解三角形与数列知识整理(超好)

高二数学解三角形与数列知识整理
1. 三角基本关系式：
22sin cos 1αα+=，sin tan cos α
αα
=
． 2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+；
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-．
3. 重要的诱导公式：
()sin sin ααπ-=，()cos cos ααπ-=-，()tan tan ααπ-=-．
三角形中常考点：
sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；
tan()tan A B C +=-，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅．
4. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=； ⑵2
222
cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，
变形：2
1cos 2cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=； ⑶222
sin 22sin cos 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan αααα
ααααα
=
==--． 5. 一个综合性很强的例子：
2
2
222
cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )
1sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )cos sin 1tan 1tan tan()sin cos tan 11tan 4
ααααααααααααααααααααααα--+==
++++---π====-+++
6. 辅助角公式（一角一函数）：
()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b
a
ϕ=
． 常见辅助角公式：
sin cos x x x π⎛
⎫±=± ⎪4⎝⎭，
2sin x x x π⎛
⎫±=± ⎪4⎝
⎭，
cos 2sin x x x π⎛⎫±=± ⎪6⎝⎭，
sin 2sin x x x π⎛
⎫=± ⎪3⎝
⎭，
3sin 2x x x π⎛⎫=± ⎪6⎝⎭，
3cos 2x x x π⎛⎫±=± ⎪3⎝
⎭， 7. 根据“函数()()sin 00y x ωϕω=A +A >>，”的定义域，利用其单调性求其最值． 8. 设A 、B 两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，有：
⑴()1212,x x y y AB =--；⑵||(x AB =（两点距离公式）．
9. 设()11a x y =，，()22b x y =，，有： ⑴模长：21a x =
+22b x =+
⑵坐标运算：()1212a b x x y y +=++，，()1212a b x x y y -=--，，1212a b x x y y ⋅=+； ⑶平行与垂直：若a ∥b ，则12210x y x y -=；若a b ⊥，则12120a b x x y y ⋅=+=； ⑷数量积：cos a b a b θ⋅=， 12
1
cos x x a b a b
x θ⋅==
+．
10. 正弦定理：
在C ∆AB 中，有
2sin sin sin a b c
R C
===A B ，其中，R 为C ∆AB 的外接圆的半径． 正弦定理的变形公式：
①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c
C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===A +B +A B ．
11. 射影定理：（要求会用两角和的正弦公式及正弦定理证明）
cos cos cos cos cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+，，
12. 三角形面积初级公式：
111
222C a b c S ah bh ch ∆AB ===，
（Rt △ABC 斜边上的高22c ab ab h c a b
==+） 111
sin sin sin 222C S ab C ac bc ∆AB =
=B =A ； 三角形面积中级公式：
1
()42
C abc S a b c r R ∆AB =
=++内外； ()()()C S p p a p b p c ∆AB =---，其中1
()2
p a b c =++；
三角形面积高级公式：
若1122()()CB a x y CA b x y ====，，，，则
221221111
||||sin ()(||||)||222
C S a b C a b a b x y x y ∆AB =
=-=-． 13. 余弦定理：（要求会用向量法证明）
在C ∆AB 中，有2
2
2
2cos a b c bc =+-A ，2
2
2
2cos b a c ac =+-B ，
2222cos c a b ab C =+-．
余弦定理的变形及应用：
①222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac
+-B =，222
cos 2a b c C ab +-=；
（求余弦值的方法还有：数量积的变形公式12122
2221
1
22cos x x y y a b a b
x y
x y
θ+⋅=
=
++）
②若222a b c +=，则90C =；若222a b c +>，则90C <；若2
2
2
a b c +<，则90C >． 14. 一个重要结论：（要求会用余弦定理或向量法证明） 平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和，即
222222222()AC BD AB BC CD DA AB BC +=+++=+．
所以2
2
2
2
(2)2()AC BO AB BC +=+，所以△ABC 的中线2221
2().2
BO AB BC AC =
+-
15. 等差数列与等比数列：
A =
2
b
a +；16. 求通项公式的方法：
（1）公式法：等差1(1)n a a n d =+-，等比1
1n n a a q -=；
（2）累加法：1()n n a a f n +-=，且
()f n ∑可求；
（常见的()f n 有11
21ln(1)33(1)n n n n n n ++++，
，等）
（3）累乘法：
1()n n a f n a +=，且()f n ∏可求；（常见的()f n 有31
n n
n +，等） （4）由n S 求n a ：1
!1
n n n S n a S S n +=⎧
=⎨
-⎩≥，，
2，注意验证1n =的情形；
（常见的n S 有2
2
22331n
n n n n --+-，
，等） （5）构造法：
①1(10)n n a pa q p pq +=+≠≠，
，构造公比为p 的等比数列{}n a t +； ②1()n n a pa f n +=+（其中()f n 为指数型函数），两边同时除以（底数）n+1； ③构造1{}n n a a λ+-为等差或等比数列，然后转到①②； ④取倒数：常见的有111111222211
n n
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a na a a a ++++++=
=-=-=++，，，等．
17. 求前n 项和的方法：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、通项转换法、分组求和法．
（常见题型见学案）。