解三角形与数列Word版
2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十六)解三角形理+Word版含答案
专题强化训练(十六) 解三角形1．[2019·天津卷]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理bsin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．[2019·石家庄一模]已知△ABC 的面积为33，且内角A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．解：(1)∵△ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝60°.设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由△ABC 的面积S ＝33＝12ac sin B 可得ac ＝12. ∵sin C ＝3sin A ，由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6.在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝27，即AC 的长为27.(2)∵BD 是AC 边上的中线，∴BD →＝12(BC →＋BA →)， ∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos B )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，∴|BD →|≥3，即BD 长的最小值为3.3．[2019·合肥质检二]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝2c sinC ，△ABC 的面积S ＝abc .(1)求角C ；(2)求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可得2c ＝sin C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝2π3. (2)由(1)知2c ＝sin C ，同理可知2a ＝sin A ，2b ＝sin B .△ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝12(sin A ＋sin B ＋sin C )＝12[sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ]＋34 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋34＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋34. ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1， ∴△ABC 周长的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2＋34.4．[2019·武汉4月调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝104，B ＝2A ，b ＝15. (1)求a ；(2)已知M 在边BC 上，且CM MB ＝12，求△CMA 的面积． 解：(1)由0<A <π，cos A ＝104，知sin A ＝64， ∴sin B ＝sin2A ＝2sin A cos A ＝2×64×104＝154， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 可知， a ＝b sin A sin B＝ 6. (2)cos B ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1042－1＝14， sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝64×14＋104×154＝368， △ABC 的面积S △ABC ＝12ab ·sin C ＝12×6×15×368＝9158， 又CM MB ＝12，∴S △CMA ＝13S △ABC ＝13×9158＝3158. 5．[2019·济南模拟]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，B ＝2π3，c ＝ 3. (1)求角C ； (2)若点E 满足AE →＝2EC →，求BE 的长．解：(1)解法一：由题设及正弦定理得2sin B sin C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，又sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以2sin B sin C ＝sin B .由于sin B ＝32≠0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. 解法二：由题设及余弦定理可得2b sin C ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc， 化简得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. 解法三：由2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，结合b ＝a cos C ＋c cos A ，可得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. (2)解法一：由正弦定理易知b sin B ＝csin C ＝23，解得b ＝3. 又AE →＝2EC →，所以AE ＝23AC ＝23b ，即AE ＝2. 在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6， 所以A ＝π6， 所以在△ABE 中，A ＝π6，AB ＝3，AE ＝2， 由余弦定理得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos π6＝ 3＋4－2×3×2×32＝1， 所以BE ＝1.解法二：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6，所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 由余弦定理得b ＝(3)2＋(3)2－2×3×3×co s 23π＝3. 因为AE →＝2EC →，所以EC ＝13AC ＝1. 在△BCE 中，C ＝π6，BC ＝3，CE ＝1，由余弦定理得BE ＝BC 2＋EC 2－2BC ·EC cos π6＝3＋1－2×3×1×32＝1， 所以BE ＝1. 解法三：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6， 所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 因为AE →＝2EC →，所以BE →＝13BA →＋23BC →. 则|BE →|2＝19(BA →＋2BC →)2＝19(|BA →|2＋4BA →·BC →＋4|BC →|2)＝19(3－4×3×3×12＋4×3)＝1，所以BE ＝1.6．[2019·太原一模]如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE ＝62.(1)求B ；(2)求△ABC 的面积．解：(1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，∴由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得a 2＋c 2－ac ＝b 2， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.(2)如图，连接CE ，∵D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，∴AE ＝CE ，∴CE ＝AE ＝DEsin A ＝62sin A . 在△BCE 中，由正弦定理得CEsin B＝BC sin ∠BEC ＝BC sin2A ， ∴62sin A sin60°＝22sin A cos A ，∴cos A ＝22， ∵0°<A <180°，∴A ＝45°，∴∠ACB ＝75°，∴∠BCE ＝∠ACB －∠ACE ＝30°，∠BEC ＝90°，∴CE ＝AE ＝3，AB ＝AE ＋BE ＝3＋1，∴S △ABC ＝12AB ·CE ＝3＋32. 