2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(word版,带答案)

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题

1．已知函数x e

x

g+

x

=2

(2的零点个数为（）

x

+

)

x

a

=有最小值，则函数a

f)

x

(2+

)

(

A．0B．1C．2D．取决于a的值

【答案】C

【解析】注意)

x

f x

=，答案C．

e

(

)

(/x

g

2．已知ABC

∆的形状唯一确定的有∆的三个内角C

a,

b

,．下列条件中，能使得ABC

A,

B

,所对的边为c

（）

A．Z

,1

=

=,2

b

a∈

c

B．B

sin

2

sin

+

sin

=

1500=

,

a

b

A sin

a

C

c

A

C

C．0

B

C

+C

C

A

+

B

C

B

,0

sin

60

=

)

cos

cos=

cos(

sin

cos

D．0

b

=A

a

,3=

=

,1

60

【答案】AD．

3．已知函数x

,1

(

(2=

-

=，下列说法中正确的有（）

)

x

)

x

g

x

f ln

A．)

x

f在点)0,1(处有公切线

g

(

),

(x

B．存在)

(x

g的某条切线平行

f的某条切线与)

(x

C．)

x

g

f有且只有一个交点

(

),

(x

D．)

x

f有且只有两个交点

g

(

),

(x

【答案】BD

【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．

4．过抛物线x y 42

=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）

A ．以线段A

B 为直径的圆与直线2

3-=x 一定相离

B ．||AB 的最小值为4

C ．||AB 的最小值为2

D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB

【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||2

1|)||(|2

1AB BF AF =

+，于是以线段AB 为直径

的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线2

3-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2

a a A ，则)1,41(

2

a

a

B -

，

于是2414||2

2++

=a

a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；

对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与

||2

1BM 不一定相等，因此命题错误．

5．已知21,F F 是椭圆)0(1:2

22

2>>=+

b a b

y a

x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有

（ ） A ．b a 2=时，满足0

2

190=∠PF F 的点P 有两个 B ．b a 2>

时，满足0

2

190

=∠PF

F 的点P 有四个

C ．21F PF ∆的周长小于a 4

D ．21F PF ∆的面积小于等于

2

2

a

【答案】ABCD ．

【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周

长为

a

c a 422<+；选

项

D ，

2

1PF

F ∆的面积为

2

2

212

1212

12||||21sin ||||2

1a PF PF PF F PF PF =

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤∠⋅．

6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

【答案】BD

【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．

7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆

D ．以上三个说法均不对

【答案】AC

【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ． 8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件