微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面分解

(1) F [ x, y, z , ( x, y, z )] 0 对于S上的点, 上式为恒等式. 其次在包络S上任取一条曲线 (C )：r r (t ), r x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3 , 即
曲线(C )上点的坐标也应满足 (1)式, 必有恒等式： F [ x(t ), y(t ), z(t ), (t )] 0
消去参数而得 ( x, y, z ) 0. 证： 若曲面族{ S }存在包络S， 由包络的定义， , P S , 对P( x, y, z ) S， 即对包络S上每一个点对应于 的一个确定值， 因而为S上点的坐标( x, y, z )的函数 ( x, y, z ), 代入S的方程F ( x, y, z, ) 0得：
换言之, 对包络S上每一点 ( x, y, z ), 可以找到这样的值，
使得四个数x, y, z, 满足方程组(3). 从方程组(3) 消去 , 得方程 ( x , y, z ) 0.
{ S }的判别曲面 . 这个方程表示一个曲面 S , 叫做曲面族
(3)高斯曲率. 直纹面的参数方程为r a ( u) vb ( u) ru a(u) vb(u), rv b(u), ruu a vb, ruv b, rvv 0,
ru rv a b v(b b ) n ru rv EG F 2 a b v (b b ) L ruu n (a vb ) , 2 EG F a b v (b b ) ( b , a , b ) M ruv n b 2 EG F EG F 2 N rvv n 0 2 2 2 LN M ( b , a , b ) ( a , b , b ) K 0. , 即K 2 2 2 2 2 EG F ( EG F ) ( EG F )
导线
双曲抛物面 单叶双曲面 注 （ 1 ）直纹面上除了直母线 之外，还可能有其它的 直线.
如正螺面的轴. . （ 2 ）直纹面可能不只一族 直母线. 如以上两个曲面 本书只限于讨论一族直 母线中的直线 .
2.参数表示
设导线(C ) : a a(u) b (u)是过导线(C )上点a (u)
若 (i ) P S , , P S , 且S与S 在点P相切
(ii ) , P S , S与S在点P 相切. 则称曲面S为单参数曲面族 { S } 的包络（面） .
注 （ 1 ）一个单参数曲面族不 一定有包络.
如平行平面族无包络 . （ 2 ）一个空间曲面不一定 是某个曲面族的包络， 即使是， 也不一定是单参数曲面 族的包络，
MM b , MM (b b ), MM b . 于是 [a vb v(b b )] b 0, 即a b vb b v(b b ) b 0, 上式除以 ( u)2 得： b a b b b v v ( b b ) 0, u u u u u u 假设b ( u) 0 ( 对于b ( u) 0的情况是柱面 ,以后再讨论) 2 a b 当u 0时, 上式取极限得： a b vb 0, v 2 , b 故腰点的向径表达式为 ： a ( u ) b ( u ) r a ( u) b ( u) 即腰曲线的方程. 一个曲面由两个参数 来决定， 曲面在每一个点有一个 切平面， 这个切平面依赖于两个 参数，
因此曲面可以看作双参 数切平面族的包络.
它可以看作单参数平面 族的包络. 但是可展曲面则不同， 这正是可展曲面与一般 曲面的区别 .
命题 设单参数曲面族 { S }的方程为F ( x, y, z, ) 0, 且Fx , Fy , Fz 是不全为 0的连续函数, 则其包络S的方程 若曲面族{ S }存在包络S， 可由方程组 F ( x, y, z, ) 0 F ( x , y , z , ) 0
一条曲线的副法线所产 生的直纹面 称为曲线的副法线曲面 . 圆柱螺线r {a cos , a sin , b }的主法线曲面为 正螺面r {u cosv, u sinv, bv} (同学自证).
