成都名校高中自主择选招生考试数学试卷
2021年成都七中外地生自主招生考试数学试题和详细解析
成都七中外地生自主招生考试数学试题及解析一、选取题（6×10=60分）1. 已知等腰△ABC面积为1，∠A=120，则△ABC内切圆面积为（）A.√318π B.√354π C.√39π D.√327π解：过A作底边垂线，垂足为D，连接圆心O与AB边切点E，连接BO设圆半径为rRt△ABD中，∠B=30°，S△ABD=(1/2)AD.BD=(1/2)AD.√3A D=1/2，∴AD2=1/√3在Rt△AEO中，∠EAO=60°，∴sin60°=EO/AO=√3/2，即r/(AD-r)=√3/2，∴r=√3AD/(2+√3)∴S○O=πr2=√3π7+4√3=(7−4√3)√3π49−16×3=(7√3−12)π此题四个选项都不对的。
2. 如图所示，两条对角线长为4和2菱形绕中心旋转90°，可围成一种四角形（各边用实线标注），则该四角形周长是____。
解：作如图所示辅助线（红色）∵对角线长为2倍关系，∴E、F分别为AD、BD中点，∴EF为△ABD中位线，∴EF=AB/2，△EFC∽△BAC,∴FC=AC/2 在Rt△ADF中，(AC+CF)2=AD2+DF2，即(AC+AC/2)2=22+12解得AC=2√53，∴周长=8AC=16√533.已知x=√3+1，x4+4x2+2x+2=解：∵x=√3+1∴x2=2x+2∴x 2+2x +2=2x 2 x 4+4=x 22+4=(2x +2)2+4=4(x 2+2x +2)=4(x 2+x 2)=8x 2∴原式=8x 22x 2=44、某三棱锥三视图如右图所示，则该三棱锥最长棱长为此题看不清原图，加之本人也未能完全参透，故未做。
5. 设x,y 为实数，则代数式2x 2+4xy+5y 2-4x+2y-5最小值是____解：原式=2x 2+4xy+5y 2-4x+2y-5=x 2+4xy+4y 2+x 2-4x+y 2+2y-5=(x+2y)2+ x 2-4x+4+y 2+2y+1-5-4-1=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2-10，正好有解x=2,y=-1使得前三项都获得最小值0,故最小值为-106、已知x ≤y ≤z ≤w ≤6 ，则方程x+y+z+w=18正整数解个数为A.5B. 6C.7D.8分析：设那4个数都相等，则它们=4.5，∵w 最大，∴w ≥4.5，∴w 值只能是5或6。
成都重点高中自主招生数学模拟试题(含答案)
重点中学自主招生数学模拟试题一一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）2 21、如果关于x的万程x ax a 3 0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A、2 a 2B、73 a 2 C> 33 a 2 D、V3 a 22、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，BD、DF分别交CE于点G、H ,若正方形ABCD的面积是240 ,则四边形BFHG的面积等于A、26B、28C、24D、303、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：Vx3（y x）3 Vx3（z x）3 6, y x Vx z ,则代数式x3 y3 z3 3xyz 的值是................. （）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的。
BC 10,cos BCD 3, BCE 30 ,则线段5是............. （）A、V89B、7 <3C、4+3 V3D、3+45、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是A 、296B 、221C 、225D 、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知：实常数 a 、b 、c 、d 同时满足下列两个等式：⑴ asin bcos c 0；⑵acos bsin d 0 （其中 为任意锐角），则a 、b 、c 、d 之间的关系式是：8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210, 一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及9、已知：x有理系数三次多项式来表示为：2 =3 2 2 210、设p 、q 、r 为素数，则方程 p p q r 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组（p , q , r ）三、解答题（共6题，共90分）11、（本题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学.后来三个人应母校邀请给全校学 生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的7、函数yx 1 2x 2 3x 4x 4的最小值是 ________________________边界没有被单位圆滚过的部分的面积a, b, c,L L , z26个字母（不论大小写）依次用1,2,3,L ,26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：[x] 1（其中x是不超过26的正奇数）y 21 ；已知对于任意的实数x,记号[x]表示不超过x的最大[1] 13（其中x是不超过261 勺正偶数）.................. 8 1 ........ 11 、整数；将英文字母转化成密码，如8 [——]13 17,即h变成q，再如11 [―] 1 6,即k变成f。
2023年四川省成都市树德中学自主招生数学模拟试卷
2023年四川省成都市树德中学自主招生数学模拟试卷一、单选题1．下列判断正确的是（）A．＜0.5B．若ab＝0，则a＝b＝0C．＝D．与是同类二次根式2．下列四个运算中，只有一个是正确的．这个正确运算的序号是（）①30+3﹣1＝﹣3；②﹣＝；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4．A．①B．②C．③D．④3．如图1，将一个边长为m的正方形纸片剪去两个小长方形得到一个如图2所示的图形，再将剪下的两个小长方形拼成如图3所示的一个新的长方形，则图3中的长方形的周长为（）A．2m﹣3n B．4m﹣8n C．2m﹣4n D．4m﹣10n4．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH＝BM，连接AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD＝120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD＝AM2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如图，圆环中大圆的半径为r，小圆的半径为，AB为大圆的直径，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．如图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线l：x＝t（0≤t≤2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为s，则s关于t的大致图象是（）A．B．C．D．7．在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，放回搅匀后，再摸出一个球．两次都摸到红球的概率是（）A．B．C．D．8．如图，⊙O，⊙O1都经过A、B两点，且点O在⊙O1上，连接AO并延长，交⊙O于点C，连接BC交⊙O1于点D，连接AD，AD⊥BO，若AB＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π9．小强用一根长为16cm的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．8cm210．在，0，﹣1，﹣这四个数中，最小的数是（）A．﹣1B．0C．﹣D．二、填空题11．若4x2+mx+n＝（ax+2）2，则m＝，a＝，n＝．12．若a+＝，则a﹣的值为．13．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．14．若|a﹣2|++（c﹣4）2＝0，则a﹣b﹣c＝．15．如图，一块含30°角的直角三角板ABC，BC＝1，应该是将其绕点A顺时针旋转得到AB'C'，当B，A，C'在一条直线上时，顶点C所走的路径长为．16．如图，在▱ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF＝CG，∠E＝30°，∠C＝50°，则∠BFD＝．三、解答题17．解方程3（x﹣1）＝（x﹣1）2．18．如图，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点．（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是；（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE 和EF这三条线段之间的数量关系是；（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：CP＝AM；（4）如图4，已知BC＝4，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C 作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＞0）交于A（1，0），B两点，与y轴交于C（0，3），对称轴为直线x＝2．（1）请直接写出该抛物线的解析式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，在对称轴右侧的抛物线上有一点G，若＝，且S△BAG ＝6，求点G的坐标；（3）若在直线y＝上有且只有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．20．如图，已知同一平面内四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题：（1）画直线AB，射线BD，连接AC；（2）在线段AC上求作点P，使得CP＝AC﹣AB；（保留作图痕迹）（3）过点P作直线l，使得l∥AB；（保留作图痕迹）（4）请在直线l上确定一点Q，使点Q到点C与点D的距离之和最短，并写出画图的依据．21．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝．反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．22．如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标；（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△POD沿PQ所在的直线翻折得到△POD′，连接AD′，求AD′长度的取值范围．。
【冲刺实验班】四川成都市第二十中学校中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析
第6题图ABCDE第7题图图②图①120°1234120°第10题图图1图22中学自主招生数学试卷一、选择题(3分×10=30分) 1. 下列各数中,是5的相反数的是( )A ． -5B ． 5C ．0.5D ． 0.22.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY ,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY 放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km .那么这个数的原数是( ) A .143 344 937 km B . 1 433 449 370 km C . 14 334 493 700 km D . 1.43344937 km4.下列计算正确的是( )A ．2a -3a =-1B ．(a 2b 3)3=a 5b 6C ．a 2 ·a 3=a 6D ．a 2+3a 2=4a 2 5. 已知关于x 的分式方程mx +1x=2有解,则m 的取值范围是（ ） A .m ≤1且m ≠0 B . m ≤1 C . m ≥-1 D . m ≥-1 且m ≠0 6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 如图所示,在Rt △ABC 中∠A =25°,∠ACB =90°,以点C 为圆心,BC 为半径的圆交AB 于一点D ,交AC 于点E ,则∠DCE 的度数为（ ） A . 30° B . 25° C . 40° D . 50°8. 不等式组101103x x +>⎧⎪⎨->⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示 数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对 应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）A ．12B ．29C ． 79D ．3410. 如图1所示,小明(点P )在操场上跑步,B CD E 123第12题图A E B C D第14题图A EFM A 'B C D 第15题图A 弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点) 出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x , 小明到右侧半圆形弯道的圆心O 的距离PO 为y ,可绘制出如图2所示函数图象,那么a -b 的值应为( ) A ．4 B ．52π-1 C ．D ．π二、填空题(3分×5=15分)11. (-3)0= .12. 如图所示,直线ABCD 被BC 所截,若AB ∥CD ,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .13.二次函数y =x 2-2mx +1在x ≤1时y 随x 增大而减小,则m 的取值范围是 .14. 如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD =2,AB =4,∠A =30°,以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E . 连接CE ,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)15.如图所示,正方形ABCD 中,AB =8,BE =DF =1,M 是射线AD 上的动点,点A 关于直线EM 的对称点为A ，，当△A ，FC 为以FC 为直角边的直角三角形时,对应的MA 的长为 .三、解答题(本大题共8小题，满分75分)16. (8分)先化简22442x x x x -+-÷(x -4x),然后从xx的值代入求值.17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： ⑴陈老师一共调查了多少名同学？ ⑵将条形统计图补充完整；⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A 类学生中随机选取一位同学，再从D 类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．D18.(9分)如图所示,⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆,AB =AC ,延长BC 至点D ,使CD =AC ,连接AD 交⊙O 于点E ,连接BE 、CE ,BE 交AC 于点F .⑴求证：CE =AE ⑵填空： ①当∠ABC = 时,四边形AOCE 是菱形；②若AE,AB =则DE 的长为 .19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长 为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与 底座构成的∠BAD =60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C 到桌面的 高度CE 的长？（结果精确到0.1cm 1.732）20.(9分)如图所示,直线y =ax +1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,与双曲线y =kx(x >0)相交于点P ,PC ⊥x 轴于点C ,且PC =2,点A 的坐标为(-2,0). ⑴求双曲线的解析式；⑵若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点,且QH ⊥x 轴 于H ,当以点Q 、C 、H 为顶点的三角与△AOB 相似 时,求点Q 的坐标.21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其G F E B C DA 图1图2图3AD CBE F G GF E B CD A中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同. ⑴求m 的值⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a (50<a <70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.22.(10分)等腰直角三角形ABC 中,AC =BC E 为AC 中点,以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED .