6-4万有引力理论的成就

3 ． 海 王 星 是 在 ________ 年 ________ 月 ________ 日 德 国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现的，发现的过程是： 发现________的实际运动轨道与______________________ 的轨道总有一些偏差，根据观察到的偏差数据和万有引力 定律计算出__________________，并预测可能出现的时刻 和位置；在预测的时间去观察预测的位置．
GMr2m＝mvr2＝mω2r＝m4Tπ22·r
(2)恒星或行星的质量M＝4GπT2r23. (3)说明：①此种方法只能求解中心天体的质量，而 不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量．
②若已知星球表面的重力加速度g′和星球的半径， 忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物 体的重力，有GMRm2 ＝mg′，所以M＝g′GR2.
答案：3.03×103kg/m3
点评：理解重力和万有引力不同时，常以星球赤道处 的物体为例研究其做的圆周运动．注意，当F引全部充当向 心力时，物体就飘起．
某行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星周期是T，
试证明ρT2为一个常数．
证明：将行星看做一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运 动的向心力由万有引力提供．
解析：本题的关键是明确双星问题中两星做匀速圆周 运动的向心力，由彼此间的引力提供，即F向大小相等，且 ω相同，再由牛顿第二定律分别对两星列方程求解．
如图所示，双星绕一圆心O做匀速圆周运动，所需 要的向心力，由双星间彼此相互吸引的万有引力提 供．
故：F向＝F引＝Gm1l2m2，
设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2，R1＋R2＝l， 由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相 同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
其他天体的质量和密度．
已知万有引力常量是G，地球半径R，月球和地球之间 的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周 期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同 学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地心作圆周运动，由GMhm2 ＝m(2Tπ)2h得M ＝4GπT2h23
G(m4π1＋2l3m2)＝2πl
l G(m1＋m2).
其中GM＝g′R2是在有关计算中常用到的一个替换 关系，被称为“黄金替换”．
我国2007年10月24日发射的“嫦娥一号”(如图)，对 月球进行科学探测，进行三维立体照相，分析月球土壤的 成分；美、俄也计划于2014年前重返月球．新的一轮月球 探测已经开始．通过绕月卫星的运行参数(轨道半径r、周 期T，线速度v)可进行有关计算，下列说法正确的是( )
设在赤道和两极处所测的读数分别为F1和F2，在赤道 上，物体受万有引力和支持力(大小为所测重力F1)作用绕 行星中心做圆周运动，故由牛顿第二定律有：
GMRm2 －F1＝m4Tπ22R， 在两极，物体平衡，有：GMRm2 －F2＝0， 又F2－F1＝10%F2，即m4Tπ22R＝10%GMRm2 M＝4G0Tπ22R3 所以ρ＝MV ＝43πMR3＝G30Tπ2≈3.03×103kg/m3
海王星与冥王星的发现最终确立了 __________________，也成为科学史上的美谈．
答案：1.地球的吸引 地球的万有引力 地球半径
重力加速度
2．星球的轨道半径
运动周期T
向心力
4π2r3 GT2
3．1846 9 23 天王星 根据万有引力定律计算
出来 这颗“新”行星的运行轨道 万有引力定律的地
点评：天体质量的计算有多种方法，一定要理解在不 同条件下用不同的方法，千万别乱套公式．
宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一 个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与 落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2 倍，其他条件不变，则抛出点与落地点之间的距离为 3L. 已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有 引力常量为G，求该星球的质量M.
利用下列数据，可以计算出地球质量的是 ( ) A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g B．已知卫星绕地球匀速圆周运动的半径r和周期T C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度 v D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期 T
解析：设相对地面静止的某物体质量为m， 由GRM2m＝mg，得M＝gR2/G.∴A正确． 设卫星质量为m，由万有引力提供向心力得 GMr2m＝mr4Tπ22，得M＝4GπT2r23，∴B正确． 设卫星质量为m，由万有引力提供向心力得 GMr2m＝mvr2，得M＝vG2r，∴C正确．
太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星 上一昼夜的时间是6h.在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的 重力的读数比在两极时测量的读数小10%.已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m2/kg2，求此行星的平均密度．
解析：在赤道上，物体随行星自转的圆 周 运 动 需 要向心力．在赤道上用弹簧秤测量物体的重力比在两极时 小，正是减少的这部分提供了物体做圆周运动的向心力．
海王星被称为“从笔尖上发现的行星”，原因就是计 算出来的轨道和预测的位置跟实际观测的结果非常接近， 科学家在推测海王星的轨道时，应用的物理规律有哪些？
1 ． 地 球 上 的 物 体 具 有 的 重 力 是 由 于 __________ 而 产 生的，若不考虑地球自转的影响，地面上的物体所受的重 力等于物体受到的________________．
答案：MΔmm(Rd )2 解析：设大球M对m的引力为F，示意图如图所 示．由天平再次平衡得 mg＋F＝mg＋Δmg， 即GMdm2 ＝Δmg① 地球对大球的引力等于大球的重力，有 GMR0M2 ＝Mg② 由①②解得地球的质量M0＝MΔmm(Rd )2.
