三角数列求和公式
三角函数数列公式大全
三角函数数列公式大全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】三角函数公式：（1）.弧度制：180orad π=，'18015718oo rad π=≈弧长公式：l r α=，扇形面积公式：21122S r lr α==（2）定义式：设角α终边上一点为(),P x y ，22r OP x y ==+则：sin ,cos ,tan ;y x y r r xααα=== （3）同角基本关系式：22sin sin cos 1,tan ;cos ααααα+== （4）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
（5）两角和差公式：()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ±=±()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ±= ()tan tan tan ;1tan tan αβαβαβ±±=（6）二倍角公式：22tan sin 22sin cos ,tan 2;1tan αααααα==- 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;（7）降幂公式：()()22111sin cos sin 2,sin 1cos 2,cos 1cos 2;222ααααααα==-=+（8）合一公式：()22sin cos sin ,a b a b αααϕ+=++其中tan b aϕ=。
2．三角函数图像和性质：（二）、函数图像的四种变换：（三）、函数性质： 1.奇偶性：（1）定义：奇函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数。
偶函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数。
（2）图像：奇函数图像关于原点对称，若自变量可以取0，则()00f =;偶函数图像关于y 轴对称。
sn的前n项和公式
sn的前n项和公式在数学中，求和公式是一种用于计算数列前n项总和的公式。
普通求和公式通常用来计算等差数列的和，而更复杂的求和公式用于计算其他类型的数列，如等比数列或三角数列等。
在数学和统计学等领域中，求和公式都是必不可少的工具。
以下是总结sn的前n项和公式的文章，共计。
一、等差数列求和公式等差数列是指每一项之间的差值相等的数列。
求和公式是用来计算等差数列的总和的公式。
我们以等差数列a1,a2,…,an为例，公差为d，其中a1为首项。
那么这个等差数列的前n项和为:$S_{n} = \\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$这个公式的推导如下：首先，我们可以用等差数列的通项公式来表示每一项：$a_{k} = a_{1} + (k - 1) d$其中，k表示这个数列的第k项。
然后，我们可以把等差数列从第一项到第n项的和表示为：$S_{n} = (a_{1})+(a_{1} + d) + (a_{1} + 2d) + ... + (a_{1} + (n-1)d)$接着，我们可以倒过来将等差数列从第n项到第一项的和表示为：$S_{n} = (a_{n})+(a_{n} - d) + (a_{n} - 2d) + ... + (a_{n} - (n-1)d)$ 由于这两个等式相加后每一项的和都是2S_n，我们可以得到下面的式子：$2S_{n} = n(a_{1} + a_{n})$最后，我们可以将等号两边除以2得到最终的求和公式：$S_{n} = \\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$二、等比数列求和公式与等差数列不同，等比数列是指每一项与前一项之比相等的数列。
与之对应的求和公式是用来计算等比数列的总和的公式。
我们以等比数列a1,a2,…,an为例，公比为q，其中a1为首项。
那么这个等比数列的前n项和为:$S_{n} = \\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}$这个公式的推导如下：我们可以将等比数列中的每一项表示为：$a_{k} = a_{1} q^{k-1}$其中，k表示这个数列的第k项。
三角数阵 数列专题
Tm
?
(m2
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m?
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2
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m3
………………
由a ij=2007 知2007位于该三角形数表 从上往下数第 i行,从左往右数第 j个数.
∵前(i-1)行共有1+2+3+…+(i -1)= i?i ? 1?
2
若aij=2007,求i,j的值；
1
∵前(i-1)行共有1+2+3+…
35
+(i-1)= i?i ? 1?个数.
7 9 11
2
13 15 17 19
………………
前i行共有1+2+3+…+i=
? i?i ? 1??i?1i 20? 01?4个? 数i?i. ? 1?
