1≤x≤1. 答案：Ｂ2.将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθ22sin ,sin 2y x (θ为参数)化为普通方程为（ ）A.y=x-2B.y=x+2C.y=x-2(2≤x≤3)D.y=x+2(0≤y≤1)解析：转化为普通方程为y=x-2，但由于x∈［2,3］,y∈［0,1］,故选C. 答案：C3.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααααcos sin ,sin 2cos 212y x （α为参数）表示（ ） Ａ．圆 Ｂ．半圆 Ｃ．直线 Ｄ．线段解析：x=21cos2α+sin 2α=21(1-2sin 2α)+sin 2α=21, 而y=sin α+cos α=2sin(α+4π),∴-2≤y≤2．从而该参数方程化成普通方程为x=21（-2≤y≤2），它表示一条线段． 答案：Ｄ4.若一直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=ty y t x x 23,2100（t 为参数），则此直线的倾斜角为（ ）A.60°B.120°C.300°D.150° 解析：y-y 0=-3(x-x 0)，斜率k=-3，倾斜角为120°． 答案：Ｂ5.曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x （t 是参数，t≠０）,它的普通方程是（ ）A.(x-1)2(y-1)=1 B.y=2)1()2(x x x -- C.y=2)1(1x --1 D.y=21xx- 解析：由x=1-t 1,得t 1=1-x.由y=1-t 2,得t 2=1-y.所以(1-x)2·(1-y)=(t1)2·t 2＝1，进一步整理得到y=2)1()2(x x x --．答案：B6.直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 211,212(t 为参数）被圆x 2+y 2=4截得的弦长为．解析：直线化为普通方程为x+y-1=0，圆心到直线的距离d=21=22，所以弦长的一半为214)22(222=-，得弦长为14． 答案：147.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3(参数t∈R ),圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x (参数θ∈［0,2π)),则圆C 的圆心坐标为_____________,圆心到直线l 的距离为_____________. 解析：l 的普通方程为x+y=6,圆C 的方程为x 2+(y-2)2=4, ∴圆心(0,2),d=222|620|=-+答案：(0,2) 22我综合,我发展8.曲线⎩⎨⎧+=+=θθθθsin cos ,cos sin a a y a a x （θ为参数,θ∈［0,2π)）表示的图形是（ ）Ａ．第一、三象限的平分线 Ｂ．以（-a,-a ）、（a,a ）为端点的线段Ｃ．以（－2a ，－2a ）、（-a,-a ）为端点的线段和以（a,a ）、（2a,2a ）为端点的线段Ｄ．以（－2a ，－2a ）、（2a ，2a ）为端点的线段 解析：显然y=x ，但x=asin θ+acos θ=2asin(θ+4π)，-2|a|≤x≤2|a|．故图形为以（-2a,-2a ）、（2a,2a ）为端点的线段． 答案：Ｄ9.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=222215,13t t y t t x (t 为参数）表示的图形为（ ）解析：从x=2213tt +中解得t 2＝x x -3-x ，代入y=2215t t +-中，整理得到2x+y-5＝0．但由t 2=xx-3≥0解得0≤x<3．所以化为普通方程为2x+y-5＝0（0≤x<3），表示一条线段,但不包括右端点. 答案：ＣＡ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．线段(但不包括右端点) Ｄ．椭圆10.已知曲线⎩⎨⎧==pt y pt x 2,22(t 为参数，p 为正常数）上的两点M 、N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1+t 2=0，那么|MN|＝_______________．解析：⎩⎨⎧==pty pt x 2,22化为普通方程为y 2=2px(p>0)，表示抛物线.由t 1+t 2=0,可知线段MN 垂直于抛物线的对称轴（即x 轴）．于是|MN|=2p|t 1-t 2|=2p|2t 1|． 答案：4p|t 1| 11.圆的参数方程为⎩⎨⎧-+=θθθθcos 3sin 4,cos 4sin 3x (θ为参数,θ∈［0,2π))，则此圆的半径为_______________． 解析：由⎩⎨⎧-=+=,cos 3sin 4,cos 4sin 3θθθθy x 得x 2+y 2=(3sin θ+4cos θ)2+(4sin θ-3cos θ)2=25(sin 2θ+cos 2θ)＝25， 所以圆的半径为5． 答案：512.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--)(2,tt tt e e y e e x (t 为参数)的普通方程为．解析：4)2)(2(22222=-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+=---y x y x e y x e yx e e y e e x t ttt t t ．答案：116422=-y x (x≥2) 我创新，我超越13.参数方程⎩⎨⎧+=+=)cos (sin sin ),cos (sin cos θθθθθθy x (θ为参数,θ∈［0,2π))表示什么曲线？解：显然x y =tan θ，则θ222cos 11=+x y ,11cos 222+=x yθ. x=cos 2θ+sin θcos θ=21sin2θ+cos 2θ=21×θθ2tan 1tan 2++cos 2θ, 即22222211111221x y x yx y x y x y x ++=+++⨯=,1)1(22+=+x y x y x , 得x+x y 2=xy +1，即x 2+y 2-x-y=0．表示的曲线是圆．14.分别在下列两种情况下，把参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--θθsin )(21,cos )(21t t t t e e y e e x 化为普通方程：（1）θ为参数，且θ∈［0,2π),t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数．解：（1）当t=0时，y=0,x=cos θ，即|x|≤1,且y=0;当t≠0时，cos θ=)(21t te e x -+,sin θ=)(21t te e y --.而cos 2θ+sin 2θ=1,即)(412t t e e x -++22)(41t t e e y --=1.（2）当θ=k π,k∈Z 时，y=0,x=±21(e t +e -t)， 即|x|≥1，且y=0； 当θ=k π+2π,k∈Z 时，x=0,y=±21(e t -e -t)，即x=0；当θ≠k 2π,k∈Z 时，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+--,sin 2,cos 2θθy e e x e e t t tt ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-.sin 2cos 22,sin 2cos 22θθθθy x e y x e t t 而2e t ·2e -t＝4，于是4)sin 2cos 2)(sin 2cos 2(=-+θθθθyx y x , 即1sin cos 2222=-θθy x .。
[k12精品]2018_2019学年高中数学4.4.2参数方程与普通方程的互化学案苏教版选修4_4
