模糊控制的数学基础
第2章 模糊控制- 数学基础
③
同一语言变量的所有语言值间要遵循语意顺 序、并避免其隶属函数间的不恰当重叠。
隶属度
很低 1 低 适中 高 很高
0
10
20
25
30
40
温度
25
1
重叠范围
两个隶属函数的全部范围
26
1
1
27
1
1
28
1
1
1
1
29
2.2.2 模糊关系（模糊推理的基础之一）
30
31
英 甲 乙 丙
2
模糊控制的特点
①
无需知道被控对象的数学模型
以人们的控制经验为基础设计的控制器
②
与人类脑力活动的特点一致
模糊性：人类思维中采用模糊量，如：高、中、 低、大、小等。
经验性：模糊控制的核心是控制规则，模糊控 制中的知识表示、模糊规则和模糊推理是基于专家 知识或熟练操作工的成熟经验。模糊控制规则是用 人类语言表示的，如：衣服较脏，则投入洗涤剂较 多，洗涤时间较长。
45
⑤
⑥ ⑦
全由所考虑问题的目的或属性这样的外界因素 决定。一旦所考虑问题的目的或属性确定，关 系就客观存在了，但模糊关系中隶属度的确定 仍具主观性。 要完整确定出两个论域中的元素之间的关联性 (也即这两个论域间存在的关系)，应该逐个考 虑这两个论域中的所有元素间的所有可能的配 对情况(所有配对的集合即为直积)。 数学上，关系体现为定义在两个论域的直积上 的(模糊)集合，也是该直积的子集。 两个有限论域之间的关系可以用矩阵表示，但 要将处于直积中前面论域中的所有元素排成列、 而将后面论域中的所有元素排成行。
第2章 模糊控制的数学基础20180528
从模糊集合的定义可知，论域U中的元素 是清晰的，即U本身是普通集合，只是U的子 集是模糊集合，故称A为U的模糊子集
模糊集合完全由它的隶属函数来刻画，只 是借助于隶属函数才能对模糊集合进行量化。
二、模糊集合的表示方法
1. Zadeh表示法
当U为离散有限域 x1, x2 ,..., xn 时，A可表达为
C (x) min[ A(x), B (x)]
即两个模糊集的交集的隶属度取两个隶属度中较小的数，
可表示为
C (x) A(x) B (x)
或用集合表示 C=A∩B
（2）模糊集并
设A和B是论域U上的两个模糊子集，其并集C的隶属度为
C (x) max[ A(x), B (x)]
全集 若某集合包含论域里的全部元素，则称 该集合为全集。全集常用E来表示。
空集 子集
不包含论域中任何元素的集合称作空集。空集
用Φ来表示。 设A、B是论域U上的两个集合，若集合A上 的所有元素都能在集合B中找到，则称集合A
是集合B的子集。记作A B。
相等 设A、B为同一论域上的两个集合，若A B， 且B A，则称集合A与集合B相等。记作
即两个模糊集的交集的隶属度取两个隶属度中较大的数，
可表示为
C (x) A(x) B (x)
或用集合表示 C=A∪B
（3）模糊集补 设A是论域U上的模糊子集，它的补集AC为
AC (x) 1 A (x)
例3-3 设论域U={x1, x2, x3, x4, x5}上有两个模糊集为：
（5）幂等律 A∪A=A
（6）摩根律
(A∪B)C=AC∩BC
A∩A=A (A∩B)C=AC∪BC
（7）复原律： (AC)C=A
模糊控制理论基础知识
第二章 模糊控制理论基础知识2.1 模糊关系一、模糊关系R ~所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。
现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下：所谓A ，B 两集合的直积A ×B={(a,b)|a ∈A ，b ∈B} 中的一个模糊关系R ~，是指以A ×B 为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为),(~b a Rμ，可见R ~是二元模糊关系。
若论域为n 个集合的直积，则A 1×A 2×A 3×……A n 称为n 元模糊关系R ~，它的隶属函数是n 个变量的函数。
