最新根式与分数指数幂
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
（）
⋅ ； （） · .
解： (1) ⋅ = ⋅ = ；
(2) ⋅ =
⋅ =
= .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8 8
（1）(2a b )(6a b ) ( 3a b )；（2）(m n ) ；
课堂检测：
3
2
1．将 5 写成根式的形式，正确的是 ( D )
5 3
3 2
3
A. 5
B.
5 C．
D. 53
2
4
2．计算 （－5）4的结果是 ( A )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
1
3．若 a< ，则化简 （4a－1）2的结果是 ( B )
4
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
⟹幂的乘方，底数不变，指数相乘
⟹积的乘方，等于积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘
5.分数指数幂的运算性质
注意：①法则的逆用： ①+ = > , , ∈
② =
③ =
=
= ；
=
法二：
−
法三：
−
−
根式与分数指数幂
（1） 4 1004 =100
（2）
5 (0.1)5 = －0.1
（3）
( 4)2 = | π－4 = 4 － π
（4）
|
6 ( x y)6 ( x y) = | x－y = x－y
|
阅读分数指数幂，回答以下问题： （1）分数指数幂是如何定义的； （2）有理指数幂的运算性质是怎样的；
（3）( a b ) n = a m b n
a m ÷a n = a m ×b －n = a m－n
a n
b
= ( a ×b －1 ) n = a n × b
－n
an bn
3）根式又是如何定义的？有那些规定？ 如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做 a 的平方根； 如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做 a 的立方根； 如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
练习
a ＞ 0，m、n∈N *，n ＞ 1
正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am
正数的负分数指数幂的意义：
m
a n
1
m
an
0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质： ( a＞ 0，b ＞ 0，r、s∈ Q ) （1）a r×a s = a r + s （2）( a r ) s = a rs （3）( ab ) r = a r×b r
(m n)2
(2)
3 (m n)2
2
(m n)3 (4)
p6 q5 ( p 0)
5
p3 q2
学生板演
3、求下列各式的值：
2
（1） 27 3
2.1.1根式与分数指数幂
课堂检测
D、25 D、81
6 6
A 、3 3、化简： (
2
3
B、－3
2
A）
C、 3
b ) _______ ； (a b)
3
= ；
4、计算： ( 5) =
4
；
5
32
a 1
4
________ (其中 a ≤1).
第二章 基本初等函数（Ｉ） ２.１ 指数函数
２.１.１根式与分数指数幂
导
【考纲要求】 1、通过与初中所学的知识进 行类比，了解分数指数幂的概 念及有理数指数幂的性质. 2、理解分数指数幂和根式的 概念； 掌握分数指数幂和根式之 间的互化.
1、 （1） (2)2 4 ，那么 2 就叫 4 的 二次方根 ； 33 27 ，那么 3 就叫 27 的 三次方根 ； (3)4 81 ，那么 3 就叫做 81 的 4次方根 ；
n为奇数, a的n次方根只有一个,为n a a为负数: n为偶数, a的n次方根不存在.
零的 n 次方根
n
0 0
a a；
a, a 0 a | a | a, a 0
n
当 n 为偶数时,
n
检
【反馈检测】
1、 625 的 4 次方根是（ C ） A 、5 B、－5 C、±5
=
=
2 (a 0, m N ) . (a 0, m N ) .