2
2
又 ? i ? N ? ,? i ? 45,
若aij=2007,求i,j的值；
1
又? i ? N ? ,? i ? 45,
35
7 9 11 ∴前44行共有44 ? 45 ? 990个数
它的本质就是数列！
1.将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ………………
按照以上排列的规律,第n行(n≥3) 从左向右的第3个数为
1
23
第n行(n≥3)
456 7 8 9 10
第3个数为？
11 12 13 14 15
………………
前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个,即
设Sn是数列{an}的前项和, ∴Sn=n2.
a1 a2 a3 a4 a5 a6
高中数学必修五公式整理
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第一章 三角函数一．正弦定理：2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径） 变形：2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2a a R A A R b b R B B R c c R C C R ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩推论：::sin :sin :sin a b c A B C =二．余弦定理：三．三角形面积公式：111sin sin sin ,222ABC S bc A ac B ab C ∆===第二章 数列一．等差数列： 1.定义：a n+1-a n =d (常数)2.通项公式：()d n a a n ∙-+=11或()d m n a a m n ∙-+=3.求和公式:()()d n n n n a a a S n n 21211-+=+=4.重要性质(1)a a a a q p n m q p n m +=+⇒+=+(2) m,2m,32m m m S S S S S --仍成等差数列二．等比数列：1.定义：)0(1≠=+q q a a nn 2.通项公式：q a a n n 11-∙=或q a a mn m n -∙=3.求和公式: ）（1q ,1==na S n ）（1q 11)1(11≠--=--=qqa a q q a S n n n2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab+-=+-=+-=4.重要性质（1）a a a a q p n m q p n m =⇒+=+(2)()m,2m,32q 1m m m m S S S S S --≠-仍成等比数列或为奇数三．数列求和方法总结：1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。
中考数学公式大全归纳
中考数学公式大全归纳下面整理了一些中考数学的常用公式，希望能对你的学习有所帮助。
1.代数和式：- 一次项和：（a + b）^2 = a^2 + 2ab + b^2- 平方差：（a - b）^2 = a^2 - 2ab + b^2-平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)- 完全平方公式：(a + b)^ 2 = a^2 + 2ab + b^2，(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^22.三角函数：- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA，b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosB，c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC- 正弦函数定义：sinA = 对边/斜边- 余弦函数定义：cosA = 邻边/斜边- 正切函数定义：tanA = 对边/邻边3.相似三角形：-边长比相等-对应角相等4.数列：-等差数列通项公式：an = a1 + (n - 1)d-等差数列求和公式：Sn = (a1 + an)n/2-等比数列通项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中q为公比-等比数列求和公式：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)5.平面几何：-面积公式：矩形的面积=长*宽，三角形的面积=底边*高/2，梯形的面积=上底加下底的和*高/2，圆的面积=π*r^2-周长公式：正方形的周长=4*边长，矩形的周长=2*(长+宽)，圆的周长=2*π*r6.平面解析几何：-中点公式：x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2-距离公式：两点之间的距离d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)7.三角函数：- 余角公式：sin(90° - A) = cosA，cos(90° - A) = sinA- 和差化积公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB，cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB- 积化和差公式：sinA * sinB = (cos(A - B) - cos(A + B))/2，cosA * cosB = (cos(A - B) + cos(A + B))/28.指数与幂：- 指数运算公式：a^m * a^n = a^(m + n)，(a^m)^n = a^(mn)，(ab)^n = a^n * b^n-幂运算公式：a^(-m)=1/a^m，(1/a)^m=1/a^m以上是一些中考数学常用的公式，希望能对你的学习有所帮助。
