Hamilton力学的辛算法
Hamilton系统辛算法的Nekhoroshev稳定性分析
所决定 的离 散轨 道是 否能够 提供 正确 的定性 行 为 。 笔 者根 据 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 的扰动理 论 ， ａ ｉｏ ｔ 给出 了在
性。
关键词 ：Ｈ ｍｌ ｎ系统 ；辛算法 ；Ｎ ｋ ｏｏｈｖ 定性 ａ ｉｏ ｔ ｅ ｈｒｓｅ 稳
中图分类号 ：Ｏ ４ ２１
文献标识码 ：Ａ
Ｎｅ ｈｏ ｏ ｈｅ ｔ ｂｉｉｙ ｏ ｙ ｐ ｅ ｔｃ Ｍ ｅ ｈ ｄｓｆ ｒ Ｈ ａ ｉ ｏ ｉ ｎ Ｓ ｓｅ ｓ ｋ ｒ ｓ ｖ Ｓ ａ ｌ ｆＳ ｍ ｌｃ ｉ ｔ ｏ ｏ ｍ ｌ ｎ ａ ｙ ｔ ｍ ｔ ｔ
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第２ ０卷第 ３ 期 ２０ ０ ８年 ６月
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械
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Ｖ０． ０ Ｎｏ ３ １２ ．
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｒ ｎ ｎ ｅ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＯ ｄ ａ ｃ ｇｎ ｅｉ ｇ Ｃ ｌ ｅ ｅ
Ｊ ｎ ，２ ０ ｕ ． ０８
Ａｂｓｒ ｃ ：ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ｗｅｓｕ ｙ ｔ ｅ Ｎｅ ｈ ｒ ｓ ｖ ｓａ ｉｉｙｏ ｙ ｌｃｉ ｔ ｄ ｏ ｍｉ ｎ ａ ｙ ｔ ｍ． ｔ ａ ｔ Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ， ｔ ｄ ｈ ｋ ｏ ｏ ｈｅ ｔｂ ｌｔ ｆｓ ｍｐ ｅ ｔｃ ｍｅｈｏ ｓｆ ｒＨａ ｈｏ ｉ ｎ ｓ ｓｅ Ｂｙ ｔ ｅ ｔ ｅ ｒ ｆｔ ｅ ｉ ｃｕ ｉ ｎ ｏ ｎ ｌｔｃ ｓ ｍｐｌｃｉ ｐ ｎ Ｈａ ｈ ｎ ａ ｏ ｈ ｈ ｏ ｙ ｏ ｈ ｎ ｌ ｓｏ ｆａ ａ ｙｉ ｙ ｅ ｔｃ ｍａ ｓｉ ｍｉ ｏ ｉ ｎ ｆ ｗｓ， ｂ ａ ｎ ｔ ｅ ｉ ｃｕ ｉｎ ｏ ｌ ｗｅ ｏ ｔ ｉ ｈ ｎ ｌ ｓｏ ｆ ｓ ｍｐ ｅ ｔｃ ａ ｇ ｒｔ ｍｓ ｉ ｍｉ ｎ ａ ｏ ． ｕ ｔ ｒ ｒ ｎｄ ｐ ｏ ｅ ｔ ｋ ｏ ｏ ｈｅ ｈ ｏ ｅ ｆｒｓ ｍｐ ｅ — ｙ ｌ ｃｉ ｌｏ ｉｈ ｎ Ｈａ ｈｏ ｉｎ ｆ ｗｓ Ｆ ｒｈｅ ｍｏ ｅ ａ ｒ ｖ ｈｅ Ｎｅ ｈ ｒ ｓ ｖ ｔ ｅ ｒ ｍ ｙ ｌｃ ｌ ｏ ｔｃ ａ ｇ ｒｔ ｍｓ ａ ｐｉ ｄ ｔ ｏ ｖ ｘ Ｈａ ｈｏ ｉｎ ｓ ｓｅ ． ｉ ｌｏ ｉｈ ｐ ｌ ｏ ｃ ｎ ｅ ｍｉ ｎ ａ ｙ ｔ ｍｓ ｅ
Hamilton体系的辛算法
可以看 出 Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ内积 （ Ｚ ， 由两部分组成 ， 实部 是 Ｒ