7．[2019·长沙一模]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a .解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2， 由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，∵sin C ≠0， 所以sin A ＝cos A 2， 所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，又cos A 2≠0， 所以sin A 2＝12， 故A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134. 8．[2019·福州质检]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32.(1)求△ABC 的外接圆直径；(2)求a ＋c 的取值范围．解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. 根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝b sin B ＝32sin π3＝1. (2)解法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3， 可得0<A <2π3. 由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6. 所以12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 从而32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3. 解法二：由(1)知，B ＝π3， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－3ac≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)， 因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即0<a ＋c ≤3， 又三角形两边之和大于第三边， 所以32<a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.。
知识梳理4 解三角形及数列
第十二章 解三角形及数列一.重点知识1.解三角形重点知识：1、正弦定理：外接圆的半径）是ABC (2sin sin sin ∆===R R CcB b A a 2、余弦定理：Cab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆2.数列重点知识1．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n2.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较3．知识梳理（数列求和的方法）1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比的数列；2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。
3.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
如：1）111111()n n n na a d a a++=-⋅；21d=。
常见裂项公式：（1）111(1)1n n n n++=-；（2）1111()()n n k k n n k++=-；4.错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a等差，{}n b等比，那么{}n na b叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和.二．课前自测1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1=a，1=b，︒=120C，则=c. 2．在ABC∆中，已知35513sin B,cos A==，则cosC＝.3.已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为________．4.在中，若，则最大角的余弦值等于_______________.5、已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项．6、数列{}n a适合：11a=，1na+22nnaa=+，写出前四项并写出其通项公式；7、在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，求a608、在等比数列{}n a中，若1232a a a=，23416a a a=, 则公比q=ABC∆6:2:1::=cba三．典例解析【例1】在∆ABC中，已知=ac 060=B ，求b 及A ；【变式训练1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=c ，6=b ，︒=120B 。
数列 解三角形
数列解三角形数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。
解三角形则是指根据已知条件推导出三角形中各边长和角度的过程。
本文将以数列和解三角形为主题，讨论它们的相关性和应用。
一、数列的定义与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字被称为数列的项，用a_n表示第n个项。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列有许多重要性质和特征，其中包括等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中相邻两项之差始终相等的数列，通常用a, a+d, a+2d, ...来表示，其中a为首项，d为公差。
等比数列是指数列中相邻两项的比值始终相等的数列，通常用a, ar, ar^2, ...来表示，其中a为首项，r为公比。
二、数列的应用领域数列在许多领域中都有重要的应用。
在数学中，数列是数学归纳法的研究对象，通过研究数列的性质和规律，可以推导出各种数学定理和公式。
在物理学中，数列可以用来描述许多自然现象的规律。
比如，等差数列可以用来描述自由落体运动的位移变化，等比数列可以用来描述指数增长或衰减的现象。
在计算机科学中，数列被广泛应用于算法设计和数据结构的研究中。
比如，斐波那契数列是一种经典的数列，它在递归和动态规划算法中有着重要的应用。
三、解三角形的方法和技巧解三角形是根据已知条件确定三角形的各边长和角度的过程。
常见的解三角形方法包括正弦定理、余弦定理和正切定理。
正弦定理是指在任意三角形中，三条边的比值等于相应的正弦比，即a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为相应的角度。
余弦定理是指在任意三角形中，三条边的平方和等于另外两边的平方和减去它们的二倍乘积和相应的余弦值的乘积，即a^2 = b^2 + c^2 -2bc*cosA，其中a、b、c分别为三角形的边长，A为对应的夹角。
正切定理是指在任意三角形中，两条边的比值等于相应的正切比，即tanA = b/c，其中A为夹角，b、c分别为相应边长。
数学必修解三角形数列不等式
一、解三角形一、知识点 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== （边角灵活转化） 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.（灵活变形） 3、大边对大角，小边对小角（灵活取舍单解、多解）4、内角和：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5、三角形五心内心：内切圆圆心，3内角平分线交点，内心到3边距离相等； 外心：外接圆圆心，3垂直平分线交点，外心到3顶点距离相等； 重心：3中线交点，每条中线被分成2:1，△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++； 垂心：3高交点，垂心及顶点四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心；旁心：1内角平分线与其他2角的外角平分线交点。