(1)所有做圆周运动的天体，如月球绕地球做圆周运动、 地球绕太阳做圆周运动……它们所需要的向心力都来自万有 引力，因此，万有引力等于向心力，这是我们研究天体运动 建立动力学方程的基本关系式．即
又∵v＝2Tπr，将r＝v2Tπ代入上式，得M＝2vπ3TG. ∴D正确．
答案：ABCD
点评：①由本题可看出，求地球质量M的方法较多，
但常用的方法是A或B中解法．
②如果已知地球的半径R地，且把地球视为球体，则
地球的体积V＝
4 3
πR3地
，根据ρ＝MV地
还可以计算出地球的平
均密度ρ.上述计算地球质量和密度的方法，也可用于计算
位
——地球质量的称量 (1)称量条件：不考虑地球自转的影响． (2)称量原理：地面上物体所受的重力等于地球对它的 万有引力．mg＝GMm/R2 (3)称量结果：M＝gR2/G＝5.96×1024kg.
1881年，科学家佐利设计了一个测量地球质量的方法： 首先，在长臂天平的两盘放入质量同为m的砝码，天平处 于平衡状态；然后，在左盘正下方放入一质量为M的大球， 且球心与砝码有一很小的距离d；接着又在右盘中加质量 为Δm的砝码，使天平又恢复平衡状态．试导出地球质量 M0的估算式________．(地球半径为R)
答案：2
3LR2 3Gt2
解析：设抛出点高度为h，因两次空中运动的时间都为
t，则根据题意有h2＋(v0t)2＝L2，h2＋(2v0t)2＝( 3L)2
由以上两式得h2＝
L2 3
，又h＝
1 2
gt2(g为行星表面的重力
加速度)所以g＝
2
3L 3t2
，由万有引力定律知
GMm R2
＝mg，得
M＝2
3LR2 3Gt2 .
所以我们只需测出________和地球表面的__________ 即可求地球的质量．
2．计算中心天体的质量，首先观测围绕中心天体运 动的______________r和____________，然后根据万有引力 提供________．由牛顿第二定律列出方程，求得中心天体 的质量M＝________________.
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正 确，请给出正确的解法和结果．
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并 解得结果．
答案：(1)M＝4π2(GRT＋22 h)3 (2)M＝4GπT2r213或M＝gGR2 解析：考查天体运动学知识以及运算能力． (1)上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不 能忽略． 正确的解法和结果：G(RM＋mh)2＝m(2Tπ2)2(R＋h) 得M＝4π2(GRT＋22 h)3
对m1 Gm1l2m2＝m1R1ω2① 对m2 Gm1l2m2＝m2R2ω2② 由①②式可得：m1R1＝m2R2， 又因为R1＋R2＝l，所以R1＝m1m＋2lm2，
R2＝m1m＋1lm2，将ω＝2Tπ，
R1＝
m2l m1＋m2
，代入①式可得：G
m1m2 l2
＝
m1m1m＋2lm2·4Tπ22，
所以T＝
设半径为R，则密度ρ与质量M、体积V的关系为M＝ρV ＝ρ43πR3
对卫星，万有引力提供向心力 由GMRm2 ＝mR4Tπ22，得Gρ43Rπ2R3＝R4Tπ22 整理得ρT2＝3Gπ为一常量.
我们的银河系中的恒星大约四分之一是双星，有一 种双星，质量分别为m1和m2的两个星球，绕同一圆心做匀 速圆周运动，它们之间的距离恒为l，不考虑其他星体的影 响，两颗星的轨道半径和周期各是多少？
经过一段时间的观测和计算之后，这颗一直被看作是 “彗星”的新天体，实际上是一颗在土星轨道外面的大行 星——天王星．
天王星被发现以后，天文学家们都想目睹这颗大行星 的真面目，在人们观测和计算中，发现天王星理论计算位 置与实际观测位置总有误差，就是这一误差，引起了人们 对“天外星”的探究，并于1864年9月23日发现了太阳系的 第八颗行星——海王星．
* 了解万有引力定律在天文学上的重要应用
** 会用万有引力定律计算天体的质量
**
理解并运用万有引力定律研究天体问题的 思路、方法