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4.4.2 参数方程与普通方程的互化1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程． 2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程．[基础·初探]1．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α(l 为参数)，其中参数l 的几何意义：有向线段P 0P 的数量(P 为该直线上任意一点)．2．圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．圆心为M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[思考·探究]1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】 不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？【提示】 ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ＋1t θ，y ＝at －1tθ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2tt 3－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)．【自主解答】 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1. 代入y ＝2t t 3－1化简得y ＝x ＋x －23x 2＋1(x ≠1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14. ②①2＋②2得x 225＋y ＋216＝1.[再练一题]1．将下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．【解】 (1)∵x ＝t ＋1t ，∴x 2＝t 2＋1t2＋2.把y ＝t 2＋1t2代入得x 2＝y ＋2.又∵x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2；当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2.∴x ≥2或x ≤－2.∴普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ可化为⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －23，sin θ＝y3.两式平方相加，得(x －23)2＋(y3)2＝1.即普通方程为(x －2)2＋y 2＝9.(1)x －23＋y －25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数) 【自主解答】 (1)将x ＝3cos θ＋1代入x －23＋y －25＝1得：y ＝2＋5sinθ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)，这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)，这就是所求的参数方程． [再练一题]2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程．【导学号：98990029】【解】 把x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数).【思路探究】 设出直线MN 的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中t 的几何意义及根与系数的关系解题．【自主解答】 直线MN方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(α≠0，t 为参数)代入y 2＝8x ，得t 2sin 2α－8t cos α－8＝0.设M ，N 对应参数为t 1，t 2，MN 中点G 的参数为t 0，则t 0＝12(t 1＋t 2)＝4cos αsin 2α， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos 2αsin 2α，y ＝4cos αsin α，消去α得y 2＝4(x －1)．1．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数l 的几何意义．[再练一题]3．经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B 、C 两点．(1)求弦BC 的长；(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； (3)当BC ＝8时，求直线BC 的方程；(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程． 【解】 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，代入x 2＋y 2＝25，整理，得t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立， ∴方程必有相异两实根t 1，t 2，且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－554.(1)BC ＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝α＋sin α2＋55.(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0， 即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 故直线BC 的方程为y ＋32＝－2(x ＋3)，即4x ＋2y ＋15＝0. (3)∵BC ＝α＋sin α2＋55＝8，∴(2cos α＋sin α)2＝1.∴cos α＝0或tan α＝－34.∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0. (4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)， ∴点M 的轨迹方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32cos αα＋sin α，y＝－32＋32sin αα＋sin α(0≤α<π)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝32α＋12sin 2α，y ＋34＝32α－12cos 2α∴(x ＋32)2＋(y ＋34)2＝4516.即点M 的轨迹是以(－32，－34)为圆心，以354为半径的圆．[真题链接赏析](教材第56页习题4.4第2题)将下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋3t ，y ＝3－4t (t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ－1，y ＝3sin θ＋2(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)；(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)；(5)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)．在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．【命题意图】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化及椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系等知识．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3， 从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)． 将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0，故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t －4(t 为参数)化为普通方程为________．