解三角形和数列练习题
周练8 解三角形,数列
周练8 解三角形，数列时间50分钟，1-12每小题60分，13题10分，14题15分，总分85分 1.等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形D ．不能确定. 3.在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,32BC =,则A C = （ ） A ．43B ．23C ．3D ．324.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += （ ）A ．7B ．5C ．-5D ．-75.在等差数列}{n a 中,已知1693=+a a ,则该数列前11项和S 11= （ ）A ．58B ．88C ．143D ．1766.观察下列各式:11,7,4,3,155443322=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a ,则=+1010b a （ ） A ．28B ．76C ．123D ．1997.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+8.定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的如下函数: ①2()f x x =; ②()2x f x =; ③()||f x x =; ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为9.．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为11.已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=12.当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =______________13.A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1,2A C B a c -+==,求C 的大小.14.在等差数列{}n a 中,16,846543==++a a a a(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值.（3）记n nn a c ⋅=2，求数列｝｛n c 的前n 项和n T。
解三角形和数列
数列和解三角形大题专练1．(2023•济宁一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，na n+1=2S n+n(n∈N*)．(1)求证：数列为常数列；(2)设，求T n．2．(2023•江宁区一模)设S n为数列{a n}的前n项和，a2=7，对任意的自然数n，恒有．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{b n}，计数列{b n}的前n项和为T n．求T102的值．3．(2023•汕头一模)已知T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求[S2023]([x]表示不超过x的最大整数)．4．(2023•广州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求a，并证明数列是等差数列；1(2)若，求正整数k的所有取值．5．(2023•广东模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，．6．(2023•宁波模拟)y=f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n-1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图象是斜率为b n(b≠0)的一条线段．已知{a n}由定义．(1)用b表示a1，a2；(2)若b=2，记T n=a1+2a2+⋯+na n，求证：．7．(2023•邵阳二模)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=2，S n+1=S n+4a n-3，记b n=log2(a n-1)+3．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)已知，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：．8．(2022秋•慈溪市期末)记x i=x1+x2+x3+⋯+x n，，x i=x1×x2×x3×⋯×x n，n∈N*，已知数列{a n}和{b n}分别满足：a i=n2，b i=()n2+n．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求a i b i．9．(2023•南平模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，，a2=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．10．(2023•杭州一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n．(1)求a2及数列{a n}的通项公式；(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列{}的前n项和T n．11．(2023•南通模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n-n+1．(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b1=a2，，求数列{b n}的前14项的和．12．(2023•杭州一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，c>a．(1)求角A；(2)若b=2，BC边上中线AD=，求△ABC的面积．13．(2023•宁波模拟)记锐角△ABC的内角为A，B，C，已知sin2A=sin B sin C．(1)求角A的最大值；(2)当角A取得最大值时，求2cos B+cos C的取值范围．14．(2022秋•温州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=1．(1)求B；(2)若，△ABC内切圆的面积为π，求△ABC的面积．15．(2023•龙岩模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B；(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值．16．(2023•湖北模拟)在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且c= 2，点D在线段BC上．(1)若，求AD的长；(2)若的面积为，求的值．17．(2023•南通模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，CD=2，．(1)若BC⊥CD，求sin∠ADC；(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为S和S2，求的最大值．