正弦定理和余弦定理复习题(含答案)

正弦定理和余弦定理复习题
班级：____________ 姓名：__________________
1．在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知()()sin sin 2sin c C a b B a b A -+=-,则C =( ) A ．3π B ．3π或23π C ．6π D ．6π或56
π 2．在ABC ∆中，角A ､B ､C 的对边分别是a ､b ､c ，若2A B =，4a =，3b =，则c 的值是（ ） A ．73c = B ．73c =或3c = C ．3c = D ．以上都不对
3．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224
a b c +-，则C = A ．π2
B ．π3
C ．π4
D ．π6 4．在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．
56π 5．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2
22b a c ac =++，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．最大角为锐角的等腰三角形
D ．最大角为钝角的等腰三角形 6．在ABC ∆中，若
cos 1cos 2cos 1cos 2b C C c B B +=+，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）
A B C D ．10
8
．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos ,b A a B c B +=b =则ABC 外接圆的面积为________.
9．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()2214
S a c =+，若
2sin sin B A C =，则角B 的值为______.
10．已知ABC ∆的面积为1cos 7
C =
，2b a -=，则c =_______.
11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.
（1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ∆=ABC ∆的周长.
12．如图,在四边形ABCD 中,2AB =,5BC =
,AC AD ⊥,2AC AD =. (1)若3BAC π
∠=,求AC ;
(2)求四边形ABCD 面积的最大值
1．A
解：()()2si in n sin s c C a b B a b A -+=-
2222c ab b a ab ∴--=-.即222
a b c ab +-=,则2221cos =22a b c C ab +-=, ()0,C π∈3C π∴=
.故选：C
2．A ∵2A B =，∴sin sin22sin cos A B B B ==，所以2cos a b B =，42cos 2233
a B
b ===⨯， 2222cos b a
c ac B =+-，2291683
c c =+-⨯，解得3c =或73c =， 当3c =时，3,4c b a ===，C B =，2180A B +=︒，但不可能有2A B =，舍去． ∴73
c =． 故选：A.
3．C 详解：由题可知222124
ABC a b c S absinC +-== 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=
所以sinC cosC
=()C 0,π∈C 4π∴= 故选C.
4．B
因为cos cos 2cos ,sin 0a B b A c C C +=≠，所以sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， sin()2sin cos A B C C +=，sin 2sin cos C C C =，1cos 2
C =， 0C π<<，3C π∴=
.
故选：B.
5．D 因为222
b a
c ac =++，所以2221cos 22c a b B ac +-==-，120B =︒，
所以sin sin sin sin(60)A C A A +=+︒-31sin cos sin sin 1223A A A A π⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭. 又03A π<<
，所以6A C π==，则ABC ∆的形状为最大角为钝角的等腰三角形. 故选D 6．D 由已知22221cos 22cos cos cos 1cos 22cos cos cos C C C b C B B B c B
+===+，cos cos C b B c ∴=或cos 0cos C B =，即90C =或cos cos C b B c =，由正弦定理，得cos cos ,cos cos b B C sinB c C B sinC
=∴=，即sin cos sin cos C C B B =，即22sin C sin B =，,B C 均为ABC ∆的内角，22C B ∴=或22180,C B B C ==∴=或90B C +=，ABC ∆∴为等腰三角形或直角三角形，故选D.
7．C
如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ，
易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=，
在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+=，同理可得225AC AB BC =+=，
在ACD ∆中，由余弦定理得2222521310cos 210252
AC AD CD DAC AC AD +-+-∠===⋅⨯⨯， 故选C ．
8．4π.
解：因为cos cos 2cos ,b A a B c B +=
由正弦定理sin sin sin a b c A B C
==可得：sin cos sin cos 2sin cos ,B A A B C B += 即sin()2sin cos ,A B C B +=即 sin 2sin cos ,C C B =又sin 0C >，
即1cos 2B =，又()0,B π∈，所以3sin B =，设ABC 外接圆的半径为R ，
则24sin 2
b R B === ，即2R =，则ABC 外接圆的面积为2224R πππ=⨯=， 故答案为：4π.
9．512
π 因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+
所以22sin 2cos ac B b ac B =+
由2sin sin B A C =
结合正弦定理，得2b =
所以2sin 2cos ac B ac B =+
)sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， 因为()0,B π∈，所以得46B ππ-
=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=. 故答案为：
512π 10．8 解：1cos 7C =
，sin C ∴=
1sin 2S ab C == 可得35ab =①，2b a -=②由①②解得：7b =，5a = 余弦定理：222
1cos 72a b c C ab
+-== 解得：8c =
故答案为：8．
11．（1）3C π
=（2
）5
试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=
12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=
⇒= （2
）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=
⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=
2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=
ABC ∆∴的周长为57+
12．21;(2)9
104.
(1)当3BAC π
∠=时,在ABC ∆中,由余弦定理得
2222cos AB AC AB AC BAC BC +-⋅⋅∠=， 设AC x =(0x >),则221
22252x x +-⨯⋅⋅=,
即2210x x --=,解得21x =， 所以21AC =；
(2)ABC ∆的面积为5sin ABC S B ∆=， 在ABC ∆中,由余弦定理得2945AC B =-, 所以,ACD ∆的面积为219
544ACD S AC B ∆==，
所以,四边形ABCD 的面积为 9
9
5510444S B B B π⎛⎫
=-=+- ⎪⎝⎭，
因为()0,B π∈,所以当34B π
=时,四边形ABCD 的面积最大, 最大值为9
104。