【解析】 将x ＝t 代入y ＝2t －4得y ＝2x －4.又∵x ＝t ≥0，∴普通方程为2x －y －4＝0(x ≥0)． 【答案】 2x －y －4＝0(x ≥0)2．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【导学号：98990030】【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为________．【解析】 转化为普通方程为y ＝x －2，且x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 【答案】 y ＝x －2(2≤x ≤3)4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1)我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1，1])．3．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝14．(1)若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为____________． (2)若y ＝2t (t 为参数)，则抛物线y 2＝4x 的参数方程为____________． 解析：(1)把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1， 于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ， 即y ＝－1±sin θ， 由于参数θ的任意性， 可取y ＝－1＋sin θ， 因此，曲线x2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，(θ为参数)．(2)把y ＝2t 代入y 2＝4x ， 解得x ＝t 2， 所以抛物线y2＝4x 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (t 为参数)．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)参数方程化普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t，(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t，(t 为参数)； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ① ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝32t y －2＝－12t ， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，所以y －2＝－33(x －1)(x ≠1)， 所以3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2(1＋t 2)2y 2＝1＋t 4－2t 2(1＋t 2)2，① ② ①＋②得x 2＋y 2＝1.(1)消参的三种方法①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数； ②利用三角恒等式借助sin 2θ＋cos 2θ＝1等消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等)从整体上消去参数． (2)化参数方程为普通方程应注意的问题将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．2．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，(a ，b 为大于0的常数，t 为参数)为普通方程．解：因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，当t >0时，x ∈[a ，＋∞)，当t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．普通方程化参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得y ＝2＋5sin θ.所以⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．化普通方程为参数方程的方法及注意事项(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．根据所给条件，求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2 θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，所以x ＝±2cos θ.所以4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，则x 2＝16－t24.所以x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22y ＝t，(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝41－t 2，或⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)．参数方程与普通方程互化的应用已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点的坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0.则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 其中cos φ＝45，sin φ＝35，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值855.此时cos θ＝45，sin θ＝－35，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫325，－95.(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x ，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B.因为t >0时x ≥2，t <0时x ≤－2. 所以普通方程为y ＝2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 它表示的图形是两条射线．3．若y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝8t 1＋t2(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝4t 1＋t2(t 为参数)解析：选A.因为y ＝tx ，代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋(tx )2－4tx ＝0. 当t ＝0时，x ＝0，且y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.当t ≠0时，x ＝4t1＋t2.而y ＝tx ，即y ＝4t21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝4t21＋t2(t 为参数)．综上知，所求圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．[A 基础达标]1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t，(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D.