118．(2023•广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．(1)证明：sin A+sin C=2sin B；(2)若，求△ABC的面积．19．(2023•平湖市模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值．20．(2023•烟台一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2b cos A=b．(1)求证：A=2B；(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题(共20小题)1．(2023•济宁一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，na n+1=2S n+n(n∈N*)．(1)求证：数列为常数列；(2)设，求T n．【解答】解：(1)证明：∵na n+1=2S n+n，+n-1，n≥2，∴(n-1)a n=2S n-1两式相减得：na n+1-(n-1)a n=2a n+1，∴na n+1=(n+1)a n+1，+1)=(n+1)(a n+1)，∴n(a n+1∴，(n≥2)，又a2=2S1+1=2a1+1=3，∴，上式也成立，∴数列为常数列；(2)由(1)得，∴a n=2n-1，∴=，∴，两式相减得=，∴．2．(2023•江宁区一模)设S n为数列{a n}的前n项和，a2=7，对任意的自然数n，恒有．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{b n}，计数列{b n}的前n项和为T n．求T102的值．【解答】解：(1)a2=7，对任意的自然数n，恒有，可得n=1时，a1=2a1-3，解得a1=3；n=2时，2a2=2S2-6=2(a1+a2)-6，解得a1=3；n=3时，3a3=2S3-9=2(a1+a2+a3)-9，解得a3=11．当n≥2时，na n=2S n-3n变为(n-1)a n-1=2S n-1-3(n-1)，两式相减可得(n-2)a n=(n-1)a n-1-3，当n≥3时，上式变为(n-3)a n-1=(n-2)a n-2-3，上面两式相减可得a n+a n-2=2a n-1，且a1+a3=2a2，所以数列{a n}是首项为3，公差为4的等差数列，可得a n=3+4(n-1)=4n-1；(2)集合A={x|x=4n-1，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，集合A∪B中的所有元素的最小值为3，且3，27，243三个元素是{b n}中前102项中的元素，且是A∩B中的元素，所以T102=(a1+a2+a3+...+a100)+9+81=×100×(3+400-1)+90=20190．3．(2023•汕头一模)已知T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求[S2023]([x]表示不超过x的最大整数)．【解答】解：(1)T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=，可得n≥2时，==，即为=，两边取3为底的对数，可得(n-1)log3a n=n log3a n-1，即为==...==1，所以log3a n=n，则a n=3n，对n=1也成立，所以a n=3n，n∈N*；(2)b n===1-，数列{b n}的前n项和为S n=n-(++...+)>n-2(++...+)=n-1+，所以S2023>2023-1+=2022+>2022，又S2023=2023-(+...+)<2023，所以[S2023]=2022．4．(2023•广州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求a1，并证明数列是等差数列；(2)若，求正整数k的所有取值．【解答】解：(1)证明：∵①，∴当n=1时，S1+2=2a1+1，解得a1=1，当n≥2时，S n-1+2n-1=2a n-1+1②，由①-②得a n+2n-1=2a n-2a n-1，即a n-2a n-1=2n-1，∴-=，又，∴数列{}是首项为，公差为的等差数列；(2)由(1)得=+(n-1)=n，即a n=n•2n-1，∴S n=1+2×2+3×22+...+n•2n-1③，2S n=2+2×22+3×23+...+n•2n④，由③-④得-S n=1+2+22+...+2n-1-n•2n=-n•2n=(1-n)2n-1，∴S n=(n-1)•2n+1，则S2k=(2k-1)•22k+1，2=k2•22k-1，∵，∴k2•22k-1<(2k-1)•22k+1，即k2-4k+2-<0，令f(x)=x2-4x+2-，∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2在(2，+∞)上单调递减，y=-在(2，+∞)上单调递减，∴f(x)=x2-4x+2-在(2，+∞)上单调递减，又f(1)=1-4+2-=-<0，f(2)=4-8+2-=-<0，f(3)=9-12+2-=-<0，f(4)=2->0，要使，即f(x)<0，故正整数k的所有取值为1，2，3．5．(2023•广东模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，．【解答】解：(1)∵，∴n≥2时，S1+2S2+⋯+(n-1)S n-1=(n-1)3，相减可得：nS n=n3-(n-1)3，可得S n=3n-3+，n=1时，a1=S1=1．n≥2时，a n=S n-S n-1=3n-3+-[3(n-1)-3+]=3+-，n=1时，上式不满足，∴a n=．(2)证明：n=1时，b1=1，n≥2时，b n=na n=3n+1-=3n-，当n≥3时，数列{b n}的前n项和为T n=1+6-1+3×(3+4+⋯+n)-(++⋯+)=6+3×-(++⋯+)=-3-(++⋯+)，要证明当n≥3时，，即证明当n≥3时，1≤++⋯++，令f(n)=++⋯++-1，n=3时，f(3)=0成立，而f(n)单调递增，因此当n≥3时，1≤++⋯++成立，即当n≥3时，．6．(2023•宁波模拟)函数y=f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n-1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图象是斜率为b n (b ≠0)的一条线段．已知数列{a n }由定义．(1)用b 表示a 1，a 2；(2)若b =2，记T n =a 1+2a 2+⋯+na n ，求证：．【解答】解：(1)由题意可得，，，解得：，；证明：(2)当b =2时，由，得，∴，则，∴T n =a 1+2a 2+⋯+na n =(1+2+...+n )-()=()，令P n =，则，∴==，∴，则>．7．(2023•邵阳二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=2，S n +1=S n +4a n -3，记b n =log 2(a n -1)+3．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)已知，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：．