中欧式 内积， 虚部可 以看成是 Ｒ 中两 个 向量 ｘ ＝ （ ｘ ， ｘ ： ， …… Ｘ § ， ∈ ： ， …， 与 ｙ ＝ （ ｙ ， Ｙ ｚ ， …， Ｙ ｎ ， 。 ， ： ， …， 的一 种新 的“ 内积 ” ， 我 们称这种 内积为辛内积｝ ｌ １ ． 定义 １ 设 ｗ 是实数域 Ｒ上的一个 ２ ｎ维相空间， 对 ｗ 中的任意两个 向量 ， Ｂ依一定法则对应着一个实数， 这个数
二
ｍ ｉ ｔ ｅ 内 积（ Ｚ ， Ｗ ） ＝ ∑ｚ ｋ Ｗ — ｋ ＝ ∑（ ｘ ｋ ＋ ｉ （ ｙ 一 ｉ Ｔ １ ｋ ） ： ∑（ Ｘ ｋ ｙ ｋ ＋ ｋ ） 一 ｉ
ｋ＝１ ｋ＝ｌ ｋ＝１
（ ｘ ｒｙ 高ｊ ．
ｋ＝ｌ
动 方 程 写 为 粤 ｍ 一 ： ０ ， 它 被 称 为 经 典 力 学 的 变 分 形 式 ａ ｑ
Ｖ０ １ ． ２ ９Ｎｏ ． ６
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３
Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ 体 系的辛算法
王颜 超 ， 邓 亚 莉
（ 内蒙古 大学 ， 内蒙古
摘
比Ｎ－
呼和 浩特
０ １ ０ ０ ２ １ ）
要 ：本文介 绍 了辛空间的基本理论， 通过构造辛算法得到 Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ方程 的数值解 ， 并与分 离变量 法得到的解进行 了
关键词 ：Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ 体 系； 辛算法； 辛空间 中图分类号 ： ０ ２ ４ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ０ ０ ６ — ０ ３
总能量守恒与辛几何算法 3 - 大气科学和地球流体力学数值
0. 4999984729997765
30
7618457506323. 46
175248645. 4323476
0. 4999986031557488
40
7618457506323. 48
175248645. 4323485
0. 4999988702854861
50
7618457506323. 46
9F 9t
=
～
J
δH s δF
.
(16)
～
～
～
～
～
可以证明在逐时线性化情况下算子 J
s
是反对称的
,即有
J
3 s
=
J
T s
= J s ;利用 (16) 式及 J s
L
-3
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～
J=
3
L
1 aco
sθΦco
sθ
9. 9θ
,
(3)
1 9Φ . 1 9Φcosθ . acosθ 9λ acosθ 9θ
0
则 (2) 式可写为
9F 9t
～
+J
F
=
0
.
(4)
可以证明如下结论 :
～
～
算子 J 是局地反对称的 ,即有 (J F , F) = 0 ,从而方程 (3) 满足总能量守恒.
