2017上海市黄浦区高三二模数学试题及答案

合集下载

上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)(含答案)word版

2017年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚． 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数12()log (21)f x x =+的定义域为．2．若双曲线221xy m -=的一个焦点为F (2,0)，则实数m = ． 3．若2x 3ππ≤≤，则方程2sin 10x +=的解x = ．4．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1(,9)3，则该幂函数的解析式()f x = ．5．一盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至取到正品．已知抽取次数ξ 的概率分布律如下表：．6．一名工人维护甲、乙两台独立的机床，若在一小时内，甲、乙机床需要维护的概率分别为0.9、0.85，则两台机床都不需要维护的概率为．7．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若10110i 0z z z =（i 是虚数单位），则z = ． 8．已知α、0,2βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若5cos()13αβ+=，4sin()5αβ-=-，则cos 2α= ．9．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为．10．若过圆C ：1,1,x y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（02θ<π≤）上一点(1,0)P -作该圆的切线l ，则切线l 的方程为．11．若(12)n x +（*n ∈N ）二项展开式中的各项系数和为n a ，其二项AB1A 1C 1B 第9题式系数和为n b ，则=+-++∞→nn nn n b a a b 11lim．12．设集合{1,}P x =，{1,2,}Q y =，其中,{1,2,3,4,5,6,7,8,9}x y ∈，且P Q ⊆．若将满足上述条件的每一个有序整数对(,)x y 看作一个点，则这样的点的个数为． 13．已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题：① 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ② 函数()f x 一定存在零点； ③ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；④ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -．那么所有真命题的序号是．14．已知△FAB ，点F 的坐标为(1,0)，点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么△FAB 的周长的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知空间三条直线a 、b 、m 及平面α，且a 、b ≠⊂α．条件甲：m a ⊥，m b ⊥；条件乙：m α⊥，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的………………………………………（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件16．已知a 、0b >，则下列不等式中不一定成立的是……………………………………（）A ．2a bb a +≥ B ．11()()4a b a b +⋅+≥C．2ab a b+D．a b ++17．已知△ABC 的三边分别是a b c 、、，且a b c ≤≤（*a b c ∈N 、、），若当b n =（*n ∈N ）时，记满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式…………………（） A ．21n a n =- B ．(1)2n n n a +=C ．21n a n =+D ．n a n =18．已知O 、A 、B 、C 是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数1λ、2λ、3λ，使得1230OA OB OC λλλ++=，则三个角AOB ∠、BOC ∠、COA ∠………………………（） A ．都是钝角 B ．至少有两个钝角 C ．恰有两个钝角D ．至多有两个钝角三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥， 4AB AC ==，5AP =．（1）求二面角P BC A --的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）把△PAB （及其内部）绕PA 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积V ．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数22()cos cos sin 1f x x x x x =⋅+--（x ∈R ）（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若5[,]123x ππ∈-，求()f x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）．若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用n a （*n ∈N ）表示A 型车床在第n 年创造的价值．（1）求数列{}n a （*n ∈N ）的通项公式n a ；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，nn S T n=．企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床．试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？（已知：若正数数列{}n b 是单调递减数列，则数列12n b b b n +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是单调递减数列）．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题ABCP满分6分．已知定点(2,0)F ，直线:2l x =-，点P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ PF PQ ⊥+（）．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，求证：111||||2AF BF +=；（3）记OA 与OB的夹角为θ（O 为坐标原点，A 、B 为（2）中的两点），求cos θ的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．对*n ∈N ，定义函数2()()n f x x n n =--+，1n x n -≤≤．（1）求证：()n y f x =图像的右端点与1()n y f x +=图像的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．（2）若直线n y k x =与函数2()()n f x x n n =--+，1n x n -≤≤（2n ≥，*n ∈N ）的图像有且仅有一个公共点，试将n k 表示成n 的函数．（3）对*n ∈N ，2n ≥，在区间[0,]n 上定义函数()y f x =，使得当1m x m -≤≤（*m ∈N ，且1m =，2，…，n ）时，()()m f x f x =．试研究关于x 的方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数（这里的n k 是（2）中的n k ），并证明你的结论．2017学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科）参考答案和评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．1(,)2-+∞ 2．3 3．67π 4．12x- 5．118 6．0.015 7．0或i - 8．6365 910．220x y -+= 11．13- 12．1413．①④ 14．(4,6)二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A 16．C 17．B 18．B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．[解]（1）解法一：设BC 的中点D ，联结AD ，PD ，易知在等腰三角形PBC 、ABC 中，PD BC ⊥，AD BC ⊥，故PDA ∠为二面角P BC A --的平面角．（2分）在等腰Rt △ABC 中，由4AB AC ==及AB AC ⊥，得AD = 由PA ⊥平面ABC ，得PA AD ⊥．在Rt △PAD中，tan PA PDA AD ∠== （6分）故二面角P BC A --的大小为arc （8分）解法二：如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,5)P ．于是(4,0,5)PB =- ，(4,4,0)BC =-．（2分）由PA ⊥平面ABC ，得平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =．设2(,,)n u v w =是平面PBC 的一个法向量．因为2n PB ⊥ ，2n BC ⊥ ，所以20n PB ⋅= ，20n BC ⋅=，即450u w -=，440u v -+=，解得45w u =，v u =，取5u =，得2(5,5,4)n =-．（4分）设1n 与2n 的夹角为ϕ，则1212cos n n n n ϕ⋅==（6分）结合图可判别二面角P BC A --是个锐角，它的大小为．（8分）（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5．该圆锥的体积21805433V π=⨯⨯π⨯=．（12分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．[解]（1）由题设()2cos212sin(2)16f x x x x π=+-=+-，（2分）由222262k x k ππππ-+π+≤≤，解得36k x k πππ-π+≤≤，故函数()y f x =的单调递增区间为,36k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．（6分）（2）由5123x ππ-≤≤，可得22366x ππ5π-+≤≤．（7分）考察函数sin y x =，易知1sin(2)16x π+-≤≤，（10分）于是32sin(2)116x π+--≤≤．故()y f x =的取值范围为[3,1]-．（12分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．[解]（1）由题设，知1a ，2a ，…，6a 构成首项1250a =，公差30d =-的等差数列．故28030n a n =-（6n ≤，*n ∈N ）（万元）．（3分）7a ，8a ，…，n a （7n ≥，*n ∈N ）构成首项761502a a ==，公比12q =的等比数列．故71502n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（7n ≥，*n ∈N ）（万元）．（6分）于是，728030,16150,72n n n n a n --⎧⎪=⎨⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩≤≤≥（*n ∈N ）（万元）．（7分）（2）由（1）知，{}n a 是单调递减数列，于是，数列{}n T 也是单调递减数列．当16n ≤≤时，26515nn S T n n==-，{}n T 单调递减，6175100T =>（万元）．所以100n T >（万元）．当7n ≥时，66110010501001115022n n n n S T n n n--⎡⎤⎛⎫+⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===，（9分）当11n =时，11104T >（万元）；当12n =时，1296T <（万元）．（13分）所以，当12n ≥，*n ∈N 时，恒有96n T <．故该企业需要在第11年年初更换A 型车床．（14分） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．[解]（1）设点P 的坐标为(,)x y ．（1分）由题意，可得(2,)Q y -，(4,)FQ y =- ，(2,)PF x y =-- ，(2,0)PQ x =--．（3分）由FQ 与PF PQ + 垂直，得()0FQ PF PQ ⋅+=，即28y x =（0x ≥）．（6分）因此，所求曲线C 的方程为28y x =（0x ≥）．[证明]（2）因为过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，所以1l 的斜率不为零，故设直线1l 的方程为2x my =+．（7分）于是A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组28,2,y x x my íï=ïìï=+ïî的实数解．消x 并整理得28160y my --=．（8分）于是12128,16,y y m y y +=⎧⎨=-⎩进一步得2121284,4.x x m x x ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩ （10分）又因为曲线28y x =（0x ≥）的准线为2x =-，所以12121212411111||||222()42x x FA FB x x x x x x +++=+==+++++，得证．（12分）（3）由（2）可知，11(,)OA x y =u u r ，22(,)OB x y =uu u r．于是cos ||||OA OB OA OB q ?===×uu r uu u ruu r uu u r ，（16分）可求得cos q =3,05轹÷ê-÷÷êøë．（18分） 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．[证明]（1）由()n f n n =得()n y f x =图像右端点的坐标为(,)n n ，由1()n f n n +=得1()n y f x +=图像左端点的坐标为(,)n n ，故两端点重合．（2分）并且对*n ∈N ，这些点在直线y x =上．（4分） [解]（2）由题设及（1）的结论，两个函数图像有且仅有一个公共点，即方程2()n x n n k x --+=在1n x n -≤≤上有两个相等的实数根．整理方程得22(2)0n x k n x n n +-+-=，由22(2)4()0n k n n n ∆=---=，解得2n k n =± （8分）此时方程的两个实数根1x ，2x 相等，由122n x x n k +=-，得122[2(22nn k x x n n -===-±= 因为121n x x n -=≤≤，所以只能2n k n =-2n ≥，*n ∈N ）．（10分）（3）当2n ≥时，2n k n =-=，可得12n k <<，且n k 单调递减．（14分）① 当3n ≥时，对于21i n -≤≤，总有1n i k k <<，亦即直线n y k x =与函数()i f x 的图像总有两个不同的公共点（直线n y k x =在直线y x =与直线i y k x =之间）．对于函数1()f x 来说，因为12n k <<，所以方程1()n k x f x =有两个解：10x =，22n x k =-(0,1)∈．此时方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数为2(1)121n n -+=-．（16分）② 当2n =时，因为212k <<，所以方程21()k x f x =有两个解．此时方程2()f x k x =（02x ≤≤）的实数解的个数为3．（17分）综上，当2n ≥，*n ∈N 时，方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数为21n -．（18分）。