(1)观察猜想: 如图1所示,过D 作DF ⊥AE 于F ,交AB 于G ,线段CD 与BG 的关系为 ；(2)探究证明:如图2所示，将△CDE 绕点C 顺时针旋转到如图所示位置，过D 作DF ⊥AE 于F ，过B 作DE 的平行线与直线FD 交于点G ,(1)中结论是否成立?请说明理由； (3)拓展延伸: 如图3所示,当E 、D 、G 共线时,直接写出DG 的长度.23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)， D (8,8).抛物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式；(2动点P 从点A 出发,沿线段AB 向终点B 运动,同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t 秒.①如图1所示,过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ,过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ,点G 关于抛物线对称轴的对称点为H ,求当t 为何值时,△HAC 的面积为16；②如图2所示,连接EQ ,过Q 作QM ⊥AC 于M ,在点P 、Q 运动的过程中，是否存在某个t ,使得∠QEM =2∠QCE ,若存在请直接写出相应的t参考答案一、选择题(3分×10=30分) 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D二、填空题(3分×5=15分)11.-2 12.80° 13.m ≥1 14.3-3π 15. 三、解答题(本大题共8小题，满分75分)16.解：224442x x x x x x-+÷--（）= ()22(24)2x x x x x --÷-= ()()222x x x x x -⨯+-= 12x + 当x =1时，原式=1132x =+ （名），又AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠CED =∠ACB ，又∠AEB 和∠ACB 都为AB 所对的圆周角，∴∠AEB =∠ACB ，∴∠CED =∠AEB ，∵AB =AC ，CD =AC ，∴AB =CD ，在△ABE 和△CDE 中，BAEDCE AEB CED ABCD∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE ≌△CDE （AAS ） (2)①60当△QCH ∽△BA中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分） 1．﹣2019的相反数是（ ） A ．2019B ．﹣2019C ．D ．﹣2．如图所示的几何体的左视图是（ ）A．B．C．D．3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（x2）3＝x5D．5x2•x3＝5x56．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（）A．15cm2B．12cm2C．15πcm2D．12πcm27．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）A．B．C．D．8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20219．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG ＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（）A．2 B．C．﹣1 D． +110．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（）A．B．6C．8D．﹣4二、填空题（每小题5分，共30分）11．因式分解：a2+2ab＝．12．不等式的解集是．13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为度．14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为．15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF 垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝．三、解答题17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC ＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．（1）求证：△BOF≌△COE．（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD＝AE．（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．（1）求抛物线的表达式；（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．②AE最小值为．23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克元．（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为（日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．（1）求AD的长；（2）求证：△BEF∽△BDP；（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为．参考答案一、选择题1．解：因为a的相反数是﹣a，所以﹣2019的相反数是2019．故选：A．2．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，故选：B．3．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．故选：C．4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．5．解：A、x3和x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；B、结果是x2﹣6x+9，故本选项不符合题意；C、结果是x6，故本选项不符合题意；D、结果是5x5，故本选项，符合题意；故选：D．6．解：圆锥的母线长＝＝5，所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．故选：C．7．解：设原计划x天完成，根据题意得：﹣＝5．故选：B．8．解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，∴m2﹣2019m+1＝0，∴m2＝2019m﹣1，∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2＝m++1＝+1＝+1＝2019+1＝2020．故选：C．9．解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠EAD＝∠EBF＝90°，∵AB＝1，∠BEF＝30°，∴BE＝BF，∴x+1＝x，解得：x＝，∴AE＝BF＝CG＝DH＝，∴AH＝AD+DH＝2+＝，∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1，故选：C．10．解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，连接EF，DE、CF，设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，∴△DE F的面积是וx＝k，同理可知：△CEF的面积是k，∴△CEF的面积等于△DEF的面积，∴边EF上的高相等，∴CD∥EF，∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD＝EF，同理EF＝AC，∴AC＝BD，∵CD＝5AB，∴AD＝3AB，由一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，∴A（﹣1，0），B（0，），∴OA＝1，OB＝，∵OB∥DF，∴＝＝＝，∴DF＝3，AF＝3，∴OF＝3﹣1＝2，∴D（2，3），∵点D在反比例函数图象上，∴k＝2×＝6，故选：B．二、填空题11．解：原式＝a（a+2b），故答案为：a（a+2b）12．解：，由①得：x≤，由②得：x＞0，∴不等式组的解集为：0＜x≤．故答案为：0＜x≤．13．解：∵AB∥CD，∴∠C+∠AEC＝180°，∵∠C＝110°，∴∠AEC＝70°，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝35°，∵EF⊥EG，∴∠FEG＝90°，∴∠BEG＝90°﹣35°＝55°，故答案为：5514．解：∵y＝+b交y轴正半轴于点B，∴B（0，b），∵在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，∴B（0，b），当x＝﹣时，y＝2b，∴C（﹣，2b），∴△OAC的面积＝×2b＝，∴b＝，故答案为．15．解：作AC⊥x轴于C，交CB于D，作AE⊥CB于E，连结AB，如图，∵⊙A的圆心坐标为（，a），∴OC＝，AC＝a，把x＝代入y＝2x﹣2得y＝2﹣2，∴D点坐标为（，2﹣2），∴CD＝2﹣2，∵AE⊥CB，∴CE＝BE＝BC＝1，在Rt△ACE中，AC＝，∴AE＝＝＝2，∵y＝2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，∴G（0，﹣2），F（1，0），∴OG＝2，OF＝1，∵AC∥y轴，∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，∴tan∠ADE＝＝tan∠OGF＝＝，∴DE＝2AE＝4，∴AD＝＝＝2，∴a＝AC＝AD+CD＝2+2﹣2＝4﹣2，故答案为：4﹣2．16．解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：则四边形EMCH是矩形，∴EM＝CH，CM＝EH，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，同理：△ADE≌△CDE，∴△ADE的面积＝△CDE的面积，∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠ABC+∠AEF＝180°，∴A、B、F、E四点共圆，∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，∴EF＝EC，∵EM⊥BC，∴FM＝CM＝EH＝DH，设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，∴，解得：x＝，∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，∴AF＝＝，∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；故答案为：．三、解答题17．解：（1）原式＝+2+1﹣﹣＝2﹣2；（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+3x＝11x+16，当x＝时，原式＝11×+16＝25．18．（1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，AC＝DF，∠F＝∠C，∴BF＝CE，在△BOF与△EOC中，，∴△BOF≌△COE（AAS）；（2）解：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠F＝30°，AE＝1，∴∠C＝∠F＝30°，∴AC＝2AE＝2，∴CE＝1，∵∠CEO＝∠DEO＝90°，∴OC＝＝．19．解：（1）若从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率为；（2）树状图如下所示：∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．20．解：（1）如图点D即为所求．（2）如图点O即为所求．21．（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵CE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠ADB，∵在△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BCA＝∠ACE，在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC（AAS），∴AD＝AE；（2）解：连接BF，如图所示：∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，∵AB＝BC＝10，∴CF＝2，∵BF⊥AC，∴AC＝2CF＝4，在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，∴CD＝×4＝4，∴AD＝＝＝8．22．解：（1）将点A（4，﹣2）、D（2，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；（2）①如图1，连接BD、DE，作EP⊥AB，并延长交OD于Q，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴点A（4，﹣2）关于对称轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣2），∴BD＝＝2，设C（m，﹣2），则BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，∵QD＝1，PQ＝2，∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，∵PC＝1﹣m，∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，解得m＝，∴点C的坐标为（，﹣2）；②如图2，∵DB＝DE＝2，∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上，连接DA，并延长交⊙D于点E′，此时AE′取得最小值，∵DA＝＝2，则AE的最小值为DE﹣DA＝2﹣2，故答案为：2﹣2．23．解：（1）30+0.5×10＝35元，答：放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克35元，故答案为：35；（2）由题意得，（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x＝36000，解得：x1＝20，x2＝60（不合题意舍去），答：x的值为20；（3）设经销商销售总额为y元，根据题意得，y＝（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x﹣30000﹣ax，且20≤x≤30，整理得y＝﹣5x2+（400﹣a）x，对称轴x＝，当0≤a≤100时，当x＝30时，y有最大值，则﹣4500+30（400﹣a）＝1800，解得a＝190（舍去）；当a≥200时，当x＝20时，y有最大值，则﹣2000+20（400﹣a）＝1800，解得a＝210；当100＜a＜200时，当x＝时，y取得最大值，y＝（a2﹣800a+16000），最大值由题意得（a2﹣800a+16000）＝1800，解得a＝400（均不符合题意，舍去）；综上，a的值为210．故答案为：210．24．解：（1）设CD＝x，则BD＝10﹣x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，依题意得：，解得x＝6，∴AD＝＝8．（2）∵四边形BFEP是圆内接四边形，∴∠EFB＝∠DPB，又∵∠FBE＝∠PDB，∴△BEF∽△BDP．（3）由（1）得BD＝6，∵PD＝3，∴BP＝＝，∴cos∠PBD＝，当△DEP为等腰三角形时，有三种情况：Ⅰ．当PE＝DP＝3 时，BE＝BP﹣EP＝，∴BF＝＝＝．Ⅱ．当DE＝PE时，E是BP中点，BE＝，∴BF＝＝＝，Ⅲ．当DP＝DE＝3时，PE＝2×PD cos∠BPD＝＝，∴BE＝3，∴BF＝＝＝，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，BF的长为、、．（4）连接EG交P D于M点，∵DG∥BP∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，∴PG＝DG，∵EP＝PG，ED＝DG，∴四边形PEDG是菱形，∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，又∵BD⊥AD，∴EG∥BC，∴EM＝，∴，∴AM＝6，∴DM＝PM＝2，∴PD＝4，AP＝4，∴S△APG＝＝×4×3＝6，S△PDG＝＝×4×3＝6，S△GDC＝＝＝4．∴S1：S2：S3＝6：6：2＝3：3：2．中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．﹣2019的相反数是（）A．2019 B．﹣2019 C．D．﹣2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（x2）3＝x5D．5x2•x3＝5x56．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（）A．15cm2B．12cm2C．15πcm2D．12πcm27．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）A．B．C．D．8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20219．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG ＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（）A．