高二数学必修五 第一章 解三角形
高二数学必修五 第一章解三角形一、本章知识结构：二、基础要点归纳1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B Cπ+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sincos 22A B C+= ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111sin sin sin 222ABCS ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=2222cos b a c ac B =+-222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-222cos 2a b c C ab+-=〔必修五〕第二章、数列一、本章知识结构：二、本章要点归纳：1、数列的定义及数列的通项公式：①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。
②.n a 的求法：i.归纳法。
ii.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。
iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。
iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式.2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d 〔常数〕,证明数列是等差数列的重要工具。
三角函数所有公式及学习等差数列求和公式的四个层次和对数特例
三角公式总表⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=21R 2α=3602R n ⋅π⒉正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）⒊余弦定理：a2=b2+c2-2bc Acos b2=a2+c2-2acB cosc 2=a 2+b2-2ab C cos bca cb A 2cos 222-+=⒋S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CB A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)⒌同角关系：⑴商的关系：①θtg =xy =θθcos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅===y x ctg ③θθθtg ry⋅==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅===tg x r ⑤θθθctg r x ⋅==sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅===ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a（其中辅助角与ϕ点（a,b ）在同一象限，且ab tg =ϕ）⒍函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω） 振幅A ，周期T =ωπ2, 频率f =T1, 相位ϕω+⋅x ，初相ϕ⒎五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,20 求出x 与y ， 依点()y x ,作图 ⒏诱导公试 三角函数值等于的同名三角α函数值，前面加上一个把看作锐角时α，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限三角函数值等于的异名三角α函数值，前面加上一个把看作锐角时α，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限⒐和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±⑤γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).1222222=++Ctg B tg C tg A tg B tgA tg⒑二倍角公式：(含万能公式) ①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +==②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=⒒三倍角公式：①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+︒-︒=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+︒-︒=+-=③)60()60(313323θθθθθθθ+⋅-⋅=--=tg tg tg tg tg tg tg ⒓半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sin θθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±=④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+⑦2sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg⒔积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin ⒕和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=- ③2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-⒖反三角函数： ⒗最简单的三角方程等差数列求和公式的四个层次等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2)1(2)(11-+=+=,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2)1(2)(2)(111-+=+=+=+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括这些量中,,,,,1n n S n a d a 已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.