例如，要求列出集合X={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系R ~。
因为直积空间R=X ×X 中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系R ~为R ~=0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9)综上所述，只要给出直积空间A ×B 中的模糊集R ~的隶属函数),(~b a Rμ，集合A 到集合B 的模糊关系R ~也就确定了。
由于模糊关系，R ~实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy 子集的运算规则，这里不一一赘述了。
一个模糊关系R ~，若对∀x ∈X ，必有),(~x x R μ=1，即每个元素X 与自身隶属于模糊关系R ~的隶属度为1。
称这样的R ~为具有自返性的模糊关系。
一个模糊R ~，若对∀x ，y ∈X ，均有),(~y x Rμ=),(~x y Rμ 即(x,y)隶属于Fuzzy 关系R ~和(y,x)隶属于Fuzzy 关系R ~的隶属度相同，则称R ~为具有对称性的Fuzzy 关系。
模糊控制数学基础
)
且定义g(vi /vj ) =1，当i=j时。
③以g(vi /vj ) (i , j=1,2)为元素构造相及矩阵G:
G
=
⎡1
⎢ ⎣
g
(v2
/
v1 )
g(v1 / v2 )⎤
1
⎥ ⎦
推广： n个元素 (v1 , v2 ,L , vn ) 的相及矩阵G:
⎡1
g(v1 / v2 ) g(v1 / v3 ) L g(v1 / vn ) ⎤
0
x ≤0
µF (u)=
1
1
+
100 u2
x>0
可算出µF (5)=0.2, µF (10)=0.5, µF (20)=0.8
可见µF (u)是U到闭区间[0,1]的映射。
U
µF (u)
5 10 20
[0,1]
0.2 0.5 0.8
模糊集合的表示方法：
1、论域U为离散域（即论域U是有限集合）
(1)查德表示法
两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的 隶属函数相等，则A和B也相等。即
A = B ⇔ µ A (u) = µ B (u)
设A、B为U中的两个模糊子集，隶属函 数分别为µA 和µB，则模糊集合中的并、交、 补等运算按如下定义： 并（析取）：并(A∪B)的隶属函数µA∪B对 所有的u ∈U 被逐点定义为取大运算，即： µA∪B= µA(u)∨µB(u) 式中，符号“∨”为取大 值运算。
µF (u)=1：u完全属于U； µF (u)= 0：u完全不属于U； 0< µF (u)<1：u部分属于U。
U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度 来表示：
F={(u ,µF (u) )| u∈U}
模糊控制的数学基础-1(2-16至2-30)模糊运算、分解定理
从中可见，随着实验次数n 的增加，27岁对“青年人”的频率基本稳定在0.78附近，近似可取()78.027~=A μ。
②例证法此法是扎德教授于1972年提出的。
基本思想—从模糊子集~A的有()x A ~μ的值，估计出论域U 上~A 的隶属函数。
例如：取论域U 是实数域R 中的一部分[0,100], ~A 是U 上―较大的数‖，虽然~A 是U 上的模糊子集。
为确定()x A ~μ的分布，选定几个语言真值（即一句话为真的程度）中的一个，来回答[0，100]中的某数是否算―较大‖。
如果语言真值分为―真的‖、―大致真的‖、―半真半假‖、―大致假的‖、“假的”。
把这些语言真值分别用[0，1]之间的数字表示，即分别为1，0.75，0.5，0.25和0。
对[0，100]用的αϕ个不同的数都作为样本进行询问，就可得~A 的模糊分布()x A ~μ的离散表示法。