【解答】解：(1)由S n +1=S n +4a n -3，可得S n +1-S n =4a n -3，即a n +1=4a n -3，即有a n +1-1=4(a n -1)，可得a n -1=(a 1-1)•4n -1=4n -1，则b n =log 2(a n -1)+3=log 24n -1，+3=2n +1；(2)证明：=(-1)n +1•=(-1)n +1•(+)，当n为偶数时，T n=(+)-(+)+...-(+)=(-)，由{-}在n∈N*上递增，可得T n≥T2=(-)=；当nn为奇数时，T n=(+)-(+)+...+(+)=(+)，由>0，可得T n>>．所以．8．(2022秋•慈溪市期末)记x i=x1+x2+x3+⋯+x n，，x i=x1×x2×x3×⋯×x n，n∈N*，已知数列{a n}和{b n}分别满足：a i=n2，b i=()n2+n．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求a i b i．【解答】解：(1)∵a i=n2，b i=()n2+n，∴n≥2时，a n=n2-(n-1)2=2n-1，b n===3n．n=1时，a1=1，b1=3，满足上式，∴a n=2n-1，b n=3n．(2)a n b n=(2n-1)3n．∴a i b i=T n=3+3×32+5×33+⋯+(2n-1)3n，3T n=32+3×33+⋯+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1，相减可得：-2T n=3+2(32+33+⋯+3n)-(2n-1)3n+1=3+2×-(2n-1)3n+1，化为：T n=(n-1)3n+1+3，即a i b i=(n-1)3n+1+3．9．(2023•南平模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，，a2=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【解答】解：(1)因为a n+1=S n+1-S n，所以由，得，所以，所以，即．在中，令n=1，得，所以a1=1．所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，即：．当n≥2时，，a1=1也适合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．(2)由(1)知，，所以，因为b n>0，所以T n随着n的增大而增大，所以，又显然，所以，即T n的取值范围为．10．(2023•杭州一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n．(1)求a及数列{a n}的通项公式；2(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：(1)由题意，当n=1时，S1+2=a1+2=2a1，解得a1=2，当n=2时，S2+2=2a2，即a1+a2+2=2a2，解得a2=4，当n≥2时，由S n+2=2a n，可得S n-1+2=2a n-1，两式相减，可得a n=2a n-2a n-1，整理，得a n=2a n-1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2•2n-1=2n，n∈N*．(2)由(1)可得，，，在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，则有a n+1-a n=(n+1)d n，∴，∴，∴T n=++•••+=+++•••+，，两式相减，可得T n=+++•••+-=1+-=-，∴T n=3-．11．(2023•南通模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n-n+1．(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b1=a2，，求数列{b n}的前14项的和．【解答】解：(1)S n=2a n-n+1⋯①，则S n+1=2a n+1-(n+1)+1⋯②，②-①，得a n+1=2a n+1-2a n-1，即a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2(a n+1)，即，令S n=2a n-n+1中n=1，得S1=a1=2a1-1+1，解得a1=0，则a1+1=1，∴{a n+1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，则，∴，且，∴当n为偶数时，，即，∴b1+b2+⋯+b14=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+⋯+(b12+b13)+b14=1+21-1+23-1+⋯+211-1+212-1=．12．(2023•杭州一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，c>a．(1)求角A；(2)若b=2，BC边上中线AD=，求△ABC的面积．【解答】解：(1)∵2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，∴由正弦定理得2sin C sin A cos B+2sin B sin A cos C=3sin A，∵sin A>0，∴sin C cos B+sin B cos C=，∴sin(B+C)=，∵A+B+C=π，∴sin A=，∵c>a，∴；(2)∵，则，b=2，BC边上中线AD=，故，解得，∴．13．(2023•宁波模拟)记锐角△ABC的内角为A，B，C，已知sin2A=sin B sin C．(1)求角A的最大值；(2)当角A取得最大值时，求2cos B+cos C的取值范围．【解答】解：(1)∵sin2A=sin B sin C，∴在锐角△ABC中，由正弦定理得a2=bc，∴，∵0<A≤，故角A的最大值为；(2)由(1)得，则C=-B，则=，在锐角△ABC中，<B<，∴B+∈(，)，∴sin(B+)∈(，)，故2cos B+cos C的取值范围为(，)．14．(2022秋•温州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=1．(1)求B；(2)若，△ABC内切圆的面积为π，求△ABC的面积．【解答】解：(1)因为=1，∴b cos C+b sin C-a-c=0，根据正弦定理可得：sin B cos C+sin B sin C-sin A-sin C=0又A+B+C=π，∴sin B cos C+sin B sin C-sin(B+C)-sin C=0，∴sin B sin C-cos B sin C-sin C=0，又C∈(0，π)，∴sin C>0，∴，∴，又B∈(0，π)，∴，∴，∴；(2)∵△ABC内切圆的面积为π，所以内切圆半径r=1．由于，∴，①由余弦定理得，b2=(a+c)2-3ac，∴b2=48-3ac，②联立①②可得，即，解得或(舍去)，∴．15．(2023•龙岩模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B；(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值．【解答】解：(1)△ABC中，，所以+=，由正弦定理得，=，因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，所以=；又因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin B=cos B，即tan B=，又因为B∈(0，π)，所以B=．