高等流体力学

高等流体力学第一章 流体力学的基本概念连续介质：流体是由一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所 谓的连续介质。

流体质点：是指微小体积内所有流体分子的总和。

欧拉法质点加速度：时变加速度与位变加速度和zuu y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==质点的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用dtd表示。

在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下：x kk Qu t Q dt dQ ∂∂+∂∂= 式中Q 可以是标量、矢量、张量。

质点的随体导数公式对任意物理量都成立，故将质点的随体导数的运算符号表示如下：x kk u t dt d ∂∂+∂∂= 其中t∂∂称为局部随体导数，x k k u ∂∂称为对流随体导数，即在欧拉法描述的流动中，物理量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。

体积分的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数。

则在由流体质点组成的流动体积V 中标量函数Φ（x, t ）随时间的变化率就是体积分的随导函数。

由两部分组成①函数Φ 对时间的偏导数沿体积V 的积分，是由标量场的非恒定性引起的。

②函数Φ通过表面S 的通量。

由体积V 的改变引起的。

()dV divv dt d dV v div t dS u dV t dV dt d v v n s v v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ+Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ+∂Φ∂=Φ+∂Φ∂=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()dV adivv dt da dV av div t a dS au dV t a adV dt d v v n s v v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂=+∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 变形率张量： 11ε12ε13εD ij = 21ε 22ε 23ε 31ε 32ε 33ε其中ii ε表示所在方向的线性变形率，其余ij ε（j i ≠）为角变形率。

D ij 为变形张量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=ij j i ij x u x u 21ε x u i i ii ∂∂=ε 旋转角速度： 0 z ω- y ω R ij = z ω 0 x ω- y ω- x ω 0z ω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y u x u x y 21y ω=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂x u z u z x 21x ω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z u y u y z 21rotv x u x u j i i j k 2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=ω 判断有旋流和无旋流：x ω=y ω=z ω=0， 涡量与速度环量的关系： （涡量流速=涡量）涡量，流体力学中多用涡量来表示流体微团的旋转。

定义旋转角速度的两倍为涡量，即k k ω2=Ω，涡量是矢量，它与旋转的平面相垂直，其方向的正负按右手法则确定，涡量的矢量形式是：Ω=curl v =▽× v = rot v 。

在流场中，涡量是位置和时间的函数， Ωκ=ΩΚ（x,y ，z,t ）。

速度环量，速度沿封闭曲线的积分称为速度环量，通常用Γ来表示，dl v l⋅=Γ⎰。

在笛卡尔坐标系下为dy u dy u dx u z y x l++=Γ⎰。

涡量与速度环量的关系，数学表示如下：=⋅Ω⎰⎰ndS sdl v l⋅⎰。

说明通过面的涡通量等于沿边界的速度环量。

Stokes 定理：沿包围单联通域的有限封闭周线的速度环量等于穿过此连通域的涡量通量。

应力张量：是二阶对称张量。

σij1、切应力的特性：切应力互等定律，即作用在两相互垂直平面且与该平面的交线相垂直的切应力大小都是相等的。

表述如下：=xy τyx τ，=yz τzy τ，=zx τxz τ2、压应力的特性：压应力的大小与其作用面的方位有关，三个相互垂直方向的压应力一般是不相等的，即zz yy xx p p p ≠≠。

但在几何关系上可以证明，同一点上，三个相互垂直面的压应力之和，与该组垂直面的方位无关，即zz yy xx p p p ++值总保持不变。

在实际流体中，任何三个相互垂直面上的压应力的平均值定义为动水压强，以p 表示，则1()3xx yy zz p p p p =++。

牛顿流体的本构方程：将应力张量ij σ与变形张量ij ε联系起来的方程称为本构方程 1、切应力与流速变化的关系ij ij μεσ2=（i ，j=1,2,3,,且i ≠j ） 2、法向应力与线变形率的关系用张量的形式表示:ij ij ij p μεδσ2+-= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+-=ijj i ij ij x u xu p μδσ 这就是不可压缩牛顿流体的本构方程。

写成分量形式x u p x ∂∂+-=μσ211y u p y ∂∂+-=μσ222 zu p z∂∂+-=μσ233 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==x u y u y x μσσ2112 ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==x u z u z x μσσ3113 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==z u y u y z μσσ3223第二章 流体运动的基本方程微分形式的连续性方程的表达式：()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u t z y x ρρρρ； ()0i =∂∂+∂∂i x u t ρρ 不可压缩流体的确切定义，理解其含义：kk x u t dt d ∂∂+∂∂=ρρρ t∂∂ρ=0只是指密度是恒定不变的，但流体质点的密度还可以随流动中位置发生变化。