(中国科学院大气物理研究所大气科学和地球流体力学数值模拟国家重点实验室 ,北京 100029) (2002 年 1 月 8 日收稿 ;2002 年 3 月 22 日收修改稿)
摘 要 以正压大气原始方程为例子 ,以总能量守恒为主线 ,介绍动力保守系统两类重要算法 ———总能量守恒算法和辛几何算法 ,讨论了两者之间的关系 ,并给出具体的算例 ,说明两类算法 的有效性. 关键词 大气海洋方程 ,保守系统 ,总能量守恒 ,Hamilton 系统 ,辛格式 中图分类号 P433
哈密尔顿系统的辛几何算法
哈密尔顿系统的辛几何算法哈密尔顿系统是一类具有特殊的物理意义的动力系统，其在物理学、力学、动力学和计算力学等领域有着广泛应用。
哈密尔顿系统通常具有一组关于位置和动量的相变量，其演化满足哈密尔顿方程。
由于哈密尔顿系统具有良好的保持量和结构稳定性，因此在数值模拟中的算法设计尤其重要。
辛几何算法是一类特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，常常用于哈密尔顿系统的数值积分。
辛几何算法最早由李约瑟于 1988 年提出，其不仅能够在数值计算中保持相变量的守恒，还能够在哈密尔顿系统的长期演化中保持辛结构稳定性。
辛几何算法主要由两个部分组成，即辛映射和辛算子。
辛映射指的是从一个相变量向下一个相变量的映射，它通常满足“保相量”和辛结构不变性的特点。
保相量指的是相变量在变化过程中的守恒，而辛结构不变性则指的是哈密尔顿系统在演化过程中的辛不变性。
而辛算子则是这个辛映射的数值逼近，常常采用辛波发方法、显式和隐式辛算法等方法。
在演化哈密尔顿系统时，辛几何算法通常采用显式辛算法进行数值模拟。
显式辛算法的主要思路是采用辛映射和辛算子的组合，来实现对哈密尔顿系统的数值模拟。
在模拟过程中，辛几何算法需要保证每一步的演化都是辛的，这样系统才能保持哈密尔顿量以及其他相变量不变。
因此，辛几何算法在数值模拟中的应用非常广泛。
然而，辛几何算法的实现却比较困难。
在数值模拟时，辛几何算法需要考虑一系列问题，如相变量的数值守恒、哈密尔顿量的捕获和重构、快速演化、长时间演化、难以计算的高维效应等等。
这些问题都需要采用一些特殊的技巧和策略来解决。
总的来说，辛几何算法是一种特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，在计算力学、物理学、动力学等领域有着广泛应用。
Hamilton力学的辛算法
(1998年3月11日《中国科学报》)
1
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“冯氏大定理”
• 同一物理定律的不同的数学表述，尽管在物理上 是等价的；但在计算上是不等价的。
• 冯康：如果在算法中能够保持辛几何的对称性， 将可避免人为耗散性这类算法的缺陷，成为具有 高保真性的算法。
• 在天体力学的轨道计算，粒子加速器中的轨道计 算和分子动力学计算中得到广泛的应用。
2
2
p H q
q
1 2
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Vq
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Tp
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差分
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1
h
pm1 pm
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2
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3 2
qm1 2
Tpm1
pm1
qm
3 2
pm
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1
2
hVq m 1 2
泛 函
现代微分几何 规范场理论 微分拓扑 辛几何
......
4
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外微分 辛几何
• 辛几何的基础是外微分形式。 • 外微分形式是如下概念推广到高维的产物：
1、作功—在场中沿某一路径所作的功； 2、流量—单位时间内流体穿过某曲面的量 3、面积或体积—平行四边形面积
或平行六面体体积。
• 外微分形式中有“1-形式”、“2-形式”等