a
5
=
；
5
4 3
；
（1） 例例 31、
3
8
4
32 —
4
4
3
分数指数幂与根式
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数， 这时，
负数没有偶次方根，零的任何次方根是零
．
师：根据上述分析，可以得到根式的性质．
师：下面通过一些练习，巩固上述所学的内容(用幻灯逐 题演示，师生共同讨论) 例1 求下列各式的值：
为了更进一步地研究根式，下面我们引入与根式
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．n次方根的概念． 2．n次方根的有关性质及其应用． (二)能力训练点 1．培养学生运用概念分析问题的能力． 2．根据定义和性质进行逻辑推理和运算化简，提高学生 的数学应用能力． (三)德育渗透点 1．培养学生观察、分析、探究问题的科学精神． 2．通过推理和运算等训练，培养学生严谨治学、一丝不 苟的习惯． 二、教学的重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：n次方根的概念、性质、以及应用． 2．教学难点：n次方根的性质以及应用．
3．教学疑点：
4．解决方法：熟练掌握n次方根的性质． 三、课时安排 本课题安排1课时(或2课时)． 四、教学过程设计 首先回顾一下以前学过的平方根，立方根的概念，请一 位同学叙述平方根，立方根的概念． 生：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的平方根，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那 么这个数x叫做a的立方根． 师：平方根、立方根有哪些性质？
这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除 时，根式可以写成分数指数幂形式． 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式 也可以写成分数指数幂的形式． ．
应当注意：非零数的零次幂是1，即a°＝1(a≠0)，零的 正分数次
规定了分数指数幂的意义后，指数从整数推广到了有 理数．
请一位同学叙述一下以前学过的整数指数幂的运算性 质： 生：(1)am·an＝am+n；(m、n∈正)，即同底数的幂相 乘，底数不变，指数相加． (2)(am)n＝amn(m、n∈正)，即幂的乘方，底数不变， 指数相乘． (3)(ab)n=anbn(n∈正)，即积的乘方等于乘方的积． 师：上述的幂的运算性质，今后对于有理指数幂也同 样适例2 求下列各式的值用，以下可以运用幂的运 算性质进行化简求值．
2.1.1(1)分数指数幂和根式
3.根式运算性质：
问题1：若对一个数先开方，再乘方（同次）， 结果是什么？ n n ①（ a） a ，即一个数先开方，再乘方
（同次），结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次）， 结果又是什么？ 5，5 4 3 例4：求 3 (2) 2 ， 34 ， (3) 2
②
n
a , n为奇数； a | a |, n为偶数
；
5 （4）
a
10
_____, a
3
12
_______ ；
5 （5）5 2） ___,7 (3) 7 _____ （
6 （6）
(4) ____, 5 ______ .
6 4 4
1.正数的正分数指数幂的意义：
a a (a 0, m, n N *,且n 1)
说明： （1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所 举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概 念就从整数指数推广到了有理数指数；
（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于 有理数幂也同样适用，
；
a a a
r s
r s
r
r s
(a 0, r, s Q)
(a ) a (a 0, r, s Q)
n
例.求值 ①
3
(8)
3
；
② (10 ) 2 ； ③
4
(3 )
2
4
；
④ ( a b) ( a b) .
课堂练习一： 求下列各式的值:(1) 5 32
(3)4 (2)
(3)
( 2 3 )2
(4) 5 2 6
备选练习:化简下列各式:
根式和分数指数幂
12 3
8 = (8 ) = 8
2 3
n m n n m n
2 3 3
2 3
n
a =
m
(a ) = a (a > 0, m, n ∈ N *, 且n > 1)
⒈正分数指数幂的意义 正数的正分数指数幂的定义： ⑴正数的正分数指数幂的定义：
m 用语言叙述： 次幂(m,n∈N*,且n>1) 用语言叙述：正数的 n 次幂 ∈ 且
小结： 分数指数幂的意义及运算性质 小结 ①
指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， ②指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， 指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数 幂的扩充 ． 而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适 用，这样指数概念就扩充到了整个实数范围。 这样指数概念就扩充到了整个实数范围。
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是倒数： 数指数幂的意义相仿，就是倒数：
m − n
a
=
1 a
m n
=
1
n
(a>0,m,n∈N*,且n>1). ∈ 且
a
m
规定： 的正分数指数幂等于 的正分数指数幂等于0； 的负分数指 规定 ： 0的正分数指数幂等于 ； 0的负分数指 数幂没有意义. 数幂没有意义
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈R). ∈
1.正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义 m
a
n
=
− m n