2 B．C．﹣1 D． +1 10．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（）A．B．6C．8D．﹣4二、填空题（每小题5分，共30分）11．因式分解：a2+2ab＝．12．不等式的解集是．13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为度．14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为．15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF 垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝．三、解答题17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC ＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．（1）求证：△BOF≌△COE．（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD＝AE．（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．（1）求抛物线的表达式；（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．②AE最小值为．23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克元．（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为（日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．（1）求AD的长；（2）求证：△BEF∽△BDP；（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为．参考答案一、选择题1．解：因为a的相反数是﹣a，所以﹣2019的相反数是2019．故选：A．2．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，故选：B．3．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．故选：C．4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．5．解：A、x3和x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；B、结果是x2﹣6x+9，故本选项不符合题意；C、结果是x6，故本选项不符合题意；D、结果是5x5，故本选项，符合题意；故选：D．6．解：圆锥的母线长＝＝5，所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．故选：C．7．解：设原计划x天完成，根据题意得：﹣＝5．故选：B．8．解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，∴m2﹣2019m+1＝0，∴m2＝2019m﹣1，∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2＝m++1＝+1＝+1＝2019+1＝2020．故选：C．9．解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠EAD＝∠EBF＝90°，∵AB＝1，∠BEF＝30°，∴BE＝BF，∴x+1＝x，解得：x＝，∴AE＝BF＝CG＝DH＝，∴AH＝AD+DH＝2+＝，∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1，故选：C．10．解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，连接EF，DE、CF，设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，∴△DE F的面积是וx＝k，同理可知：△CEF的面积是k，∴△CEF的面积等于△DEF的面积，∴边EF上的高相等，∴CD∥EF，∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD＝EF，同理EF＝AC，∴AC＝BD，∵CD＝5AB，∴AD＝3AB，由一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，∴A（﹣1，0），B（0，），∴OA＝1，OB＝，∵OB∥DF，∴＝＝＝，∴DF＝3，AF＝3，∴OF＝3﹣1＝2，∴D（2，3），∵点D在反比例函数图象上，∴k＝2×＝6，故选：B．二、填空题11．解：原式＝a（a+2b），故答案为：a（a+2b）12．解：，由①得：x≤，由②得：x＞0，∴不等式组的解集为：0＜x≤．故答案为：0＜x≤．13．解：∵AB∥CD，∴∠C+∠AEC＝180°，∵∠C＝110°，∴∠AEC＝70°，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝35°，∵EF⊥EG，∴∠FEG＝90°，∴∠BEG＝90°﹣35°＝55°，故答案为：5514．解：∵y＝+b交y轴正半轴于点B，∴B（0，b），∵在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，∴B（0，b），当x＝﹣时，y＝2b，∴C（﹣，2b），∴△OAC的面积＝×2b＝，∴b＝，故答案为．15．解：作AC⊥x轴于C，交CB于D，作AE⊥CB于E，连结AB，如图，∵⊙A的圆心坐标为（，a），∴OC＝，AC＝a，把x＝代入y＝2x﹣2得y＝2﹣2，∴D点坐标为（，2﹣2），∴CD＝2﹣2，∵AE⊥CB，∴CE＝BE＝BC＝1，在Rt△ACE中，AC＝，∴AE＝＝＝2，∵y＝2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，∴G（0，﹣2），F（1，0），∴OG＝2，OF＝1，∵AC∥y轴，∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，∴tan∠ADE＝＝tan∠OGF＝＝，∴DE＝2AE＝4，∴AD＝＝＝2，∴a＝AC＝AD+CD＝2+2﹣2＝4﹣2，故答案为：4﹣2．16．解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：则四边形EMCH是矩形，∴EM＝CH，CM＝EH，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，同理：△ADE≌△CDE，∴△ADE的面积＝△CDE的面积，∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠ABC+∠AEF＝180°，∴A、B、F、E四点共圆，∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，∴EF＝EC，∵EM⊥BC，∴FM＝CM＝EH＝DH，设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，∴，解得：x＝，∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，∴AF＝＝，∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；故答案为：．三、解答题17．解：（1）原式＝+2+1﹣﹣＝2﹣2；（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+3x＝11x+16，当x＝时，原式＝11×+16＝25．18．（1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，AC＝DF，∠F＝∠C，∴BF＝CE，在△BOF与△EOC中，，∴△BOF≌△COE（AAS）；（2）解：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠F＝30°，AE＝1，∴∠C＝∠F＝30°，∴AC＝2AE＝2，∴CE＝1，∵∠CEO＝∠DEO＝90°，∴OC＝＝．19．解：（1）若从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率为；（2）树状图如下所示：∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．20．解：（1）如图点D即为所求．（2）如图点O即为所求．21．（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵CE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠ADB，∵在△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BCA＝∠ACE，在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC（AAS），∴AD＝AE；（2）解：连接BF，如图所示：∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，∵AB＝BC＝10，∴CF＝2，∵BF⊥AC，∴AC＝2CF＝4，在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，∴CD＝×4＝4，∴AD＝＝＝8．22．解：（1）将点A（4，﹣2）、D（2，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；（2）①如图1，连接BD、DE，作EP⊥AB，并延长交OD于Q，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴点A（4，﹣2）关于对称轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣2），∴BD＝＝2，设C（m，﹣2），则BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，∵QD＝1，PQ＝2，∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，∵PC＝1﹣m，∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，解得m＝，∴点C的坐标为（，﹣2）；②如图2，∵DB＝DE＝2，∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上，连接DA，并延长交⊙D于点E′，此时AE′取得最小值，∵DA＝＝2，则AE的最小值为DE﹣DA＝2﹣2，故答案为：2﹣2．23．解：（1）30+0.5×10＝35元，答：放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克35元，故答案为：35；（2）由题意得，（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x＝36000，解得：x1＝20，x2＝60（不合题意舍去），答：x的值为20；（3）设经销商销售总额为y元，根据题意得，y＝（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x﹣30000﹣ax，且20≤x≤30，整理得y＝﹣5x2+（400﹣a）x，对称轴x＝，当0≤a≤100时，当x＝30时，y有最大值，则﹣4500+30（400﹣a）＝1800，解得a＝190（舍去）；当a≥200时，当x＝20时，y有最大值，则﹣2000+20（400﹣a）＝1800，解得a＝210；当100＜a＜200时，当x＝时，y取得最大值，y＝（a2﹣800a+16000），最大值由题意得（a2﹣800a+16000）＝1800，解得a＝400（均不符合题意，舍去）；综上，a的值为210．故答案为：210．24．解：（1）设CD＝x，则BD＝10﹣x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，依题意得：，解得x＝6，∴AD＝＝8．（2）∵四边形BFEP是圆内接四边形，∴∠EFB＝∠DPB，又∵∠FBE＝∠PDB，∴△BEF∽△BDP．（3）由（1）得BD＝6，∵PD＝3，∴BP＝＝，∴cos∠PBD＝，当△DEP为等腰三角形时，有三种情况：Ⅰ．当PE＝DP＝3 时，BE＝BP﹣EP＝，∴BF＝＝＝．Ⅱ．当DE＝PE时，E是BP中点，BE＝，∴BF＝＝＝，Ⅲ．当DP＝DE＝3时，PE＝2×PD cos∠BPD＝＝，∴BE＝3，∴BF＝＝＝，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，BF的长为、、．（4）连接EG交P D于M点，∵DG∥BP∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，∴PG＝DG，∵EP＝PG，ED＝DG，∴四边形PEDG是菱形，∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，又∵BD⊥AD，∴EG∥BC，∴EM＝，∴，∴AM＝6，∴DM＝PM＝2，∴PD＝4，AP＝4，∴S△APG＝＝×4×3＝6，S△PDG＝＝×4×3＝6，S△GDC＝＝＝4．∴S1：S2：S3＝6：6：2＝3：3：2．中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．﹣2019的相反数是（）A．2019 B．﹣2019 C．D．﹣2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（x2）3＝x5D．5x2•x3＝5x56．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（）A．15cm2B．12cm2C．15πcm2D．12πcm27．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）A．B．C．D．8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20219．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG ＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（）A．2 B．C．﹣1 D． +1 10．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（）A．B．6C．8D．﹣4二、填空题（每小题5分，共30分）11．因式分解：a2+2ab＝．12．不等式的解集是．13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为度．14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为．15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF 垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝．三、解答题17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC ＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．（1）求证：△BOF≌△COE．（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD＝AE．（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．（1）求抛物线的表达式；（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．②AE最小值为．23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克元．（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为（日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．（1）求AD的长；（2）求证：△BEF∽△BDP；（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为．。
成都七中学校自主招生测验试题