每个三角形都有3个旁心，旁心到三边等距。
【不做要求】 二、题型：（1）求未知边角：梳理已知条件，选择用什么定理；（2）判断三角形形状【思路一：等式化成角（正弦定理+内角和+诱导公式）；思路二：等式化成边（两定理联合）】 （3）求三角形面积：111222a b c S ah bh ch ===；111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；S 二、数列一、知识点： (一)、求通项公式n a 1、已知n s 求n a ：⎩⎨⎧∈≥-==-),2()1(*11N n n S S n S a n n n 注意验证n=1。
2、已知递推公式求n a （已知首项1a ）（1）c a a n n +=+1型【构造等差数列】 （2）c ka a n n +=+1型【构造等比数列*1-k c】 （3）)(1n f a a n n +=+型【累加法】 （4）)(1n f a a n n =+型【累乘法】 (二)、n a 、n S 的最大最小问题： [不等式法]n a 最大⎩⎨⎧≥≥⇔+-11n n n n a a a a ；n a 最小⎩⎨⎧≤≤⇔+-11n n n n a a a a ；n S 最大⎩⎨⎧≤≥⇔+001n n a a ；n S 最小⎩⎨⎧≥≤⇔+01n n a a ；[函数法]：数列是特殊的函数（特别注意定义域：*N n ∈）(三)、等差等比数列必备知识点：(四)、重点题型混合型【等差等比混合--分清主次】(五)数列求和【弄清共有多少项？整理完剩余什么项？】 1、公式法【借助常用结论、公式、构造等差等比】2)1(321+=++++n n n ；6)12)(1(3212222++=++++n n n n ；4)1(2)1(3212223333+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n n n 2、错位相减法【每项为等差等比项之积/2式同乘公比，再1式减2式】 3、裂项相消法【通项可拆成两项差】111)1(1+-=+n n n n ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k t k n n t 11)(； n n n n -+=++111三、不等式㈠ 一元二次不等式1、解法：二次项系数化正→∆>0，解对应方程两根，大时取两边小时取中间；0≤∆时结合对应函数图像写出解集；2、注意事项：(1)解集是集合，要用描述法或区间表示。
解三角形数列知识点总结
必修5第一章《解三角形》知识点归纳1. 高线定理：△ABC 中，a 边上的高B c C b h a sin sin ==2. 正弦定理：△ABC 中，A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，推论c b a C B A ::sin :sin :sin = 3. 余弦定理：△ABC 中，a 2=b 2+c 2－2bc cos A ，推论 cos A =bcac b 2222-+4. 三角形的面积公式：△ABC 的面积C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===5. 解三角形的四种基本类型：（1）已知三边（SSS 型）----用余弦定理推论求三角（2）已知两边和它们的夹角（SAS 型）----用余弦定理求第三边（3）已知两角和任一边（AAS 型）----用内角和定理求第三角，用正弦定理求另两边 （4）已知两边和其中一边的对角（SSA 型）----用正弦定理求另一边的对角 注1：SSS 型，SAS 型，AAS 型至多有一解. 注2：SSA 型解情况复杂：若正弦值小于1，则用大边对大角判定角范围，可能一解或两解；若正弦值大于1，则无解.若已知角为锐角，则可能一解或两解；若已知角为钝角，则至多一解.注3：SSA 型也可以用余弦定理求第三边，通过一元二次方程解的情况判断三角形解的情况！！！ 6. 应用举例：（1）求河两岸两点的水平距离（一点可达，另一点不可达）. （2）求河对岸两点的水平距离（两点均不可达）.（3）求底部不可达的建筑物的竖直高度（即两点的垂直距离）（注意取测量点的两种方法）. （4）求航行距离与航向（方向角或方位角）. 7. 常用方法：（1）边角混合式的处理方法！！！（2）韦达定理、降次公式、二倍角公式、和差角公式、辅助角公式的运用方法！！！ （3）平面向量的数量积定义与坐标运算公式、两个向量夹角公式的运用方法！！！8. 其他有关结论：在△ABC 中， 下列结论也应熟记：B A B A <⇔<sin sinπ=+=⇔=B A B A B A 22222sin 2sin 或sin(A+B)=sinCcos(A+B) -cosCtan(A+B) -tanC ==2cos 2sinC B A =+ 2sin 2cos CB A =+ 12tan 2tan =+C B A tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅【典型题目】（学案）必修5第二章《数列》知识点归纳1. 等差数列与等比数列知识点类比：2. 等差数列与等比数列有关公式的推导方法：等差数列通项公式推导方法----累差法，等比数列通项公式推导方法----累商法；等差数列前n项和公式推导方法----倒序相加法，等比数列前n项和公式推导方法----乘公比错位相减法.3. 等差数列与等比数列的函数特征：等差数列通项公式是关于n的一次函数，等比数列通项公式是关于n的指数型函数；等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为零；等比数列前n 项和公式形如)1(nqA -，其中1,0≠≠q A .4. 证明一个数列是等差数列或等比数列的方法！！！5. 求等差数列前n 项和S n 最值的方法------对称轴法与变号项法！！！6. 形如}{n nb a +的数列求前n 项和S n 的方法-----拆项重组法！！！（其中}{n a }{n b 为等差或等比数列）7. 形如}1{1+⋅n n a a 的数列求前n 项和S n 的方法-----裂项相消法！！！（其中}{n a 为等差数列）8. 形如}{n nb a ⋅的数列求前n 项和S n 的方法-----乘公比错位相减法！！！（其中}{n a 为等差，}{n b 等比）9. 由S n 求a n 的方法！！！10. 处理S n 与a n 混合式的方法！！！11. 求等差数列的绝对值数列的前n 项和S n 的方法. 12. 判断一个数列单调性的方法.13. 等差数列的单调性与什么量有关？有什么关系？！！！ 14. 等比数列的单调性与什么量有关？有什么关系？！！！ **15. 求两个等差数列的公共项的方法.**16. 求一个等差数列与一个等比数列的公共项的方法.【典型题目】（学案）。
2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章 三角函数、解三角形 3-6 Word版含答案
课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级 力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ， 即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于 ． 解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。
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高一数学期末复习专题解三角形3. 正、余玄定理的解题类型: (1) 两类正弦定理解三角形的问题： ① 已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 ② 已知两角和其中一边的对角，求其他边角 (2) 两类余弦定理解三角形的问题： ①已知三边求三角.②已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式.5. 解题中利用 ABC 中：ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如:sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,.A B C AB .CAB C sincos —,cos sin ,ta ncot .2 2 2 2 2 26、 三角公式： (1) 倍角公式： (2) 两角和、差公式：1正弦定理：a b c2Rsin AsinB sin Ca:b:c sin A:sin B:sin C .cos A2a b 2c 2bc cos A2.