线性离散系统的数学模型和方法分析
§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。
对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。
离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。
对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。
一、线性离散系统的数学描述1. 差分方程对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示)()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17)(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式∑∑==-=-+n i ni i i iT kT u b iT kT y a kT y 1)()()( (10.18)如果引入后移算子1-q ，即)()(1T kT y kT y q -=- (10.19)则(10.18)式可写成多项式的形式)()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20)式中n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)(方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。
如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。
方程右端又被称为驱动项。
方程的阶数和系数反映系统的结构特征。
用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。
如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。
齐次差分方程表征了线性离散系统在没有外界作用的情况下，系统的自由运动，它反映了系统本身的物理特性。
2. 差分方程的解线性常系数差分方程求解方法和线性代数方程的求解相类似，其全解)(kT y 由齐次方程的通解)(1kT y 和非齐次方程的特解)(2kT y 两部分组成， 即)()()(21kT y kT y kT y += (10.21)其中特解)(2kT y 可用试探法求出，非齐次差分方程的特解反映了离散系统在外界作用下，系统的强迫运动。
(10.17)的特征方程为0)))((2111=---=+++-n n n n q q q q q q a q a q ( (10.22)其中n i q i ,,2,1, =为特征方程的根。
根据特征根i q 的不同情况，齐次方程的通解形式也不同。
考虑下面三种情况。
(1) 无重根，即当j i ≠时，j i q q ≠，则通解为∑==+++=ni k ii k nn k kqc q c q c q c kT y 122111)( (10.23)式中待定系数n i c i ,,2,1, =，由系统的n 个初始条件确定。
(2) 全为重根，即 n i q q i ,,2,1,1 ==，则通解为∑=--=+++=ni k i i k n n k k q k c q kc kq c q c kT y 1111112111)( (10.24)其中i c 为待定系数。
(3) 有r 个重根，其余的不是重根，即1q q i =，当r i ≤时；而j i q q ≠，当r j i >,且j i ≠时则通解为∑∑=+=-+=ri nr i k i i k i i q c q k c kT y 11111)( (10.25)其中i c 为待定系数。
从上面讨论中，可以归纳出经典的解差分方程方法如下： (1) 求齐次方程的通解)(1kT y ； (2) 求非齐次方程的一个特解)(2kT y ；(3) 差分方程的全解为 )()()(21kT y kT y kT y +=；(4) 利用n 个初始条件或其它条件确定通解中的n 个待定系数。
[例10-1] 求解二阶差分方程k kT y T kT y T kT y 3)(2)(3)2(=++-+，0)()0(==T y y解：先设特解为k c kT y 3)(2=，代入方程试探k k k k c 3]32333[12=⋅+⋅-++求出21=c 。
再由特征方程 0)2)(1(232=--=+-q q q q得出11=q 和22=q ，则齐次方程的通解为k c c kT y 2)(211+=方程的全解为k k c c kT y 3212)(21++=代入初始条件得2320212121=++=++c c c c 求出211=c 和12-=c 。
因而，非齐次差分方程的解为 0,321221)(≥+-=k kT y k k二、z 变换类似于连续实变函数)(t y 的拉氏变换)(s Y ，对序列{})(kT y 也有相应的z 变换)(z Y 。
这里z 也是一个复变量。
通过变换，在复数域内研究和运算有时比直接在时域内分析更为简便，因此z 变换是线性时不变离散系统时域分析和稳定性分析的基础，其主要局限性是它只能提取采样时刻的幅值信息，不能提供采样间的波动信息。
1. 定义在线性连续系统中，连续时间函数)(t y 的拉氏变换为)(s Y ，同样在线性离散系统中，也可以对采样信号)(t y *作拉氏变换。
采样信号)(t y *可描述为∑∞=*-=0)()()(k kT t kT y t y δ (10.26)则对采样信号)(t y *作拉氏变换得[][]∑∑⎰∑∞=-∞=∞∞=-*=-=-==0*)()()()()()()(k kTs k k ste kT y kT t L kT y dt ekT t kT y t y L s Y δδ令sTe z =，则有∑∞=-==0*)()(ˆ)(k k z kT y s Y z Y (10.27))(z Y 可看作是)(t y *的离散拉氏变换或采样拉氏变换。
一般称)(z Y 为离散序列{})(kT y 的z 变换，有时也称之为{})(kT y 的象，记作 [])()(kT y Z z Y =。