2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷(解析版)

2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．（4分）函数y＝的定义域是．2．（4分）若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a＝．3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为．4．（4分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t 等于．5．（4分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．6．（4分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为．7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是．8．（5分）已知向量，，如果∥，那么的值为．9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．10．（5分）若将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是．11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB＝2，AP+AC＝4，则该三棱锥的体积V的取值范围是12．（5分）对于数列{a n}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T＝a n成立，则称数列{a n}是以T为周期的周期数列．设b1＝m（0＜m＜1），对任意正整数n都有若数列{b n}是以5为周期的周期数列，则m的值可以是．（只要求填写满足条件的一个m值即可）二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π15．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y＝0 16．（5分）如图所示，∠BAC＝，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P 是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C，a cos A，c cos B成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若，b+c＝6，求的值．19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H＝f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f （x）＝﹣x log a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k＝1，2，…，n﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．20．（16分）设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE恒过一个定点．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）＝1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都有．2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．（4分）函数y＝的定义域是[0，2]．【解答】解：要使函数有意义需2x﹣x2≥0解得0≤x≤2故答案为：[0，2]2．（4分）若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a＝2．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无数多组解，则直线ax+y﹣1＝0与直线4x+ay﹣2＝0重合，则有＝＝，解可得a＝2，故答案为：2．3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．【解答】解：因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2﹣2x﹣3＞0”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t等于．【解答】解：∵z1＝3+4i，z2＝t+i，∴＝（3+4i）（t﹣i）＝3t+4+（4t﹣3）i，∵是实数，∴4t﹣3＝0，得t＝．故答案为：．5．（4分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．【解答】解：∵函数f（x）（a＞0且a≠1）是R上的减函数，∴0＜a＜1，且3a﹣0≥a0+1＝2，∴≤a＜1．故答案为：．6．（4分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，，联立方程组，解得B（3，2），化目标函数z＝﹣2x+y为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z＝﹣2×3+2＝﹣4．故答案为：﹣4．7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是[3，7]．【解答】解：∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，∴圆心C（4，3），半径r＝2；设点P（a，b）在圆C上，则＝（a+m，b），＝（a﹣m，b）；∵∠APB＝90°，∴（a+m）（a﹣m）+b2＝0；即m2＝a2+b2；∴|OP|＝，∴|OP|的最大值是|OC|+r＝5+2＝7，最小值是|OC|﹣r＝5﹣2＝3；∴m的取值范围是[3，7]．故答案为[3，7]．8．（5分）已知向量，，如果∥，那么的值为．【解答】解：∵向量，，∥，∴cos（+α）•4﹣1•1＝0，求得cos（+α）＝，即sin（﹣﹣α）＝，即sin（﹣α）＝，∴＝1﹣2＝1﹣2•＝，故答案为：．9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．【解答】解：∵任何三点不共线，∴共有＝56个三角形．8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，所以构成直角三角形的概率为＝，故答案为．10．（5分）若将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是．【解答】解：∵将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为：f（x）＝|sin[ω（x+）﹣]|＝|sin[ωx+（﹣）]|，∵当﹣＝时，即ω＝6k+时，f（x）＝|sin（ωx+）|＝|﹣cos（ωx）|＝|cos（ωx）|，f（x）为偶函数．∵ω＞0，∴当k＝0时，ω有最小值．故答案为：．11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB＝2，AP+AC＝4，则该三棱锥的体积V的取值范围是（0，]【解答】解：∵AP+AC＝4，∴AP•AC≤（）2＝4，设∠P AC＝θ，则0＜θ＜π，∴S△P AC＝AP•AC•sinθ≤2sinθ≤2，∴0＜S△P AC≤2．∵AB⊥AC，AB⊥AP，∴AB⊥平面P AC，∴V＝S△P AC•AB＝S△P AC，∴0＜V≤．故答案为：．12．（5分）对于数列{a n}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T＝a n成立，则称数列{a n}是以T为周期的周期数列．设b1＝m（0＜m＜1），对任意正整数n都有若数列{b n}是以5为周期的周期数列，则m的值可以是﹣1．（只要求填写满足条件的一个m值即可）【解答】解：取m＝﹣1＝b1，则b2＝＝，b3＝，b4＝+1，b5＝，b6＝﹣1，满足b n+5＝b n．故答案为：﹣1．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选：A．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S＝4π×12+π×12×2+2π×1×3＝12π故选：D．15．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y＝0【解答】解：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c，右焦点到渐近线距离为b，所以有：a+c＝2b，由4x±3y＝0得，取a＝3，b＝4，则c＝5，满足a+c＝2b．故选：C．16．（5分）如图所示，∠BAC＝，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P 是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：连接MA，MD，则∠MAD＝，MD⊥AD，∵AD＝1，∴MD＝，MA＝2，∵点P是圆M及其内部任意一点，∴2﹣≤AP≤2+，且当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，当AP取得最大值时，以AP为对角线，以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA1PB1，则△APB1和△AP A1是等边三角形，∴AB1＝AA1＝AP＝2+，∴x＝y＝2+，∴x+y的最大值为4+2，同理可求出x+y的最小值为4﹣2．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．【解答】解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知A（0，0，0），D（0，1，2），E（﹣2，0，1），F（﹣1，1，0），故，…（4分）由，可知，即AE⊥DF．…（6分）（2）设是平面DEF的一个法向量，又，故由解得故．…（9分）设AE与平面DEF所成角为θ，则，…（12分）所以AE与平面DEF所成角为，点A到平面DEF的距离为．…（14分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C，a cos A，c cos B成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若，b+c＝6，求的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由b cos C，a cos A，c cos B成等差数列，可得b cos C+c cos B＝2a cos A，…（2分）故sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos A，所以sin（B+C）＝2sin A cos A，…（4分）又A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝sin A，故sin A＝2sin A cos A，又由A∈（0，π），可知sin A≠0，故，所以．…（6分）（另法：利用b cos C+c cos B＝a求解）（2）在△ABC中，由余弦定理得，…（8分）即b2+c2﹣bc＝18，故（b+c）2﹣3bc＝18，又b+c＝6，故bc＝6，…（10分）所以＝…（12分）＝c2+b2+bc＝（b+c）2﹣bc＝30，故．…（14分）19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H＝f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f （x）＝﹣x log a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k＝1，2，…，n﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．【解答】解：（1）由，可得，解之得a＝2．…（2分）由32种情形等可能，故，…（4分）所以，答：“谁被选中”的信息熵为5．…（6分）（2）A n获得冠军的概率为，…（8分）当k＝1，2，…，n﹣1时，，又，故，…（11分），以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为．…（14分）20．（16分）设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE恒过一个定点．【解答】解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP＝﹣1，又A点坐标为（﹣a，0），故，可得a＝1，…（2分）因为椭圆M过P点，故，可得，所以椭圆M的方程为．…（4分）（2）AP的方程为，即x﹣y+1＝0，由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）所以…（8分）＝当，即时，S△APQ取最大值．故S△APQ的最大值为．…（10分）（3）直线AD方程为y＝k1（x+1），代入x2+3y2＝1，可得，，又x A＝﹣1，故，，…（12分）同理可得，，又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，，，直线DE的方程为，…（14分）令y＝0，可得．故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）（法二）若DE垂直于y轴，则x E＝﹣x D，y E＝y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x＝ty+s，将其代入x2+3y2＝1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣1＝0，可得，…（12分）又，可得，…（14分）故，可得s＝﹣2或﹣1，又DE不过A点，即s≠﹣1，故s＝﹣2．所以DE的方程为x＝ty﹣2，故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）＝1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都有．【解答】解：（1）对于函数，当t＞0，s＞0时，，又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故是“L函数”．…（2分）对于函数，当t＝s＝1时，，故不是“L函数”．…（4分）（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…（6分）由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，即3t（3s﹣1）﹣（3s﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a•3﹣s﹣t（3s﹣1）（3t﹣1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…（9分）综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（10分）（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s＝t，可知f（2s）＞2f（s），即，…（12分）故对于正整数k与正数s，都有，…（14分）对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）＝1，所以，…（16分）同理，故．…（18分）。