(2)因为D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，所以∠BDC=2θ，AD=BD=3，DC=1，AC=4，在△ABC中，由正弦定理得，=，所以BC==8sinθ，在△BDC中，由余弦定理得，BC2=BD2+CD2-2BD•CD cos2θ=10-6cos2θ，所以64sin2θ=10-6cos2θ，所以52sin2θ=4，解得sin2θ=，又因为θ∈(0，)，所以sinθ=．16．(2023•湖北模拟)在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且c= 2，点D在线段BC上．(1)若，求AD的长；(2)若的面积为，求的值．【解答】解：(1)由，得2sin B sin(A+)=sin A+sin C=sin A+sin A cos B+ cos A sin B，∴sin A sin B+sin B cos A=sin A+sin A cos B+cos A sin B，∴sin B-cos B=2sin(B-)=1，又B∈(0，π)，∴B-=，∴B=，∵，∴∠ADB=，在△ABD中，由正弦定理得=，∴=，解得AD=；(2)设CD=t，则BD=2t，又S△ABC=3，∴×2×3t×=3，解得t=2，∴BC=3t=6，又AC===2，在△ABD中，由正弦定理可得=，∴sin∠BAD=2sin∠ADB，在△ACD中，由正弦定理可得=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC，∴==2．17．(2023•南通模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，CD=2，．(1)若BC⊥CD，求sin∠ADC；(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为S和S2，求的最大值．1【解答】解：(1)∵BC⊥CD，∴，，，，，∴sin∠ADC=sin(∠BDC+∠ADB)=sin∠BDC cos∠ADB+cos∠BDC sin∠ADB=；(2)设∠BAD=α，∠BCD=β，∴，∴，∴①，==，当且仅当，时取最大值，综上，，的最大值是．18．(2023•广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．(1)证明：sin A+sin C=2sin B；(2)若，求△ABC的面积．【解答】证明：(1)∵a，∴，∴a(1+cos C)+c(1+cos A)=3b，∴由正弦定理可得，sin A(1+cos C)+sin C(1+cos A)=3sin B，∴sin A+sin A cos C+sin C+sin C cos A=3sin B，∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B，∵A+B+C=π，∴sin A+sin C+sin B=3sin B，∴sin A+sin C=2sin B；(2)∵sin A+sin C=2sin B，∴a+c=2b，∵b=2，∴a+c=4①，∵，∴bc cos A=3，∴a2=b2+c2-2bc•cos A，即a2=4+c2-6，∴c2-a2=2，即(c-a)(c+a)=2，∴c-a=②，联立①②解得，a=，c=，∴，∴sin A=，∴S△ABC===．19．(2023•平湖市模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值．【解答】解：(1)左边=，右边=，由题意得⇒sin(B+C)+cos(B +C)=0⇒tan(B+C)=-1，即tan A=1，又因为0<A<π，所以；(2)由，由余弦定理得，，，当且仅当b=c 时取“等号”，而，故．20．(2023•烟台一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2b cos A=b．(1)求证：A=2B；(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．【解答】证明：(1)∵c-2b cos A=b，∴由正弦定理可得，sin C-2sin B cos A=sin B，∵A+B+C=π，∴sin(A+B)=sin C，∴sin(A+B)-2sin B cos A=sin A cos B+cos A sin B-2sin B cos A=sin B，∴sin(A-B)=sin B，∵△ABC为锐角三角形，∴A∈(0，)，B∈(0，)，∴A-B∈，∵y=sin x在(-，)上单调递增，∴A-B=B，即A=2B；(2)解：∵A=2B，∴在△ABD中，∠ABC=∠BAD，由正弦定理可得，=，∴AD=BD=，∴=，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，∴，∴△ABD面积的取值范围为()．。
解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)
解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，当n≥2时，S n=2a n﹣1+1，②，﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。
小测试题5.数列-立体几何 ,解三角形,数列
东盟中学2018级高二小测试题（一）一选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.二、解答题：本大题共2小题，共20分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.()()()()()()()00001.1120.150.60.302.,31,3,,13,4.5.322.2.mA BP M N m-----=过两点、的直线的倾斜角为在过经A.、两点的直线上，则AB CBDC已知点D()()()()()2203.04.,,,,4,60,42.843.1.335.36y ax b a bABC A B C a b c a b c C abπ=++=+-==-=-V直线的图象可能是若的内角所对的边满足且则A. B C D某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为A. .4.24.34πππ++B C D()()()6.12,,,,,2,3sin4sincossin2.162ABC A B C a b c b c a c B a C BBπ+==⎛⎫+⎪⎝⎭V本小题满分分在中，内角所对的边分别为已知求的值；求的值(){}{}(){}{}(){}2224517.12,1,8.442,2n n n n n n n n n n a n S S n n b b a b a a b c a b c n P ABCD ABCD AC BD O OP ABCD M PC AC BD OP =-+===-⊥=== 本小题满分 分 设数列 的前 项和为 且 在正项等比数列 中， 求 , 的通项公式；设 ,求数列 的前 项和. 如图，四棱锥 的底面 是菱形， 与 交于点 ， 底面 ， 点 为 中点， ， ， 。
()()12AP BM ABM PAC 求直线 与 所成角的余弦值；求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.东盟中学2018级高一小测试题：数列与立体几何答案：1-5 ACDAD6.7.8.。