例 1 设等差数列的{}n a 公差为d,如果它的前n 项和2n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试题)(A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(22+-=-+-=n n n a n],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C).解法2 ,2)1(21n d n n na S n -=-+= 对照系数易知,2-=d 此时由知故选21)1(n n n na -=--,11-=a ,12+-=n a n (C). 例 2 设是等差数列n S {}n a 的前n 项和,已知与的等比331S 441S 中项为551S ,331S 与的等差中项441S 为1,求等差数列的{}n a 通项n a .(1997年全国高考文科)解 设的通项为前{}n a ,)1(1d n a a n -+=n 项和为.2)1(1d n n na S n -+= 由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅24131)51(4131432543S S S S S , 即⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++⨯+⨯+=⨯+⨯⨯+2)2344(41)2233(31)2455(251)2344(41)2233(31112111d a d a d a d a d a化简可得解得,2252053121⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d a d d a ⎩⎨⎧==101a d 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=45121a d 由此可知1=n a 或.512532)512)(1(4n n a n -=--+= 经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为或1=n a .512532n a n -= 2.逆向活用公式在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.例3 设,N n ∈求证:.2)3()1(32212)1(+<+++⋅+⋅<+n n n n n n (1985年全国高考文科)证明 ,3212)1(n n n ++++=+又,211⋅<,322⋅<,)1(,+<n n n.)1(32212)1(+++⋅+⋅<+∴n n n n 又),1(4322)3(+++++=+n n n且,221<⋅,332<⋅,443<⋅,1)1(,+<+n n n.2)3()1(3221+<+++⋅+⋅∴n n n n 例4 数列对于任意{}n a 自然数n 均满足2)(1na a S n n +=,求证: {}n a 是等差数列. (1994年全国高考文科)证明 欲证n n a a -+1为常数, 由2)(1n a a S n n +=及2)1)((111++=++n a a S n n 可得 11)1(+-+=n n a n a na 推出,)1(211+++=+n n na a a n作差可得因此,221+++=n n n na na na .112n n n n a a a a -=-+++由递推性可知: d d a a a a a a n n n n (12112=-==-=-+++ 为常数),所以命题得证.这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗?3.横向联系,巧用公式在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式表明是关d n n na S n 2)1(1-+=于n 的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列均在同),(n S n 一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.解 设bn an S n +=2,则可得⎪⎩⎪⎨⎧=++++⨯=⨯+⨯⨯⨯+⨯2)416(41)39(31)]55(51[)44(41)33(312222b a b a b a b a b a解得⎩⎨⎧==10b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=52656b a ,所以n S n=或,526562n n S n +-= 从而1=n a 或.512532n a n -=例5 设等差数列的{}n a 前项和为nS ,已知指出中哪,0,0,1213123<>=S S a 12321,,,,S S S S 一个值最大,并说明理由. (1992年全国高考试题)解由于表明点列d n n na S n 2)1(1-+=),(n S n 都在过原点的抛物线上,再由,0,01312<>S S易知此等差数列公差d<0,且图象如图所,01>a 示,易知其对称轴为)5.6,6(,00∈=x x x , 于是0,076<>a a ,故6S 最大.4.恰当变形妙用公式对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性.