方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t ，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y 2＝1－t ，两式平方相加，得x 2＋y 24＝1，由式子t ，21－t 有意义，得0≤t ≤1，所以0≤x ≤1，0≤y ≤2，故选D.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y ＝－2x 上，故选B.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A.π4，(1，0) B ．π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0)．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解：选D.x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又因为x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0)．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ).(0≤θ<2π)表示的是( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12解析：选B.因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，故x ∈[0，2]，又y ＝12(1＋sin θ)，故y ∈[0，1]．因为x 2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x 2－1， 代入y ＝12(1＋sin θ)中得y ＝12x 2，即x 2＝2y ，(0≤x ≤2，0≤y ≤1)表示抛物线的一部分， 又2×12＝1，故过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 6．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θy ＝4sin θ－3cos θ，(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：两式平方相加，得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＋24sin θcos θ＋16sin 2θ＋9cos 2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.所以圆的半径r ＝5. 答案：57．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________．解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或5π6.答案：π6或5π68．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：329．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．[B 能力提升]11．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选D.圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.12．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________．解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2| ＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.答案：±2或±5 213．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t (t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x ＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t ＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，因为－t －3t≥23，所以t ＋3t＋1≤－23＋1.所以|t ＋3t ＋1|≥23－1，所以d ≥23－15.因为23＋15>23－15，所以d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．14．(选做题)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2的公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。
高中数学4.4参数方程2参数方程与普通方程的互化课件苏教版选修4-4
阶
段
段
一
三
4.4.2 参数方程与普通方程的互化
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程． 2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程．
[基础·初探]
1．过定点
P0(x0，y0)，倾斜角为
α
的直线的参数方程为xy＝＝
x0＋lcos y0＋lsin
α α
， (l
为参数)，其中参数 l 的几何意义：有向线段 P0P 的数量(P 为该直线上任意一点)．
【思路探究】 设出直线 MN 的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参 数方程中 t 的几何意义及根与系数的关系解题．
1．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量， 使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化 为普通方程．
2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数 l 的几何意义．
2．圆
x2＋y2＝r2
的参数方程为yx＝＝
rcos rsin
θ θ
，
(θ 为参数)．
圆心为
M0(x0，y0)，半径为
r
的圆的参数方程为yx＝＝
x0＋rcos y0＋rsin
θ θ
， (θ 为参数)．
参数方程化为普通方程
将下列参数方程化为普通方程：
x＝tt＋ －11， (1)
y＝t3－2t 1
(t
为参数)；(2)yx＝＝45scions
1．将参数方程xy＝ ＝2
t， t－4
(t 为参数)化为普通方程为________．
【解析】 将 x＝ t代入 y＝2 t－4 得 y＝2x－4. 又∵x＝ t≥0，∴普通方程为 2x－y－40)
2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第二讲第1节第3课时参数方程和普通方程的互化-含答案