2017年-上海各区-数学高三二模试卷和答案

宝山2017二模一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-，P 为曲线()10m n x ⋅=>上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小；（2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k ；（2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c ==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.宝山区答案1.(0,1)2.13. π4.35. 5.16. 37. 28. 19.1210. 0.03 11.212.512 13. B14. C15.A16.A17. （1）（2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a或32a 20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩ （3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合（2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （3）15λ=解析：（2）设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭若(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+（i ）0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，若0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。

2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷Word版含解析

2017年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B=．2．复数所对应的点在复平面内位于第象限．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=．4．若方程组无解，则实数a=．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；）都在函数y=f（x）的（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．2017年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B={2，3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】解关于B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}={x|1＜x＜5}，则A∩B={2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．2．复数所对应的点在复平面内位于第四象限．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i所对应的点在复平面内位于第四象限．故答案为：四．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=4．【考点】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和．【分析】由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，即可求极限．【解答】解：由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，∴==4，故答案为：4．4．若方程组无解，则实数a=±2．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意，若方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，则有a×a=2×2，且a×2≠2×3，即a2=4，a≠3，解可得a=±2，故答案为：±2．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=1．【考点】DB：二项式系数的性质．=x r a7﹣r，令r=6，则=7，【分析】（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1解得a．=x r a7﹣r，【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1令r=6，则=7，解得a=1．故答案为：1．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax，结合题意中渐近线方程可得a=2，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±ax，又有其渐近线方程是y=±2x，则有a=2；故答案为：2．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，即可利用二倍角的正弦函数公式化简求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=3，c=4，∴cosA==，可得：sinA==，cosB==，sinB==，∴===．故答案为：．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是[0，5] ．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，可得结论．【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，∴d的取值范围[0，5]，故答案为[0，5]．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=4．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，方程f（x）=b有四个不同的实数解，等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2=0，x3+x4=4，则x1+x2+x3+x4=4．故答案为：4．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等．根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．利用体积法，求其高，即可得主视图的高．可得主视图的面积【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V==根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS=h，则=．∴h=．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S=．故答案为11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0），M（，），（0＜θ＜），由已知可得，则λ+2μ=，即可求解．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）M（，）（0＜θ＜），∵，∴（．∴，则λ+2μ=，∴当θ=时，λ+2μ最大值为，故答案为：12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有91个．【考点】8E：数列的求和．【分析】根据数列递推公式可得a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，分类讨论即可求出答案．【解答】解：a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102=10×9=90种，若S10=S9，则有a10=0，根据分类计数原理可得，共有90+1=91种，故答案为：91二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】先判断奇偶性和单调性，先由单调性定义由自变量的关系得到函数关系，然后三式相加得解．【解答】解：函数，f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3x3＞﹣x1，∴f（x1）＞f（﹣x2，f（x2）＞f（﹣x3），f（x3）＞f（﹣x1）∴f（x1）+f（x2）＞0，f（x2）+f（x3）＞0，f（x3）+f（x1）＞0，三式相加得：f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：B．16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据点M（a，b）与点N（1，0）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，可以画出点M（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论．【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5=0的距离为d，则d=，则a2+b2＞4，故③错误；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a=0，b=时，=，又直线3x﹣4y+5=0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点建立空间坐标系，求出，的坐标，利用向量的夹角公式得出AD，EF的夹角；，代入体积公式计算．（2）证明AE⊥平面DEF，求出AE和S△DEF【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），所以．设异面直线AD、EF所成角为α，则==，所以，即异面直线AD、EF所成角的大小为．（2）∵AB=AC=4，AB⊥AC，∴，，DE=AA1=4，==4，∴S△DEF由E为线段BC的中点，且AB=AC，∴AE⊥BC，又BB1⊥面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥面BB1C1C，∴，∴三棱锥D﹣AEF的体积为．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用奇函数的定义，结合x∈（0，）时，f（x）=，求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）分类讨论，利用函数的解析式，可得结论．【解答】解：（1）设，则，∵f（x）是奇函数，则有…∴f（x）=…（2）设，令t=tanx，则t＞0，而．∵1+t＞1，得，从而，∴y=f（x）在的取值范围是0＜y＜1．…又设，则，由此函数是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．…综上所述，y=f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据求和公式列方程求出q，代入通项公式即可；（2）对a进行讨论，判断{b n}的单调性和首项的符号，从而得出T n的最值．【解答】解：（1）∵，∵q≠1，∴．整理得q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去）．∴．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2．1）当a＞1时，有log a2＞0，数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴{b n}是递增数列，∴T n没有最大值．由b n≤0，得n≤5．所以（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．2）当0＜a＜1时，有log a2＜0，数列{b n}是以log a2为公差的等差数列，∴{b n}是首项为正的递减等差数列．∴T n没有最小值．令b n≥0，得n≤5，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由，代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N 的轨迹方程；（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得的取值范围；（3）求得椭圆方程，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k2=2m2，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△OAB的面积，直线l的斜率不存在时，设方程为x=m，代入椭圆方程，即可求得△OAB的面积．【解答】解：（1）设N（x，y）由题意，则，又，∴，从而得x2+y2=1…（2）由，得a=2．又，得．…∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，•=（x，y0）（，）=+=x02+，由于，的取值范围是[，2]（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；有①…由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；整理得：②将①式代入②式得：3+4k2=2m2，…3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0，又点O到直线y=kx+m的距离，丨AB丨==×=×，∴…2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，解得m2=2，从而，=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，S△OAB综上：△OAB的面积是定值．…21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n）都在函数y=f（x）的+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．【考点】H2：正弦函数的图象；3O：函数的图象．【分析】（1）根据复合函数的性质，由内往外计算可得答案．）都在函数y=f（x）的图象上，带入，化简，不难发现函（2）根据点（x n，x n+1数y是周期函数，即可求解x1+x2+…+x4n的值．（3）根据表中的数据，带入计算即可求解函数的解析式．【解答】解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}=f（f（3））=f（﹣1）=2．）都在函数y=f（x）的图象上，（2）由题意，x1=2，点（x n，x n+1=f（x n）即x n+1∴x2=f（x1）=f（2）=0，x3=f（x2）=3，x4=f（x3）=﹣1，x5=f（x4）=2∴x5=x1，∴函数y是周期为4的函数，故得：x1+x2+…+x4n=4n．（3）由题意得由（1）﹣（2）∴sin（ω+φ）=sin（﹣ω+φ）∴sinωcosφ=0．又∵0＜ω＜π∴sinω≠0．∴cosφ=0而0＜φ＜π∴从而有．∴2A2﹣4A+2﹣2A2+3A=0．∴A=2．b=1，∵0＜ω＜π，∴．∴．此函数的最小正周期T==6，f（6）=f（0）=3∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6，∴①当n=2k（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]=6k=3n．②当n=2k﹣1（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）﹣f（6k﹣2）﹣f（6k﹣1）﹣f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]﹣5=6k﹣5=3n ﹣2．2017年5月22日。