对于公式2)(1na a S n n +=,变形可得 2))((2)(2)(111m n a a m a a n a a S n m m m n m n -+++=+=++-,对于公式d n n na S n 2)1(1-+=,变形可得,211d n a n S n -+= 它表明对于任意N n ∈,点列都在同一),(n S n n 直线)2(2:1da x d y l -+=上. 例6 等差数列的前{}n a m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和Oy为( )(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(1996年全国高考试题)解法1 23)(313ma a S m m += 又由于100230212=⋅++=+m a a S mm m,140)(21=+∴+m m a a m ,=+∴)(31m a a m 140)(21=++m m a a m ,从而,210231403=⨯=m S 选(C). 解法2 由于点在同一),(m S m m )2,2(2m S m m )3,3(3m S m m 直线)2(21da x d y -+=上,因此mm m S m S m m m S m S mm m m --=--222323223,化简可得:210)(323=-=mm m S S S ,选(C).在上文我们曾给出97年高考试题两个解法, 这里我们再给出两个解法. 解法3 由于点列均在),(n S n n 同一直线上,说明数列成等⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 差数列,从而可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=⋅⋅=+ 243)5(434253432543453S S S S S S S S ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=== 5S 43543S S 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===458524543S S S 从而可求得或⎩⎨⎧==1154a a ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=52851654a a , 故等差数列通{}n a 项为1=n a 或.512532n a n -=解法4 由于点列均在),(nS n n同一直线上如图所示, 由知A 点坐标2413143=+S S 为(3.5,1). 若直线l 与x 轴无交点,即平行于x 轴,则d=0,,,1N n n S n ∈=,显然也满足条件2543)51(4131S S S =⋅,从而.,1,N n a n S n n ∈== 若直线l 与x 轴相交,设其交点为B (x,0),),3,3(31S P ),4,4(42SP ),5,5(53S P 由2543)51(4131S S S =⋅及2413143=+S S 知,033>S ,044>S 且.055<S 若不然,033>S ,044>S .055>S ,由单调性知不可能有2543)51(4131S S S =⋅,因此点B 应落在(4,0),(5,0)之间.由2543)51(4131S S S =⋅可得,45534553S S S S =即有,4553x x x x --=--解得313=x . 由A 、B 两点坐标可求所在直线方),(n S n n 程为,52656)313(56+-=--=n n n S n,526562n n S n +-=∴.512532n a n -=综上所述所求等差数列通项公式为1=n a 或.512532n a n -=从以上可以看出,对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面.对公式深刻而丰富的内涵忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用,提高公式的解题功效,才能达到灵活运用公式的较高境界.含参变量的对数高考高考试题解法综述含参变量的对数问题常常在高考试题中出现,本文对这一类问题的解法作以总结,以揭示这类问题的一般解题规律.1.直接转换直接转换:即把已知条件等价变形,而使问题获解,这里一定要注意等价变形.例1 已知1,0≠>a a ,试求使方程有)(log )(log 222a x ak x a a -=-解的k 的取值范围.(1989年全国高考试题)解:原方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-③a x ②ak x a x ak x 00① )(22222 由①可得a kk x 212+= ④显然④满足不等式③,将④代入②可得或即为所1-<k 10<<k 求. 例2 解不等式1)11(log >-xa .(1996年全国高考试题) 解(Ⅰ)当时原不等式1>a 等价不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->-axx 11011,11x a >-⇒从而.011<<-x a (Ⅱ)当时原不等式10<<a 等价于不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<<<-<>>-a x ②a xx x x 110 ② 1101① ①011得由或知由 .111ax -<<∴综上所述,当时原不等式1>a 解集为{}011|<<-x a x , 当时原不等式10<<a 解集为{}111|ax x -<< 2.消参策略根据题目特征,消去参数可大大减少不必要的讨论.