③专家评分法（德尔菲法）该法40年代以来就已广泛应用于经济与管理科学的各个领域，典型的例子是在体操比赛中对运动员的评分，“技术好”是运动员集上的一个模糊 ，所有评委打分的平均值（有时去掉一个最高分和一个最低分）就是运动员“技术好”的隶属度。
这种方法也可以用来求模糊分布，在应用时，为了区别专家的学术水平和经验的多少，还可以采用加权平均法。
§2—2 模糊子集的特性及运算法则前面已讨论过普通集合的基本运算，下面对模糊子集的运算另作定义。
一、 模糊子集的运算法则 ① Fuzzy 子集的包含与相等设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，对于U 中的每一个元素x ，都有()x A ~μ≥()x B ~μ，则称~A 包含~B ，记作~A ⊇~B 。
如果，~A ⊇~B 且~B ⊇~A ，则说~A 与~B 相等，记作~A =~B 。
或者，若对所有x ∈U ，都有()x A ~μ=()x B ~μ，则~A =~B 。
②模糊子集的并、交、补运算设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，规定~A ~B 、~A ~B 、~A 的隶属函数分别为~~BAμ、~BAμ、~A μ,并且对于U 的每一个元素x 都有~~BAμ()∆x ()x A ~μ∨()x B ~μ=max[()x A ~μ,()x B ~μ] —~A ,~B 的并~~BAμ()∆x ()x A ~μ∧()x B ~μ=min[()x A ~μ,()x B ~μ]— ~A ,~B 的交~Aμ()∆x 1–()x A ~μ —~A 的补eg,设论域U={}4321,,,x x x x ，~A 、~B 是论域U 上的两个模糊集。
模糊控制的数学基础
选择题
模糊控制理论中的核心概念之一是模糊集合，它主要由谁提出？
A. 扎德（Zadeh）（正确答案）
B. 牛顿
C. 莱布尼茨
D. 欧拉
模糊集合论中，用于描述元素属于集合程度的函数是什么？
A. 隶属函数（正确答案）
B. 概率函数
C. 分布函数
D. 密度函数
在模糊逻辑中，处理不确定性和模糊性的基本工具是什么？
A. 模糊规则
B. 模糊推理系统（正确答案）
C. 模糊数
D. 模糊关系
模糊控制中，用于将模糊量转换为精确量的过程称为？
A. 模糊化
B. 清晰化（正确答案）
C. 模糊推理
D. 模糊规则生成
下列哪一项是模糊控制系统中常用的清晰化方法？
A. 最小二乘法
B. 质心法（正确答案）
C. 牛顿法
D. 拉格朗日法
模糊集合的运算中，表示两个模糊集合合并的操作是什么？
A. 模糊交
B. 模糊并（正确答案）
C. 模糊补
D. 模糊蕴含
在模糊逻辑中，用于表示模糊命题之间逻辑关系的运算是什么？
A. 模糊蕴含（正确答案）
B. 模糊加法
C. 模糊减法
D. 模糊乘法
模糊控制器的设计过程中，确定输入输出变量模糊子集及其隶属函数的过程称为？
A. 模糊规则设计
B. 模糊化设计
C. 模糊关系设计
D. 隶属函数设计（正确答案）
模糊控制系统性能的好坏很大程度上取决于什么的设计？
A. 模糊规则库（正确答案）
B. 模糊推理机
C. 模糊化接口
D. 清晰化接口。
智能控制02-模糊控制的数学基础ppt课件
x
5,
x 180
1,
x 150 x(150,180)
x 180
矮个子模糊集合 ppt精选版 高个子模糊集合 23
知识点:如何对变量进行模糊化
确定变量 定义变量的论域 定义变量的语言值(即模糊集合) 定义每个模糊集合的隶属函数
ppt精选版
24
An Example
1
速度：论域［0，200］
0
表 示 x完 全 不 属 于 A
A(x) 1
表 示 x完 全 属 于 A
0A(x)1 表 示 x部 分 属 于 A
ppt精选版
16
模糊集合的表示方法
Zadeh表示法 序偶表示法 隶属函数表示法
有限元素集合 连续元素集合
参见教材page13-14:例2-4,例2-5,例2-6.