实对称矩阵的所有本征向量组成一组正交归 Hamilton矩阵的所有本征向量组成一组共轭辛
辛算法研究——精选推荐
辛算法研究冯康教授于1984年提出Hamilton系统的辛几何算法，首次将保持Hamilton 系统几何结构的思想引入数值分析，随后引来了国内外在这方面的极大兴趣。
冯康教授开辟了一个新的研究领域，并在近十年的时间里带领他的研究小组在辛几何算法等保结构算法及其在数值分析中的应用等方面进行了广泛深入的研究，取得了丰硕的成果。
现在人们已越来越意识到保结构算法的重要性，事实上保结构算法已在很多领域包括天体力学，量子化学，非线性波，不可压流体，大气物理和地物勘探数据处理等，找到很好的应用。
另一方面，在这些领域中的应用反过来又必将促进辛几何算法等保结构算法本身的不断完善何不断发展。
大量数值实验结果已证明，较之传统算法，保结构算法对保结构动力系统的计算具有令人信服的优势。
在辛几何算法理论方面，仍有一些悬而未决的难点问题和最新提出的一些重点问题有待解决；另一方面，在辛算法的基础上，现在国际上又兴起了专门解保守型偏微分方程的多辛算法。
孤立子波动方程是广泛应用于物理领域的非常重要的守恒型偏微分方程，对其复杂孤立子波的数值模拟二十多年来一直是国际上一个热门课题，数值结果已经显示辛算法，多辛算法的优势和可行性，但至尽仍然存在许多有待解决的问题。
我们主要研究的是多辛算法，现阶段的研究水平已完全与国际科研水平持平，并保持同步发展。
我们把多辛几何算法应用到孤子方程中去，数值研究表明多辛算法和常微分方程情形一样具有长期跟踪能力, 不会带来人为污染, 能正确反应孤子碰撞问题.我们发表在Phys.A Mathematical gen(2000), 33:18, 3613--3626上的论文给出了一个三层12点格式. 此文发表后不久, 两美国学者Schultz M ,Trimper S 在此刊同卷41期上发表论文:“动力运动产生孤子”, 文中称我们的方法是著名的方法。
李群算法是最近才发展起来的一种很有发展前途的数值算法。
它用来求解齐次流形上的常微分方程，使得所求的数值解仍在同一流形上李群算法是冯康先生辛几何算法的拓扩，把保几何结构的思想推广到一般李群上。
辛算法在电磁计算中的应用
辛算法在电磁计算中的应用摘要近几年，随着计算机性能的飞速发展和计算物理中各种新型算法的出现，各种电磁场数值方法层出不穷，但很多算法面临着计算时间长、储存空间不足及计算精度低等方面的困难。
Hamilton系统理论是当代数学物理中的一个重要的工具。
一切守恒的物理过程，总能表示成适当的Hamilton系统。
辛算法正是保持Hamilton系统内在性质的一种新型数值方法，该算法在长时间的数值计算中，具有一般数值方法无可比拟的计算优势。
本文首先介绍了电磁学的基本背景和电磁计算的研究，然后介绍了辛算法。
接着，介绍了辛算法在Maxwell方程中的应用，然后在无耗煤质和散射存在时的情况下分析了辛时域有限差分法的计算式。
最后，以真空中一维的高斯脉冲电磁波为例用辛算法进行了数值运算。
关键词：电磁计算；辛算法；Hamilton系统；Maxwell方程一．引言电磁场理论的应用遍及地理学、生命科学、医学、材料科学和信息科学等几乎所有技术学科领域。
计算电磁学是以电磁场理论为基础，以高性能的计算技术为手段，运用计算数学提供的各种方法，解决复杂电磁场理论和工程问题的应用科学。
因此，开展计算电磁学的研究不仅可以产生国际水平的基础研究成果，更重要的是可以促进我国民用和军用电磁学相关领域的发展。
早在1864年，Maxwell在前人理论和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是Maxwell方程组，它包括微分形式和积分形式。
简单地说，所有的宏观电磁问题都可以归结为Maxwell方程组在各种边界条件下的求解问题。
计算电磁学自20世纪60年代兴起，至今40余年。
纵观整个电磁理论发展的过程，电磁学的发展可以分为两个阶段。
以20世纪60年代为分界点，之前可以称为经典电磁学阶段，在这个时期，电磁场理论和工程中的许多问题大多采用解析或渐进的方法进行处理，即在几种可分离变量的坐标系中求解Maxwell方程组或其退化形式，最后得到解析解。
哈密尔顿系统有限元的守恒性和辛性质
哈密尔顿系统有限元的守恒性和辛性质哈密尔顿系统是最重要的动力系统。
冯康院士曾指出，一切真实的无耗散的物理过程都可表示为这样或那样的Hamilton形式，它们都是常微分或偏微分方程组。
Hamilton系统有两个最重要的特性：守恒性和辛结构。
