【精品】2017年江苏省盐城中学九年级上学期期中数学试卷带解析答案

2016-2017学年江苏省盐城中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下面的函数是二次函数的是（）A．y=3x+1 B．y=x2+2x C．D．2．（3分）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正七边形3．（3分）若数据a1、a2、a3的平均数是3，则数据2a1、2a2、2a3的平均数是（）A．2 B．3 C．4 D．64．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=05．（3分）抛物线y=2x2如何平移可得到抛物线y=2（x﹣3）2﹣4 （）A．向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．向右平移3个单位，再向上平移4个单位D．向右平移3个单位，再向下平移4个单位6．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（）A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.21 7．（3分）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）有一组数据：﹣3、﹣4、0、2、7，则这组数据的极差．10．（3分）母线长为2cm，底面圆的半径为1cm的圆锥的侧面积是cm2．11．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为6的圆，则B、E两点间的距离为．12．（3分）抛物线y=2（x﹣1）2+2沿y轴翻折所得的抛物线的解析式是．13．（3分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG=°．14．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为80分、85分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是．15．（3分）如图，某数学兴趣小组将边长为1的正方形铁丝框ABCD变形为以A 为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为．16．（3分）学校有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h （单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=10t﹣t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是s．17．（3分）若二次函数y=（x﹣1）2+k的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是．18．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是．三、解答题：（本大题共有10小题，其中第19题～22题每题8分，第23题～26题每题10分，第27题、第28题每题12分，共96分）19．（8分）求下列二次函数的顶点坐标．（1）y=x2﹣4x+8（2）y=﹣2x2﹣6x+3．20．（8分）如图，扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm．（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求弧AB的长及扇形OAB的面积．21．（8分）已知抛物线y=x2﹣mx+m﹣2．（其中m是常数）（1）求证：不论m取何值，该抛物线与x轴一定有两个不同的交点；（2）不论m取何值，抛物线都经过一个定点，则这个定点的坐标为．22．（8分）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的关系式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集（直接写出答案）．23．（10分）某班为确定参加学校投篮比赛的人选，在A、B两位投篮高手间进行了6此投篮比赛，每次10投，将他们的命中成绩统计如下：请根据统计图所给信息，完成下列问题：（1）完成表格的填写；（2）如果这个班只能在A、B之间选派一名学生参赛，该选派谁呢？请你利用学过的统计量对问题进行多角度分析说明，并作出决策．24．（10分）如图，抛物线y=x2﹣x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC 相交于点E．（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．25．（10分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．26．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）27．（12分）【发现】数学兴趣小组在一次数学学习研讨中，发现如下命题：如图1，AB∥CD，连接AC、AD、BC、BD，则S△ACD S△BCD（填＞、＜或=）；【应用】如图2，半圆的直径AB=26，C、D是半圆的3等分点，求弦AC、弦AD 与弧CD围成的阴影部分的面积；【探究】（1）如图3，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥EF∥CD，AB=26，CD=10，EF=24，求图中阴影部分面积．（2）如图3，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥EF∥CD，AB=a，CD=b，EF=c，则a、b、c满足什么关系时图中阴影部分面积等于圆的面积的一半．（直接写出结果）28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a（x+1）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为﹣4．（1）直接写出点A的坐标，点B的坐标；（2）求出二次函数的解析式；（3）如图1，在平面直角坐标系xOy中找一点D，使得△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，试求出点D的坐标；（4）如图2，若过点M作直线MN∥y轴，点P是直线MN上的一个动点，是否存在某一位置使得∠APC=45°，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省盐城中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下面的函数是二次函数的是（）A．y=3x+1 B．y=x2+2x C．D．【解答】解：A、y=3x+1，二次项系数为0，故本选项错误；B、y=x2+2x，符合二次函数的定义，故本选项正确；C、y=，二次项系数为0，故本选项错误；D、y=，是反比例函数，故本选项错误．故选：B．2．（3分）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正七边形【解答】解：A、正三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、正四边形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；C、正五边形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题；D、正七边形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．3．（3分）若数据a1、a2、a3的平均数是3，则数据2a1、2a2、2a3的平均数是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵数据a1、a2、a3的平均数是3，∴a1+a2+a3=9，∴（2a1+2a2+2a3）÷3=18÷3=6，故选：D．4．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故选：B．5．（3分）抛物线y=2x2如何平移可得到抛物线y=2（x﹣3）2﹣4 （）A．向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．