)(z Y 是复变量z 的函数，它被表示为一个无穷级数。
如果此级数收敛，则序列的z 变换存在。
序列{})(kT y 的z 变换存在的条件是(10.27)式所定义的级数是收敛的，即kNk N zkT y -=∞→∑0)(lim 存在。
原函数)(kT y 和象函数)(z Y 是一z 变换对，即[])()(kT y Z z Y =和[])()(1z Y Z kT y -=下面计算几种简单函数的z 变换，并列出一个常用的z 变换表（表10-1）。
(1) 单位脉冲时间序列⎩⎨⎧≠==0 001)(k k kT δ则[]1)(=kT Z δ延迟的单位脉冲时间序列⎩⎨⎧>==- 001)(其他n k nT kT δ 则[]n z nT kT Z -=-)(δ(2) 单位阶跃时间序列⎩⎨⎧<≥=0 001)(1k k kT则[]∑∞=---==0111)(1k k z z kT Z(3) 单位斜坡时间序列kT kT y =)(则[]211)1()(--∞=--==∑z Tz kzT kT y Z k k(4) 衰减指数序列kT e kT y α-=)(则[]111)(--∞=---==∑z e z e kT y Z T k k kT αα表10-1 常用拉氏变换及z 变换表)(s Y )(t y )(z Y1 )(t δ 1 kTse- )(kT t -δ kz-s 1 )(1t 1-z z 21s t 2)1(-z Tz 31s 22t 32)1(2)1(-+z z z T 11+n s !n t n )(!)1(lim 0T n n n e z zn ααα-→-∂∂- a s +1 ate - aTe z z -- 2)(1a s + atte - 2)(aT aT e z Tze ---)(a s s a + ate --1 ))(1()1(aTaT e z z e z ----- 22ωω+s t ωsin1cos 2sin 2+-T z z Tz ωω22ω+s s tωcos 1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω 22)(ωω++a s t eatωsin - aTaT aT eT ze z Tze 22cos 2sin ---+-ωω 22)(ω+++a s a s t e atωcos - aT aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω2. z 变换的基本性质 (1) 线性性质z 变换是一种线性变换，即[][][])()()()()()(z G z F kT g Z kT f Z kT g kT f Z βαβαβα+=+=+ (10.28)其中α和β为两个任意常数。
线性性质的证明可以由定义直接得到。
(2) 滞后性质序列)(T kT y -的z 变换为[]∑∑∑∞=--∞=-∞=-==--=-=-0110)()0)(( )()()(j j k k k kz jT y T y z T kT y z T kT y T kT y Z (10.29))()(101z Y z zjT y zj j-∞=--==∑同样，由于单边序列)(,),(nT y T y -- 均为零，故[])()(z Y z nT kT y Z n -=- (10.30)从这个性质可以看出nz-代表序列滞后了n 个周期。
(3) 超前性质序列)(T kT y +的z 变换为[])0()()0()()0()0()()()()()(01101zy z zY zy z jT y z zy zy z jT y z z jT y z z T kT y z z T kT y T kT y Z j j j j j jk k k k-=-=-+==+=+=+∑∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=--∞=- (10.31)推广到超前n 步序列)(nT kT y +，可得[])()()0()()(1T nT zy T y z y z z Y z nT kT y Z n n n -----=+- (10.32)(4) 象函数尺度的变化[])())(()(0az Y az kT y kT y a Z k k k==∑∞=-- (10.33)(5) 初值定理 由+++=--21)2()()0()(z T y z T y y z Y可得)0()(lim y z Y z =∞→ (10.34)(6) 终值定理 由----+++=-------321211)2()()0()2()()()()1(z T y z T y z y z T y z T y T y z Y z得)(lim )()1(lim 11kT y z Y z k z ∞→-→=- (10.35)(7) 卷积)(k f 和)(k g 的卷积被定义为∑∞=-⋅=*0)()()()(i iT kT g iT f kT g kT f (10.36)则[])()()()()()()()()()()()(0000000z G z F z G z iT f z iT kT g iT f z iT kT g iT f z iT kT g iT f kT g kT f Z i i i k k i k k kk i ⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*-∞=∞=∞=-∞=∞=--∞=∞=∑∑∑∑∑∑∑ (10.37)以上是几个主要的z 变换性质，这些性质为z 变换的计算和离散系统的分析都带来很大方便。
自动控制原理第7章线性离散控制系统
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
线性离散系统的分析
§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。
本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。
一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。