成都七中学校⾃主招⽣测验试题成都七中学校⾃主招⽣测验试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：成都七中实验学校⾃主招⽣考试试题数学试题注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题36分；第Ⅱ卷为⾮选择题114分；全卷共150分．考试时间为120分钟.2.本试卷的选择题答案⽤2B 铅笔涂在机读卡上，⾮选择题在卷Ⅱ上作答.3.考⽣务必将⾃⼰的姓名及考号写在密封线以内指定位置.4.⾮选择题必须在指定的区域内作答，不能超出指定区域或在⾮指定区域作答，否则答案⽆效.卷I （选择题，共36分）⼀．选择题：本⼤题共12个⼩题，每⼩题3分，共36分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．计算3×(-2) 的结果是( )A ．5B ．-5C ．6D ．-62．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上⼀点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于( ) A ．60° B ．70°C ．80°D ．90°3．下列计算中，正确的是( )A ．020=B ． 623)(a a = C ．93=± D ．2a a a =+4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3，则□ABCD 的周长为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．155．把不等式2x -< 4的解集表⽰在数轴上，正确的是( )6．如图3，在5×5正⽅形⽹格中，⼀条圆弧经过A ，B ，C 三点，ABABCD40°120°图1MR Q ABCP A -B D2 0 C 0 - 2那么这条圆弧所在圆的圆⼼是( ) A ．点P B ．点M C ．点RD ．点Q7．若2230x x y ++-=，则xy 的值为（）A ．6或0B ．6-或0C ．5或0D ．8-或08．已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的⼤⼩关系是（）A ．y x >B ．x =yC ．y x <D ．与a 、b 的取值有关 9．如图4,已知边长为1的正⽅形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P在正⽅形ABCD 边上沿A B C E →→→运动，设点P 经过的路程为 x ，△APE 的⾯积为y ，则y 关于x 的函数的图象⼤致为（）10．如图5，两个正六边形的边长均为1，其中⼀个正六边形⼀边恰在另⼀个正六边形的对⾓线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是( )D ．1011．如图6，已知⼆次函数2y ax bx c =++的图像如图所⽰，则下列6个代数式,,,,2,ab ac a b c a b c a b ++-++2a b -中其值为正的式⼦个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．将正⽅体骰⼦（相对⾯上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于⽔平桌⾯上，如图7-1．在图7-2中，将骰⼦向右翻滚90°，然后在桌⾯上按逆时针⽅向旋转90°，则完成⼀次变换．若骰⼦的初始位置为图7-1所⽰的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰⼦朝上⼀⾯的点数是( )A ．2B ．3C ．5D ．6卷Ⅱ(⾮选择题,共114分)图7-1图7-2向右翻滚逆时针旋转90°图5x （yO2.（1（x yO2.1（x y2.1 ABC E PD 图4图6O 1 1yx⼆．填空题：本⼤题共6个⼩题，每⼩题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上．13．5-的相反数是．14．如图8，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD = 6，点A对应的数为1-，则点B所对应的数为．15．如图9，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为．16．已知x = 1是⼀元⼆次⽅程02=++nm++的值为．17．把三张⼤⼩相同的正⽅形卡⽚A，B，C叠放在⼀个底⾯为正⽅形的盒底上，底⾯未被卡⽚覆盖的部分⽤阴影表⽰．若按图10-1摆放时，阴影部分的⾯积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的⾯积为S2，则S1S2（填“＞”、“＜”或“=”）．18．南⼭中学⾼⼀年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，⽼师让他们猜⼀猜各⼈的名次排列情况.A说：B第三名，C第五名；B说：E第四名，D第五名；C说：A第⼀名，E第四名；D说：C第⼀名，B第⼆名；E说：A第三名，D第四名.⽼师说:每个名次都有⼈猜对，试判断获得第⼀⾄第五名的依次为 .三、解答题（本⼤题共7个⼩题，共90分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）19．(1)（本⼩题满分8分）解⽅程：1211+=-xx.(2)（本⼩题满分8分）先化简再求值：22214()a a a a a----÷++++，其中22430a a+-=.20．（本⼩题满分12分）甲、⼄两校参加区教育局举办的学⽣英语⼝语竞赛，两校参赛⼈数相等．⽐赛结束后，发现学⽣成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．甲校成绩统计表图10-1ACBCBA图10-2⼄校成绩扇形统计图图11-110分9分8分72°54°7分A 0图8BCD图9（1）在图11-1中，“7分”所在扇形的圆⼼⾓（3）经计算，⼄校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的⾓度分析哪个学校成绩较好．（4）如果该教育局要组织8⼈的代表队参加市级团体赛，为便管理，决定从这两所学校中的⼀所挑选参赛选⼿，请你分析，应选哪所学校？21．（本⼩题满分12分）如图12，在直⾓坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB，BC 交于点M ，N ．（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标；（2）若反⽐例函数xmy =（x ＞0）的图象经过点M ，求该反⽐例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；（3）若反⽐例函数xmy =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． 22．（本⼩题满分12分）某仪器⼚计划制造A 、B 两种型号的仪器共80套，该公司所筹资⾦不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资⾦全部⽤于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：A B 成本（万元/套） 25 28 售价（万元/套）3034（1）该⼚对这两种型号仪器有哪⼏种制造⽅案？（2）该⼚应该选⽤哪种⽅案制造可获得利润最⼤？（3）根据市场调查，每套B 型仪器的售价不会改变，每套A 型仪器的售价将会提⾼a 万元（a >0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该⼚⼜将如何制造才能获得最⼤利润？分数 7 分 8 分 9 分 10 分⼈数118xMN yDAB C E O8 6 48分 9分分数⼈数 210分图11-2 7分 08 45图13-2ADOBC21 MN图13-1ADBM N12图13-3ADOBC21 MNO（1）如图13-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图13-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图13-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图13-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图13-3，求ACBD的值． 24．（本⼩题满分12分）如图14，在直⾓梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=?，AD = 6，BC = 8，33=AB ，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后⽴刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三⾓形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停⽌运动，点Q 也随之停⽌．设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）．（2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的⾯积．（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有⼀部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最⼤值，请回答：该最⼤值能否持续⼀个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．M A D C B P QE 图14 A D C B （备⽤图） M25．（本⼩题满分14分）如图15，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过x 轴上的两点1(,0)A x 、2(,0)B x 和y 轴上的点3(0,)2C -，P 的圆⼼P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若3b a =，23AB =．求：（1）抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆⼼P ？并说明理由；（3）设直线BD 交P 于另⼀点E ，求经过点E 和P 的切线的解析式．C M B yQxD E O AP 图152011年数学参考答案⼀、选择题BCADBCABBC⼆、填空题13.5 14.5 15. 71016.1 17. = 18. C 、B 、A 、E 、D. 三、解答题19．（1）解：)1(21-=+x x ，3=x ．经检验知，3=x 是原⽅程的解．………………8分（2）解：………………6分由已知得2322a a +=，代⼊上式的原式23=………………8分20．解：（1）144；………………3分（2）如图1；………………6分（3）甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；………………8分由于两校平均分相等，⼄校成绩的中位数⼤于甲校的中位数，所以从平均分和中位数⾓度上判断，⼄校的成绩较好．………………9分⼄校成绩条形统计图 86 48分 9分分数⼈数2 10分图17分 0 8322212[](2)(2)4(2)(2)(1)2(2)442(2)442(2)41(2)12a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a--+=-?++--+--+=+---++=?+--+=?+-=+=+原式（4）因为选8名学⽣参加市级⼝语团体赛，甲校得10分的有8⼈，⽽⼄校得10分的只有5⼈，所以应选甲校．………………12分21．解：（1）设直线DE 的解析式为b kx y +=，∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ?+==.60,3b k b解得=-=.3,21b k ∴ 321+-=x y ．………………2分∵点M 在AB 边上，B （4，2），⽽四边形OABC 是矩形，∴点M 的纵坐标为2．⼜∵点M 在直线321+-=x y 上，∴ 2 = 321+-x ．∴ x = 2．∴ M （2，2）．………………4分（2）∵x（x ＞0）经过点M （2，2），∴ 4=m ．∴xy 4=.………………5分⼜∵点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4．∵点N 在直线321+-=x y 上，∴ 1=y ．∴ N （4，1）． ………………8分∵当4=x 时，y =4x= 1，∴点N 在函数 xy 4=的图象上．………………9分（3）4≤ m ≤8．………………12分22．解：（1）设A 种型号的仪器造x 套,则B 种型号的仪器造(80-x)套, 由题意得:()20968028252090≤-+≤x x解之得:5048≤≤x ………………2分所以 x=48、49、50 三种⽅案：即：A 型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套。
成都清华中学(九中)2023年自主招生考试数学试题
成都清华中学(九中)2023年自主招生考试数学试题一、选择题1. 若函数 $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$，则 $f(x)$ 的极限为（）。
A. 1B. -1C. 2D. -22. 设集合 $A = \{x \mid x^2 - 5x + 6 < 0\}$，则 $A$ 的解集为（）。
A. $x \in (2, 3)$B. $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$C. $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$D. $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$3. 已知一直角三角形的斜边为 5，其中一个锐角的正弦值为$\frac{1}{2}$，则该锐角的度数为（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题4. 解方程 $\frac{2x-1}{x+3} = \frac{x+4}{x+2}$，得到的解为$x =$（）5. 若一个正方体的体积为$64\,cm^3$，则其边长为（）$cm$。
6. 曲线 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象经过点 $(1, 2)$，则 $a + b + c =$（）三、解答题7. 用二项式定理展开 $(3x-2)^3$。
8. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$，设 $B$ 是 $A$ 的所有非空子集的集合，求 $B$ 的元素个数。
以上为成都清华中学(九中)2023年自主招生考试数学试题的题目内容和要点。
请考生根据题目要求，认真完成试题。
2019年四川省成都九中自主招生数学试卷含答案
2019年四川省成都九中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）当a＜1时，化简的结果是（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a2．（5分）满足的所有实数x的和为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+14．（5分）如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（）A．15°B．18°C．20°D．22°5．（5分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP2＝y，则表示y与x 的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．9．（5分）设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（）A．1B．C．3D．410．（5分）设，则的整数部分是（）A．61B．62C．63D．64二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为．12．（5分）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0．则a8+7a﹣4的值为．13．（5分）如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为．14．（5分）已知a、b是实数，且a2+ab+b2＝5．若a2﹣ab+b2的最大值是m，最小值是n，则m+n的值是．15．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为．（结果保留π）16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，作DH⊥CE于H，则DG：DH＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（1）已知a2+4a+1＝0，且，求m的值．（2）解方程：．18．（10分）一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B 之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？19．（12分）已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB＝90°，且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．（1）求图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式；（2）点D是抛物线上的一动点，直线AD交线段BC于点Q，若△ACQ，△ABQ的面积S△ACQ，S△ABQ 满足S△ACQ：S△ABQ＝1：3，求此时点D的坐标．20．（12分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．21．（12分）阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝．反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．22．（14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝115°．（1）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，求对角线AC的长；（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线过点A、C，点P在抛物线上，满足∠APC＝∠ADC的点至少有3个时，总有不等式2n﹣成立，求n的取值范围．