余弦定理： b22a c 2 2ac cos B 或 cos B2cb 2a 2ba cos Ccos Cb 22c 2a2bc2 22ac b2ac222ba c2ab数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质(1)定义：a n 1 and （ d 为常数），通项公式： a n ai n 1 d(2)等差中项： x , A y 成等差数列 2A x y (3) 前n 项和： S na 1 a n nnnn n 1d 122(4)性质： a n 是等差数列① 任意两项间的关系式； a n = a m + （n — m ）d （m 、n € N ） ② 若 m n p q ，贝U a m a . a p a q ;③ S n , S 2n S n , S 3n S 2n ……仍为等差数列，公差为n 'd ; ④ 若三个成等差数列，可设为a d , a, a d⑤ 若a n , b n 是等差数列，且前n 项和分别为S n , T n ，则空 乩b m T 2m 1⑥a n 为等差数列 S n an 2 bn （ a,b 为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）S n 的最值可求二次函数S n an 2 bn 的最值；或者求出a .中的正、负分界项,a o即：当a ,, d 0，解不等式组时o 可得§达到最大值时的n值.a o当a ,0, d 0,由“ 可得S n 达到最小值时的n 值.a n 1 0⑦项数为偶数2n 的等差数列a n 有n(a n a n 1)6, a . 1为中间两项)⑧ 项数为奇数2n 1的等差数列a n 有:S偶S奇nd ,a n 1S2n 1 (2n 1)a n(a n为中间项),a n ,32.等比数列的定义与性质(1) 定义：也a nq （ q 为常数，q 0),(2) (3) (4) 通项公式: 等比中项: 前n 项和: 性质： a n a nX 、S nG 、y 成等比数列na(q 1) a 11 q n 1 q(q 1)是等比数列 ①任意两项间的关系: —m - na m = a n . q②若 m n p q ，贝U a . a p- a qG 2 xy ,或 G 、、xy（要注意！）(m 、n € N ).③S n , S 2nS n , S sn S ?n ……仍为等比数列，公比为ql注意：由S n 求a n 时应注意什么?n 1 时，a 1 S i ； n 2 时，a nS n S n 13.求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法 如：数列a n , 1 12a 1 尹2 夬n 2n 5, 求 an解：n 1时, n 2时，為 2 1 / 1尹214 2n①-②得：寺a n2，…a n 14(n 1) 2n1( n 2)5& 1a n 1, 3注意到a n 1 Sn 1 S n ，代入得S n［练习］数列a n 满足S n a 1 n 2 时，a nS n S n 14，求 a n又S 4 , • S n 是等比数列，S n 4(2)叠乘法如：数列a n 中, 3,3a nn求a n n 1解: a2a1 a3a2 a n 1又a1 3, —a n(3)等差型递推公式由a n a n 1 f(n).a o，求a n，用迭加法a2 a i a3 a2 f(2)f⑶两边相加得an a i f (2) f (3) f (n)--a n a0f(2)f(3)……［练习］数列a n中，a11 (4)等比型递推公式a n ca n 1d( c、d为常数，可转化为等比数列 ,设a n x令(c 1)x d , x d5・■ i c 1d d n 1…a n a1cc 1 c 1(5)倒数法如：a11,an 12a n求a n 2由已知得：1a n 21a n 12a n2••• 1为等差数列，11 ,a n a1 a n a n…a n a n a n 1 f (n)f(n)a n 3n1a n 2，求a n a n(3n1),a n丄a n公差为1,a n是首项为a ia n—,c为公比的等比数列c 11a n(附：公式法、利用a n S(nS n S n1)1 (n2)、累加法、累乘法•构造等差或等比3换元法)4.求数列前n 项和的常用方法(1) 公式法 (2)裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项da 1a n 1(3)错位相减法由 S n qS n ，求 S n , 其中q 为b n 的公比.(4)分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列， 也不是等比数列的数列，若将这类 数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
解三角形,数列(PPT)5-5
1.3 实习作业
•基本要求:根据实际条件，利用本章知识
做一个有关测量的实习作业。
•发展要求:条件允许的情况下，可多做几
个实习作业以培养学生应用知识解决实际 问题的能力。。②检查：行李须经～，方可托运。 【查缴】动检查并收缴：～非法出版物。 【查截】动检查并截获：～多名偷渡人员。 【查禁】动检查 禁止：～｜～黄色书刊。 【查究】动调查追究：对事故责任人必须认真～，严肃处理。 【查勘】动调查探测：～矿产资源。 【查看】动检查、观察（事物 的情况）：～灾情｜亲自到现场～。 【查考】动调查研究，弄清事实：作者的生卒年月已无从～。 【查控】动侦查并控制；检查并控制：对嫌犯可能藏身的 场所进行严密～。 【查扣】动检查并扣留：～假货。 【查明】动调查清楚：～原因。 【查铺】∥动（干部）到集体宿舍检查睡眠情况。 【查哨】∥动检查 哨兵执行任务的情况。也说查岗。 【查实】动查证核实：案情已～。 【查收】动检查后收下（多用于书信）：寄去词典一部，请～。 【查私】ī动查验走私 物品；缉查走私分子。 【查问】动①调查询问：～电话号码。②检查盘问：～过往行人。 【查寻】动查找：邮局办理挂号邮件的～业务｜～失散多年的亲人。 【查巡】动巡查。 【查询】动查问?。 【查验】动检； https:// 森林舞会；查验看：～证件。 【查夜】∥动夜间巡查。 【查阅】动 （把书刊、文件等）找出来阅读有关的部分：～档案材料。 【查账】∥动检查账目：年终～。 【查找】动查；寻找：～资料｜～失主｜～原因。 【查照】动 旧时公文用语，叫对方注意文件内容，或按照文件内容（办事）：即希～｜希～办理。 【查证】动调查证明：～属实｜犯罪事实已～清楚。 【搽】动用粉末、 油类等涂（在脸上或手上等）：～粉｜～碘酒｜～护手霜。 【嵖】嵖岈（），山名，在河南。 【猹】名野兽，像獾，喜欢吃瓜（见于鲁迅小说《故乡》）。 【楂】（～儿）①名短而硬的头发或胡子（多指剪落的、剪而未尽的或刚长出来的）。②同“茬”。 【槎】〈书〉木筏：乘～｜浮～。 【槎】同“茬”。 【詧】〈书〉同“察”。 【碴口】名东西断或破的地方：电线断了，看～像是刀割的。 【碴儿】名①小碎块：冰～｜玻璃～。②器物上的破口：碰到碗～上， 拉（）破了手。③嫌隙；引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，现在好了。 【察】①仔细看；调查：观～｜考～｜～其言，观其行。②（）名姓。 【察察为明】形容专在细枝末节上显示精明。 【察访】动通过观察和访问进行调查：～民情｜暗中～。 【察觉】动发觉；看出来：我～他的举动有点儿异 样｜心事被人～。 【察看】动为了解情况而细看：～风向｜～动静。 【察言观色】观察言语脸色来揣摩对方的心意。 【察验】
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解三角形及其数列专练1．(2016·吉林)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，3sinA)，n＝(2cosA，－2cosA)，m·n＝－1.(1)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积；(2)求b－2cacos（π3＋C）的值．解析(1)因为m·n＝2cos2A－3sin2A＝cos2A－3sin2A＋1＝2cos(2A＋π3)＋1＝－1，所以cos(2A＋π3)＝－1.又π3<2A＋π3<2π＋π3，所以2A＋π3＝π，A＝π3.由12＝4＋b2－2×2×b×cosπ3，得b＝4(舍负值)．所以△ABC的面积为12×2×4×sinπ3＝2 3.(2)b－2cacos（π3＋C）＝sinB－2sinCsinAcos（π3＋C）＝sin（A＋C）－2sinC32cos（π3＋C）＝32cosC－32sinC32cos（π3＋C）＝3cos（π3＋C）32cos（π3＋C）＝2.2．(2016·福建)在△ABC中，B＝π3，点D在边AB上，BD＝1，且DA＝DC.(1)若△BCD的面积为3，求CD；(2)若AC＝3，求∠DCA.