本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。
有两大类的稳定性分析方法。
一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。
一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。
当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。
但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。
另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。
本节只介绍代数判据法。
Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。
如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。
自动控制原理
c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L an1c(k n 1) anc(k n) b0r(k) b1r(k 1) L bmr(k m)
n
m
即： c(k) aic(k i) bjr(k j)
i 1
j0
如果ai和bi均为常系数，上式为常系数线性差分 方程。由于m≤n，上式称为n阶线性常系数差分方程。
10
(2)Z变换法求解 给定差分方程后，先用z变换的实数位移定理对
差分方程取z变换，得到z的代数方程，再对代数方程 取z反变换，即得脉冲序列c(k)。
例:差分方程c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0，初始条件： c(0)=0,c(1)=1
解：对上式两边取拉氏变换：
Zc(k 2) z2C(z) z2c(0) zc(1) z2C(z) z
相应后移 k 个采样周期，成为 K[(n k)T] 。
15
线性定常离散系统中，如果输入采样信号为：
r*(t) r(nT ) (t nT )
n0
则系统的输出响应序列为：
c(nT ) K[(n k)T ]r(kT )
k 0
K (kT )r[(n k)T ]
k 0
c(nT) K(nT)*r(nT)
30
(4) 输入端无采样的情况
r(t)
d(t)
d*(t)
C(t)
G1(s)
s
G2(s)
G(z)
C(z) G2(z)D(z) G2(z)G1R(z)
因为输入信号不是独立的，故不能写出 系统的脉冲传递函数，只能写出输出信号的z 变换形式。
31
5、闭环系统脉冲传递函数
(z)
r(t)
离散事件系统建模与分析
离散事件系统建模与分析离散事件系统是指一个系统中发生的事件是离散的，即在时间上是不连续的。
这种系统通常是由一系列状态和转移组成的。
离散事件系统建模与分析是一种用来描述该系统的方法，它可以通过数学和计算理论来分析系统的行为和性能。
建模离散事件系统可以通过状态转换图进行建模。
状态转换图一般包含有限个状态和转移，它用来描述系统在不同状态下的转移条件。
状态转换图中每个节点表示系统的一个状态，例如，某个物流系统中的一个节点表示快递包裹的“妥投”状态。
节点之间的有向边表示系统从一个状态转移到另一个状态所需满足的条件。
例如，物流系统中从“已发货”转移到“妥投”状态需要快递包裹被签收。
另外，离散事件系统还可以用有限状态自动机进行建模。
有限状态自动机是一种用来描述状态转移的数学模型，它由有限个状态和转移组成。
有限状态自动机可以通过状态转移函数来描述状态之间的转移条件。
例如，某个售货机系统可以用有限状态自动机来描述，当顾客付款后，自动机会检测付款金额是否足够，如果足够，则发放商品并退还余额，否则提示顾客继续添加。
分析离散事件系统的行为和性能可以通过模型检测来分析。
模型检测是一种自动化的方法，它可以对系统模型进行分析和验证。
模型检测可以用来验证系统是否符合某些规定和约束条件，例如，某个互联网应用程序的数据传输是否符合协议规范。
另外，离散事件系统还可以用仿真来进行行为和性能的分析。
仿真是一种通过计算机模拟的方法来描述系统的行为和性能。
仿真可以通过随机事件来模拟系统的实际行为，例如，某个交通信号灯系统中，车辆的到达和离开时间可以用随机的方式来模拟。
结论离散事件系统建模与分析是一种重要的方法，它能够帮助系统设计者更好地理解和控制系统的行为和性能。
离散事件系统可以通过状态转换图和有限状态自动机进行建模，通过模型检测和仿真来分析系统的行为和性能。
离散事件系统建模与分析在工业控制、互联网应用、交通运输等各个领域都有着广泛的应用。
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
离散时间系统的数学模型
2.线性差分方程 a0(n)y(n)+ a1(n)y(n-1)+ …... aN(n)y(n-N)
= b0(n)x(n)+ b1(n)x(n-1)+ …... bM(n)x(n-M) 其中ai(n) 、bj(n)、 x(k) ，i=0,1,……N; j=0,1,……M; k=n-M,……n。
返回
二、差分方程
在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。
在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。
（一）数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
i
2
2
d i un
n
n
i
n
in+1 u n u
n
1 iu i n n + 1 u n 2 i
i
1 2 i u i n n + 1 2 n + 1 u n 6 i
n + 1 1 a i a u i u n 1 a i n
xi xn
n
a 1
返回
（三）差分方程
1.一般差分方程
ky(n))=0 表达式F(n,y(n), y(n), …… 或 Q(n,y(n), y(n-1), ……, y(n-k))=0 称为未知序列y(n)的差分方程，F、Q是已知函数。