2019年四川省成都九中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）当a＜1时，化简的结果是（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【解答】解：∵a＜1，∴1﹣a＞0，∵﹣a3（1﹣a）≥0，∴a≤0，∴＝|a|＝﹣a，故选：B．2．（5分）满足的所有实数x的和为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：当2﹣x＝1，即x＝1时，满足题意．当2﹣x＝﹣l，即x＝3时，由于，所以满足题意．当2﹣x≠±1且2﹣x≠0，即x≠1 且x≠3 且x≠2时，令x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1．因此，所求和为1+3+（﹣l）＝3．故选：A．3．（5分）五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+1【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝3b+PC，∴AE+a＝3b+PC，即AE﹣PC＝3b﹣a，∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝2b×AE﹣a×PC＝2b（PC+3b﹣a）﹣aPC＝（2b﹣a）PC+6b2﹣2ab，则2b﹣a＝0，即a＝2b，故选：A．4．（5分）如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（）A．15°B．18°C．20°D．22°【解答】解：如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝（180°﹣80°）＝50°，连接OB，∵D为BC中点，∴BD＝CD，OD⊥BC，∴∠DOC＝，∵∠BAC＝BOC，∴∠DOC＝∠BAC，∴∠DOC＝∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵F为OC中点，∴OF＝FD，∴△OFD为等边三角形，∴OD＝OF＝OE，∴点O是△EFD外接圆的圆心，∴，∴∠OED＝50°﹣30°＝20°．故选：C．5．（5分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（）A．B．C．D．【解答】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，a n＝n（n+2）；∴+++…+＝+++…+＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝×（1+﹣﹣）＝×＝，故选：D．6．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP2＝y，则表示y与x 的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当0≤x≤时，如图1，过M作ME⊥BC与E，∵M为AB的中点，AB＝2，∴BM＝1，∵∠B＝60°，∴BE＝，ME＝，PE＝﹣x，在Rt△BME中，由勾股定理得：MP2＝ME2+PE2，∴y＝＝x2﹣x+1；（2）当＜x≤2时如图2，过M作ME⊥BC与E，由（1）知BM＝1，∠B＝60°，∴BE＝，ME＝，PE＝x﹣，∴MP2＝ME2+PE2，∴y＝＝x2﹣x+1；（3）当2＜x≤4时，如图3，连接MC，∵BM＝1，BC＝AB＝2，∠B＝60°，∴∠BMC＝90°，MC＝＝，∵AB∥DC，∴∠MCD＝∠BMC＝90°，∴MP2＝MC2+PC2，∴y＝＝x2﹣4x+7；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意．故选：B．7．（5分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵先把四个女运动员任意排列，设为ABCD，和A配合的男运动员有4个选择；和B配合的男运动员剩下3种选择；和C配合的男运动员剩下2种选择；最后一个和D配合．所以总共有24种．∴4男4女组成四队混合双打的情况共有：4×3×2＝24种，设一、二、三、四班的男、女选手分别为A1、B1、A2、B2、A3、B3、A4、B4，则四队混合双打中，没有一对选手是同班同学的情景如下：由上得共有9种情形．故四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是：＝．故选：C．8．（5分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO＝BO＝AB，∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO＝＝，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴度数为60°，∵直径AC＝2，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长π．故选：B．9．（5分）设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（）A．1B．C．3D．4【解答】解：设y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2＝（﹣x1）x2＝﹣x1x2（射影定理的逆定理），由根与系数的关系得，，，∴，，又＝﹣2，即8a＝4+b2≥4，∴，∴，＝，＝＝，当且仅当，b＝0，c＝﹣2时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是4．故选：D．10．（5分）设，则的整数部分是（）A．61B．62C．63D．64【解答】解：∵，2050﹣2018+1＝33，∴M＞且M＜，∴＜M＜，∴＜＜，即61＜＜62，∵＞＞＞…＞，∴M＞，∴＜＝61，∴61＜＜61，∴的整数部分为61，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为3．【解答】解：x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0（x+y）2+（x+y）﹣12＝0，（x+y+4）（x+y﹣3）＝0∵x、y为非负数，∴x+y+4＞0，∴x+y＝3，即x＝3﹣y，∴0≤x≤3，0≤y≤3，∴x（1﹣y）＝（3﹣y）（1﹣y）＝（y﹣2）2﹣1≤3，故答案为：3．12．（5分）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0．则a8+7a﹣4的值为48．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴两边都除以a得，a﹣a﹣1＝1，∴a2+a﹣2＝3，a4+a﹣4＝7，∴a8+7a﹣4，＝a4•a4+a4•a﹣4﹣1+7a﹣4，＝a4（a4+a﹣4）+7a﹣4﹣1，＝7a4+7a﹣4﹣1，＝7×7﹣1，＝48．故答案为：48．13．（5分）如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为．【解答】解：∵正方形ABCD，∴∠ABC＝90°，∵OB为半径，∴BC是⊙O的切线，连接OE、OD′，作OH⊥ED′于H，∴EH＝D′H＝ED′∵ED′＝ED，∴EH＝ED，∵正方形ABCD，∴∠A＝90°，AB＝AD＝6，∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，∴∠OEH+∠D′EF＝90°，∠AEO+∠DEF＝90°，∵∠DEF＝∠D′EF，∴∠AEO＝∠HEO，在△AEO和△HEO中∴△AEO≌△HEO（AAS），∴AE＝EH＝ED，∴AE＝AD＝2，设OB＝OE＝x．则AO＝6﹣x，在Rt△AOE中，x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，∴OB＝，故答案为．14．（5分）已知a、b是实数，且a2+ab+b2＝5．若a2﹣ab+b2的最大值是m，最小值是n，则m+n的值是．【解答】解：设a2﹣ab+b2＝k，∵a2+ab+b2＝5，∴a2+b2＝，ab＝，∵a2+b2≥2|ab|，∴≥2||，即≥|5﹣k|，∴﹣≤5﹣k≤，解得，≤k≤15，∴m＝15，n＝，∴m+n＝，故答案为：．15．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为10π+5π．（结果保留π）【解答】解：菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，所以第一、二次旋转形成弧的半径是，圆心角是60°，所以第一、二次旋转的弧长和＝，因为第三次旋转形成弧的半径是1，圆心角是60°，所以第三次旋转的弧长＝，因为一个周期为3，所以45÷3＝15，所以菱形中心O所经过的路径总长为：．故答案为：10π+5π．16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，作DH⊥CE于H，则DG：DH＝：14．【解答】解：设BC＝21a，则BF＝14a，FC＝7a，AB＝28a，∴AE＝EB＝14a，∵∠ABC＝120°，∴，∴CE＝7a，∵S△ADF＝S△DEC，∴，∴．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（1）已知a2+4a+1＝0，且，求m的值．（2）解方程：．【解答】解：（1）由已知可得a2+1＝﹣4a，∴a4+1＝（a2+1）2﹣2a2＝14a2，∴由原式可得，∴m+14＝5（m﹣12）＝5m﹣60，∴4m＝74，∴．（2）令∴x2﹣3x＝t2﹣3，∴原方程化为：x2+（x2﹣3x）+2xt＝1，∴x2+t2﹣3+2xt＝1，∴（x+t）2＝4，∴x+t＝±2，∴若x+t＝﹣2，则t2＝x2+4x+4＝x2﹣3x+3，解得：，经检验，x＝﹣是增根，若x+t＝2，则t2＝x2+4﹣4x＝x2﹣3x+3，解得x＝1，经检验，x＝1是方程的解，∴综上所述，x＝1是原方程的解．答：（1）m的值为；（2）方程的解为x＝1．18．（10分）一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B 之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？【解答】解：如图，作射线AM交BC的延长线于M，使得∠MAC＝30°，作DH⊥AM．∵时间t＝＝（AD+BD），DH＝AD，∴时间t＝（DH+BD），∴当D，H，B共线，且BH⊥AM时，时间t最小，作BH′⊥AM于H′交AC于D′，此时时间最小值＝•BH′，∵AB＝90km，BC＝30km，∴AC＝60（km），∴CM＝AC•tan30°＝20（km），在Rt△BMH′中，BH′＝BM•cos30°＝（20+30）×＝（30+15）（km），∴t的最小值＝+．此时AD′＝．19．（12分）已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB＝90°，且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．（1）求图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式；（2）点D是抛物线上的一动点，直线AD交线段BC于点Q，若△ACQ，△ABQ的面积S△ACQ，S△ABQ 满足S△ACQ：S△ABQ＝1：3，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，OC⊥AB，∴OA•OB＝OC2，即mn＝p2．∵OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC），∴m2+n2+p2＝3（m+n+p）．又∵m2+n2+p2＝（m+n+p）2﹣2（mn+np+mp）＝（m+n+p）2﹣2（p2+np+mp）＝（m+n+p）2﹣2p（m+n+p）＝（m+n+p）（m+n﹣p），∴m+n﹣p＝3，即m+n＝p+3．∵mn＝p2，m+n＝p+3，∴m，n是关于x的一元二次方程x2﹣（p+3）x+p2＝0①的两个不相等的正整数根，∴△＝[﹣（p+3）]2﹣4p2＞0，解得﹣1＜p＜3．又∵p为正整数，故p＝1或p＝2．当p＝1时，方程①为x2﹣4x+1＝0，没有整数解．当p＝2时，方程①为x2﹣5x+4＝0，两根为m＝1，n＝4．综合知：m＝1，n＝4，p＝2．设图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y＝k（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）的坐标代入得2＝k×1×（﹣4），解得．∴图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为．∴图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图，直线AD交线段BC于点Q，由S△ACQ：S△ABQ＝1：3，得CQ：QB＝1：3，∴，，∴，∵A（﹣1，0），∴，联立，消去y整理可得，2x2﹣3x﹣5＝0，由韦达定理：，而x A＝﹣1，∴，∴，∴D点坐标为：．20．（12分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．【解答】解：（1）分别过O、E作ON⊥CD于N，EM⊥CD于M，∵CD＝10，∴四边形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝≤CD•OE＝＝60，此时OM、EN、OE重合，∵ON•CD＝OC•OD，∴10×ON＝6×8，∴ON＝，∴；（2）延长OB至点G，使BG＝OB，连接GE、GC、DE，则，∵点D为OB的中点，OB＝OE，∴，∴，又∠DOE＝∠EOG，∴△DOE∽△EOG，，∴EG＝2DE，∴CE+2DE＝CE+EG，当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，此时，故CE+2DE有最小值为．21．（12分）阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝．反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝＝＝＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x的值为1﹣22．（14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝115°．（1）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，求对角线AC的长；（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线过点A、C，点P在抛物线上，满足∠APC＝∠ADC的点至少有3个时，总有不等式2n﹣成立，求n的取值范围．【解答】（1）①如图1，∠B＝∠D＝90°时延长AD，BC交于点E，∵∠DAB＝60°，∴∠E＝30°，又∵AB＝4，AD＝3∴BE＝4，AE＝8，DE＝5，∴CE＝＝，BC＝4﹣＝，∴AC＝＝；②如图，∠A＝∠C＝60°时，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F，∵∠DAB＝∠BCD＝60°，又∵AB＝4，AD＝3，∴AE＝，DE＝BF＝，∴BE＝DF＝，∴CF＝，BC＝+＝，∴AC＝＝；综上，AC＝或；（2）∵A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），∴AB＝2，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∵AD＝CD，AB≠BC，∴∠BAD≠∠BCD，∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴D（0，2），∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A、C，∴y＝a（x+2）（x﹣2）＝ax2﹣4a，即：a＝﹣c，令t＝2c2+16a﹣8，则t＝2c2﹣4c﹣8，以D（0，2）为圆心，AD长为半径作⊙D，以D'（0，﹣2）为圆心，AD长为半径作⊙D'，如图所示，⊙D交y轴正半轴于点E，⊙D'交y轴负半轴于点F．当点P在优弧AEC和优弧AFC上时，∠APC＝∠ADC，当抛物线过E点时满足题意的P点有3个，此时，c＝OE＝OD+ED＝2+2，当满足∠APC＝∠ADC的P点至少有3个时，c≥2+2，当c≥2+2时，t＝2c2﹣4c﹣8≥16，∵总有不等式2n﹣≤2c2+16a﹣8成立，∴2n﹣≤16，∴n≤．。
2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷(原卷版)