上海市上海中学2017届高三下学期综合练习(二)数学试题

上海市上海中学高三综合练习（二）（数学）班级___________ 学号________ 姓名_______________ 成绩__________一、选择题：1. 复平面上有圆C ：|z|=2，已知1z 1z 11+-（z 1≠-1）是纯虚数，则复数z 1的对应点P （） A ．必在圆C 上 B ．必在圆C 内部 C ．必在圆C 外部 D ．不能确定2. 一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a 1(0,1)，由关系式a n+1=f(a n )得到的数列{a n }满足a n+1>a n ,nN *，则该函数的图象是（）(A ）（B ）（C ）（D ）3.已知p ：方程x 2+ax+b=0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的 ( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件 C.充要条件 D 、既不充分又不必要条件4.有一个各条棱长均为α的正四棱锥,现用一张正方形的包装纸将其完全包住,不能裁剪,可以折叠,那么包装纸的最小边长为( ) A.(1+3)a B. 231+a C. 226+a D. (2+6)a二、填空题： 5、方程112x 22=++-a y a 表示椭圆,则a ∈__________ 6.已知( a x －x 2 )n 的展开式中二项式系数之和为512，且展开式中x 3的系数为9，常数a 的值为__________。

7．下列函数中周期是2的函数是_________________①．1cos 22-=x y π ②．x x y ππcos sin += ③．)32tan(ππ+=x y ④ ．sin cos y x x ππ=8.函数)01(31<≤-=+x y x 的反函数是______________9. 已知集合A = {}x |－2<x <5 ，B = {}x |p + 1<x <2p －1 ，A ∪B = A ，则实数p 的取值范围是____________。

上海市浦东新区2017届高考数学二模试卷(解析版)

2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y |0≤y ＜4}，则A ∩B= ．2．若直线l 的参数方程为，t ∈R ，则直线l 在y 轴上的截距是．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．4．抛物线的焦点和准线的距离是．5．已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x ﹣y= ．6．若三个数a 1，a 2，a 3的方差为1，则3a 1+2，3a 2+2，3a 3+2的方差为． 7．已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是．8．函数，的单调递减区间是．9．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则= ．10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或016．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．18．（14分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19．（18分）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．20．（16分）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．21．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f （0）=0．（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；（2）若f（a）=，f（b）=﹣，求a+b的值；（3）证明：f（x）是奇函数．2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B=[2，4）．【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：由≥0，解得x≥2或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），集合B={y|0≤y＜4}=[0，4），则A∩B=[2，4），故答案为：[2，4），【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是1．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．【解答】解：令x=0，可得t=1，y=1，∴直线l在y轴上的截距是1．故答案为1．【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．【解答】解：由题意，底面的半径r=2，∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，故答案为：8π．【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．4．抛物线的焦点和准线的距离是2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】首先将化成开口向上的抛物线方程的标准方程，得到系数2p=4，然后根据公式得到焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，最后可得该抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：化抛物线为标准方程形式：x2=4y∴抛物线开口向上，满足2p=4∵=1，焦点为（0，）∴抛物线的焦点坐标为（0，1）又∵抛物线准线方程为y=﹣，即y=﹣1∴抛物线的焦点和准线的距离为d=1﹣（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题以一个二次函数图象的抛物线为例，着重考查了抛物线的焦点和准线等基本概念，属于基础题．5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y=5．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得3x﹣y=5．【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，两式相加得：3x﹣y=5，∴3x﹣y=5，故答案为：5．【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为9．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据所给的三个数字的方差的值，列出方差的表示式要求3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差值，只要根据原来方差的表示式变化出来即可．【解答】解：∵三个数a1，a2，a3的方差为1，设三个数的平均数是，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的平均数是3+2有1=∴3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差是+]==9故答案为：9．【点评】本题考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是0.98．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率．【解答】解：射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率：p=1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）=0.98．故答案为：0.98．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用．8．函数，的单调递减区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】函数=﹣sin（x﹣），将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】解：由函数=﹣sin（x﹣），令x﹣，k∈Z得： +2kπ≤x≤，∵，当k=0时，可得单调递减区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．9．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，则=．【考点】8J：数列的极限．【分析】先表示出S n，a n，即可求出极限的值．【解答】解：由于数列{a n}是公差为2的等差数列，S n是{a n}的前n项和，则S n=na1+n（n﹣1）•2=n（n+a1﹣1），a n=a1+（n﹣1）•2=2n+a1﹣2，则==．故答案为：．【点评】本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 6 ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f （x ）和g （x ）的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】解：∵①f （x ）+f （2﹣x ）=0，②f （x ）﹣f （﹣2﹣x ）=0， ∴f （x ）图象的对称中心为（1，0），f （x ）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f （x ）和g （x ）的部分图象，如图所示，据此可知f （x ）与g （x ）的图象在[﹣3，3]上有6个交点．故答案为：6．【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 16 ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），可得a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），∴a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．根据a n +1=a n ，可得数列{a n }为等比数列，公比为．取a 9=a 1×，a 1＞0．又a 9=，∴=28，解得a 1=24=16． ∴a 1的最大值是16．故答案为：16．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 5 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由向量投影的定义可得当++与共线时，取得最大值，再根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：||+|2|+3||=||+2||+3||，其几何意义为在的投影的绝对值与在上投影的绝对值的2倍与在上投影的绝对值的倍的3和，当++与共线时，取得最大值．∵•==，∴=﹣∴（||+|2|+3||）max2=||2+4||2+9||2+4||+6||+12||=1+4+9+2+3+6=25，故||+|2|+3||的最大值为5，故答案为：5．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，即可得出结论．【解答】解：|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，因此在复平面上，满足|z+i|+|z﹣i|=2的复数z对应的点Z的集合表示的是：线段，∴复数在平面上对应的图形是线段．故选：D．【点评】本题考查了复平面上的两点间的距离公式及其复数的几何意义、点的集合，属于基础题．14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的直观图得到三视图．【解答】解：由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；关键放置的位置得到C；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图；属于基础题．15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或0【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】推导出cot==，由此能求出结果．【解答】解：∵cot===，2sinx=1+cosx，∴当cosx=﹣1时，sinx=0，无解；当cosx≠﹣1时，cot==2．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、降幂公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．16．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，根据a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），可得可得q的取值范围，再利用a4=a3q，即可得出．【解答】解：设公比为q，则∵a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），∴∴③÷②：1＜q＜4④③÷①：或q＞⑤由④⑤可得：＜q＜4∴a4=a3q，∴a4∈．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）（2017•浦东新区二模）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；L*：球面距离及相关计算．【分析】（1）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）由题意，cos∠COD==，∴∠COD=，∴D，C两点在球O上的球面距离为；（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐标为（，，），∴平面ABC的法向量为=（，，），∵=（0，﹣，﹣），∴直线CD与平面ABC所成角的正弦=||=，∴直线CD与平面ABC所成角的大小为．【点评】本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2017•浦东新区二模）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB，利用基本不等式的性质即可得出最大值．方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．可得S2=+，即可比较出S1与S2的大小关系．【解答】解：（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos≥2ab+ab，可得ab，当且仅当时取等号．S=absin≤=．∴当且仅当时，养殖场△POQ的面积最大，（平方千米）（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB≤=，当且仅当x=时取等号．∴（平方千米），方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．∴S2=+≈0.144（平方千米）∴S1＜S2，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好．【点评】本题考查了基本不等式的性质、三角形面积计算公式、余弦定理、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（18分）（2017•浦东新区二模）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．【考点】KM：直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；（2）求出与直线l平行，且与双曲线消去的直线方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，P（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，P到渐近线的距离d==，∴圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=；（2）由题意，直线l的斜率为1，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入双曲线方程整理可得x2+8mx+4m2+12=0，△=64m2﹣4（4m2+12）=0，可得m=±1，与直线l：y=x+2的距离分别为或，即d=或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档题．20．（16分）（2017•浦东新区二模）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】（1）数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：，可得a n+1+1=+1=≠0，即可证明．（2）正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，．b n===…==．又b1=10，利用指数的运算性质可得数列{b n}的前n项积T n=．（3）α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），可得β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n}的通项=βn﹣1×=．【解答】（1）解：数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：∵，∴2a n+1+1=+1=≠0，∴数列{2a n+1}是“2级创新数列”．（2）解：∵正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，∴．∴b n====…==．又b 1=10，∴数列{b n }的前n 项积T n =b n b n ﹣1•…•b 1==．（3）证明：α，β是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个实根（α＞β）， ∴β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n }的通项=βn ﹣1×=βn ﹣1×=．∴c n +2=．c n +1+c n =+．∴c n +2﹣（c n +1+c n ）==0．∴c n +2=c n +1+c n ．【点评】本题考查了数列递推关系、指数的运算性质、一元二次风吹草动根与系数的关系、作差法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•浦东新区二模）对于定义域为R 的函数g （x ），若函数sin [g （x ）]是奇函数，则称g （x ）为正弦奇函数．已知f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0．（1）已知g （x ）是正弦奇函数，证明：“u 0为方程sin [g （x ）]=1的解”的充要条件是“﹣u 0为方程sin [g （x ）]=﹣1的解”；（2）若f （a ）=，f （b ）=﹣，求a +b 的值；（3）证明：f （x ）是奇函数．【考点】3P ：抽象函数及其应用．【分析】（1）根据正弦奇函数的定义，结合充要条件的定义，分别证明必要性和充分性，可得结论；（2）由f （x ）是单调递增的正弦奇函数，f （a ）=，f （b ）=﹣，可得a ，b互为相反数，进而得到答案．（3）根据f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0得到：f （﹣x）=﹣f（x），可得结论．【解答】证明（1）∵g（x）是正弦奇函数，故sin[g（x）]是奇函数，当：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”时，sin[g（u0）]=1，则sin[g（﹣u0）]=﹣1，即“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的必要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；当：“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”时，sin[g（﹣u0）]=﹣1，则sin[g（u0）]=1，即“u0为方程sin[g（x）]=1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充分条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；综上可得：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；解：（2）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，f（a）=，f（b）=﹣，则sin[f（a）]+sin[f（b）]=1﹣1=0，则a=﹣b，则a+b=0证明：（3）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．故sin[f（﹣x）]+sin[f（x）]=0，即sin[f（﹣x）]=﹣sin[f（x）]=sin[﹣f（x）]，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性，函数的单调性，充要条件，难度中档．。