向右平移3个单位，再向上平移4个单位D．向右平移3个单位，再向下平移4个单位【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x﹣3）2﹣4 的顶点坐标为（3，﹣4），因为把点（0，0）先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可得到点（3，﹣4），所以把抛物线y=2x2先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线y=2（x﹣3）2﹣4．故选：D．6．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（）A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.21【解答】解：∵x=6.17，y=﹣0.01；x=6.18，y=0.02，∴当6.17＜x＜6.18时，y=0，即方程ax2+bx+c=0的一个解的范围为6.17＜x＜6.18．故选：B．7．（3分）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b应经过二、四象限，故A可排除；B、由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b应经过一、二、四象限，故B可排除；C、由二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b应经过一、三象限，故C可排除；正确的只有D．故选：D．8．（3分）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合【解答】解：∵I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，故C正确，不符合题意；∴=，∴BD=CD，故A正确，不符合题意；∵∠DAC=∠DBC，∴∠BAD=∠DBC，∵∠IBD=∠IBC+∠DBC，∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，故B正确，不符合题意；故选：D．二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）有一组数据：﹣3、﹣4、0、2、7，则这组数据的极差11．【解答】解：这组数据的极差是7﹣（﹣4）=11；故答案为：11．10．（3分）母线长为2cm，底面圆的半径为1cm的圆锥的侧面积是2πcm2．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1cm，∴圆锥的底面周长为：2πr=2πcm，∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的周长，∴圆锥的侧面积为：lr=×2×2π=2πcm2，故答案为：2π．11．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为6的圆，则B、E两点间的距离为12．【解答】解：连接BE、AE，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF=∠AFE=120°，FA=FE，∴∠FAE=∠FEA=30°，∴∠BAE=90°，∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径，∵正六边形ABCDEF内接于半径为6的圆，∴BE=12，即则B、E两点间的距离为12，故答案为：1212．（3分）抛物线y=2（x﹣1）2+2沿y轴翻折所得的抛物线的解析式是y=2（x+1）2+2．【解答】解：∵点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”∴y=2（x﹣1）2+2=2（﹣x﹣1）2+2，即y=2（x+1）2+2．故答案为：y=2（x+1）2+213．（3分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG= 45°．【解答】解：设正八边形ABCDEFGH的外接圆为⊙O；∵正八边形ABCDEFGH的各边相等，∴圆周长，∴=90°，∴圆周角∠ACG=．故答案为45°．14．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为80分、85分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是86.5．【解答】解：根据题意得：80×+85×+90×=16+25.5+45=86.5（分）故答案为：86.5．15．（3分）如图，某数学兴趣小组将边长为1的正方形铁丝框ABCD变形为以A 为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为1．【解答】解：由题意=CD+BC=1+1=2，S扇形ABD=••AB=×2×1=1，故答案为1．16．（3分）学校有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h （单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=10t﹣t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是10s．【解答】解：当h=0时，可得10t﹣t2=0，解得：t=0或t=10，所以水流从喷出至回落到地面所需要的时间是10s，故答案为：10．17．（3分）若二次函数y=（x﹣1）2+k的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是y2＜y1＜y3．【解答】解：∵y=（x+﹣1）2+k，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，A（﹣1，y1）关于直线x=1的对称点是（3，y1），∵2＜3＜5，∴y2＜y1＜y3，故答案为y2＜y1＜y3．18．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是①③④⑤．【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴a＞0，﹣=1，﹣2＜c＜﹣1，∴b＜0，abc＞0，结论①正确；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∴当x=2时，y=4a+2b+c＜0，结论②错误；③∵a＞0，b＜0，c＜0，∴4ac＜0，b2＜0，∴4ac﹣b2＜0＜8a，结论③正确；④当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，∴a﹣b=﹣c．∵b=﹣2a，∴3a=﹣c．又∵﹣2＜c＜﹣1，∴＜a＜，结论④正确；⑤∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，a＞0，∴﹣b+c＜0，∴b＞c，结论⑤正确．综上所述：正确的结论有①③④⑤．故答案为：①③④⑤．三、解答题：（本大题共有10小题，其中第19题～22题每题8分，第23题～26题每题10分，第27题、第28题每题12分，共96分）19．（8分）求下列二次函数的顶点坐标．（1）y=x2﹣4x+8（2）y=﹣2x2﹣6x+3．【解答】解：（1）∵y=（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为（2，4）；（2）∵y=﹣2（x+）2+，∴顶点坐标为（﹣，）．20．（8分）如图，扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm．（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求弧AB的长及扇形OAB的面积．【解答】解：（1）如图所示：（2）的长度：=4π（cm）；S扇形==12π（cm2）．21．（8分）已知抛物线y=x2﹣mx+m﹣2．（其中m是常数）（1）求证：不论m取何值，该抛物线与x轴一定有两个不同的交点；（2）不论m取何值，抛物线都经过一个定点，则这个定点的坐标为（1，﹣1）．