4.2 可展曲面
一.可展曲面及其分类 定义 (可展曲面 )直纹面r a(u) vb(u) 若满足(a, b , b) 0，
则称为可展曲面或称曲面可展. 或是一条曲线 或是锥面， 命题1 每一个可展曲面或是柱面，
可展曲面. 的切线面. 反之，这三类曲面均为 证： 设可展曲面为 r a(u) vb(u)， 则有(a, b , b) 0， 于是有a b 0， 取腰曲线为导线， 这表示腰曲线退化为一 点， a(u) 常向量， ( i ) 当a 0时，
对t求导得： dx dy dz d Fx Fy Fz F 0, ( 2) dt dt dt dt
, 在曲线(C )上取一点P , 由于S与S 在P点有相同的切平面
曲线(C )在P点的切线和S 在P点的法线垂直，
而{Fx , Fy , Fz }是曲面S 在P点的法向量， dx dy dz { , , }是曲线(C )在P点的切向量r ( t ), dt dt dt dx dy dz Fx Fy Fz 0, dt dt dt d 与(2)式比较得： F 0, dt 上式对包络S上每一条曲线都成立 . d 0, 因此 因而可在包络S上适当选择曲线 (C ), 使得 dt F 0, F ( x, y, z, ) 0, 即 F ( x, y, z, ) 0 , ( 3) 包络S上的点满足方程组 F ( x , y , z , ) 0
1 ）上面所说的柱面 , 锥面, 切线面都可能是平面 注（ 或其一部分. （ 2 ）在上面的证明中，取 了腰曲线为导线， 一般的证明可参见吴大 任《微分几何讲义》 第四版P107 P108.
二.可展曲面作为单参数平 面族的包络
1.单参数曲面族的包络 F ( x , y, z ) 0 表示一张曲面S . { S } . F ( x, y, z , ) 0 (是参数)表示一族曲面 称为单参数曲面族. 假定F ( x, y, z, ) 0具有一阶与二阶连续偏 导数. S是一张曲面， 定义 设{ S } 是一个单参数曲面族，
对于情形 1，K 0; 对于情形 2，K 0. (4)渐近曲线. 直纹面上的直母线就是 它的渐近线.
(5)腰曲线. 定义 当u 0时， a (u u) (v v )b (u u) M 垂足M的极限位置M 0 a ( u u ) 称为直母线l上的腰点. M0 M 腰点的轨迹称为腰曲线 . a ( u) vb ( u) a ( u ) (C 注 腰曲线沿直纹面的狭窄 )
b ( u) a ( u)
r
(C )
导线
ru rv n 保持不变. 当点P沿同一条直母线移动时 ， ru rv 沿同一条直母线有同一 个切平面 . a b // b b , 即(a, b , b) 0， 情形2： ru rv n 发生转动， 当点P沿同一条直母线移动时 ， ru rv 沿同一条直母线切平面 不唯一. ) 0的直纹面叫做可展曲面； 满足(a, b ,b 满足(a, b , b) 0的直纹面叫做斜直纹面.
a b 则r a(u)， 若取腰曲线为导线， 2 0, b 于是有： 腰曲线是导线 a b 0. 即a b .
4.曲线的基本三棱形的三条棱产生的直纹面
一条曲线的切线所产生 的直纹面称为曲线的切 线面.(如图) a a ( u) 的切线面方程为： 曲线(C )： r a ( u) va ( u) 一条曲线的主法线所产 生的直纹面 (C ) 称为曲线的主法线曲面 .
即可展曲面为锥面 . ( ii )当b 0时， b(u) 常向量， 所有的直母线都互相平 行， 即可展曲面为柱面 .
a b 0， (a, b , b) 0， (iii ) 当a 0, b 0时， 这时, 直母线是导线的切线 , 并且 b 1, b b , a // b ， 从而可展曲面可视为导 线的切线构成的 , 即可展曲面为切线面 . 反之, 可以证明这三类曲面均 为可展曲面 . （留做习题）
l
l
部位“围绕着”这直纹 面.
方程 设导线(C )的方程为a a(u)， 直纹面的参数方程为r a ( u) vb ( u) 则MM [a(u u) (v v )b (u u)] [a(u) vb (u)] [a ( u u) a ( u)] (v v )b ( u u) vb ( u) a vb vb ( u u) a vb v(b b )
直母线
的直母线上的单位向量 ， . r a ( u) vb ( u) 直纹面的参数表示 或参数方程 . 3.性质与分类 (1)坐标曲线 v 曲线(u 常数)： 直母线； 导线的平行线. u 曲线(v 常数)： (2)单位法向量n和切平面 . ru a(u) vb(u), rv b(u), ru rv (a vb) b a b v(b b ), a b // b b , 即(a, b , b) 0， 情形 1：
第二章
曲 面 论
§4 直纹面和可展曲面