07.2017年上海高三数学二模分类汇编：解析几何

2（2017奉贤二模）. 若关于x 、y 的方程组12ax y x y +=⎧⎨+=⎩无解，则a =2（2017黄浦二模）. 若关于x 、y 的方程组10420ax y x ay +-=⎧⎨+-=⎩有无数多组解，则实数a =4（2017虹口二模）. 若方程组2322ax y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a =4（2017浦东二模）. 抛物线214y x =的焦点到准线的距离为 4（2017长宁二模）. 已知双曲线22221(3)x y a a -=+(0)a >的一条渐近线方程为2y x =，则a =4（2017宝山二模）. 已知双曲线222181x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为3y x =，则a = 4（2017崇明二模）. 设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =6（2017虹口二模）. 已知双曲线2221y x a-=（0a >），它的渐近线方程是2y x =±，则a的值为7（2017黄浦二模）. 已知圆22:(4)(3)4C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m ，0m >，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的取值范围是8（2017嘉定二模）. 已知双曲线1C 与双曲线2C 的焦点重合，1C 的方程为1322=-y x ，若2C 的一条渐近线的倾斜角是1C 的一条渐近线的倾斜角的2倍，则2C 的方程为8（2017奉贤二模）. 双曲线2213yx -=的左右两焦点分别是1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且12F PF ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是8（2017虹口二模）. 在平面直角坐标系中，已知点(2,2)P -，对于任意不全为零的实数a 、b ，直线:(1)(2)0l a x b y -++=，若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围是10（2017杨浦二模）. 设A 是椭圆222214x y a a +=-(0)a >上的动点，点F 的坐标为(2,0)-，若满足||10AF =的点A 有且仅有两个，则实数a 的取值范围为10（2017闵行/松江二模）. 已知椭圆2221y x b+=(01)b <<，其左、右焦点分别为1F 、2F ，12||2F F c =，若椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=距离是1||PF 与2||PF 的等差中项，则b 的最大值为11（2017奉贤二模）. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y -++-=，当o y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为11（2017宝山二模）. 设向量(,)m x y =，(,)n x y =-，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 12（2017长宁二模）. 对于给定的实数0k >，函数()kf x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是 13（2017普陀二模）. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点(0,1)Q -连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为（）A. 22x y = B. 24x y = C. 26x y =D. 28x y = 14（2017崇明二模）. ||2b <是直线y b =+与圆2240x y y +-=相交的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15（2017崇明二模）. 若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于x 、y 的二元一次方程组152421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是（） A. 对任意q R ∈（0q ≠），方程组有唯一解 B. 对任意q R ∈（0q ≠），方程组都无解 C. 当且仅当12q =时，方程组有无穷多解 D. 当且仅当12q =时，方程组无解 15（2017黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A. 20x y ±=B. 20x y ±=C. 430x y ±=D. 340x y ±=15（2017静安二模）. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论正确的个数为（）① 曲线C 一定经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内.FA. 0B. 1C. 2D. 316（2017虹口二模）. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：① 3450a b -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞；正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 416（2017徐汇二模）. 过椭圆2214x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线18（2017崇明二模）. 设1F 、2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，点A 为椭圆C 的左顶点，点B 为椭圆C 的上顶点，且||AB =12BF F ∆为直角三角形；（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2y kx =+与椭圆交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，求实数k 的值；19（20172017浦东二模）. 已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点1P 、2P 、3P 到直线l 的距离均为d ，求d 的值.19（2017静安二模）. 设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点，12||2F F m =，动点P满足：21212||||(1cos )6PF PF F PF m ⋅+∠=（1）求证：动点P 的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C 满足：① 顶点在椭圆Γ的中心；② 焦点与椭圆Γ的右焦点重合. 设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A ，问：是否存在正实数m ，使得△12AF F 的边长为连续自然数，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.19（2017崇明二模）. 某校兴趣小组在如图所示的矩形域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲，若点Q 在矩形域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败；已知18AB = 米，E 为AB 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ；（1）若60θ=︒，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1︒）（2）如何设计矩形域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形域ABCD 内成功拦截机器人甲？19（2017嘉定二模）. 如图，已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）过点3(1,)2，两个焦点为)0,1(1-F 和2(1,0)F ，圆O 的方程为222a y x =+；（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且斜率为k （0>k ）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当||2AF 、||2BF 、||AB 成等差数列时，求弦PQ 的长；19（2017长宁/宝山二模）. 已知抛物线22y px =(0)p >，其准线方程为10x +=，直线l过点(,0)T t (0)t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；DABCP（2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.20（2017虹口二模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b；（1）求椭圆C 上的点M 的“伴随点”N 的轨迹方程；（2）如果椭圆C 上的点3(1,)2的“伴随点”为13(,)22b，对于椭圆C 上的任意点M 及它的 “伴随点”N ，求OM ON ⋅的取值范围；（3）当2a =，b =l 交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 的“伴随点”分别是P ，Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，求OAB ∆的面积；20（2017闵行/松江二模）. 设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆222(5)x y r -+=(0)r >相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.（1）若△AOB 是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长；（2）若4r =，求直线l 的方程；（3）试对(0,)r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）.20（2017普陀二模）. 已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点；（1）若(0,C 且||2PC =，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且||PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为(1,)n k =，求AOB ∆面积的最大值；20（2017黄浦二模）. 设椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的左顶点为A ，中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP PO ⊥. （1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k 、2k 的直线交椭圆M 于D 、E 两点，且121k k =，求证：直线DE 恒过一个定点.20（2017徐汇二模）. 如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>有相同的焦点1F 、2F ，它们在y 右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=，将直线AB 左侧的椭圆部分（含A 、B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A 、B 两点）记为曲线2W ，以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)P P P x y ，交2W 于点(,)M M M x y （点M 在第一象限），设此时11F M mF P =. （1）求2W 的方程；（2）证明：1P x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系；（3）设直线2MF 交1W 于点N ，求△1MF N 的面积S 的取值范围.21（2017杨浦二模）. 设双曲线Γ的方程为2213y x -=，过其右焦点且斜率不为零的直线1l 与双曲线交于A 、B 两点，直线2l 的方程为x t =， A 、B 在直线2l 上的射影分别为C 、D . （1）当1l 垂直于x 轴，2t =-时，求四边形ABDC 的面积；（2）当0t =，1l 的斜率为正实数，A 在第一象限，B 在第四象限时，试比较||||||||AC FB BD FA ⋅⋅和1的大小，并说明理由；（3）是否存在实数(1,1)t ∈-，使得对满足题意的任意直线1l ，直线AD 和直线BC 的交点总在x 轴上，若存在，求出所有的t 的值和此时直线AD 与BC 交点的位置；若不存在，说明理由.21（2017奉贤二模）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>），左焦点是1F ；（1）若左焦点1F 与椭圆E 的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2Q 在椭圆E 上，求椭圆E 的方程；（2）过原点且斜率为t （0t >）的直线1l 与（1）中的椭圆E 交于不同的两点G 、H ，设1(0,1)B ，1(2,0)A ，求四边形11AGB H 的面积取得最大值时直线1l 的方程；（3）过左焦点1F 的直线2l 交椭圆E 于M 、N 两点，直线2l 交直线x p =-（0p >）于点P ，其中p 是常数，设1λ=，1NF μ=，计算μλ+的值（用p 、a 、b 的代数式表示）；。