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解15---n次方根与分数指数幂(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解15 n 次方根与分数指数幂1．根式的概念一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的，其中n >1，且n ∈N *.(1)当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号 表示．(2)当n 是偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记为，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作.式子na 叫做根式，其中n (n >1，且n ∈N *)叫做根指数，a 叫做被开方数．2．根式的性质根据n 次方根的意义，可以得到： (1)(na )n ＝.(2)当n 是奇数时，n a n ＝a ；当n 是偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.注意：(n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而(na n )中a ∈R . 答案：n 次方根n a ±n a n0＝0a题型一 指数与指数幂的运算1．已知4230.2,0.3,0.4a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．a b c << 【答案】B【解析】∵40.20.0016a ==，20.30.09b ==，30.40.064c ==， ∴b c a >>， 故选B ．题型二 根式、指数幂的化简、求值2．若0xy ≠=- A ．0x >，0y >B ．0x >，0y < C ．0x <，0y >D ．0x <，0y < 【答案】C【解析】0xy ≠，0x ∴≠，0y ≠．由 23000x y xy y ⎧>⎪->⎨⎪>⎩，得 00x y <⎧⎨>⎩.故选C.3．已知函数()22333xxf x =+，则12100101101101f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.【答案】50【解析】()()119999939119393939399339x xxx x xxx xx xf x f x --+-=+=+=+=++++++， 设12100101101101S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，110029950512101101101101101101S ff f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1100100=⨯=. 因此，1210050101101101f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：50.题型三 根数指数幂与根式的互化4．若()3432x --有意义，则实数x 的取值范围是 A ．(),-∞+∞B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】要使34(32)x -=-需使320x ->，解得32x <，表示为区间形式即3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选C.1 ）A ．．C 【答案】A【解析】由题意，可知0a ≥，()11111116363623a a a a a a +=-⋅=-⋅=-=-=故选：A.2．把(a -(1)a -移到根号内等于（ ）A ．．【答案】C 【解析】解：由101a-，得1a <，则10a -<，(a ∴-故选：C ．32，结果是（ ）A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．4 【答案】D【解析】2，∴29610350x x x ⎧-+≥⎨-≥⎩，∴53x ≥，22=31(35)4x x =---= 故选：D.4．某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a 倍，那么该工厂这一年的月平均增长率是（ ）A ．11a B ．12aC ．1D 1 【答案】D【解析】设月平均增长率为x ，据条件可知：()111x a +=，所以1x +=1x =， 故选：D.5．已知a =，则21211a a a a-+-化简求值的结果是（ ）A ．0B ．1．1 【答案】B【解析】由已知，01a <<22121(1)1111(1)a a a a a a a a a a-+--=----- 1111a a a a=-+-=-,代入2a ==原式211== 故选：B6．下列各式中成立的是（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C32()x y +D 3π=- 【答案】D【解析】对于A ，777n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B =B 错误； 对于C ，显然不成立，故C 错误；对于D 33ππ=-=-，故D 正确. 故选：D.7________． 【答案】1-202x x -≥⇒≤．|2||3|(2)(3)1x x x x =---=---=-． 故答案为：1-8．已知m 、n 是方程2530x x ++=的两根，则______．【答案】-【解析】对于方程2530x x ++=，2543130∆=-⨯=>，由韦达定理可得53m n mn +=-⎧⎨=⎩，0m ∴<，0n <，因此，==-=-故答案为：-9．化简：（1（2|3)x <【答案】（11；（2）22(31),4(13).x x x ---<<⎧⎨-≤<⎩ .【解析】（1）原式(11=+(111=++1111=+=.（2）原式=13x x =--+()()13,3113,13x x x x x x ⎧----<<⎪=⎨---≤<⎪⎩，22(31),4(13).x x x ---<<⎧=⎨-≤<⎩ 10．化简下列各式． （Ⅰ）计算：10.25021116()()812-+--；（Ⅱ）若为a ，b 正数，化简(-÷． 【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）24b .【解析】（1）原式40.254(3)16--=+-=；（2）原式()()12211133342423424a b a b a b b ----⎛⎫=⨯-⨯-÷= ⎪⎝⎭．。
根式,分数指数幂27-30讲义
第27讲 根 式 一 知识点精讲1整数指数幂概念 =n a =0a (0≠a ) =-na *∈≠N n a ,02整数指数幂运算性质：=⋅n m a a =nm a )( =nab )( 3．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 如何求出x当2=n 时，a 的范围是 =x 当3=n 时，a 的范围是 =x4 任何实数都有奇次方根，正数的奇次方根为正，负数的奇次方根为负，0的奇次方根为0 正数的偶次方根有两个，负数没有偶次方根；0的偶次方根是0， 5.根式运算性质：①a a nn =）（ ②当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n二 典例解析： 例1.与aa 1-的值相等是（ ） A. a B. a - C. a - D. a -- 例2 求下列各式的值：（1）338）（－ （2）210）（－（3）443）－（π （4）)(2b a b a >-）（（5）.,325- （6） .)3(4- （7）.)32(2-（8）.625- （9）11410104848++（11）;246347625---++ （12）63125.132⨯⨯例3 判断正误（1）a a nn =）（ （2） a a nn= （3）a a =2 （4）a a =33例4.已知02)2(4-+-x x 有意义，求实数的取值范围例5.若x x x 211442-=+- 求实数x 的取值范围.例6 若36221144x x x -=+- 求实数x 的取值范围例7．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