在数值计算中能否保持这些特性具有重要意义。
1983年冯康研究此问题，他惊讶地发现，此前这里竟是一片空白，许多经典的算法都不适应，计算几万步后有时已面目全非。
他1984年首创性提出辛差分算法，并作了深入系统的研究，开辟了一大片研究新领域。
以后国内外许多学者作了多方面推广和广泛应用。
冯康的这项首创工作得到了国际一致公认。
但是任何离散算法，一般不可能同时保辛又保能量（Ge-Masden定理）。
辛差分算法很好地保辛，但只在格式精度意义下保能量。
而许多学者认为，有时保能量更重要。
因此我们转向有限元法，却发现至今有关研究极少。
而我们的研究表明，有限元总是保能量的，对线性系统也是辛的，对非线性系统是高精度保辛的，而且长时间计算稳定且精度高，效果非常好。
这些结论已刻划了有限元的基本特征。
因此有限元法是与辛差分算法完全不同的另一种算法，从另一方面弥补了辛差分算法的不足。
本研究是对辛算法的一次重要推进。
本文主要创新点如下：（1）．首次系统深入研究任意m次有限元解非线性Hamilton系统，证明了在任何节点上能量总是守恒的，因此在相平面上轨道总是稳定的。
并首次提出用超收敛分析方法研究有限元的辛性质；（2）．对线性Hamilton系统的任意m次有限元，得到了一个深刻的高阶超收敛O(h<sup>2m+1</sup>)新估计，首次证明m次有限元的节点值是2m阶对角Páde 逼近，因而是辛格式。
此结果与冯康等研究的辛差分格式结论一致；（3）．对非线性Hamilton系统的任意m次有限元法，构造了新的辅助问题，并得到误差估计和负范数估计，首次证明m次有限元对每一次步进是高精度O(h<sup>2m+1</sup>)意义下近似保辛的。
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然后就可以给出向量的长度、正交、单位向量等概念。 7
辛空间（Simplectic Space ）
具有如下内积定义的线性空间W为“辛空间” 。 这种内积称为“辛内积”。
? 反对称性：a,b ? ? b,a ? 双线性： a1 ? a2,b ? a1,b ? a2,b
a,b1 ? b2 ? a,b1 ? a,b2
泛 函
现代微分几何 规范场理论 微分拓扑 辛几何
......
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外微分 ? 辛几何
? 辛几何的基础是外微分形式 。 ? 外微分形式 是如下概念推广到高维的产物：
1、作功—在场中沿某一路径所作的功； 2、流量—单位时间内流体穿过某曲面的量 3 、面积 或体积 —平行四边形面积
或平行六面体体积。
? 外微分形式 中有“1-形式”、“ 2-形式”等
? 非简并性：若向量a对于W中的任意向量 b均
有 a,b ? 0 ，则 a ? 0
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辛空间
? 度量：作功、面积（或体积）、流量等
? 辛内积：
2维： a,b ? a1 a2
b1 b2
a、b平行四边形面积
2n维：a ? ?a1 a2 ... a2n ?T
b ? ?b1 b2 ... b2n ?T
?0 单位辛矩阵 ：J 2n ? ???1n
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n
? a,b ? ?a, J 2nb ?? ? ? aibn?i ? an?ibi i?1
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T 1
b
内容
? 冯康对世界科学的重大贡献 ? Euclid空间 ? 辛空间 ? Hamilton力学的辛结构 ? 正则变换的辛结构 ? 辛算法应用实例
1
? Schr?dinger：“Hamilton原理已经成为现代物理学的基 石。”
? Hamilton原理将不同的物理规律纳入了统一的数学形式。
? 现在问题就归结到：怎样才能对Hamilton力学的运动方程 作正确的数值计算。
qi
?
?H ? pi
,
pi
?
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?H ?qi
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p1
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p f q1
...