上海市黄浦区高考数学4月模拟试卷(含解析)

黄浦区2017年高考模拟考数学试卷（完卷时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1. 函数的定义域是________．【答案】；【解析】试题分析：考点：函数的定义域的求法.2. 若关于的方程组有无数多组解，则实数_________．【答案】；【解析】当时，，不合题意；当时，，得，综上：.3. 若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为_________．【答案】；【解析】由得：或；若“”是“”的必要不充分条件，则，所以的最大值为.【点睛】从集合的角度看充要条件，若对应集合，对应集合，如果，则是的充分条件；如果，则是的充分不必要条件；如果，则是的必要条件；如果，则是的必要不充分条件；如果，则是的充要条件，如果无上述包含关系，则是的既不充分也不必要条件；4. 已知复数，(其中i为虚数单位)，且是实数，则实数t等于________．【答案】；【解析】为实数，则.5. 若函数 (a>0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是________．【答案】；【解析】当时，在上为减函数，而在上为减函数，要使函数在R上为减函数，则a满足，解得.6. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为___________【答案】；【解析】先画出二元一次不等式组所表示的平面区域，目标函数为截距型目标函数，令，作直线，由于，表示直线的截距，平移直线得最优解为，的最小值为.【点睛】线性规划问题要搞清目标函数的几何意义，常见的目标函数线有截距型、距离型（两点间的距离、点到直线的距离）、斜率型等，主要考查最值或范围.另外有时考查线性规划的逆向思维问题，难度稍大一点. 线性规划问题为高考高频考点，属于必得分题.7. 已知圆和两点，若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是________．【答案】；【解析】由于两点在以原点为圆心，为半径的圆上，若圆上至少存在一点，使得，则两圆有公共点，设圆心距为，，则，则，则的取值范围是.8. 已知向量，，如果∥，那么的值为________．【答案】；【解析】，则，.【点睛】有关三角函数计算问题，“异名化同名，异角化同角”，注意弦切互化，最关键问题是寻找角与角之间的关系，角与角之间是否存在和、差、倍关系，再借助诱导公式，同角三角函数关系，和、差公式，二倍角公式等求值.9. 若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．【答案】；【解析】正八边形的八个顶点，无三点在同一直线上，任取3点可连成一个三角形，共可作个三角形，其中4条对角线为其外接圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，每条直径可连接6个直角三角形，共计可作个直角三角形，概率为.10. 若将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是________．【答案】；【点睛】11. 三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是________．【答案】；【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.【答案】（或，或）．【解析】数列满足，，，当，时，，，若时，，，当时，，，解得，填写 .继续讨论可求出其他的解（略）.二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A. y = sin(2x+B. y = cos(2x+C. y = sin(x+D. y = cos(x+【答案】A【解析】根据正、余函数周期公式可知，排除C、D. 对于，，，则在上为减函数，选.14. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是下部为圆柱体，上部是半径为1的球，直接求表面积即可。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2．若关于 x, y 的方程组 ⎨有无数多组解，则实数 a = _________． 4 x + ay - 2 = 05．若函数 f ( x ) = ⎨a x + 1 ( x ≥ 0)是 6．设变量 x, y 满足约束条件 ⎨ x - y ≤ 1，则目标函数 z = -2 x + y 的最小值为． ⎪ y ≤ 2， ⎪ n=⎨ 1 若⎪ b ⎩ n黄浦区 2017 年高考模拟考数学试卷 2017 年 4 月（完卷时间：120 分钟满分：150 分）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分. 其中第 1~6 题每题满分 4 分，第 7~12 题每题满分 5 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．函数 y = 2x - x 2 的定义域是．⎧ ax + y - 1 = 0， ⎩3．若“ x 2 - 2x - 3 > 0 ”是“ x < a ”的必要不充分条件，则 a 的最大值为．4．已知复数 z = 3 + 4i ， z = t + i (其中 i 为虚数单位)，且 z ⋅ z 是实数，则实数 t 等于．12 1 2⎧- x + 3a ( x < 0), ⎩ (a >0,且 a ≠1) R 上的减函数，则 a 的取值范围是．⎧ x + y ≥ 2，⎪ ⎩7. 已知圆 C : ( x - 4)2 + ( y - 3)2 = 4 和两点 A(-m , 0), B(m , 0)( m > 0) ，若圆 C 上至少存在一点 P ，使得 ∠APB = 90︒ ，则 m 的取值范围是．π π8.已知向量 a = (cos( + α ), 1) ， b = (1, 4) ，如果 a ∥ b ，那么 cos( - 2α ) 的值为．3 39．若从正八边形的 8 个顶点中随机选取 3 个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．π 10．若将函数 f ( x ) = | sin(ωx - ) | (ω > 0) 的图像向左平移 8π 12个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω 的最小值是．11．三棱锥 P - ABC 满足： AB ⊥ AC ， AB ⊥ AP ， AB = 2 ， AP + AC = 4 ，则该三棱锥的体积 V 的取值范围是．（第 11 题图）12．对于数列{a } ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有 an是以 T 为n +T= a 成立，则称数列{a }n n周期的周期数列．设b = m (0 < m < 1) ，对任意正整数 n 都有 b 1n +1 ⎧b - 1 (b > 1)，n (0 < b ≤ 1)， n数列 {b }n是以 5 为周期的周期数列，则 m 的值可以是．(只要求填写满足条件的一个 m 值即可)二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．π π13．下列函数中，周期为，且在 [ π ， ]上为减函数的是（） 4 2π πA ．y=sin(2x + )B ．y = cos(2x + )2 2 π πC ．y=sin(x + )D ．y = cos(x + )2 214．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A ． 9πB ．10πC ．11πD ．12π15．已知双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍，则其渐近线方程为（）A ． 2x ± y = 0B ． x ± 2 y = 0C ． 4 x ± 3 y = 0D ． 3x ± 4 y = 016．