2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷一､选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A. B. C. D.2.把抛物线23(1)2y x =+-先向右平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得到抛物线23y x =，则n 的值是（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知点()()()1232,1,,,3,y y y --都在反比例函数21k y x+=的图象上，那么123y y y ､､的大小关系正确的是（）A.123y y y <<B.321y y y <<C.213y y y << D.312y y y <<4.在直角ABC 中，90,3,2C AB AC ∠=== ，则sin A 的值为（）A.53 B. C.23 D.5.如图，半径为R 的O 的弦AC BD =，且AC BD ⊥于E ，连结,AB AD ，若1AD =，则R 的值为（）A.12 B.22C.1D.6.已知点()()111222,,,P x y P x y 为抛物线()240y ax ax c a =-++≠上两点，且12x x <，则下列说法正确的是（）A.若124x x +<，则12y y <B.若124x x +>，则12y y <C.若()1240a x x +->，则12y y >D .若()1240a x x +-<，则12y y >7.如图，点,,A B C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）A.3B.5C.510 D.58.如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠= ，则BOD ∠的度数是（）A.70B.120C.140D.160o9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点,A D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象上，若正方形ADEF 的面积为4，且BF AF =，则k 的值为（）A.12B.8C.6D.310.如图，在等边三角形ABC 中，4AB =，点D 是边AB 上一点，且1BD =，点P 是边BC 上一动点（D P ､两点均不与端点重合），作60,DPE PE ∠= 交边AC 于点E .若CE a =，当满足条件的点P 有且只有一个时，则a 的值为（）A.2B.2.5C.3D.4二､填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分.11.点()3,2m +和点3,3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭是同一个反比例函数图象上的点，则m 的值为__________.12.已知二次函数222(0)y x kx k k k =-+->，当1x <时，y 随x 的增大而减小，则k 的最小整数值为__________.13.如图，线段9,AB AC AB =⊥于点,A BD AB ⊥于点,2,4B AC BD ==，点P 为线段AB 上一动点，且以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似，则AP 的长为__________.14.已知二次函数22y x x n =++，当自变量x 的取值在21x -≤≤的范围内时，函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，则n 的取值范围是__________.15.若关于x 的方程()221210mx mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是__________.16.对,x y 定义一种新运算T ，规定：(),2ax by T x y x y +=+（其中,a b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()010,1201a b T b ⨯+⨯==⨯+，已知()()1,12,4,21-=-=T T ，若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m P ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩恰好有3个整数解，则实数P 的取值范围是________.17.如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点,B D 都在函数(0)y xx =>的图像上，BE x ⊥轴于点E .若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为时，EF OE的值为___________；点F 的坐标为___________.18.如图，面积为4的平行四边形ABCD 中，4AB =，过点B 作CD 边的垂线，垂足为点E ，点E 正好是CD 的中点，点M ､点N 分别是AB AC ､.上的动点，MN 的延长线交线段DE 于点P ，若点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，则线段BM 长x 的取值范围是__________.19.如图，平行四边形,,4,60ABCD AB AD AD ADB ∠>== ，点E F ､为对角线BD 上的动点，2DE BF =，连接AE CF ､，则2AE CF +的最小值为__________.三､计算题：本大题共1小题，共12分.20.（1）计算：0(1π)2cos451++-+- .（2）解不等式组：()5231131722x x x x ⎧->+⎪⎨-≤-⎪⎩①②四､解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中33=-a .22.河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A 、B 、C 、D ，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？（2）请把图2的条形统计图补充完整.（3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率.23.东西走向海岸线上有一个码头（图中线段AB ），已知AB 的长为132米，小明在A 处测得海上一艘货船M 在A 的东北方向，小明沿海岸线向东走60米后到达点C ，在C 测得M 在C 处的北偏东15 方向（参考数据：2 1.41,3 1.73,6 2.45)≈≈≈（1）求AM 的长；（结果精确到1米）（2）如图，货船从M 出发，沿着南偏东30 方向行驶，问该货船是否能行驶到码头所在的线段AB 上？请说明理由.24.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x b =+经过点()1,0A -，与y 轴正半轴交于B 点，与反比例函数(0)k y x x =>交于点C ，且3,//AC AB BD x =轴交反比例函数(0)k y x x=>于点D .（1）求b k ､的值；（2）如图1，若点E 为线段BC 上一点，设E 的横坐标为m ，过点E 作//EF BD ，交反比例函数(0)k y x x =>于点F .若13EF BD =，求m 的值.（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD 并延长，交x 轴于点G ，连接OD ，在直线OD 上方是否存在点H ，使得ODH 与ODG 相似（不含全等）？若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由.25.在O 中»»AB AC =，顺次连接A B C ､､.（1）如图1，若点M 是 AC 的中点，且//MN AC 交BC 延长线于点N ，求证：MN 为O 的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC ，过点A 作AP BM ⊥于点P ，若,,BP a MP b CM c ===，则a b c ､､有何数量关系？（3）如图3，当60BAC ∠= 时，E 是BC 延长线上一点，D 是线段AB 上一点，且BD CE =，若5,BE AEF = 的周长为9，请求出AEF S 的值？26.甲､乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是__________元；当每个公司租出的汽车为__________辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元(0)a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围.27.在ABC 中，90,CAB AC AB ∠== .若点D 为AC 上一点，连接BD ，将BD 绕点B 顺时针旋转90 得到BE ，连接CE ，交AB 于点F .（1）如图1，若75,4ABE BD ∠== ，求AC 的长；（2）如图2，点G 为BC 的中点，连接FG 交BD 于点H .若30ABD ∠= ，猜想线段DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若4,AB D =为AC 的中点，将ABD △绕点B 旋转得A BD '' ，连接A C A D ''､，当22A D A C ''+最小时，求A BC S '△.28.如图，抛物线222y x mx m =-+++与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，3OB OA =.（1）求抛物线的解析式；（2）设D 是第四象限内抛物线上的点，连接,:12:5COD AOD AD OD CD S S = ､､.①求点D 的坐标；②连接BD ，若点,P Q 是抛物线上不重合的两个动点，在直线(0)x a a =>上是否存在点,M N （点,,A P M 按顺时针方向排列，点,,A Q N 按顺时针排列），使得APM AQN ≅ 且APM ABD ∽？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.。
2020年四川省成都七中自主招生数学模拟试卷及答案解析
2020年四川省成都七中自主招生数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）对代数式（x +3）2，老师要求任意取一个x 的值后求出代数式的值．圆圆发现，大家所求的代数式的值都大于等于0，即x ＝﹣3时代数式的最小值是0．利用这个发现，圆圆试着写出另外一些结论：①在x ＝﹣3时，代数式（x +3）2+2的最小值为2； ②在a ＝﹣b 时，代数式（a +b ）2+m 的最小值为m ； ③在c ＝﹣d 时，代数式﹣（c +d ）2+n 的最大值为n ； ④在x ＝﹣3时，代数式﹣x 2﹣6x +20的最大值为29． 其中正确的为（ ） A ．①②③B ．①③C ．①④D ．①②③④2．（5分）如图，用一个平面去截正方体，截掉了正方形的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，剩下几何体的展开图应该是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（5分）若a ≠b ，且a 2﹣4a +1＝0，b 2﹣4b +1＝0，则11+a 2+11+b 2的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．34．（5分）计算：√b5÷√b20a 2=（ ）（a ＞0，b ＞0） A ．b 10aB ．10a bC ．2aD ．2a 25．（5分）已知a ，b ，c ，x 为实数，且c ＜a ＜b ，代数式|x −a+b2|+|x −b+c2|+|x −a+c2|的最小值是（ ） A ．a+b−c 2B ．a+b 2C ．b−c 2D ．b+c 26．（5分）如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：67．（5分）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中规律，72019的结果的个位数字是（ ） A ．7B ．9C ．1D ．38．（5分）已知x +y ＝3，xy ＝2，则下列结论中①（x ﹣y ）2＝1，②x 2+y 2＝5，③x 2﹣y 2＝3，④1x +1y=23，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组{ax +by =3x +2y =2只有正数解的概率为（ ） A ．112B ．29C ．518D ．133610．（5分）关于x 的一元二次方程ax 2﹣2ax ﹣b ＝0有一个实数根x ＝1，则下面关于该方程的判别式△的说法正确的是（ ） A ．△＞0B ．△＝0C ．△＜0D ．无法确定11．（5分）已知三角形三边长分别为3，x ，5，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．712．（5分）在平面直角坐标系中，点A （﹣3，2），B （3，5），C （x ，y ），若AC ∥x 轴，则线段BC 的最小值及此时点C 的坐标分别为（ ） A ．6，（﹣3，5）B ．10，（3，﹣5）C ．1，（3，4）D ．3，（3，2）二．填空题（共7小题，满分52分）13．（7分）已知x =√6+√2，那么x 2﹣2√2x 的值是 ．14．（7分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，AB ＝CD ＝6，∠B ＝60°，那么下底BC 的长为 ．15．（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4√3，BC ＝4，点D 是AC 的中点，点F 是边AB 上一动点，沿DF 所在直线把△ADF 翻折到△A ′DF 的位置，若线段A ′D 交AB 于点E ，且△BA ′E 为直角三角形，则BF 的长为 ．16．（7分）如果方程2+√4x +3=k 无实数解，那么k 的取值范围是 ．17．（8分）如图，P A 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的直径，在⊙O 上存在一点C 满足P A ＝PC ，连结PB 、AC 相交于点F ，且∠APB ＝3∠BPC ，则PF BF= ．18．（8分）如图，边长12的正方形ABCD 中，F 为BC 上的一点且BF ＝3，有一个小正方形EFGH ，其中E ，G 分别在AB ，FD 上，则AH 的长为 ．19．（8分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：25，47，811，1619，3235，…，小亮猜出了第六个数字是6467，根据此规律，第100个数字是 ．三．解答题（共2小题，满分38分）20．（18分）已知二次函数y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过三点（1，0），（﹣3，0），（0，−32）．（Ⅰ）求二次函数的解析式；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函数，当x 取a ，b （a ≠b ）时函数值相等，求x 取a +b 时的函数值；（Ⅲ）若反比例函数y2=kx（k＞0，x＞0）的图象与（Ⅰ）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．21．（20分）小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB＝3，BC＝5．点P在AD上，且AP＝2．一球从点P处沿与AD夹角为θ的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P0．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC1D1，由轴对称的知识，发现QE＝QR，PE＝PQ+QR．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：（1）点P0与点A重合时，此球所经过的路线总长度是．（2）当点P0落在线段AP上时（如图③），求tanθ的取值范围．2020年四川省成都七中自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）对代数式（x+3）2，老师要求任意取一个x的值后求出代数式的值．圆圆发现，大家所求的代数式的值都大于等于0，即x＝﹣3时代数式的最小值是0．利用这个发现，圆圆试着写出另外一些结论：①在x＝﹣3时，代数式（x+3）2+2的最小值为2；②在a＝﹣b时，代数式（a+b）2+m的最小值为m；③在c＝﹣d时，代数式﹣（c+d）2+n的最大值为n；④在x＝﹣3时，代数式﹣x2﹣6x+20的最大值为29．其中正确的为（）A．①②③B．①③C．①④D．①②③④解：①在x＝﹣3时，代数式（x+3）2+2的最小值为2，故符合题意；②在a＝﹣b时，代数式（a+b）2+m的最小值为m，故符合题意；③在c＝﹣d时，代数式﹣（c+d）2+n的最大值为n，故符合题意；④∵﹣x2﹣6x+20＝﹣（x+3）2+29，∴在x＝﹣3时，代数式﹣x2﹣6x+20的最大值为29，故符合题意．故选：D．2．（5分）如图，用一个平面去截正方体，截掉了正方形的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，剩下几何体的展开图应该是（）A．B．C．D．解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选：B．3．（5分）若a ≠b ，且a 2﹣4a +1＝0，b 2﹣4b +1＝0，则11+a 2+11+b 2的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．3解：由题意可知：a 、b 是方程x 2﹣4x +1＝0的两个不同的实数根， ∴由根与系数的关系可知：ab ＝1，a +b ＝4， ∴a 2+1＝4a ，b 2+1＝4b ， ∴原式=14a +14b=a+b4ab =44×1 ＝1， 故选：B ．4．（5分）计算：√b 5÷√b20a 2=（ ）（a ＞0，b ＞0）A ．b10aB ．10abC ．2aD ．2a 2解：原式=√b5÷b 20a 2=√b 5⋅20a 2b =√4a 2=2a ， 故选：C ．5．（5分）已知a ，b ，c ，x 为实数，且c ＜a ＜b ，代数式|x −a+b 2|+|x −b+c 2|+|x −a+c2|的最小值是（ ） A ．a+b−c 2B ．a+b 2C ．b−c 2D ．b+c 2解：∵c ＜a ＜b ， ∴a +b ＞b +c ＞a +c ，∴当x =b+c2时，|x −a+b2|+|x −b+c2|+|x −a+c2|的最小值， 即|x −a+b2|+|x −b+c2|+|x −a+c2|=a−c2+b−a2=b−c2， 故选：C ．6．（5分）如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：6解：连接CE ，∵AE ∥BC ，E 为AD 中点， ∴AE BC=AF FC=12．∴△FEC 面积是△AEF 面积的2倍． 设△AEF 面积为x ，则△AEC 面积为3x ， ∵E 为AD 中点，∴△DEC 面积＝△AEC 面积＝3x ． ∴四边形FCDE 面积为5x ， 所以S △AFE ：S 四边形FCDE 为1：5．