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T
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?H ??H ?H ?
?z
? 辛构造就是非简并的闭 2-形式。
6
Euclid空间
符合如下内积定义的线性空间V称为“Euclid空间”。
? 对称性：?a,b?? ?b,a? ? 线性： ?a, kb ?? k ?a,b ? （ k 为任意实数）
?a ? c,b ?? ?a,b ?? ?c,b ?（ c是V中的任意向量） ? 非简并性：?a,a ?? 0 ，当且仅当 a ? 0 时才
?0 ??? 1n
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▌
10
Euclid空间和辛空间的对应关系
Euclid 空间
内积 ?a,b?——长度
单位矩阵 1
? ? 正交 ?a, b ?? aTb ? aT 1b ? 0
正交归一基
? ? 正交矩阵 CT C ? CT 1C ? 1
陈省身教授在示性类方面的工作，一个是华罗庚在多复变
函数方面的工作，一个是冯康在有限元计算方面的工作。”
(1998年3月11 日《中国科学报》)
2
“冯氏大定理”
? 同一物理定律的不同的数学表述，尽管在物理上 是等价的；但在计算上是不等价的。
? 冯康：如果在算法中能够保持辛几何的对称性， 将可避免人为耗散性这类算法的缺陷，成为具有 高保真性的算法。
? 1984年以后创建的“哈密尔顿系统的辛几何算法”。 （1991年评为国家自然科学奖二等奖。冯康获悉后撤回申请。
直到1997年底，在冯康去世四年之后，终于授予了国家自 然科学一等奖。 ） 石钟慈：“国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的。”
4
数学地位
线 线对多张张 流 性 性偶重量量 形 空 泛空线空分 理 间 函间性间析 论
? 在天体力学的轨道计算，粒子加速器中的轨道计 算和分子动力学计算中得到广泛的应用。
3
冯康（1920－1993）的学术成就
? 1965年发表论文“基于变分原理的差分格式”。国际学术 界承认冯康独立发展了有限元方法。
（仅获1982年国家自然科学二等奖。冯康得悉非常难过，曾 打算将申请撤回。） 前国际数学会理事长J. –L. Lions教授1981年说：“中国 学者在对外隔绝的环境下独立创造了有限元，在世界上是 最早之列。今天这一贡献已为全人类所共享。”
对称变换 ?a, A b ?? ?b,A a ?
实对称矩阵的本征值均为实数
实对称矩阵的不同本征值的本征向量必正交
实对称矩阵的所有本征向量组成一组正交归 一基
辛空间
内积 a, b ——面积
单位辛矩阵 J
辛正交 a,b ? aT Jb ? 0
共轭辛正交归一基
辛正交矩阵 ST JS ? J
Hamilton变换 ?a,H b ?? ?b,H a ?
若Hamilton矩阵的本征值为? ，则 ? ?
也是它的本征值 Hamilton 矩阵的非辛共轭本征值的本征向量必
辛正交
Hamilton 矩阵的所有本征向量组成一组共轭辛 正交归一基
11
Hamilton力学的辛结构
T
T
q ? ??q1 q2 ... q f ?? p ? ?? p1 p2 ... p f ??
2
?
a
T 2
b
1
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n i?1
aibn? i ? an? ibi
9
单位辛矩阵 J 2n 的性质
? J2 ? ?1
? J T ? J ?1 ? ? J
? aT Ja ? 0 ? a ? R2n ? 若 A 为对称阵，且 B ? J 2nA ，则 BT J 2n ? J 2nB ? 0
证明：
J
2 2
n
?
? 一切Hamilton体系的动力学演化都使辛度量保持不变，即 都是辛（正则）变换。
? 一切解Hamilton方程 “正确”的离散算法都应当是辛变换 的。 （冯康，1997年国家自然科学一等奖“哈密尔顿系 统辛几何算法” ）
? Lax：“他的声望是国际性的。”
? 丘成桐：“中国…在数学历史上很出名的有三个：一个是