解析(1)因为S△BCD＝3，即12BC·BD· sinB＝3，又B＝π3，BD＝1，所以BC＝4.在△BDC中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB，即CD2＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得CD＝13.(2)在△ACD中，DA＝DC，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC＝3，由正弦定理，有AC sin2θ＝CD sin θ，所以CD ＝32cos θ.在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π3－2θ， 由正弦定理得，CD sinB ＝BD sin ∠BCD ，即32cos θsin π3＝1sin （2π3－2θ），化简得cos θ＝sin(2π3－2θ)，于是sin(π2－θ)＝sin(2π3－2θ)． 因为0<θ<π2，所以0<π2－θ<π2，－π3<2π3－2θ<2π3， 所以π2－θ＝2π3－2θ或π2－θ＋2π3－2θ＝π， 解得θ＝π6或θ＝π18，故∠DCA＝π6或∠DCA＝π18.3．(2017·河北)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，a ＝1. (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的周长的取值范围．解析 (1)由(a 2＋b 2－c 2)sinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，即2cosCsinA ＝sinC ＋2sin(A ＋C)，化简得sinC(1＋2cosA)＝0. 因为sinC ≠0，所以cosA ＝－12，又A∈(0，π)，所以A ＝2π3.(2)因为A ＝2π3，a ＝1，由正弦定理可得b ＝asinB sinA ＝233sinB ，c ＝233sinC ， 所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sinB ＋233sinC ＝1＋233[sinB ＋sin(π3－B)]＝1＋233(12sinB ＋32cosB)＝1＋233sin(B ＋π3)． 因为B∈(0，π3)，所以(B ＋π3)∈(π3，2π3)，则sin(B ＋π3)∈(32，1]， 则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sin(B ＋π3)∈(2，1＋233].4．已知函数f(x)＝(3sin ωx －cos ωx )·cos ωx ＋12(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4.(1)求y ＝f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足(2b －a)cosC ＝c·cosA ，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC 的形状．解析 (1)f(x)＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋12＝32sin2ωx －12(2cos 2ωx －1)＝32sin2ωx －12cos2ωx ＝sin(2ωx －π6)． 因为函数f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4， 所以T ＝π，所以2π2ω＝π，所以ω＝1. 所以f(x)＝sin(2x －π6)． 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k∈Z)，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k∈Z)．(2)因为(2b －a)cosC ＝c·cosA ，由正弦定理，得(2sinB －sinA)cosC ＝sinC ·cosA ， 即2sinBcosC ＝sinAcosC ＋sinCcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB ， 因为sinB ≠0，所以cosC ＝12，所以C ＝π3.所以0<B<2π3，0<2B<4π3，－π6<2B －π6<7π6. 根据正弦函数的图像，可以看出f(x)的最大值为f(B)＝1，此时2B －π6＝π2，即B ＝π3，所以A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．5．(2017·山西)已知f(x)＝cosx (λsinx －cosx)＋cos 2(π2－x)＋1(λ>0)的最大值为3. (1)求函数f(x)的对称轴；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA cosB ＝a2c －b ，若不等式f(B)<m 恒成立，求实数m 的取值范围．解析(1)f(x)＝cosx(λsinx－cosx)＋cos2(π2－x)＋1＝λsinxcosx－cos2x＋sin2x＋1＝12λsin2x－cos2x＋1.≤λ24＋1＋1，由题意知：λ24＋1＋1＝3，λ2＝12，∵λ>0，∴λ＝2 3.∴f(x)＝3sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－π6)＋1.令2x－π6＝π2＋kπ，解得x＝kπ2＋π3，(k∈Z)．∴函数f(x)的对称轴为x＝kπ2＋π3(k∈Z)．(2)∵cosAcosB＝a2c－b，由正弦定理，cosAcosB＝sinA2sinC－sinB可变形得，sin(A＋B)＝2cosAsinC，即sinC＝2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝12，又0<A<π，所以A＝π3.∴f(B)＝2sin(2B－π6)＋1，只需f(B)max<m，∵0<B<2π3，∴－π6<2B－π6<7π6，∴－12<sin(2B－π6)≤1，即0<f(B)≤3.∴m>3.数列小题专练一、选择题1．等差数列{an }的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝( )A．18 B．12 C．9 D．6 答案D解析由题意得S11＝11（a1＋a11）2＝11（2a1＋10d）2＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a 1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.2古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A．7 B．8 C．9 D．10 答案B解析 设该女子第一天织布x 尺，则x （1－25）1－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n－1)．由531(2n－1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8.3各项均为正数的等差数列{a n }中，a 4a 9＝36，则前12项和S 12的最小值为( ) A ．78 B ．48 C ．60 D ．72 答案 D解析 S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 4＋a 9)≥6×2a 4a 9＝72，当且仅当a 4＝a 9＝6时等号成立． 5已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n∈N *)，观察下列算式：a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg3lg2·lg4lg3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg3lg2·lg 4lg3·…·lg8lg7＝3，…；若a 1·a 2·a 3·…·a m＝2 016(m∈N *)．则m 的值为( )A ．22 016＋2B ．22 016C ．22 016－2D ．22 016－4 答案 C 解析 由于a 1·a 2·a 3·…·a m ＝lg3lg2·lg4lg3·lg5lg4·…·lg （m ＋2）lg （m ＋1）＝lg （m ＋2）lg2＝2 016，可得lg(m ＋2)＝2 016lg2＝lg22 016，可得m ＋2＝22 016，解得m ＝22 016－2.7．