故选：C ．7．（5分）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中规律，72019的结果的个位数字是（ ） A ．7B ．9C ．1D ．3解：∵71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， ∴这些数的个位数字依次以7，9，3，1出现， ∵2019÷4＝504…3，∴72019的结果的个位数字是3， 故选：D ．8．（5分）已知x +y ＝3，xy ＝2，则下列结论中①（x ﹣y ）2＝1，②x 2+y 2＝5，③x 2﹣y 2＝3，④1x +1y=23，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵x +y ＝3，∴（x +y ）2＝9，即x 2+y 2＝9﹣2xy ＝5，②正确； ∴①（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ＝5﹣2×2＝1，①正确； ③∵（x ﹣y ）2＝1， ∴x ﹣y ＝±1，x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）＝3（x ﹣y ）＝±3，③不正确； ④1x +1y=x+y xy=32，④不正确；所以本题正确的有：①②，2个， 故选：B ．9．（5分）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组{ax +by =3x +2y =2只有正数解的概率为（ ） A ．112B ．29C ．518D ．1336解：当2a ﹣b ＝0时，方程组无解；当2a ﹣b ≠0时，由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a ，b 都为大于0的整数， 则两式联合求解可得x =6−2b 2a−b ，y =2a−32a−b， ∵使x 、y 都大于0则有6−2b2a−b＞0，2a−32a−b＞0，解得a ＜1.5，b ＞3或者a ＞1.5，b ＜3，而a ，b 都为1到6的整数，所以可知当a 为1时b 只能是4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 为1或2， 这两种情况的总出现可能有3+10＝13种；又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为1336，故选：D ．10．（5分）关于x 的一元二次方程ax 2﹣2ax ﹣b ＝0有一个实数根x ＝1，则下面关于该方程的判别式△的说法正确的是（ ） A ．△＞0B ．△＝0C ．△＜0D ．无法确定解：将x ＝1代入方程，得：a ﹣2a ﹣b ＝0， 则a +b ＝0，△＝（﹣2a ）2﹣4a •（﹣b ）＝4a 2+4ab ＝4a （a +b ）＝0， 故选：B ．11．（5分）已知三角形三边长分别为3，x，5，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．2B．3C．5D．7解：∵5﹣3＝2，5+3＝8，∴2＜x＜8，∵x为正整数，∴x的可能取值是3，4，5，6，7，共五个，故这样的三角形个数为5．故选：C．12．（5分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（）A．6，（﹣3，5）B．10，（3，﹣5）C．1，（3，4）D．3，（3，2）解：依题意可得：∵AC∥x轴，A（﹣3，2）∴y＝2，根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值＝5﹣2＝3，此时点C的坐标为（3，2），故选：D．二．填空题（共7小题，满分52分）13．（7分）已知x=√6+√2，那么x2﹣2√2x的值是4．解：∵x−√2=√6，∴x2﹣2√2x+2＝6，∴x 2﹣2√2x ＝4， 故答案为：414．（7分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，AB ＝CD ＝6，∠B ＝60°，那么下底BC 的长为 11 ．解：如图，过A 作AE ∥DC 交BC 与E ， ∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形， ∴AD ＝EC ＝5，AE ＝CD ， ∵AB ＝CD ＝6， ∴AE ＝AB ＝6， ∵∠B ＝60°，∴△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝6， ∴BC ＝6+5＝11． 故答案为：11．15．（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4√3，BC ＝4，点D 是AC 的中点，点F 是边AB 上一动点，沿DF 所在直线把△ADF 翻折到△A ′DF 的位置，若线段A ′D 交AB 于点E ，且△BA ′E 为直角三角形，则BF 的长为 6或285．解：∵∠C ＝90°，AC ＝4√3，BC ＝4， ∴tan A =BCAC =4√3=√33，∴∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝8，∵点D 是AC 的中点，沿DF 所在直线把△ADF 翻折到△A ′DF 的位置，线段A ′D 交AB 于点E ，∴DA ＝DC ＝2√3，F A ′＝F A ，∠DA ′F ＝∠A ＝30°， 设BF ＝x ，则AF ＝8﹣x ，F A ′＝8﹣x ， ①当∠BEA ′＝90°时，在Rt △ADE 中，cos A =AEAD， ∴AE ＝2√3×cos30°＝3， ∴EF ＝3﹣（8﹣x ）＝x ﹣5， 在Rt △A 'FE 中，∵∠F A 'E ＝30°， ∴F A '＝2FE ，即8﹣x ＝2（x ﹣5）， 解得x ＝6，即BF ＝6；②当∠BA 'E ＝90°时，作FH ⊥BA '，交BA '的延长线于H ，连接BD ，如图所示： 在Rt △BDA '和△BDC 中，{BD =BD DC =DA′，∴Rt △BDA '≌Rt △BDC （HL ）， ∴BA ′＝BC ＝4，∵∠BA 'F ＝∠BA 'E +∠F A 'E ＝90°+30°＝120°， ∴∠F A 'H ＝60°，在Rt △FHA '中，A ′H =12A ′F =12（8﹣x ），FH =√3A ′H =√32（8﹣x ）， 在Rt △BFH 中，∵FH 2+BH 2＝BF 2， ∴34（8﹣x ）2+[12（8﹣x ）+4]2＝x 2，解得：x =285，即BF =285． 综上所述，BF 的长为6或285．故答案为：6或285．16．（7分）如果方程2+√4x +3=k 无实数解，那么k 的取值范围是 k ＜2 ． 解：2+√4x +3=k ，√4x+3=k﹣2，∵√4x+3的结果是非负数，∴当k﹣2＜0时，方程2+√4x+3=k无实数解，即k＜2，故答案为：k＜2．17．（8分）如图，P A与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，在⊙O上存在一点C满足P A＝PC，连结PB、AC相交于点F，且∠APB＝3∠BPC，则PFBF =√17−14．解：连接OP，OC．∵P A与⊙O相切于点A，P A＝PC，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝90°，∴PC与⊙O相切于点C，∵∠APB＝3∠BPC，∠APO＝∠CPO，∴∠CPB＝∠OPB，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OP⊥AC，∴OP∥BC，∴∠CBP＝∠CPB，∴BC ＝PC ＝AP ． ∵OA ＝OB ，∴OM =12BC =12AP ．设OM ＝x ，则BC ＝CP ＝AP ＝2x ，PM ＝y ， ∵∠OAP ＝∠AMP ＝90°，∠MP A ＝∠APO ， ∴△AMP ∽△OAP ， ∴AP PM=OP AP．∴AP 2＝PM •OP ， ∴（2x ）2＝y （y +x ）， 解得：x =1+√178y ，x =1−√178y （舍去）． ∵PM ∥BC ， ∴△PMF ∽△BCF ， ∴PF BF=PM BC=PM AP=y 2x=√17−14． 故答案为：√17−14． 18．（8分）如图，边长12的正方形ABCD 中，F 为BC 上的一点且BF ＝3，有一个小正方形EFGH ，其中E ，G 分别在AB ，FD 上，则AH 的长为9√104．解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠C ＝90°， 在△BEF 与△CFD 中∵∠BFE +∠CFD ＝∠CFD +∠CDF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CDF ， ∴△BEF ∽△CFD ，∴BF CD=BE CF，∵BF ＝3，BC ＝12， ∴CF ＝BC ﹣BF ＝12﹣3＝9， ∴312=BE 9，∴BE =94，过H 作HM ⊥AB 于M ，则∠HMA ＝∠HME ＝90°， ∵四边形ABCD 和四边形EHGF 是正方形， ∴∠HME ＝∠B ＝90°，EH ＝EF ，∠HEF ＝90°， ∴∠MEH +∠BEF ＝90°，∠BEF +∠EFB ＝90°， ∴∠MEH ＝∠EFB ， 在△HME 和△EBF 中 {∠MEH =∠EFB ∠HME =∠B EH =EF∴△HME ≌△EBF （AAS ）， ∴HM ＝BE =94，ME ＝BF ＝3，∴AM ＝AB ﹣EM ﹣BE ＝12﹣3−94=274，在Rt △AMH 中，由勾股定理得：AH =√AM 2+MH 2=√(274)2+(94)2=9√104． 故答案为：9√104．19．（8分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：25，47，811，1619，3235，…，小亮猜出了第六个数字是6467，根据此规律，第100个数字是21002100+3．解：由已知可知，分子的规律是2n ，分母的规律是2n +3， ∴第100个数字是21002100+3，故答案为21002100+3．三．解答题（共2小题，满分38分）20．（18分）已知二次函数y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过三点（1，0），（﹣3，0），（0，−32）．（Ⅰ）求二次函数的解析式；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函数，当x 取a ，b （a ≠b ）时函数值相等，求x 取a +b 时的函数值；（Ⅲ）若反比例函数y 2=k x（k ＞0，x ＞0）的图象与（Ⅰ）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A ，点A 的横坐标为x 0满足2＜x 0＜3，试求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）（x +3） 将（0，−32）代入，解得a =12． ∴抛物线解析式为y =12x 2+x −32．（Ⅱ）当x ＝a 时，y 1=12a 2+a −32，当x ＝b 时，y 1=12b 2+b −32，∴12a 2+a −32=12b 2+b −32，∴a 2﹣b 2+2（a ﹣b ）＝0，即（a ﹣b ）（a +b +2）＝0， ∵a ≠b ，∴a +b ＝﹣2．∴y 1=12（a +b ）2+（a +b ）−32=12（﹣2）2﹣2−32=−32 即x 取a +b 时的函数值为−32．（Ⅲ）当2＜x ＜3时，函数y 1=12x 2+x −32，y 1随着x 增大而增大，对y 2=kx （k ＞0），y 2随着x 的增大而减小．∵A （x 0，y 0）为二次函数图象与反比例函数图象的交点， ∴当x 0＝2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y 2＞y 1， 即k2＞12×22+2−32，解得k ＞5．当x 0＝3时，二次函数数图象在反比例上方得y 1＞y 2，即12×32+3−32＞k 3，解得k ＜18．所以k 的取值范围为5＜k ＜18．21．（20分）小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD 的边长分别为AB ＝3，BC ＝5．点P 在AD 上，且AP ＝2．一球从点P 处沿与AD 夹角为θ的方向击出，分别撞击AB 、BC 、CD 各一次后到达点P 0．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD 沿直线AB 折叠，得到矩形ABC 1D 1，由轴对称的知识，发现QE ＝QR ，PE ＝PQ +QR ．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：（1）点P 0与点A 重合时，此球所经过的路线总长度是 6√5 ． （2）当点P 0落在线段AP 上时（如图③），求tan θ的取值范围．解：（1）AS 交PQ 于H ，根据入射角等于反射角得到∠HQA ＝∠HAQ ，∠HP A ＝∠HAP ， ∴PQ ＝2HP ＝2HQ ＝2SR ，∵∠C ＝∠A ＝90°，∠CRS ＝∠QP A ， ∴△RCS ∽△P AQ ， ∴AP CR=PQ SR=2，∵P A ＝2， ∴CR ＝1， EC 2＝1，由勾股定理得：PE =√(2−1+5)2+32=3√5， 同理：SR +AS =√(5+1)2+32=3√5， ∴3√5+3√5=6√5， 故答案为：6√5．（2）由（1）知：BR ＝5﹣1＝4， ∴AQ BQ=AP BR=12，∵AB ＝3， ∴AQ ＝1， ∴tan θ=AQAP =12，当P 0在P 点上时，tan θ=35，∴当点P 0落在线段AP 上时，tan θ的取值范围是12≤tan θ≤35．。
2021年四川省成都市公立名校(高中)自主招生数学试卷
2021年四川省成都市公立名校（高中）自主招生数学试卷一、选择题（本大题共9个小题。
每小题6分，共54分）1．无论k取何值时，关于x，y的方程（k﹣1）x+（k+1）y﹣k+3＝0均有解，则m2015+n2015的值为（）A．0B．﹣2C．22015﹣1D．﹣22015﹣12．如图，A，B是反比例函数y＝（k＞0）的图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC，BD交于点E，则△ADE与△BCE的面积关系是（）A．S△ADE＞S△BCE B．S△ADE＝S△BCEC．S△ADE＜S△BCE D．不确定3．方程﹣2＝x2﹣2x有（）个实数根．A．0B．1C．2D．34．某纺织厂的一个车间有技术工人m名（m∈N*），编号分别为1，2，3，…，m，有n台（n∈N*）织布机，编号分别为1，2，3，…，n，定义记号a ij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定a ij＝1，否则a ij＝0，则等式a41+a42+a43+…+a4n＝3的实际意义是（）A．第4名工人操作了3台织布机B．第4名工人操作了n台织布机C．第3名工人操作了4台织布机D．第3名工人操作了n台织布机5．已知＝，﹣＝﹣2，则a的取值范围是（）A．a≤1B．﹣1≤a≤1C．a≤﹣1D．﹣1≤a≤06．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A．B．C．D．7．如图是一个三角形数表，从上到下依次称作第一行、第二行、…．已知该三角形数表中每个“口”中的数均为正整数的倒数，且等于其两脚下数之和（如：a2＝a4+a5）．若a1＝，则第三行中的数a4，a5，a6，从左到右的填法种数为（）A．2B．4C．5D．68．设空间几何体三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为1，有一只蚂蚁从点A开始按以下规则前进；在每一个顶点处随机地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，则它爬了4米之后恰好位于顶点A的不同路径的条数为（）A．21条B．19条C．18条D．15条9．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c，两条内角平分线AE，BF交于点O．若△OEF和△OAB的面积分别为S△OEF和S△OAB，则＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）10．当A＝时，则A（A+4）＝．11．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝，AD＝，AC＝，则∠ABC＝．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，E是线段DC上的一动点，连接AE，点K在线段AE上且满足条件AD2＝AK•AE，则当点E从点D运动到点C时，点K移动的路程为．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），且满足条件a＞b＞c，a+b+c＝0，给定下列5个命题，其中正确命题的序号是．①abc＜0；②存在满足条件的a，b，c，使得二次函数在x＝﹣时取得最小值；③4a﹣2|b|+c＞0；④对任意满足am2+bm+c＜0的实数m，都有a（m+3）2+b（m+3）+c＞0；⑤无论a，b，c为满足条件的任何值，一定存在满足am+bm0+c＜0的实数m0，使得（m0﹣2）2+b（m0﹣2）+c＜0．三、解答题（本大题头5个小题，72分）14．（1）已知α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，求2α5+5β3的值．（2）关于x的不等式组只有5个整数解，求a的取值范围．15．设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，那么ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2），从而可得一元二次方程根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．（1）根据以上信息，设三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的三个根为x1，x2，x3，请推证一元三次方程根与系数的关系，即用系数a，b，c，d表达x1+x2+x3，x1x2+x1x3+x2x3和x1x2x3的值；（2）若三次方程x3+ax2+bx+c＝0的三个根分别为a，b，c，并且a，b，c为不全为0的整数，求a．b，c的值．16．如图．已知直线l1：y＝x+与直线l2：y＝﹣2x+16相交于点C，l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在直线l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合．（1）求矩形DEFG的边DE与EF的长和点G的坐标；（2）若矩形DEFG从原位置出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值和取得最大值时t的值．17．如图，已知AB为⊙O的弦，点M为AB的中点，P为⊙O上任意一点，以点P为圆心、2MO为半径作圆交⊙O于C，D两点，AC，BD交于点Q．（1）求证：点Q是△P AB的垂心；（2）判断点Q是否在⊙P上，并证明你的结论．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（0＜a＜1）的最小值为1，且直线y＝x﹣与二次函数图象的两个交点的横坐标分别为2和4．（1）求二次函数的表达式．（2）如图1，以点H（1，h）（h＞）为圆心，为半径作圆，抛物线y＝ax2+bx+c上仅有唯一点J，使得过点J向⊙H做切线的切线段JK长度最小，求h的取值范围．（3）如图2，过定点F（1，2）的直线y＝kx﹣k+2（k＞0）与抛物线y＝ax2+bx+c交于A、B两个不同点，与x轴交于R点，令θ＝∠ARO（O为坐标原点．（i）判断以A为圆心，AF为半径的圆与x轴的位置关系，并加以证明．（ii）cosθ为何值时，x轴上存在点Q，使得△ABQ为等边三角形，并求出此时△ABQ的面积．。