第3课时 参数方程和普通方程的互化[核心必知]参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．[问题思考]1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用． 2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的吗？提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一个．根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)（x －1）23＋（y －2）25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方法，解答本题只需将已知的变量x 代入方程，求出y 即可．(1)将x ＝3cos θ＋1代入（x －1）23＋（y －2）25＝1得：y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数) 这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得： y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1 ＝t 2＋3t ＋1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数) 这就是所求的参数方程．(1)求曲线的参数方程，首先要注意参数的选取，一般来说，选择参数时应注意以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x ，y 的相互关系比较明显，容易引出方程．(2)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．1．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t 12，y ＝t －12 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝1sin t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1cos t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1tan t 解析：选D 由xy ＝1得x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，而A 中x ∈[0，＋∞)，B 中x ∈[－1，1]，C 中x ∈[－1，1]，只有D 选项中x 、y 的取值范围与方程xy ＝1中x 、y 的取值范围相对应．分别在下列两种情况下，把参数方程⎩⎨⎧x ＝12（e t ＋e－t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ化为普通方程：(1)θ为参数，t 为常数； (2)t 为参数，θ为常数．[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法，解答本题需要分清谁为参数，谁为常数，然后想办法消掉参数．(1)当t ＝0时，y ＝0，x ＝cos θ，即|x |≤1，且y ＝0； 当t ≠0时，cos θ＝x 12（e t ＋e －t ），sin θ＝y12（e t －e －t ），而sin 2θ＋cos 2θ＝1， 即x 214（e t ＋e －t ）2＋y 214（e t －e －t ）2＝1.(2)当θ＝k π，k ∈Z 时，y ＝0，x ＝±12(e t ＋e －t )，即|x |≥1，且y ＝0；当θ＝k π＋π2，k ∈Z 时，x ＝0，y ＝±12(e t －e －t )，即x ＝0；当θ≠k π2，k ∈Z 时，得⎩⎨⎧e t ＋e －t ＝2x cos θ，e t －e －t ＝2y sin θ，即⎩⎨⎧2e t ＝2x cos θ＋2y sin θ，2e －t ＝2x cos θ－2y sin θ.得2e t ·2e －t ＝(2x cos θ＋2y sin θ)(2x cos θ－2y sin θ)，即x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1.(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎨⎧x ＝a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝⎛⎭⎫t －1t sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么可以利用⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝4消参．。
【配套K12】2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲一3.参数方程和普通方程的
3.参数方程和普通方程的互化[对应学生用书P20]参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．[对应学生用书P20][例1] 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数) (2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得：y ＝2＋5sin θ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数) 这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得： y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1 ＝t 2＋3t ＋1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x ＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为⎩⎨⎧x ＝tan θ，y ＝tan 2θ＋tan θ－1 (θ为参数)．1．求xy ＝1满足下列条件的参数方程： (1)x ＝t (t ≠0)；(2)x ＝tan θ(θ≠k π2，k ∈Z )． 解：(1)将x ＝t 代入xy ＝1得：t ·y ＝1， ∵t ≠0，∴y ＝1t ，∴⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1t(t 为参数，t ≠0)．(2)将x ＝tan θ代入xy ＝1得：y ＝1tan θ.∴⎩⎨⎧x ＝tan θ，y ＝1tan θ(θ为参数，θ≠k π2，k ∈Z ).[例2] 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)．(2)⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1(θ为参数)．[思路点拨] (1)可采用代入法，由x ＝t ＋1解出t 代入y 表达式． (2)采用三角恒等变换求解．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1，代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5 ①sin θ＝y ＋14 ②，①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2表示的曲线是( )A ．一条直线B ．两条射线C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：t ＞0时 x ＝t ＋1t ≥2当t ＜0，x ＝t ＋1t ＝－(－t ＋1－t)≤－2.即曲线方程为y ＝2(|x |≥2)，表示两条射线． 答案：B3．把参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ－cos θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化成普通方程是________．解析：将x ＝sin θ－cos θ两边平方得x 2＝1－sin 2θ， 即sin 2θ＝1－x 2，代入y ＝sin 2θ，得y ＝－x 2＋1. 又x ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)，∴－2≤x ≤2， 故普通方程为y ＝－x 2＋1(－2≤x ≤2)． 答案：y ＝－x 2＋1(－2≤x ≤2)[对应学生用书P21]一、选择题1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：代入法，将方程化为y ＝x －2，但x ∈[2,3]，y ∈[0,1]，故选C. 答案：C2．参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin 2θ∈[0,1]， ∴x ＋y ＝1，(x ∈[0,1])为线段． 答案：C3．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( ) A.⎩⎨⎧x ＝sin t y ＝cos 2t B.⎩⎨⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φ C.