(2016·福建质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 通解：设等比数列{a n }的公比为q(q>1)，因为a 2a 4＝a 3，所以a 32＝a 3，又a n >0，所以a 3＝1，所以等比数列{a n }的前n 项积T n ＝a 1·a 2·a 3·a 4·…·a n ＝a 3q 2·a 3q·a 3·a 3q ·…·a 3q n －3＝qn （－2＋n －3）2＝qn （n －5）2，则使得T n >1的n 的最小值为6，故选C.优解：设等比数列{a n }的公比为q(q>1)，因为a 2a 4＝a 3，所以a 32＝a 3，又a n >0，所以a 3＝1，所以T 4＝a 1·a 2·a 3·a 4＝a 3q 2·a 3q ·a 3·a 3q ＝1q 2<1，排除A ；T 5＝1q 2·a 3q 2＝1，排除B ；T 6＝T 5·a 3q 3＝q 3>1，故选C.8．(2016·长沙调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，a 1＝12，且对任意正整数n ，都有a n ＋1＋S n S n ＋1＝0，则a 1＋a 20＝( ) A.209420 B.1921 C.2342 D.1342答案 A解析由条件可得an＋1＝－SnSn＋1，即Sn＋1－Sn＝－SnSn＋1，所以1Sn＋1－1Sn＝1，则数列{1Sn}是公差为1的等差数列，故1Sn＝1S1＋(n－1)×1＝2＋n－1＝n＋1，故S n ＝1n ＋1，则a 20＝S 20－S 19＝121－120＝－1420，故a 1＋a 20＝12－1420＝209420.9．(2016·郑州预测)正项等比数列{a n }中的a 1、a 4 031是函数f(x)＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 2 016＝( )A ．1B ．2 C. 2 D ．－1 答案 A解析 因为f ′(x)＝x 2－8x ＋6，且a 1、a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两根，所以a 1·a 4 031＝a 2 0162＝6，即a 2 016＝6，所以log6a 2 016＝1，故选A.10．(2015·洛阳调研)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列{a n2n }的前n项和为( ) A ．1－n ＋22n ＋1 B ．2－n ＋42n ＋1 C ．2－n ＋42n D ．2－n ＋22n ＋1答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，因为S 3＝6，S 5＝252，所以⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝6，5a 1＋10d ＝252，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，d ＝12，所以a n＝12n ＋1，a n2n＝n ＋22n ＋1，设数列{a n 2n}的前n 项和为T n，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12T n ＝34＋(123＋124＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2，所以T n ＝2－n ＋42n ＋1. 11．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 017的值等于( ) A ．－2 016 B ．－2 017 C ．－2 015 D ．－2 018 答案 B 解析 ∵S 1212－S 1010＝2，∴12（a 1＋a 12）212－10（a 1＋a 10）210＝2，故a 12－a 10＝4.∴2d ＝4，d ＝2，∴S 2 017＝2 017a 1＋2 017×2 0162×d ＝2 017×(－2 017)＋2 017×2 016＝－2 017.12．(2016·长沙四校)已知函数f(x ＋12)为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，即a n ＝g(n2 014)，则数列{an}的前2 013项和为( )A．2 014 B．2 013 C．2 012 D．2 011 答案B解析因为f(x＋12)为奇函数，所以函数y＝f(x)的图像关于点(12，0)对称，则函数y＝g(x)的图像关于点(12，1)对称，故函数g(x)满足g(x)＋g(1－x)＝2.设S＝g(12 014)＋g(22 014)＋…＋g(2 0132 014)，倒序后得S＝g(2 0132 014)＋g(2 0122 014)＋…＋g(12 014)，两式相加后得2S＝[g(12 014)＋g(2 0132 014)]＋[g(22 014)＋g(2 0122 014)]＋…＋[g(2 0132 014)＋g(12 014)]＝2 013×2，所以S＝2 013.二、填空题15．设数列{an }的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋3，则S4＝________．答案66解析依题an ＝2Sn－1＋3(n≥2)，与原式作差得，an＋1－an＝2an，n≥2，即an＋1＝3an，n≥2，可见，数列{an }从第二项起是公比为3的等比数列，a2＝5，所以S4＝1＋5×（1－33）1－3＝66.16．若等比数列{an }满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________．答案 2 2n＋1－2解析由等比数列的性质，得a3＋a5＝(a2＋a4)q，解得q＝a3＋a5a2＋a4＝2，又∵a2＋a4＝a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2. ∴Sn＝a1（1－q n）1－q＝2n＋1－2.17．设数列{an }的前n项和为Sn.已知a1＝1，2Snn＝an＋1－13n2－n－23，n∈N*.则a2＝_______，an＝________．答案 4 n2解析依题意，2S1＝a2－13－1－23，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.当n≥2时，2Sn ＝nan＋1－13n3－n2－23n，2Sn－1＝(n－1)an－13(n－1)3－(n－1)2－23(n－1)，n ＝nan＋1－(n－1)an－13(3n2－3n＋1)－(2n－1)－23，两式相减得2a整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n(n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1.又a 22－a 11＝1，故数列{a n n }是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列．所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n.所以a n ＝n 2.18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为_____． －49 解析 由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，得⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝0，15a 1＋105d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23.则S n ＝－3n ＋n （n －1）2·23＝13(n 2－10n)，所以nS n ＝13(n 3－10n 2)． 令f(x)＝13(x 3－10x 2)，则f ′(x)＝x 2－203x ＝x(x －203)，当x∈(1，203)时，f(x)递减；当x∈(203，＋∞)时，f(x)递增，又6<203<7，f(6)＝－48，f(7)＝－49，19．已知奇函数f(x)是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，满足f(x 8)＋f(x 9)＋f(x 10)＋f(x 11)＝0，则x 2 017＝________． 答案 4 015解析 因为f(x)是奇函数，在R 上是增函数，且数列{x n }是递增数列，所以由f(x 8)＋f(x 9)＋f(x 10)＋f(x 11)＝0可得x 8＋x 11＝x 9＋x 10＝0.由数列{a n }的公差为2，得x 1＝－17，所以x n ＝x 1＋(n －1)d ＝2n －19.