如图所示， ∠BAC = 2π，圆 M 与 AB, AC 分别相切于点 D, E ，3AD = 1 ，点 P 是圆 M 及其内部任意一点，且 AP = x AD + y AE( x , y ∈ R) ，则 x + y 的取值范围是（）A ． [1,4 + 2 3]B ． [4 - 2 3,4 + 2 3]C ． [1,2 + 3]D ． [2 - 3,2 + 3]三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．如图，在直棱柱 ABC - A B C 中， AA = AB = AC = 2 ， AB ⊥ AC ， D ,E ,F 分别是 1 1 11A B , CC , BC 的中点．1 11（1）求证： AE ⊥ DF ；（2）求 AE 与平面 DEF 所成角的大小及点 A 到平面 DEF 的距离．1 1n f ( p ) + f ( p ) +18．（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分．在 ∆ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c ，且 b cos C , a cos A, c cos B 成等差数列．（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 3 2 ， b + c = 6 ，求 AB + AC 的值．19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．如果一条信息有（n > 1,n ∈ N) 种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为 p , p ,, p ，则称 H = f ( p ) （其中12n12nf ( x ) = - x log x, x ∈ (0,1) ）为该条信息的信息熵．已知 f ( ) = ．a 2 2（1）若某班共有 32 名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有 n 位选手（分别记为 A , A ,12, A ）参加，若当k = 1,2, , n - 1 时，选手nA 获得冠军的概率为 2 -k ，求“谁获得冠军”的信息熵 H 关于 n 的表达式．k20．（本题满分 16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分．设椭圆 M : x 2 y 2+ a 2 b 2 1 1 = 1(a > b > 0) 的左顶点为 A 、中心为 O ，若椭圆 M 过点 P(- , ) ，2 2且 AP ⊥ PO ．（1）求椭圆 M 的方程；（△2）若 APQ 的顶点 Q 也在椭圆 M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点 A 作两条斜率分别为 k , k 的直线交椭圆 M 于 D, E 两点，且k k = 1 ，求证：直线12 1 2DE 恒过一个定点．yx； 5. [ ，1)； 6.-4 ； 7. [3，7] ； 8. ；9. ；10. ； 11. (0, ] ；12. 5 - 2 （或xy故由 ⎨解得 ⎨ 故 n = (-2,3,1) ．…………9 分 ⎪⎩n ⋅ EF = x + y - 1 = 0,y = 3, 设 AE 与平面 DEF 所成角为θ ，则 sin θ = ，…………12 分 ⎪21．（本题满分 18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分．若函数 f ( x ) 满足:对于任意正数 s, t ，都有 f (s) > 0, f (t ) > 0 ，且 f (s) + f (t ) < f (s + t ) ，则称函数 f ( x ) 为“L 函数”．1（1）试判断函数 f ( x ) = x 2 与 f ( x ) = x 2是否是“L 函数”；12（2）若函数 g ( x ) = 3x - 1 + a(3- x - 1) 为“L 函数”，求实数 a 的取值范围；（3）若函数 f ( x ) 为“L 函数”，且 f (1)= 1，求证：对任意 x ∈ (2k -1,2 k )(k ∈ N*) ，都有1f ( x ) - f ( ) >x x 2 - ． 2 x高三数学参考答案与评分标准一、填空题：（1~6 题每题 4 分；7~12 题每题 5 分）1. [0，2] ；2. 2 ；3. -1；4.3 42 37 3 3 4 3 - 18 7 2 3 2二、选择题：（每题 5 分）13.A14.D15. C 16.B三、解答题：（共 76 分）17．解：（1）以 A 为坐标原点、AB 为 x 轴、 AC 为 y 轴、 AA 1，或 3 - 1）．为 z 轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知 A(0,0,0), D(0,1,2), E(-2,0,1), F (-1,1,0) ，故 AE = (-2,0,1), DF = (-1,0, -2) ，…………………4 分由 AE ⋅ DF = -2 ⨯ (-1) + 1⨯ (-2) = 0 ，可知 AE ⊥ DF ，即 AE ⊥ DF ．…………………6 分（2）设 n = ( x , y ,1) 是平面 DEF 的一个法向量，又 DF = (-1,0, -2)，EF = (1,1,-1) ，zO⎧ n ⋅ DF = - x - 2 = 0, ⎧ x = -2, ⎩ | n ⋅ AE | 5 70= =| n | ⋅ | AE | 14 ⋅ 5 1432 （2） A 获得冠军的概率为1 -( + +1 1 2 2n -1 所以 AE 与平面 DEF 所成角为 arcsin70 14，5点 A 到平面 DEF 的距离为 AE ⋅ sin θ = 14 ．…………………14 分1418．解：（1）由 b cos C , a cos A, c c os B 成等差数列，可得 b c osC +c c osB = 2a c os A ，…………………2 分故 sin B c osC + s inC cos B = 2sin Acos A ，所以 sin( B +C) = 2sin Acos A ，………4 分又 A + B + C = π ，所以 sin(B + C) = sin A ，故 sin A = 2sin Acos A ，又由 A ∈ (0, π) ，可知 sin A ≠ 0 ，故 cos A =（另法：利用 b cos C +c cos B = a 求解）1 π，所以 A = ． …………………6 分 2 3（△2）在 ABC 中，由余弦定理得 b 2+ c 2- 2bc c osπ3 = (3 2) 2 ， …………………8 分即 b 2 + c 2 - bc = 18 ，故 (b + c)2 - 3bc = 18 ，又 b + c = 6 ，故 bc = 6 ，………………10 分所以 AB + AC 2= ( AB + AC )2 = AB 2 + AC 2 + 2 A B ⋅ AC=| AB |2 + | AC |2 +2 | AB | ⋅ | AC | cos A …………………12 分= c 2 + b 2 + bc = (b + c)2 - bc = 30 ，故 AB + AC = 30 ．…………………14 分1 19．解：（1）由 f ( ) =2 1 1 1 1，可得 - log = ，解之得 a = 2 . …………………2 分2 2 a 2 21由 32 种情形等可能，故 P = (k = 1,2, ,32) ， ……………………4 分k1 1所以 H = 32 ⨯ (- log 32 2 32) = 5 ，答：“谁被选中”的信息熵为 5 ．