例3 设10<<x 且1,0≠>a a ,试比较与的大)1(log x a -)1(log x a +小. (1982年全国高考试题)解:xx x x x -<+<∴<-<-<∴<<1110,11,110,102 于是1)1(log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log )1()1()1()1(=+>-=--=-=+-++++x xx x x x x x x x a a 因此)1(log x a ->)1(log x a + 3.引参策略恰当地设立参数,使问题得到简化,计算量减少,这是解题中常用技巧.例4 设对所有实数x ,不等式恒成立04)1(log 12log 2)1(4log 222222>+++++a a a a x a a x ,求a 的取值范围. (1987年全国高考试题)解:令aa t a21log +=,则原不等式可转化为022)3(2>+-+t tx x t . 要使原不等式恒成立,必须有φ⎪⎩⎪⎨⎧∈⇒>==+t t t t 020203或⎩⎨⎧>⇒<+-=∆>+00)3(84 032t t t t t 即,021log 2>+aa 解之.10<<a 适当地引入参数,另辟蹊径解题十分巧妙,请再看例1. 解:原方程等价于)(22a x a x ak x >-=-.,,022a x aa x x k a >--=∴≠设)2,0()0,2(,csc ππθθ -∈=a x ,则θθctg k -=sin 1当)0,2(πθ-∈时2sin cos 1θθθctg k =+=又.1),0,4(2-<∴-∈k πθ当)2,0(πθ∈时2sin cos 1θθθtg k =-=又.10),4,0(2<<∴∈k πθ 综上所述可知k 的范围为或1-<k .10<<k 4.分类讨论分类讨论是解决含参变量问题的重要手段之一,值得注意的是在分类讨论中要准确地确定分类标准逐级分类讨论.例5 已知自然数n ,实数a>1,解关于x 的不等式).(log 3)2(1log )2(log 12log )4(log 2132a x x n x x x a na n a a a n --->-+++-+- (1991年全国高考试题)解:原不等式等价于).(log 3)2(1log 3)2(12a x x a na n --->-- (1)n 为奇数时即)(log log 2a x x a a ->2141++<<a x a (2)n 为偶数时即)(log log 2a x x a a -<2141++>a x 例6 设0,1,0>≠>t a a ,比较与的大小t a log 2121log +t a ,并证明你的结论. (1988年全国高考试题)解:当t>0时,由均值不等式有t t ≥+21,当且仅当t=1时取“=”号,所以①t=1时t a log 21=21log +t a②1≠t 时 若,10<<a 则t a log 21>21log +t a若1>a 则t a log 21<21log +t a分类讨论应注意: ①对于多个参变量应分清主参变量与次参变量, ②按先主后次顺序分层次讨论,③必须确定讨论的全集及分类标准,各类必须互不相容,否则产生重复讨论各类子集的并集必须是全集,否则产生遗漏现象. 5.数形结合数和形是整个数学发展过程中的两大柱石,数形结合是数学中十分重要的思想方法,某些问题,不妨可借助于几何图形来考虑,因为几何图形直观、形象,易于求解,请再看例1. 解:原方程等价于)(log )(log 22a x ak x aa -=-,转化为考虑曲线)0(>-=y ak x y 与曲线)0(22>-=y a x y ,要使原方程有解,只须上半直线和上半双曲线有交点,由ak x y -=平行于双曲线一条渐近线x y =,如图,a ka <<0 或从而解得或a ak -<1)<<k 1-<k 时原方程有解. 对例5也可有如下解法.原不等式等价于).(log 3)2(1log 3)2(12a x x a na n --->--, 在同一坐标系中作y=x(y>0),)0(2>-=y a x y 的图象.由图象知a x >,由求得交点P x x =2横坐标为2141++=a x ,2141+-=a x (舍)当n 为奇数时,由03)2(1>--n知)(log log 2a x x a a ->因a>1由图象知2141++<<a x a . 当n 为偶数时,由03)2(1<--n知)(log log 2a x x a a -<因a>1,由图象知2141++>a x . 仿上方法同理可求解例2,这里从略.步骤:①把原不等式(方程)等价变形为)),()()(()(x g x f x g x f =>②作出)(x f y =与)(x g y =图象,③由)()(x g x f =求交点,④由图象及函数性质确定范围,从而求解.6.分离参数(主次转化)更换问题中的参变量和变量位置,常常得到新颖简洁的解法,请再看例4.解:将原不等式变形为,021l og )22(3222>++-+aa x x x ,01)1(2222>+-=+-x x x 1)1(321log 222+-->+∴x x a a , 又对于任意R x ∈,01)1(322≤+--x x ,因此必须且只须,021log 2>+a a 即,121>+aa 解之0<a<1. ∴所求a 的取值范围为0<a<1. 例7 设其中a 是实,)1(321lg)(n an n x f x x x x +-++++= 数,2,≥∈n N n ,如果当)1,(-∞∈x 时,)(x f 有意义,求a 的取值范围. (1990年全国高考试题)解:由题设知时不)1,(-∞∈x 等式0)1(321>+-++++a n n x x x x 恒成立,即])1()3()2()1[(xx x x nn nn n a -++++-> 恒成立. 令])1()3()2()1[()(xx x x nn n n n x -++++-= ϕ,)1,(-∞∈x 时为增函数.因此x=1时21)121()(max nn n n n x -=-+++-= ϕ. )(x a ϕ> 恒成立,21na ->∴. 仿上述解法可对例1再给出如下两个解法:解法1 以k 为主参数考虑由)1(22k a kx +=,知ax k k =+212,a x x f =)(在),(+∞ak 为增函数,故k a xx f >=)(即k kk >+212,解之1-<k 或.10<<k解法2 以a 为主参数,由知k 与x 同0122>+=k kxa 号,代入0>-ak x 知2212k x k x +>①当x>0时,则k>0,故1011222<<⇒<+k k k ②当x<0时,则k<0,故111222-<⇒>+k k k 综上可知)1,0()1,( --∞∈k .分离参数一般步骤为:①将含参数t 的关于x 的方程或不等式变形为g (t)与 )(x ϕ的等式或不等式,②根据方程或不等式的解(x)的范围确定函数的取值范围)(x ϕD,③由D 以及g(t)与的相等与不)(x ϕ等关系确定为g (t)的取值范围,从而求出参数t 的范围. 说明:这里①是前提,②是关键从以上数例可以看出,只要我们从多角度、多方位、多层次上去挖掘隐含条件,从而获得问题的最佳解决方法,不断提高自己的解题能力.。