【解答】解：（1）∵△=（﹣m）2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4≥4，∴不论m取何值，该抛物线与x轴一定有两个不同的交点；（2）∵y=x2﹣mx+m﹣2=x2+（1﹣x）m﹣2，∴不论m为何值时，x=1时y=﹣1，即这个定点的坐标为（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．22．（8分）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的关系式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集（直接写出答案）．【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（3，2）代入解析式得：，解得：b=﹣3，c=2，则函数解析式为y=x2﹣3x+2；将点A（1，0代入y=x+m可得1+m=0，解得：m=﹣1；（2）由函数图象可知不等式的解集为x＜1或x＞3．23．（10分）某班为确定参加学校投篮比赛的人选，在A、B两位投篮高手间进行了6此投篮比赛，每次10投，将他们的命中成绩统计如下：请根据统计图所给信息，完成下列问题：（1）完成表格的填写；（2）如果这个班只能在A、B之间选派一名学生参赛，该选派谁呢？请你利用学过的统计量对问题进行多角度分析说明，并作出决策．【解答】解：（1）（2）从平均数看，两班平均数相同，则A、B两人的成绩一样好；从中位数看，A的中位数大，所以A的成绩较好；从众数看，A的众数大，所以A的成绩较好；从方差看，B的方差小，所以B的成绩更稳定．24．（10分）如图，抛物线y=x2﹣x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC 相交于点E．（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=1或4，∴A（1，0），B（4，0）；令x=0，则y=2，∴C点坐标为（0，2），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，m2﹣m+2），∴E点的坐标为（m，﹣m+2），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=﹣m+2﹣（m2﹣m+2），整理得，d=﹣m2+2m=﹣（m﹣2）2+2，∵a=﹣1＜0，∴当m=2时，d=2最大∴D点的坐标为（2，﹣1）．25．（10分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小，∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×（0﹣1）2=5，②当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大，∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．26．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）【解答】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500，所以y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得：x1=70，x2=90，∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元，由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得：x≥82，∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．27．（12分）【发现】数学兴趣小组在一次数学学习研讨中，发现如下命题：如图1，AB∥CD，连接AC、AD、BC、BD，则S△ACD =S△BCD（填＞、＜或=）；【应用】如图2，半圆的直径AB=26，C、D是半圆的3等分点，求弦AC、弦AD 与弧CD围成的阴影部分的面积；【探究】（1）如图3，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥EF∥CD，AB=26，CD=10，EF=24，求图中阴影部分面积．（2）如图3，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥EF∥CD，AB=a，CD=b，EF=c，则a、b、c满足什么关系时图中阴影部分面积等于圆的面积的一半．（直接写出结果）【解答】解：【发现】如图1，作AE⊥CD于点E，作BF⊥CD于点F，∵AB∥CD，∴AE=BF，∵S△ACD=CD•AE、S△BCD=CD•BF，∴S△ACD=S△BCD，故答案为：=；【应用】如图2，连接OC、OD、CD，∵CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，则S阴影=S扇形COD，∵C、D是半圆的3等分点，且AB=26，∴∠COD=60°、OC=13，则S阴影=S扇形COD==；【探究】（1）如图3，连接OC、OD、OE、OF，作OM⊥CD于点M，并延长MO 交EF于点N，∵CD∥EF，∴MN⊥EF，∵CD=10，EF=24，∴CM=5、EN=12，∵OC=OE=AB=13，∴OM=EN=12、ON=CM=5，∴△OCM≌△EON（SSS），∴∠EON=∠OCM，同理知∠FON=∠ODM，则∠EOF=∠OCD+∠ODC，由【应用】知S阴影=S扇形COD+S扇形EOF=+=•π•132=•π•132=π；（2）如图4，连接OC、OD、OE、OF，延长FO交⊙O于点P，连接PE，∵S阴影=S扇形EOF+S扇形COD=S⊙O，S扇形EOF+S扇形POE=S⊙O，∴S扇形COD=S扇形POE，∴∠COD=∠POE，∴PE=CD=b，∵PF是⊙O的直径，∴∠PEF=90°，∵PF=a、EF=c，∴PF2=EF2+PE2，即a2=b2+c2，∴a2=b2+c2时图中阴影部分面积等于圆的面积的一半．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a（x+1）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为﹣4．（1）直接写出点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（3，0）；（2）求出二次函数的解析式；（3）如图1，在平面直角坐标系xOy中找一点D，使得△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，试求出点D的坐标；（4）如图2，若过点M作直线MN∥y轴，点P是直线MN上的一个动点，是否存在某一位置使得∠APC=45°，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当y=0时，a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；故答案为（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），把（1，4）代入y=a（x+1）（x﹣3）得a•2•（﹣2）=4，解得a=﹣1，∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3；（3）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，则C（0，﹣3），设D（x，y），∴AC2=12+32=10，DC2=x2+（y+3）2，AD2=（x+1）2+y2，∵△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴2[x2+（y+3）2]=10，2[（x+1）2+y2]=10，解得x=1，y=﹣1或x=﹣2，y=﹣2，∴D（1，﹣1）或（﹣2，﹣2）；（4）由（2）得点A、C在以D点为圆心，DA为半径的圆上，∠AOC=90°，∵∠APC=45°，∴点P为以D点为圆心，DA为半径的圆与直线x=1的交点，设P（1，t），当D（1，﹣1），A（﹣1，0），∵DP=DA，∴（t+1）2=22+12，解得t1=﹣1+，t2=﹣1﹣，此时P点坐标为（1，﹣1+），（1，﹣1﹣）；当D（﹣2，﹣2），A（﹣1，0），∵DP=DA，∴32+（t+2）2=22+12，方程没有实数解，综上所述，点P的坐标为（1，﹣1+），（1，﹣1﹣）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。