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高一实验班选拔考试试卷注意：(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则aa a a 1,,,33一定是 ( ) (A)a 1最小，3a 最大 (B) 3a 最小，a 最大 (C) a 1最小，a 最大 (D) a1最小， 3a 最大4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1 (C) AF 2 = FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44第4题6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ）（A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．若4sin 2A – 4sinAcosA + cos 2A = 0, 则tanA = ___ ___ .8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A 、B 两艘船相会之后，A 船以每小时12海浬的速度往南航行，B 船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形.9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 .10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。
已知大球的半径为20cm ，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.11．物质A 与物质B 分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，物质A 按逆时针方向以l 单位/秒等速运动，物质B 按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .12．设,C ,C ,C 321… … 为一群圆, 其作法如下：1C 是半径为a 的圆, 在1C 的圆内作四个相等的圆2C (如图), 每个圆2C 和圆1C 都内切, 且相邻的两个圆2C 均外切, 再在每一个圆2C 中, 用同样的方法作四个相等的圆3C , 依此类推作出,C ,C ,C 654…… , 则 (1) 圆2C 的半径长等于(用a 表示)；(第9题)(第11题)第12题(2) 圆C的半径为( k为正整数，用a表示，不必证明) k三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。
13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB.(1) 求证AD = AE；(2) 若OC=AB = 4，求△BCE的面积.第13题（1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上，∴∠ACD = 90︒，即AC⊥DE.又∵OC∥AE，O为AD中点∴AD = AE.证2∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC = AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC = AD，∴AD = AE.（2）由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又C为中点，∴AB =BE = 4，∵AD = AE，∴BC = BE = 4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE= 90︒，∴CE = BC= 4，即BE = BC = CE= 4，∴所求面积为43. 4分14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M，(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.解：(1) ∵⊿= 4p2–8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2) 设A (x 1, 0 ), B( x 2, 0),则|AB|2 = |x 2 – x 1|2 = [ (x 1 + x 2)2 – 4x 1x 2]2 = [4p 2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2, ∴|AB| = 21)1p (2+-. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S △ABM = 21|AB||b|取最小值1 . 5分15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A 队共积19分。
(1) 试判断A 队胜、平、负各几场?(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A 队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W （元），试求W 的最大值.解：（1）设A 队胜x 场，平y 场，负z 场， 得⎩⎨⎧=+=++19y x 312z y x ，可得：⎩⎨⎧-=-=7x 2z x319y 4分依题意，知x ≥0,y ≥0,z ≥0,且x 、y 、z 均为整数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥-0x 07x 20x 319 解得：27≤x ≤319 ，∴ x 可取4、5、6 4分∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1；当x=5时，y= 4,z = 3 ；当x=6时，y=1,z= 5. 4分（2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= –600x+19300当x = 4时，W最大，W最大值= –60×4+19300=16900（元）答略. 4分16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =23x－1经过这两个顶点中的一个.（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2＋bx＋c的顶点是P点.①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =3 2 x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.解：(1)如图，建立平面直有坐标系，∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，设A(m 0)（m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2);若C点过y =32x－1；则2=32(m＋3)－1,m = －1与m＞0不合；∴C点不过y=32x－1；若点D过y=32x－1，则2=32m－1, m=2,∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )，D(2,2)；5分（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)，由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，∴0420255=++=++⎧⎨⎩a b ca b c∴b ac a=-=⎧⎨⎩7102分∴y = ax2－7ax＋10a( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a )∴y = a(x－72)2－94a；∴抛物线顶点P(72, －94a)∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,∴32＜－94a ＜2,∴－98＜a＜–32. 3分②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在Rt∆DCF中，∵DF2＋DC2=CF2；∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=98, ∴F(2,98)∴当PF∥AB时，P点纵坐标为98；∴－94a =98，∴a = －12;∴抛物线的解析式为：y= －12x2＋72x－5 3分抛物线与y轴的交点为Q（0，－5），又直线y =32x－1与y轴交点（0，－1）；∴Q在直线y=32x－1下方. 3分高一实验班选拔考试数学卷评分标准一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 7．21. 8．2. 9． y = –125x 2 –21x +320.10．20. 11．( –34,–2). 12．(1) 圆2C 的半径 a )12(-； (2)圆k C 的半径 (2 –1 )n – 1 a .理科实验班招生考试数学试卷一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 1．函数y ＝1x -图象的大致形状是 （ ）A B C D2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ） A 、21 B 、π63 C 、π93 D 、π33 3．满足不等式3002005<n的最大整数n 等于 （ ）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4．甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行，相遇 后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那么， 甲车速是乙车速的 （（A ）4倍 （B ）3倍 （C ）2倍 （D ）1.5倍 5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，yxOyx OyxOyxO3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86．如图，AB ，CD 分别是⊙O 的直径和弦，AD ，BC 相交于点E ，∠AEC=α，则△CDE 与△ABE 的面积比为 （ ）（A ）cos α （B ）sin α （C ）cos 2α （D ）sin 2α7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么a 和 b 的大小为 （ ）（A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与勺子大小有关8．设A ，B ，C 是三角形的三个内角，满足B C B A 23,53<>，这个三角形是 （ ）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）都有可能 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等于 ______ .11．计算：622633++++= ________ .12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E 队比赛了 ___ 场.13．已知∠AOB=30°,C 是射线OB 上的一点，且OC=4，若以C 为圆心，半径为r 的圆与射线OA 有两个不同的交点，则r 的取值范围是_____________ 14．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1 __ ∠2 （填“>”、“<”或“=”） 三．解答题（共38分）15. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？（第14题）１６．（１２分）如图，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． （1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：AD BD +=．Ｅ１７．（１４分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B 出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q 同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE参考答案选择题 DCDCCCCB9． 110．33 11． 26 12． 6场，2场13．2r <≤ 14．＝1５．（１）解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ ，解这个不等式组，得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，3133x ∴≤≤ x 是整数，x ∴可取313233，，，∴可设计三种搭配方案：①A 种园艺造型31个 B 种园艺造型19个 ②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个 ③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型17个． （2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元 １６．证明：（1）在ABC △中，CAB CBA ∠=∠．在ECD △中，CAB CBA ∠=∠．CBA CDE ∠=∠，（同弧上的圆周角相等），ACB ECD ∴∠=∠． ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠．ACE BCD ∴∠=∠．在ACE △和BCD △中，ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；；ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=．（2）若AC BC ACB ECD ∠=∠⊥，．9045ECD CED CDE ∴∠=∴∠=∠=，．DE ∴=，又AD BD AD EA ED +=+=AD BD ∴+=１７．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ． 此时，QC=35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30．（2）如图8，若PQ ∥DC ，又AD ∥BC ，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC ，由QC=3t ，BA+AP=5t 得50＋75－5t=3t ，解得t=1258．经检验，当t=1258时，有PQ ∥DC ．（3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形H 图8ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40． 又QC=3t ，从而QE=QC ·tanC=3t ·CH DH =4t ．（注：用相似三角形求解亦可） ∴S=S ⊿QCE =12QE ·QC=6t 2；②当点E 在DA 上运动时，如图8．过点D 作DH ⊥BC 于点H ，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t ，从而ED=QH=QC －CH=3t －30．∴S= S 梯形QCDE =12(ED ＋QC)DH =120 t －600．（4）△PQE 能成为直角三角形．理科实验班招生考试数学模拟试卷一．选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1. 已知113x y+=，则5334xy x yx y xy --+-的值等于 。