三角数列知识点总结
三角函数知识点总结1. 角的概念的推广(1) 终边相同的角：所有与α角终边相同的角(连同α角在内)可以用式子k ⋅360︒+α，k ∈Z 来表示。
与α角终边相同的角的集合可记作：{β|β=k ⋅360︒+α，k ∈Z}或{β|β=2k π+α，k ∈Z}。
※ 角的集合表示形式不是唯一的；终边相同的角不一定相同，相同的角一定终边相同。
(2) 象限角：角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几(1) 1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
(2) 度数与弧度数的换算： ①180︒=π弧度；②1801π=︒弧度； ③1弧度=O⎪⎭⎫⎝⎛π180。
(3) 有关扇形的一些计算公式：①R =α； ②R S 21=；③221R S α=；④C =(α+2)R ；⑤)sin (212αα-=-=∆R S S S 扇形弓。
3. 同角三角函数的基本关系(1) 商数关系：αααtg =cos sin ；(2) 平方关系：sin 2α+cos 2α=1，4. 三角函数的诱导公式：“奇变偶不变(2π的奇数倍还是偶数倍)，符号看象限(原三角函数名)”。
5. 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (±=±； βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±； βαβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=± (变形：)1()(βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±)。
6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式：sin2α=2sin αc os α，c os2α=c os 2α-sin 2α=2c os 2α-1=1-2sin 2α，α-α=α2tg 1tg 22tg ；7. 倍角、半角公式的功能(1) 并项功能：1±sin2α=(sin α±c os α)2 (类比：1+c os2α=2c os 2α，1-c os2α=2sin 2α)； (2) 升次功能：c os2α=c os 2α-sin 2α=2c os 2α-1=1-2sin 2α；(3) 降次功能：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=。
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三角数列求和公式
三角数列是一种特殊的数列，它的每一项都是一个等边三角形的总个数。
首先，让我们来了解一下三角数列的性质。
三角数列的前几项是：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,...
我们可以观察到，每一项都是前一项加上当前项的序号。
换句话说，第n个三角数T(n)可以表示为T(n)=T(n-1)+n。
现在，我们的目标是找到三角数列的求和公式，也就是找到所有项的和。
假设我们要求前n项的和S(n)，那么我们可以将S(n)拆分为前n-1项的和S(n-1)加上第n项的值T(n)。
所以，S(n)=S(n-1)+T(n)。
根据上面的观察，T(n)=T(n-1)+n，所以我们可以进一步得到S(n)=S(n-1)+T(n-1)+n。
我们再次使用递归的思想，将S(n-1)拆分为前n-2项的和S(n-2)加上第n-1项的值T(n-1)。
继续应用这个递归关系，我们可以得到以下提示：
S(n)=S(n-1)+S(n-2)+...+S(2)+S(1)+T(n-1)+T(n-
2)+...+T(2)+T(1)+n
我们可以对S(1),S(2),...,S(n-1)进行合并，将其表示为S(n-1)。
同样地，我们可以对T(1),T(2),...,T(n-1)进行合并，将其表示为T(n-1)。
所以，S(n)=S(n-1)+S(n-1)+T(n-1)+n。
简化后的公式为：
S(n)=2S(n-1)+T(n-1)+n
现在，我们需要找到T(n-1)的值。
我们知道T(n-1)=T(n-2)+n-1、将
其代入上面的公式，我们可以得到：
S(n)=2S(n-1)+(T(n-2)+n-1)+n
继续简化：
S(n)=2S(n-1)+T(n-2)+2n-1
我们可以再次应用递归，将T(n-2)表示为T(n-3)+n-2，得到：
S(n)=2S(n-1)+(T(n-3)+n-2)+2n-1+n
继续简化，我们可以得到：
S(n)=2S(n-1)+T(n-3)+3n-3
我们可以一直进行这个过程，直到我们找到T(1)的值。
T(1)等于1，
所以我们可以得到S(2)的值为3
综上所述，我们可以得到三角数列的求和公式：
S(n)=2S(n-1)+T(n-1)+n
其中，T(n-1)可以表示为T(n-2)+n-1，T(n-2)可以表示为T(n-3)+n-2，一直递归下去，直到找到T(1)的值为止。
当n为1时，S(1)等于1请注意，以上是一个递归定义，并不是一个封闭的求和公式。
如果我
们想要计算具体一些数列中的项的和，我们需要使用递归算法来进行计算。