推理与证明-高考文科数学总复习

A 组 基础对点练1．用反证法证明命题 “设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 答案：A2．(2018·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误解析：因为当a >1时，y ＝log a x 在定义域内单调递增，当0<a <1时，y ＝log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A. 答案：A3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数． ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，从而g (x )是奇函数． ∴g (－x )＝－g (x )． 答案：D4．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算： a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；….若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 016时，“企盼数”k 为( ) A ．22 016＋2 B ．22 016 C ．22 016－2D ．22 016－4解析：a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg (k ＋2)lg 2＝2 016，lg(k ＋2)＝lg 22 016，故k ＝22 016－2.答案：C5．(2018·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( ) A ．(3,9) B ．(4,8) C ．(3,10)D ．(4,9)解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D. 答案：D6．对累乘运算∏有如下定义：∏k ＝1na k ＝a 1×a 2×…×a n ，则下列命题中的真命题是( )A.∏k ＝11 0072k 不能被10100整除B.∏k ＝12 015 (4k －2)∏k ＝12 014 (2k －1)＝22 015C.∏k ＝11 008(2k －1)不能被5100整除D.∏k ＝11 008 (2k －1)∏k ＝11 0072k ＝∏k ＝12 015k解析：因为∏k ＝11 008 (2k －1)∏k ＝11 0072k ＝(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)＝1×2×3×…×2 014×2 015＝∏k ＝12 015k ，故选D.答案：D7．观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：各等式可化为：55－4＋8－5(8－5)－4＝2，22－4＋8－2(8－2)－4＝2，77－4＋8－7(8－7)－4＝2，1010－4＋8－10(8－10)－4＝2，可归纳得一般等式：nn －4＋8－n (8－n )－4＝2，故选A.答案：A8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( ) A ．a －b >0 B ．a －c >0 C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0得b ＝－a －c ，a >0，c <0.要证b 2－ac <3a ，只要证(－a －c )2－ac <3a 2，即证a 2－ac ＋a 2－c 2>0，即证a (a －c )＋(a ＋c )(a －c )>0，即证a (a －c )－b (a －c ) >0，即证(a －c )(a －b )>0.故求证“b 2－ac <3a ”索的因应是(a －c )(a －b )>0.故选C. 答案：C9．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①D ．③②①解析：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数是“结论”．故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B. 答案：B10．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为r ＝2Sa ＋b ＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析 ：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，所以r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 答案：C11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( ) A ．2 017×22 015 B ．2 017×22 014 C ．2 016×22 015D ．2 016×22 014解析：由题意知数表的每一行都是等差数列，且第一行数的公差为1，第二行数的公差为2，第三行数的公差为4，……，第2 015行数的公差为22 014，第1行的第一个数为2×2－1，第2行的第一个数为3×20， 第3行的第一个数为4×21， ……第n 行的第一个数为(n ＋1)×2n －2，第2 016行只有一个数M ，则M ＝(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.故选B. 答案：B12．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为__________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙． 答案：甲、丁、乙、丙 13．观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为_______________________________________________． 解析：观察所给等式的左右可以归纳出第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12nB 组 能力提升练1．观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，用你所发现的规律得出22 018的末位数字是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：通过观察可知，末位数字的周期为4,2 018÷4＝504……2，故22 018的末位数字为4.故选B. 答案：B2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A ．28 B ．76 C ．123D ．199解析：记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. 答案：C3．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.有6人，则( )A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛解析：由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a －1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B. 答案：B4．如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15,2)为__________．13 16 16 110 13 110 115 1330 1330 115 121 12 1315 12 121……解析：由已知归纳可得，第n 行的第一个数和最后一个数均为2(n ＋1)(n ＋2)，其他数等于上一行该数“肩膀”上两个数字的和．故A (15,2)＝A (14,1)＋A (14,2)＝A (14,1)＋A (13,1)＋A (13,2)＝A (14,1)＋A (13,1)＋A (12,1)＋A (12,2)＝…＝A (14,1)＋A (13,1)＋A (12,1)＋…＋A (2,1)＋A (2,2)＝215×16＋214×15＋213×14＋…＋23×4＋12×3＝1724. 答案：17245．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律可知第n 个等式为________．解析：观察题中各等式可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2.答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝[n (n ＋1)2]26．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f (128)>________.解析：观察f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3可知，等式及不等式右边的数构成首项为32，公差为12的等差数列，故f (128)>32＋6×12＝92.答案：927．“求方程(35)x ＋(45)x ＝1的解”有如下解题思路：设f (x )＝(35)x ＋(45)x ，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2.类比上述解题思路，方程x 6＋x 2＝(x ＋2)3＋(x ＋2)的解集为________．解析：令f (x )＝x 3＋x ，则f (x )是奇函数，且为增函数，由方程x 6＋x 2＝(x ＋2)3＋x ＋2得f (x 2)＝f (x ＋2)，故x 2＝x ＋2，解得x ＝－1,2，所以方程的解集为{－1,2}． 答案：{－1,2} 8．观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________. 解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)． 答案：1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) 9．已知数列{b n }满足3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，且b 1＝3. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)已知a n b n ＝n ＋12n ＋3，求证：56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1.解析：(1)因为3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，所以b n ＋1b n ＝3(n ＋1)n.因此，b 2b 1＝3×21，b 3b 2＝3×32，b 4b 3＝3×43，…，b n b n －1＝3×n n －1，上面式子累乘可得b n b 1＝3n －1×n ，因为b 1＝3，所以b n ＝n ·3n .(2)证明：因为a n b n ＝n ＋12n ＋3，所以a n ＝n (n ＋1)2n ＋3·3n .因为1a n ＝2n ＋3n (n ＋1)·13n ＝3(n ＋1)－n n (n ＋1)·13n ＝(3n －1n ＋1)13n ＝1n ·13n －1－1n ＋1·13n ，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝(1·130－12·131)＋(12·131－13·132)＋…＋(1n ·13n －1－1n ＋1·13n )＝1－1n ＋1·13n . 因为n ∈N *，所以0<1n ＋1·13n ≤16，所以56≤1－1n ＋1·13n <1，所以56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1.10．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b ，证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2， 即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立， 则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1， 同理0＜b ＜1，从而ab ＜1， 这与ab ＝1矛盾，故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．。