k
（k阶差分）
3.典型序列的差分（后向） n = n -(n-1)=1 u(n) = u(n) -u(n-1)=d (n) n2= n2 -(n-1)2= 2n - 1 n2u(n) = n2u(n) - (n-1)2u(n-1)= (2n-1)u(n-1) 2 n 1 sin n sin n sin n 1 2 sin cos 4.差分的逆运算———求和 典型序列的求和
第7章 线性离散控制系统分析
f * (t )
7. 3 Z 变换
7.3.1 Z变换的定义
连续信号 f (t ) 经过采样后的离散信号 f * (t ) 为
f * (t ) f (nT ) (t nT )
其拉普拉斯变换为 令
z e Ts
F (s) L[ f (t )] f (nT )e nTs
* * n 0
的根都位于[W] 的左半部。
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.1 线性定常离散系统稳定的充要条件
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.2开环增益和采样周期对离散系统稳定性的影响
开环增益与采样周期对离散系统稳定性的影响： （1）采样周期一定时，增大开环增益会使离散系统的稳 定性变差，甚至使系统不稳定； （2）开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越 多，离散系统的稳定性及动态性能变差，甚至使系
7. 6 线性离散系统的动态性能分析
7.6.1 线性离散系统的单位阶跃响应
离散系统的闭环脉冲传递函数为 式中，
R( z ) z /( z 1)
。系统输出的变换式为
将上式按幂级数展开，进行Z反变换，可求出输出信号的 脉冲序列 c* (t ) ，绘制单位阶跃响应曲线 c* (t ) ，从而分析 离散系统的动态性能。若不能求出离散系统的闭环脉冲传 递函数 ( z ) ，而R( z) 是已知的，可直接写出 C ( z ) 的表达式。
在线性采样系统理论中，把初始条件为零情况下，系统的离 散输出信号的变换与离散输入信号的变换之比，定义为脉冲 C ( z) 传递函数，记为 G(z)
R( z)
系统输出采样的脉冲序列为 c* (t ) z 1[C ( z)] z 1[G( z) R( z)]
离散控制系统的数学模型
即
Y (z)
z2
z 3z
2
(z
z 1)( z
2)
利用反演积分法求出z反变换，得 y(k) 1 2k k 0,1, 2,
y(t) (1 2k ) (t kT ) k 0
1.2 脉冲传递函数
1.脉冲传递函数定义
在线性定常离散控制系统中，当初始条件为零时，系统离散输出信号的z
变换与离散输入信号的z变换之比，称为线性定常离散控制系统的脉冲传递函
R(z) 1 G1 (z)HG2(z)
自动控制原理
例1-13 试用z变换法求解下列二阶前向差分方程 y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) 0
其中，初始条件为 y(0) 0, y(1) 1 。
解：对方程两端取z变换，得
z2Y (z) z2 y(0) zy(1) 3zY (z) 3zy(0) 2Y (z) 0
即 (z2 3z 2)Y (z) y(0)z2 ( y(1) 3y(0))z 代入初始条件，得 (z2 3z 2)Y (z) z
（2）串联环节之间无采样开关时
设开环离散系统如图1-18所示，在两个串联连续环节G1(s)和G2(s)之间没 有理想采样开关。此时系统的传递函数为 G(s) G1(s)G2 (s)
上式作为一个整体进行z变换，由脉冲传递函数定义得
G(z)
Y (z) R(z)
G1G2 (z)
图1-18 环节之间无理想采样开关的开环采样系统
自动控制原理
离散控制系统的数学模型
1.1 线性常系数差分方程
对于线性定常离散控制系统，一般可用n阶后向差分方程描述，即
n
m
y(k) ai y(k i) bir(k j)
i 1
j 1
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
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01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
第7章 线性离散系统简介
零阶保持器的传递函数，数值仿真 时带零阶保持器变换
例：求积分环节的差分方程
Z变换的运算符z是前移运算符，与拉普拉斯变换的s类似
如u(z)
→u(kT);则 zu(z) →u(kT+T)
2 z 1 2 1 z 1 s T z 1 T 1 z 1 U ( s ) ki u ( z ) kiT ( z 1) ; E ( s ) s e( z ) 2( z 1) kiT ( z 1)e( z ) 2( z 1)u ( z ) kiT [e(k ) e(k 1)] 2[u (k 1) u (k )] ki T u (k 1) u (k ) [e(k 1) e(k )] 2 T ui (k 1) ui (k ) ki [e(k 1) e( k )] 2
采样时间序列
图 7-2 采样时间序列
采样周期实现
计算机逻辑包含一个时钟，他每隔T秒提供一个脉冲 （中断），每次中断到来时模数（A/D)转换器向计 算机中发送一个数，这种情况采样周期是精确不变 的 程序代码执行周期结束后，存取一遍A/D转换器， 采样周期是由程序代码的长度决定的。 采样速率约为系统闭环带宽的20倍以上，以确保数 字控制器与连续控制器的性能一致。
用MATLAB求Z变换
数字控制系统可应用Z变换方法分析， Z变换是分析 线性离散系统的数学工具
求Z变换的MATLAB命令
numG=[1 6]
denG=[1 0] sysG=tf(numG,denG) sysGd=c2d(sysG,T,'t')
注:T—采样周期，t—积分的梯形方法 Help c2d可获得更多的数值方法
第7章 线性离散个
系统叫做离散时间系统，简称离散系统。如果一个系统 中的变量有数字信号，则称这样的系统为数字控制系统： 计算机控制系统是最常见的离散系统和数字控制系统