高中数学必修5解三角形、数列、不等式测试题
高中数学必修5解三角形、数列、不等式测试题（考试时间120分钟，总分150分）一．选择题 (本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上)1.已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab2C ．2a－2b<0 D.1a >1b2．sin15°cos45°＋cos15°sin45°等于( ) A ．0B ．21 C ．23 D ．13.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．21B ．23 C.1 D.34.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1015.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 6.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 （ ） A. 3B. 4C. 5D. 67.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>8.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 9．若)4πtan(α-＝3，则tan α 等于( ) A ．－2 B ．21-C ．21 D ．210．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 15＋a 21=8，则a 12等于（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－211．下列各式中，值为23的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°12．关于x 的方程2210ax x +-=至少有一个正的实根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－1二．填空题（共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡上） 13．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝14. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为15.不等式21131x x ->+的解集是 ． 16. 已知数列{}n a 满足23123222241n n n a a a a ++++=-，则{}n a 的通项公式 三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，并把正确解答过程写在答题卡上）17. （10分）(1) 解不等式0542<++-x x ，(2)求函数的定义域：5y =18．（12分）等差数列{}n a 满足 212=a ，155=a ，求通项n a 及前n 项和的最大值．19.(12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b是方程220x -+=的两个根， 且2()1coc A B +=。
解三角形数列(2)
选择题1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解2．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6C.3π4D.π3 3．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°4．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( ) A ．30 mB.152 3 m C ．15 3 m D ．45 m6．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( ) A.152B.15 C ．2 D ．37．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )A ．1＜a ＜3B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3C.3＋33D ．2＋ 3 9．在△ABC 中，下列结论：①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则b a的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，2)D ．(2，3)11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n ＋1＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列中a 10等于( )A ．－7B ．11C ．12D ．－612．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞875 B ．d ＜825C.875＜d ＜325D.875＜d ≤325填空题13．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.14．△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C＝________. 15．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC的周长是________．16______行，第______列.解答题17．已知△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，满足a ＋c ＝2b 且2cos2B －8cos B ＋5＝0，求∠B 的大小并判断△ABC 的形状．18．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定∠C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．19．△ABC 的周长为20，BC 边的长为7，∠A ＝60°，求它的内切圆半径．20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足b 2＝ac ，cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求三边a 、b 、c 的长度． 21．已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N ＋)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100.。
高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.2.在△ABC中，若最大角的正弦值是，则△ABC必是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形【答案】【解析】根据题意,因为是最大角,所以角只能是,所以是钝角三角形．【考点】特殊函数值;三角形的判断．3.两地相距，且地在地的正东方。