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ解析：对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0,1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1,1])．答案：B4．(北京高考)曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y ＝－2x 上，故选B.答案：B 二、填空题5．参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θy ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．解析：由于cos 2θ＝1－2sin 2θ，故y ＝1－2x 2， 即y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1)． 答案：y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1)6．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化为普通方程为________．解析：y ＝t 2＋1t 2＝(t ＋1t )2－2＝x 2－2.又y ＝t 2＋1t 2≥2，故所求普通方程为x 2－y ＝2(y ≥2)． 答案：x 2－y ＝2(y ≥2)7．(广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________________．解析：曲线C 的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1， 其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)三、解答题8．指出下列参数方程表示什么曲线．(1)⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，(0≤θ≤π)(2)⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t ，(π≤t ≤2π) 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ，得x 2＋y 2＝9，又∵0≤θ≤π.∴－3≤x ≤3.0≤y ≤3.∴所求方程为x 2＋y 2＝9(0≤y ≤3)．这是一个半圆(圆x 2＋y 2＝9在x 轴上方的部分)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t 得：x 24＋y 29＝1.∵π≤t ≤2π∴－2≤x ≤2.－3≤y ≤0.∴所求方程为：x 24＋y 29＝1 (－3≤y ≤0)． 它表示半个椭圆⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 24＋y 29＝1在x 轴下方的部分.9．如图所示，经过圆x 2＋y 2＝4上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，求线段PQ 中点轨迹的普通方程．解：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.(θ为参数)在此圆上任取一点P (2cos θ，2sin θ)， PQ 的中点为M (2cos θ，sin θ)，PQ 中点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.(θ为参数)化成普通方程x 24＋y 2＝1.10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)得(x ＋2)2＋y 2＝10.∴曲线C 1的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝10. ∵ρ＝2cos θ＋6sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ.∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ，即(x －1)2＋(y －3)2＝10.∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. (2)∵圆C 1的圆心为(－2,0)，圆C 2的圆心为(1,3)， ∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32＜210，∴两圆相交． 设相交弦长为d ， ∵两圆半径相等， ∴公共弦平分线段C 1C 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＋⎝⎛⎭⎪⎫3222＝(10)2， 解得d ＝22， ∴公共弦长为22.。
参数方程参数方程和普通方程的互
参数方程参数方程和普通方程的互化xx年xx月xx日CATALOGUE目录•参数方程和普通方程的基本概念•参数方程和普通方程的互化方法•参数方程和普通方程的应用场景•参数方程和普通方程的案例分析•总结与展望01参数方程和普通方程的基本概念参数方程是一种描述某一变化过程的数学表达方式，其中包含一个或多个参数，这些参数是变化的，而参数的变化规律则由参数方程来描述。
参数方程通常用于描述具有某些特定变化规律的问题，如运动轨迹、物理实验数据等。
普通方程又叫直角坐标方程，它是一种以x、y坐标轴为基准的平面图形表示方式，通过x、y坐标轴上点的坐标来表示图形上的点。
普通方程通常用于描述几何图形、函数图像等平面图形。
将参数方程转化为普通方程可以更方便地研究平面图形的性质和特点，因为普通方程更加直观易懂。
将普通方程转化为参数方程可以更好地揭示参数的变化规律和几何意义，因为参数方程可以表示出平面图形的运动轨迹、物理实验数据等变化过程。
在解决实际问题时，需要根据具体问题的特点选择适当的方程形式来描述问题，并将两种方程形式进行互化以方便问题的解决。
参数方程和普通方程的互化意义02参数方程和普通方程的互化方法定义变量将参数方程中的参数视为变量，将参数方程中的函数值视为另一个变量。
根据参数方程的形式，建立关于参数和函数的方程。
使用解方程的方法，求出函数关于参数的表达式。
将求出的函数表达式整理成普通方程的形式。
参数方程转化为普通方程建立方程解方程整理答案整理答案将求出的函数表达式整理成参数方程的形式。
普通方程转化为参数方程定义变量将普通方程中的变量视为函数，将普通方程中的常数视为参数。
建立方程根据普通方程的形式，建立关于函数和参数的方程。
解方程使用解方程的方法，求出函数关于参数的表达式。
参数方程优点可以方便地表示出变量之间的依赖关系，适用于描述周期性变化和非线性变化的情况。
参数方程缺点在某些情况下，求解参数方程可能比普通方程更加复杂和困难。
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4.4.2 参数方程与普通方程的互化1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程． 2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程．[基础·初探]1．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α(l 为参数)，其中参数l 的几何意义：有向线段P 0P 的数量(P 为该直线上任意一点)．2．圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．圆心为M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[思考·探究]1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】 不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？【提示】 ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ＋1t θ，y ＝at －1tθ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2tt 3－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)．