所以x 2 017＝2×2 017－19＝4 015.20.已知{a n }是等差数列，设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |(n∈N *)．某同学设计了一个求T n 的部分算法流程图(如图)，图中空白处理框中是用n 的表达式对T n 赋值，则空白处理框中应填入：T n ＝________． 答案 n 2－9n ＋40解析 由流程图可知该等差数列的通项公式是a n ＝2n －10或a n ＝－2n ＋10.不妨令a n ＝2n －10，则当n≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝ －a 1－a 2－…－a 5＋a 6＋a 7＋…＋a n ＝20＋（n －5）（2＋2n －10）2＝n 2－9n ＋40.1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．答案 20解析 方法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d)＝20.方法二：∵{a n }为等差数列，∴3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 5＋a 6)＝ 2(a 3＋a 8)＝20.2．已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d(d≠1)，且a 1＝b 1， a 4＝b 4，a 10＝b 10，则a 1和d 的值分别为( )A.32，32 B ．－32，32 C ．－32，－32 D.32，－32 答案 D3．设数列{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 4a 1＝( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 答案 D解析 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4，即为(2a 1＋d)2＝a 1(4a 1＋6d)．又d≠0，故可化简为d ＝2a 1，所以a 4a 1＝a 1＋3×2a 1a 1＝7.4．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 答案 D 解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8.联立⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4.当⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7q 3＝－7；当⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，同理，有a 1＋a 10＝－7. 数列大题专练1．(2016·湖北)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－3S n (n∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解析 (1)当n≥2时，由a n ＝2－3S n①， 得a n －1＝2－3S n －1②，①－②即得4a n ＝a n －1，而当n ＝1时，a 1＝2－3a 1，故a 1＝12.因而数列{a n }是首项为12，公比为14的等比数列，其通项公式为a n ＝12·(14)n －1＝(12)2n －1(n∈N *)．(2)由(1)得b n ＝log 2a n ＝1－2n(n∈N *)． 数列{a n ＋b n }的前n 项和T n ＝a 1＋b 1＋a 2＋b 2＋…＋a n ＋b n ＝(a 1＋…＋a n )＋(b 1＋…＋b n ) ＝12[1－（14）n ]1－14＋（－1＋1－2n ）n 2＝23－n 2－23×(14)n ，(n∈N *)．2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{4a n （a n ＋2）}的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1.解析 (1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n≥2时，2S n －1＝na n －1， 两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11. 因为a 1＝2，所以a n ＝2n.(2)因为a n ＝2n ，令b n ＝4a n （a n ＋2），n ∈N *，所以b n ＝42n （2n ＋2）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1. 因为f(n)＝1n ＋1在n∈N *上是递减函数，所以1－1n ＋1在n∈N *上是递增的， 所以当n ＝1时，T n 取最小值12. 所以12≤T n <1.3．(2016·长沙调研)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n∈N *)，且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n∈N *恒成立，求实数λ的取值范围． 解析 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是首项为a 1＝1，公差为6的等差数列．所以a n ＝6n －5(n∈N *)． (2)因为b n ＝2n ，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2， 当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2(n∈N *)，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n ＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，所以当n ＝1，2时，2n ＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为(34，＋∞)．4．(2016·衡中一调)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列． (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．解析 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)， 即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)， 又因为q≠1，所以a 2＝a 3. 由a 3＝qa 1，得q ＝2. 当n ＝2k －1(k∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k(k∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1，n ∈N *. 设数列{b n }的前n 项和为S n ，则 S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n×12n ， 上述两式相减，得12S n ＝120＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理，得S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.5．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n .(1)证明：数列{a nn }是等比数列；(2)求通项公式a n 与前n 项的和S n ；(3)设b n ＝n(2－S n )，n ∈N *，若集合M ＝{n|b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．解析 (1)因为a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，当n∈N *时，a n n ≠0.又因为a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n∈N *)为常数，所以{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列，得a n n ＝12×(12)n －1＝(12)n . 