一人在地测得建筑在正北方，建筑在北偏西；在地测得建筑在北偏东，建筑在北偏西，则两建筑和之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在△ABD中又∴点A、B、C、D四点共园，圆心是BC的中点(在同园或等圆中，同弧所对的圆周角相等) ，同理在Rt△ABC中，在Rt△BCD中【考点】解三角形4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.5.在某次测量中，A在B的北偏东，则B在A的方向.【答案】南偏东【解析】根据题意，由于在某次测量中，A在B的北偏东，则可知B在A的南偏东方向.可知答案为南偏东【考点】方位角点评：主要是考查了方位角的求解，属于基础题。
6.对于,有如下命题：①一定有成立.②若, 则一定为等腰三角形；③若的面积为，BC=2，，则此三角形是正三角形；则其中正确命题的序号是 . (把所有正确的命题序号都填上)【答案】①②③【解析】根据题意，由于①结合投影的定义可知，一定有成立.②若, 则一定为等腰三角形；利用解三角形方程可成立③若的面积为，BC=2，，则此三角形是正三角形；利用解三角形可知成立，故可知答案为①②③【考点】解三角形点评：考查了解三角形的运用，属于基础题。
7.如图，在△中，已知，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.【答案】【解析】解：在△中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴, 5分∴, ∴ 7分∴在△中，∵，∴， 11分∴ 15分【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理的运用，属于基础题。
解三角形、数列2018全国数学高考分类真题[含答案解析]
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解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，=2a n﹣1+1，②，当n≥2时，S n﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。
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解三角形和数列
1. (2016·山东淄博三模，16，12分)在△ABC 中，sin A ＝sin B ＝－cos C .
(1)求角A ，B ，C 的大小；(2)若BC 边上的中线AM ＝7，求△ABC 的面积．
2. (2016·秦皇岛一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足2AB →·AC →
＝a 2－(b ＋c )2.
(1)求角A 的大小；(2)求23cos 2C
2－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4π3－B 的最大值，并求取得最大值时角B ，C 的大小．
3. (2013·课标Ⅱ，17，12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .
(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
4. (2015·湖南，17，12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．
(1)证明：B －A ＝π
2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．
5. (2015·课标Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求sin B
sin C
；(2)若AD＝1，DC＝2
2
，求BD和AC的长．
6. (2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a cos B.
(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a2
4
，求角A的大小．
7. (2016·山东，16，12分，中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan A＋tan B)
＝tan A cos B ＋tan B cos A.
(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cos C的最小值．
8. (2016·课标Ⅰ，17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .
(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为33
2，求△ABC 的周长．
9. (2015·安徽芜湖三模，5)在等差数列{a n }中，a 9＝1
2
a 12＋6，则该数列的前11项和为( )
A ．12
B ．72
C ．132
D ．192
10. (2015·江西九江二模，13)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－
1
a n ＋1
，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________．
11. (2015·课标Ⅰ，17，12分)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2
n ＋2a n ＝4S n ＋3.
(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和．
12. (2016·浙江舟山一模，16，14分)已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝1
2a 2n ＋12
a n (n ∈N *
)．
(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．
13. (2014·大纲全国，18，12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.
①求{a n }的通项公式；②设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .
14. (2016·吉林长春一模，18，12分)在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23.
(1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．
15. (2015·河南郑州二模，20，12分)数列{a n }满足a 1＝1
2
，a n ＋1＝
1
2－a n
(n ∈N *)． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m
20成立，求正整数m 的最大
值．
16. (2016·陕西宝鸡质检，19，12分)已知数列{a n}满足a1＝5，a2＝5，a n＋1＝a n＋6a n－1(n≥2)．
(1)求证：{a n＋1＋2a n}是等比数列；
(2)求数列{a n}的通项公式．。