ppt精选版
A1A(u)
ppt精选版
32
模糊集合运算举例
例：设论域为{u1,u2,u3,u4,u5}的两模糊集合分别为
A0.20.710.5, u1 u2 u3 u4
B0.10.30.810.5 u1 u2 u3 u4 u5
求
A B ,A B ,A ,和 B
完成教材P15:例2-7的练习
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33
模糊运算的性质
2.2 Fuzzy Sets
模糊集合是模糊控制的数学基础
经典集合 模糊集合
有明确分界限的元素 的组合
描绘模糊语言概念
ppt精选版
9
A＝{1,3,5,7, 9}
Classical Sets B={2,4,6,8,10}
十九世纪末，康托建立了经典集合理论 集合
具有某种特定属性的对象的全体。 通常用大写字母A, B, C, …表示
第六章_模糊控制的数学基础
1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0 0 0 0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.3 0.1 A 1 2 3 4 5 6
为简单起见，常把0的部分省去，即： .5 1 0.9 0.7 0
（2）向量表示法： { 1 ,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0,0,0,0} A 1 （3）序偶表示法： A {(1,1), (2,0.9), (3,0.7), (4,0.5), (5,0.3), (6,0.1), (7,0), (8,0), (9,0), (10,0)}
0 x 25 25 x 100
25
50
75
100
目前，确定隶属函数还没有一种成熟而有效的 方法，一般是根据经验或模糊统计的方法来确定。 因而隶属函数的确定并不是唯一的，把神经网络 与模糊逻辑结合，通过对神经网络的训练，由神 经网络直接自动地生成隶属函数是解决这一问题 的有效方法。
在实际控制问题中，根据能满足一般要求，又 可简化计算的原则，普遍选用的隶属函数有三角 形、半三角形、梯形、半梯形、钟形（正态型）、 矩形、Z形、S形和单点形等。
叫做A与B的并集，算符 表示析取。
…
（9）交集
设 A、B P(X)，则
A B x x A x B
叫做A与B的交集，算符 xi 表示合取。
…
（10）补集
设 A、B P(X)，则
Ac x x A
叫做A的补集。
…
（11）差集 设 A、B P(X)，则
A B x x A x B
叫做B对A的差集，简称A-B，或A\B。
…
2.集合的运算性质
3.特征函数
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关系：对于给定集合 X 、 Y 的直积 X Y 上的一个子集 R，
称为 X 到 Y 的二元关系，简称为关系。对于 X Y 的元
素 (x, y)，若有 (x, y) R，则称 x 与 y 相关，记为 x R y
否则 (x, y) R ，记为 x R y 。 设 f : X Y ，显然有{(x, y) y f (x)} X Y ，可见
3. 集合（Set）
给定一个论域，其中具有相同属性的确定的可以彼此区别的元素的 全体称为集合。
4. 全集、空集、子集
全集：集合中包含了论域中的全部元素。
空集：不包含论域中任何元素的集合称为空集，记为Ø。
子集（Subset）：对于x A x B , 称为A为B的一个子
集,
A B
7
二、集合的表示法 1. 列举法：
A (B C) (A B) (A C)
A (B C) (A B，) (A C)
A (A B) A
A (A B) A
AU U,
A U A
A Ø A ， A Ø＝Ø
7．复原律
(Ac )c A
12
8．互补律 A Ac U ,
A Ac Ø
9．对偶律
(A B)c Ac Bc (A B)c Ac Bc
4
美国加里福尼亚大学控制论专家扎德 （L.A.Zadeh）教授1965年创立了模糊集合论， 用隶属函数代替经典集合论中的特征函数，隶属 函数在[0, 1]间连续取值，以此来描述模糊现象的 中间过渡性，突破了经典集合论中或不属于的绝 对关系。
5
2.1.2 精确性、模糊性与随机性
确定性——经典数学