例8．已知),0(56>-=a a x求xx xx a a a a ----33的值。
第28讲 分数指数幂一 知识点精讲 例子：当0>a ①5102552510)(a a a a=== ②3124334312)(a a a a===③32333232)(a a a ==④21221)(a a a ==通过以上例子可以得出结论： 2 分数指数幂概念 =nma （1,,,0>∈>*n N n m a ）=pq a （1,,,0>∈>*p N q p a ） =-nm a（1,,,0>∈>*n N n m a ）3有理指数幂运算性质（可以扩充到实数集）Q s r a ∈>,,0 （1） =⋅s r a a （2）=s r a )( （3）=r ab )((4)0的正分数指数幂等于 (5)0的负分数指数幂二 典例解析：例1 求值： （1）328 （2）21100－ （3）341－）（ （4）。
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
1、利用分数指数幂 进行根式运算时，其 顺序是先把根式化为 分数指数幂的运算性 质进行计算。
2、计算结果不强求 用什么形式来表示， 但结果不能同时含有 根号和分数指数幂， 也不能同时存在分式 和负分数指数幂。
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
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4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
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例题讲解
立德树人 和谐发展
题型三 根式与分数指数幂的互化 例3.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）
a2 ；3 a2 . a a3
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
新知初探
探究:
分数指数幂
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 (a 0).
立德树人 和谐发展
0的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义.
且互为相反数；当 n 为奇数时，正数 a 的 n 次方根只有一
个且仍为正数．
2的字母
a
的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同．式子(n a)n 中隐含 a 是有意义的，若 n
n
为偶数，则 a≥0，若 n 为奇数，a∈R ；式子 an中，a∈R .
例题讲解
题型一 根式的化简(求值)
例1 求下列各式的值
(1) 3 (8)3
n次方根与分数指数幂ppt课件
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数
②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1
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2.根式化简的技巧 ①熟记恒等式：
归纳小结
②注意整体思想、完全平方公式等的运用.
③含参数化简，若开偶次方根，要注意分类讨论. ___________________________________ _______________
知识点二 分数指数幂 1.分数指数幂：
(2) 正数的负分数指数幂的意义：
___________________________________ _______________
方法总结：
题后反思
1.当所求根式含有重根号时，要搞清被开方数，由里向外用 分数指数幂写出，然后再利用性质运算. 2.计算结果形式：不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求， 就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出
(3)规定0的正分数指数幂为 0 ，0的负分数指数 幂 没有意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以 互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法．
___________________________________ _______________
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 有理数指数幂运算性质 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理 数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以 推广到有理数指数幂，即：
合作探究 探究点1 n次方根的概念
思考: 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时， 一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
___________________________________ _______________
合作探 究
探究点1 n次方根的概念
归纳：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考 虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇 数和偶数这两种情况．
___________________________________ _______________
51.
4
51.4151.4 14
51.41
42
5
2
51.41 51.4
43 15
51.
42
51.
5
结论：一般来说，无理数指数幂ap(a>0，p是一个无理 数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样 适用于无理数指数幂．
___________________________________ _______________
合作探 究
探究点2 根式的运算性质
根式的运算性质：
___________________________________ _______________
归纳小结
(1)n∈N，且n>1.
___________________________________ _______________
结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又
含有负指数. 3. 运算策略：化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小 数为分数运算，同时还要注意运算顺序.
___________________________________ _______________