【自主解答】 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1. 代入y ＝2t t 3－1化简得y ＝x ＋x －23x 2＋1(x ≠1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14. ②①2＋②2得x 225＋y ＋216＝1.[再练一题]1．将下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．【解】 (1)∵x ＝t ＋1t ，∴x 2＝t 2＋1t2＋2.把y ＝t 2＋1t2代入得x 2＝y ＋2.又∵x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2；当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2.∴x ≥2或x ≤－2.∴普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ可化为⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －23，sin θ＝y3.两式平方相加，得(x －23)2＋(y3)2＝1.即普通方程为(x －2)2＋y 2＝9.(1)x －23＋y －25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数) 【自主解答】 (1)将x ＝3cos θ＋1代入x －23＋y －25＝1得：y ＝2＋5sinθ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)，这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)，这就是所求的参数方程． [再练一题]2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程．【导学号：98990029】【解】 把x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数).【思路探究】 设出直线MN 的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中t 的几何意义及根与系数的关系解题．【自主解答】 直线MN方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(α≠0，t 为参数)代入y 2＝8x ，得t 2sin 2α－8t cos α－8＝0.设M ，N 对应参数为t 1，t 2，MN 中点G 的参数为t 0，则t 0＝12(t 1＋t 2)＝4cos αsin 2α， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos 2αsin 2α，y ＝4cos αsin α，消去α得y 2＝4(x －1)．1．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数l 的几何意义．[再练一题]3．经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B 、C 两点．(1)求弦BC 的长；(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； (3)当BC ＝8时，求直线BC 的方程；(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程． 【解】 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，代入x 2＋y 2＝25，整理，得t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立， ∴方程必有相异两实根t 1，t 2，且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－554.(1)BC ＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝α＋sin α2＋55.(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0， 即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 故直线BC 的方程为y ＋32＝－2(x ＋3)，即4x ＋2y ＋15＝0. (3)∵BC ＝α＋sin α2＋55＝8，∴(2cos α＋sin α)2＝1.∴cos α＝0或tan α＝－34.∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0. (4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)， ∴点M 的轨迹方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32cos αα＋sin α，y＝－32＋32sin αα＋sin α(0≤α<π)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝32α＋12sin 2α，y ＋34＝32α－12cos 2α∴(x ＋32)2＋(y ＋34)2＝4516.即点M 的轨迹是以(－32，－34)为圆心，以354为半径的圆．[真题链接赏析](教材第56页习题4.4第2题)将下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋3t ，y ＝3－4t (t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ－1，y ＝3sin θ＋2(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)；(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)；(5)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)．在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．【命题意图】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化及椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系等知识．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3， 从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)． 将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0，故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t －4(t 为参数)化为普通方程为________．【解析】 将x ＝t 代入y ＝2t －4得y ＝2x －4.又∵x ＝t ≥0，∴普通方程为2x －y －4＝0(x ≥0)． 【答案】 2x －y －4＝0(x ≥0)2．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【导学号：98990030】【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为________．【解析】 转化为普通方程为y ＝x －2，且x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 【答案】 y ＝x －2(2≤x ≤3)4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1)我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。