只有满足上式，密度质点才能保持不变。

即t ∂∂ρ表明质点密度在时间上恒定不变。

kkx u ∂∂ρ表明质点的密度不随流动中位置的变化而变化 N-S 方程的各种表示形式：（1）i ii i u x pf dt du 21∇+∂∂-=υρ （2）v p f dt dv 21∇+∇-=υρ（3）v gradp f dt dv 21∇+-=υρ（4）i ii j i j i u x p f x u u dt u 21∇+∂∂-=∂∂+∂υρ （5）x x x u x pf dt du 21∇+∂∂-=υρ y y y u ypf dtdu 21∇+∂∂-=υρ z z z u zpf dt du 21∇+∂∂-=υρ （6）)(1222222zu y u x u x pf z u u y u u x u u t u x x x x x z x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂υρ )(1222222zu y u x u y p f z u u y u u x u u t u y y y y yz yy yx y∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂υρ )(1222222zu y u x u z p f z u u y u u x u u t u z z z z z z z y z x z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂υρ 流体的能量包括哪几种形式，并对各种形式解释，写出单位质量流体能量的表达式运动流体的能量包括内能、动能和势能三种形式 内能是指分子运动的动能和分子间结合的能量，它随温度而变化。

单位质量流体所含有的内能用e 1表示。

若质量为m ∆的流体，其速度为v ，则动能为221mv ∆，因此单位质量的动能e 22v k =势能来源于保守力场。

一般情况下，作用于流场的保守力是重力场，因此流体的势能取决于位置的高度。

设z 为某一个基准面以上的高程，则单位质量的势能可表示为e gz p = 则单位质量流体的能量方程可写为:e= e 1+22v +gz流体运动微分形式的基本方程组由哪些方程组成，通常有几个未知量，方程组是否封闭。

连续性方程、N-S 运动方程和能量方程。

共12未知量，而方程组只有5个，因而不封闭的。

对于牛顿流体，由牛顿流体的本构方程，可以去掉应力张量中的六个变量，但又引入了一个变量P ，因此方程组中还有7个变量，还可以补充2个方程才能封闭。

对于不可压缩流体，如何求解速度场、压强场以及温度场，说明其求解步骤。

对于不可压缩均质流体，ρ为常数，则有连续性方程和运动方程即可求解v 和p,然后再由能量方程求解温度场。

第三章 势流运动势流求解的常用方法求解势流最常用的方法有流网法、势流叠加法、复变函数法以及数值计算法等。

速度势函数与流函数 势函数和速度的关系xu x ∂∂=ϕy u y ∂∂=ϕ流函数和速度的关系y u x ∂∂=ψ xu y ∂∂-=ψ复势与复速度 ()()()y x i y x z f ,,ψϕ+= 它的实数部分是速度势函数，虚数部分是流函数，因为φ，ψ满足柯西-黎曼条件，根据复变函数理论，f(z)是解析函数，称之为复势或者复位势。

复势的导数为iv u xi x dz df -=∂∂+∂∂=ψϕ 称复势的导数为复速度，其实数部分是x 向的分速度，其虚数为y 向的分速度的负值。

恒定平面势流的解析方法1、以速度势函数ϕ为未知函数2、以流函数ψ为未知函数3、以复势()z f 为未知函数，其本身又含有三种方法：奇点法、镜像法和保角变化法 保角变换法概念：根据复变函数理论，解析函数的几何解释就是把一个平面通过函数关系变换或映射到另一个平面，在变换过程中同一点两个线段的夹角在变换过程中保持不变，称此变换为保角变换。

保角变化法的思路 ：将剖面L 借助于解析函数变换到圆L / 上去，L 外区域对应于圆外区域，由于圆柱体绕流问题的解是已知的，于是该绕流物体问题的解即可求出。

设在iy x z +=平面上一个复杂的流动边界，借助于某一解析变换函数()z g =ξ变换到ηζi +=ξ平面上另外的流动，一般为复势已知的典型流动（如圆柱绕流），因为对于这些简单形状的物体在ξ平面上的解是已知的，则通过这种变换可以得到复杂图形的复势。

然后再通过()ζ1-=gz ，将平面平面变换为z ζ。

无环量圆柱绕流：由均匀流和偶极子两个基本流动叠加而得。

()zM z f u z 12∙∏+=有环量圆柱绕流：由无环量圆柱绕流和圆心处强度为—Г（Г〉0）的涡叠加而得。

()a zi z z U z f a ln 22∏Γ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 第四章黏性流体运动基本方程及求解途径连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u zy x 运动方程：x x u x p dt du 2∇+∂∂-=μρy y u y p dt du 2∇+∂∂-=μρ z z u zpdt du 2∇+∂∂-=μρ 求解途径：1、解析解2、近似解3、数值解黏性流体运动的基本性质 1、黏性流体运动的有旋性 2、机械能量的损耗性 3、涡量的扩散性黏性流体运动的解析解c x pz u y u x x =∂∂=∂∂+∂∂μ12222 两平行平板间的层流()U U h y y h dx dp u x 21212122++--=μ泊肃叶流()2221y h dxdp u x --=μ哈根-泊肃叶流()22R 41r xp u x -∂∂-=μ小雷诺数流动近似解的思路雷诺数小意味着黏性力对流动起主导作用，而惯性力则是次要因素，作为零级近似可以将惯性力全部舍去。