所以a n ＝n×(12)n.由错位相减法得S n ＝2－(12)n －1－n(12)n.(3)因为b n ＝n(2－S n )(n∈N *)，所以b n ＝n(12)n －1＋n 2(12)n.因为b n ＋1－b n ＝(3－n 2)(12)n ＋1，所以b 2>b 1，b 2>b 3>b 4>….因为集合M ＝{n|b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，且b 1＝b 4＝32，b 2＝2，b 3＝158，b 5＝3532，所以3532<λ≤32.数列专练(二)·1．(2017·长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＋a 22＋…＋a nn ＝2n ＋1，(1)求{a n }的通项公式； (2)求{a n }的前n 项和．解析 (1)当n ＝1时，由题设知a 1＝4；当n≥2时，由题设a 1＋a 22＋…＋a n n ＝2n ＋1知a 1＋a 22＋…＋a n －1n －1＝2n ，两式相减得a nn＝2n ＋1－2n ， 即a n ＝n×2n (n≥2)， 故{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，n ×2n （n≥2，n ∈N *）. (2)设{a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×22＋2×22＋…＋n×2n ，2S＝1×23＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，n两式相减得S n ＝n×2n ＋1－(22＋23＋…＋2n )＝n×2n ＋1－4×(2n －1－1) ＝(n －1)×2n ＋1＋4.2．(2016·四川)已知等比数列{a n }的首项a 1＝13，前n 项和S n 满足S 1，2S 2，3S 3成等差数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2－(11＋a n ＋11－a n ＋1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <13. 解析 (1)因为S 1，2S 2，3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，当q ＝1时，不符合；当q≠1时，得4a 1（1－q 2）1－q ＝a 1＋3a 1（1－q 3）1－q ，故q ＝13或q ＝0(舍去)．综上可知，a n ＝(13)n .(2)由(1)知a n ＝(13)n ，所以b n ＝2－[11＋（13）n＋11－（13）n ＋1]＝2－11＋（13）n －11－（13）n ＋1＝1－11＋（13）n ＋1－11－（13）n ＋1＝(1－3n 3n ＋1)＋(1－3n ＋13n ＋1－1)＝13n ＋1－13n ＋1－1，由13n＋1<13n ，13n ＋1－1>13n ＋1得13n ＋1－13n ＋1－1<13n －13n ＋1，所以b n <13n －13n ＋1， 从而T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <(13－132)＋(132－133)＋…＋(13n －13n ＋1)＝13－13n ＋1<13，因此T n <13.3．(2016·湖南)已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝43，B ＝60°，且a 2＋c 2＝2b 2；等差数列{a n }中，a 1＝a ，公差d ＝b.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n ＋1项和P 2n ＋1.解析 (1)∵S＝12acsinB ＝43，∴ac ＝16，又a 2＋c 2＝2b 2，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，∴b 2＝ac ＝16，∴b ＝4，从而(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝64，a ＋c ＝8，∴a ＝c ＝4. 故可得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝4，∴a n ＝4n.∵T n －2b n ＋3＝0，∴当n ＝1时，b 1＝3，当n≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n≥2)， ∴数列{b n }为等比数列，∴b n ＝3·2n －1. (2)依题意，c n ＝⎩⎨⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数. P 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝[4＋4（2n ＋1）]·（n ＋1）2＋6（1－4n ）1－4＝22n ＋1＋4n 2＋8n ＋2.4．(2017·保定调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，其前n 项和为S n ，且当n≥2时，a n ＋1S n－1－a n S n ＝0.(1)求证：数列{S n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝9a n（a n ＋3）（a n ＋1＋3），记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解析 (1)当n≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝(S n ＋1－S n )S n －1－(S n －S n －1)S n ＝S n ＋1S n －1－S n 2＝0， ∴S n 2＝S n －1S n ＋1(n≥2)，又由S 1＝1≠0，S 2＝4≠0，可推知对一切正整数n 均有S n ≠0，则数列{S n }是等比数列，S n ＝4n －1. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3×4n －2，又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1，（n ＝1），3×4n －2，（n≥2）. (2)当n≥2时，b n ＝9a n （a n ＋3）（a n ＋1＋3）＝9×3×4n －2（3×4n －2＋3）（3×4n －1＋3）＝3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1），又b 1＝38， ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧38，（n ＝1），3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1），（n≥2），则T 1＝b 1＝38 当n≥2时，b n ＝3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1）＝14n －2＋1－14n －1＋1， 则T n ＝38＋(142－2＋1－142－1＋1)＋…＋(14n －2＋1－14n －1＋1)＝78－14n －1＋1.综上：T n ＝78－14n －1＋1.5．(2016·河南联考)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{cn}的单调性；(3)当n≥2时，T2n＋1－Tn<15－712loga(a－1)恒成立，求a的取值范围．解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.∴数列{bn }的通项公式为bn＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n＝1，1n，n≥2.(2)∵cn ＝T2n＋1－Tn，∴cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＋1.∴cn＋1－cn＝12n＋2＋12n＋3－1n＋1＝12n＋3－12n＋2＝－1（2n＋3）（2n＋2）<0.∴数列{cn}是递减数列．(3)由(2)知，当n≥2时，c2＝13＋14＋15为最大，∴13＋14＋15<15－712loga(a－1)恒成立，即loga(a－1)<－1.由真数a－1>0，得a>1，∴a－1<1a. 整理为a2－a－1<0，解得1<a<5＋12.∴a的取值范围是(1，5＋12)．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。