不确定性
Ac=｛x | x Α且x∈U｝
4. 集合的直积 设有两个集合A和B，A和B的直积A×B定义为
A×B={（x,y）|x∈А,y∈В} 上述定义表明，在集合А中取一元素x，又在集合Β中取一 元素y，就构成了（x，y）“序偶”，所有的（x，y）又构
成一个集合，该集合即为A×B。直积又称为笛卡尔积、 叉积。
随机性——统计数学
模糊性——模糊数学
随机性：事件本身的性态和类属是确定的 模糊性：事件本身的性态和类属是不确定的
6
2.2 模糊集合
2.2.1 普通集合
一、基本概念
1. 论域（Universe of discussion）
将考虑的议题局限在一定的范围内，该范围称为论域。
2. 元素（Element）
论域中的每个对象称为元素。
1
Fuzzy —— 模糊的，不分明的，边界不清的， 毛绒绒的。
所谓模糊性，主要是指客观事物彼此间的差 异在其中间过渡时的 “不分明性” 。
例如 “大与小” 、 “胖与瘦” 很难用精确 的数学语言划分出一条截然分明的界线。
2
明确的概念可用经典集合描述。 经典集合的特征函数表示：
1, 当x A CA (x) 0 , 当x A
例：论域U={1, 2, 3, ……, 9} ，偶数集合A＝{2,4,6,8} 2. 描述法:
A= { x | P(x) } ，P(x)为x应满足的条件。 例 ：A={x∣x为偶数，x<10} 3. 特征函数法：
1, 当x A CA (x) 0 , 当x A
8
三、集合的基本运算 1. “并” 运算（Union） A∪B={x | x∈Α或x∈Β} 2. “交” 运算 （Intersection） A∩Β={x | x∈Α且x∈Β} 3. “补” 运算（Complement）
经典数学建立在德国数学家乔•康托（G•Contor）创立的 经典集合论之上，可用来描述客观世界存在的确定性事件， 但对模糊性事件则无能为力。
3
控制论的创始人维纳（Norbert Wiener） 在谈到人为什么能胜过任何最完善的机器时， 强调说：“人具有运用模糊概念的能力”。
如何使计算机能够模拟人脑思维的模糊性 特点，使部分自然语言作为算法语言直接进入 计算机程序，让计算机完成更复杂的任务，这 正是模糊数学诞生的直接背景。
查德提出的表示法是，当 U为有限集{u1,u2 ,un} 时， U上的模糊集 A可表示为
13
2.2.2 模糊集合 一、模糊集合的定义
模糊集合往往是某一论域 U 的子集，所以人们在谈论 模糊集合时，常常习惯称它为“模糊子集”。1965年，
Zadeh将模糊子集定义为：
设给定论域 U ，u 为 U 上的一个元素，U 到闭区间
0,1 的任一映射 A
A :U 0 , 1
都确定 U 的一个模糊子集 A， A 称为模糊子集 A 的 隶属函数，A(u) 称为 u 对于 A 的隶属度。隶属度也可记 为 A(u) ，它表示某元素 u 属于模糊集合 A 的程度。U 上
第二章 模糊控制的数学基础
2.1 概述
2.1.1 模糊概念与模糊数学的诞生
内涵和外延是描述概念的两个方面 有些概念在特定的场合是有明确外延的，例如华工的学生、正数、 省会城市、6岁以下的儿童等等。
还有些概念是没有一个清晰的外延的，例如年轻人、高个子、好 学生、能力强、闷热、凉快等等。这些概念就是模糊概念。
映射 f 是关系的特例。
11
6. 集合的运算性质
设 A、B、C U，其并、交、补运算具有以下性质：
1．幂等律 2．交换律 3．结合律
4.分配律
5．吸收律 6．同一律
A A A, A A A
A B B A, A B B A
(A B) C A (B C)
(A B) C A (B C)
9
5. 映射与关系
设有集合 X 和 Y ，若有一对应法则 f 存在，使得对
于集合 X 中任意元素 x ，有 Y 中唯一的元素 y 与之对应，
则称此对应法则 f 为从 X 到 Y 的映射，记为
f : X Y 称 X 为映射 f 的定义域，而集合
f (X ) { f (x) x X}
称为 f 的值域。
的模糊集合的全体记为 F(U )。
14
例2-1 以年龄为论域，取 X 0 ,100。Zadeh给出“年轻”
的模糊集 Y ，其隶属函数是
1,
Y(x)来自1(x
25 5
)2
1
,
0 x 25 25 x 100
图2-4 “年轻”的隶属函数曲线
15
二、模糊集合的表示法
1. 查德（Zadeh）表示法