……………………6 分n 2 4 + 1 1 1 ) = 1 - (1- ) =2n -1 2n -1 2n -1，……………8 分当 k = 1,2, , n -1时， f ( p ) = -2-k log 2-k = k 2 k n - 1 ，又 f ( p ) =k n n -1，1 2 3 n - 1 n - 1故 H = + + + + +2 4 8 2 2n -1，……………………11 分1 12 n - 2 n - 1 n - 1H = + + + + +2 4 8 2n -1 2n 2n，1 1 1 1 1 1 4以上两式相减，可得 H = + + + + = 1 - ，故 H = 2 - 2 2 4 8 2n -1 2n -1 2n，答：“谁获得冠军”的信息熵为 2 - 4 2n．……………………14 分20．解：（1）由 AP ⊥ OP ，可知 k 1 1AP ⋅ k OP= -1 ，又 A 点坐标为 (-a,0), 故 2 ⋅ 2 = -1 ，可得 a = 1 ， ……………………………2 分1 1 - +a -2 21 1⨯ = 1 2 3 6 = 2k π (k ∈ Z) ，即 θ = 2k π -3k 2 + 1 1 + 3k 2 1 1 + 3k 2 1 + 3k 21 + 3k2 1 + 3k 2 k=E k 2 + 3 k 2 + 3 x - x k 2 - 3 1 - 3k 3(k 2 + 1) - 1 2k 2 1 11 1 1因为椭圆 M 过 P 点，故 + = 1 ，可得 b 2 = ，4 4b 2 3所以椭圆 M 的方程为 x 2 + y 2 1 3= 1 ． ……………………………4 分（2）AP 的方程为 y - 0 x + 1 =- 0 - + 1 2 2，即 x - y + 1 = 0 ，3由于 Q 是椭圆 M 上的点，故可设 Q (cos θ , sin θ ) ，……………………………6 分3所以 S 1 2 ∆APQ = 2 2⨯cos θ - 3 sin θ + 1 3 2 ……………………………8 分πcos(θ + ) + 1 4 3 6当 θ + ππ 6 (k ∈ Z) 时， S∆APQ取最大值．故 S1+ ．……………………………10 分 6 4法二：由图形可知，若S∆APQ取得最大值，则椭圆在点 Q 处的切线 l 必平行于 AP ，且在直线AP 的下方．…………………………6 分设 l 方程为 y = x + t (t < 0) ，代入椭圆 M 方程可得 4x 2 + 6tx + 3t 2 - 1 = 0 ，由 ∆ = 0 ，可得 t = ± 2 3 2 3，又 t < 0 ，故 t = - ．…………………………8 分3 3所以 S ∆APQ 1 2 |1 - t | 3 1 的最大值 = ⋅ ⋅ = + ．……………………………10 分2 2 2 6 4（3）直线 AD 方程为 y = k ( x + 1) ，代入 x 2 + 3 y 2 = 1 ，可得13k 2 - 1(3k 2 + 1)x 2 + 6k 2 x + 3k 2 - 1 = 0 ， x ⋅ x = 1 ，1 1 1 A D 11 - 3k2 1 - 3k 2 2k又 x = -1，故 x = ， y = k ( 1 + 1) = 1 ， ………………12 分A D D 1 1 11 - 3k2 1同理可得 x = ， y = 2 ，又 k k = 1 且 k ≠ k ，可得 k = 且 k ≠ ±1 ，E E 1 2 1 2 2 1 2 2 12k 2k 1 -1 k2 -3 2k y - y k 2 + 3 1 + 3k 2 2k所以 x = 1 ， y = 1 ， k D = 1 1 = 1 ，E E 2 1 1 E D 1 1 1 k 2 + 3 1 + 3k 2 112k 2k 1 - 3k 2直线 DE 的方程为 y - 1 = ( x -1 ) ，………………14 分 1 + 3k2 3(k 2 + 1) 1 + 3k 21 1 11 - 3k2 3(k 2 + 1)令 y = 0 ，可得 x = 1 - = -2 ．1 + 3k2 1 + 3k 211故直线 DE 过定点 (-2,0) ． ………………16 分x + 1 x + 1 1 - x 2 3 y2 3E D D t 2 + 3 t 2 + 3D E t t 1]（法二）若 DE 垂直于 y 轴，则 x = - x , y = y ，ED EDy y y 2 y2 1此时 k k = D ⋅ = == 与题设矛盾． 1 2 DEDD若 DE 不垂直于 y 轴，可设 DE 的方程为 x = ty +s ，将其代入 x 2 + 3 y 2 = 1 ，可得 (t 2 + 3) y 2 + 2tsy + s 2 - 1 = 0 ，可得 y + y = D E -2ts s 2 - 1, y ⋅ y =D E，………12 分又 k k = 1 2 y y y yD ⋅E = = 1 ，x + 1 x + 1 (ty + s + 1)(ty + s + 1)D E D E可得 (t 2 - 1)y y + t (s + 1)(y + y ) + (s + 1)2 = 0 ，………………14 分D E D Es 2 - 1 -2ts 故 (t 2 - 1) + t (s + 1) + (s + 1)2 = 0 ，t 2 + 3 t 2 + 3可得 s = -2 或 -1，又 DE 不过 A 点，即 s ≠ -1 ，故 s = -2 ．所以 DE 的方程为 x = ty - 2 ，故直线 DE 过定点 (-2,0) ．………………16 分21．解：（1）对于函数 f ( x ) = x 2 ，当 t > 0, s > 0 时， f (t ) = t 2 > 0, f (s) = s 2 > 0 ， 111又 f (t ) + f (s) - f (t + s) = t 2 + s 2 - (t + s)2 = -2ts < 0 ，所以 f (s) + f (t) < f (s + t) ，1 111 1 1故 f ( x ) = x 2 是“L 函数”.………………2 分1对于函数 f ( x ) = 2x ，当 t = s = 1 时， f (t ) + f (s) = 2 > 2 = f (t + s) ，2 2 2故 f ( x ) = 2x 不是“L 函数”. ………………4 分（2）当 t > 0, s > 0 时，由 g ( x ) = 3x - 1 + a(3- x - 1) 是“L 函数”，可知 g (t ) = 3t - 1 + a(3-t - 1) > 0 ，即 (3t - 1)(3 - a) > 0 对一切正数 t 恒成立，又 3t - 1 > 0 ，可得 a < 3t 对一切正数 t 恒成立，所以 a ≤ 1 ．………………6 分由 g (t ) + g (s) < g (t + s) ，可得 3s +t - 3s - 3t + 1 + a(3-s -t - 3-s - 3-t + 1) > 0 ，故 (3s - 1)(3 - 1)(3s +t +a) > 0 ，又 (3t - 1)(3s - 1) > 0 ，故 3s +t +a > 0 ，由 3s +t +a > 0 对一切正数 s, t 恒成立，可得 a + 1 ≥ 0 ，即 a ≥ -1 ．………………9 分综上可知，a 的取值范围是 [-1，．………………………10 分（3）由函数 f ( x ) 为“L 函数”，可知对于任意正数 s, t ，都有 f (s) > 0, f (t ) > 0 ，且 f (s) + f (t ) < f (s + t ) ，令 s = t ，可知 f (2s) > 2 f (s) ，即故对于正整数 k 与正数 s ，都有f (2 s ) f (s)> 2 ，………………………12 分f (2 k s) f (2 k s) f (2 k -1 s) = ⋅ ⋅ f (s) f (2 k -1 s) f (2 k -2 s)⋅f (2 s ) f (s) > 2k，………………………………14 分 1对任意 x ∈ (2k -1,2 k )(k ∈ N*) ，可得 ∈ (2-k ,21-k ) ，又 f (1)= 1 ，x2k x所以 f ( x ) > f ( x - 2k -1 ) + f (2k -1 ) > f (2k -1 ) ≥ 2k -1 f (1) = > ，…………………16 分2 21 1 2同理 f ( ) < f (21-k ) - f (21-k - ) < f (21-k ) ≤ 21-k f (1)= 21-k < ，x x x1 x 2故 f ( x ) - f ( ) > - ．……………………………18 分x 2 x。