高中自主招生数学试卷(含答案)

□□

高中自主招生数学试卷

题号一

二

总

分

得

分

一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上）

1．若

21x

，则3

2

(22)(122)2x x

x 的值是

．

2．有6个量杯A 、B 、C 、D 、E 、F ，它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、

23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，

还剩下一

个空量杯，而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是

．

3．各边互不相等的ABC ，两条高的长度分别为

4和12，若第三条高的长度也是整数，那

么这条高的长度等于．

4．如图

1,在

ABC 中, AB

AC ,

40A

,延长AC 到D ,使CD

BC ,点P 是

ABD 的内心,则

BPC

．

图1 图2 图3

5．

ABC 的三边长,,a b c 都为整数,且24a

bc b ca ,当ABC 为等腰三角形时,它

的三边边长分别为

．

6．如图2,凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙O ,ABCD 是矩形,AE ED ,且BE 和

CE 把AD 三等分.则此五边形ABCDE 的面积是

．

7．方程2

0x

ax b

的两根为12,x x ，且3

3

2

2

1

2

1

2

12x x x

x x x ，则有序实数对

(,)a b 共有

对．

8．如图

3,正

EFG 内接于正方形ABCD ，其中,,E F G 分别在边,,AB AD BC 上，若

2AE EB

，则

BG BC

．

二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

9．（本小题满分14分）如图，⊙

1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点B 的直线交⊙1O 与⊙

2O 于C 、D .弧BD 的中点为M ，AM 交⊙1O 于E ，交CD 于F ，连,,CE AD DM .

(1) 求证：AD EF DM CF ;

(2) 求证：

22

EF MF CE

MA

;

(3) 若5,7,2,4BC BD CF DF AM

MF ，求MF 和CE 的长.

10．（本小题满分14分）两个男孩曹俊和伍岳在

33棋盘上用黑棋子和白棋子对局，规则

如下：

（I ）他们轮流下子；（II ）每轮到一次，就把一个棋子放在棋盘的空格里；（III ）棋手轮到时，

可选择一白子或一黑子，并且不必要总用同色；

（IV ）当棋盘填满时，某一行、列或对角线

有偶数个黑棋子，曹俊就得1分，而某一行、列或对角线有奇数个黑棋子，伍岳就得1分；

（V ）棋手至少得到

8分中的5分，就算得胜．

（1）4:4和局是否可能？若可能

,请列出一种表格的情况；若不可能，请说明理由；

（2）叙述先下手的男孩的取胜策略．

11．（本小题满分16分）已知直线

12y

x 和y x m ，二次函数2

y x

px q 图象

的顶点为M

（1）若M 恰在直线12

y

x 和y

x

m 的交点处，证明无论m 取何实数值，二次函数

2

y x

px q 的图象与直线y

x m 总有两个不同的交点；

（2）在（1）的条件下，直线

y

x

m 过点)3,0(D ，二次函数2

y

x

px q 的图象

与y轴交于点C，与x轴的左交点为A，在直线

1

2

y x上求异于M的点N，使N在

CMA的外接圆上.

2012安师大附中自主招生数学答案

1.2

2.A、C（或者填16毫升、22毫升）

3.5

4.145

5.6,6,1；4,4,2；3,3,3

6.53 4

7.38.

539

9.(1)

证明：连接AB ，

BCE BAE ,BM MD ,则

BAM DAM BDM C E F D M F

与中，CEF DMF .由,

ECF

MAD CEF

AMD

CEF AMD

△∽△CF EF AD MD 即AD EF DM CF

………………5分

（2）CEF DMF △∽△,有

EF MF CE

DM

，CEF AMD △∽△，有

EF MD CE

AM

22

EF MF MD MF CE

DM AM

MA ………………9分

（3）由题意3,4BF DF

,由相交弦定理可知：

BF DF

MF AF

123,2MF MF MF

,由（2）可得2

=64CE ，

8

CE ………………14分

10.解（1）4:4和局是可能的，结局如图

1 黑白黑白黑白黑

白黑

图1

……………

5分

（2）如果有0或2个黑子的行（列或对角线，下同）的数目超过4，曹俊就会得胜。如果

有3或1个黑子，也就是有0或2个白子的行的数目超过

4，伍岳就会得胜。由于曹俊（黑）

和伍岳（白）之间的对称性，只要考虑曹俊先下手的情形就够了。

曹俊把一个黑子放在中心上，然后，不管伍岳怎样下子，曹俊总是把不同色的棋子放在

关于中心对称的方格上。这样，在他的后面4步中，每一步都保证有两条对角线之一或通过

中心的行或列有

2个黑子。此外，至少还有另一行或另一列有

2个黑子。

事实上。试考虑游戏的结局的棋盘，恰好有两角方格放着黑子，这两个黑子不能在对角上。因此，棋盘实际上类似于图

2的样子：黑

1 白

黑

黑

2 白图2