《利用相似三角形测高》公开课教学PPT课件【北师大版九年级数学上册】
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北师大版九年级数学上册《利用相似三角形测高》示范公开课教学课件
教科书第105页习题4.10第2、4题
刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一.《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产.
例 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD=1000步，D，B，H成一线，DG=127步；从B处退行123步到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F，三点成一线.试计算山峰的高度AH及HB的长(这里1步=6尺，1丈=10尺，结果用丈表示).怎样利用相似三角形求得线段AH及HB的长呢？请你试一试！
在旗杆旁边立一个木棍，测量棍长和影长，再测量旗杆的影长，由 可求出旗杆长.
在旗杆前方地上放置测角仪，移动测角仪的位置，使得测角仪测量到的旗杆顶端到地面的直线与地面成45°，测量此时测角仪到旗杆的距离后加上测角仪的高度，即可求出旗杆的高度.
《海岛算经》最早附于《九章算术注》之后，唐初开始单行.刘徽在该书中精心编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的.其中第一个问题是测算海岛的高、远问题，因此得名.《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础.
过点A作AN ∥BD交CD于N、EF于M.
解：如图，由题意得：AB=1.6m，EF=2m，BD=27m，FD=24m.
利用相似三角形测高
利用太阳光线平行构造相似，通过同一时刻物高与影长成比例构造比例式；利用标杆垂直于地面构造直角三角形相似；利用镜面反射构造直角三角形相似，利用入射角与反射角相等.
没有相似时，可以通过“作垂线”或“作延长线”构造三角形相似；对于不易测量的长度或高度，可以用易测量的对应线段通过比例来计算.
16
B
∵ ∠EMA=∠CNA，∠1=∠1∴△AEM∽△ACN∴解得CN=3.6m，则CD=3.6+1.6=5.2m，即树高为5.2m.
刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一.《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产.
例 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD=1000步，D，B，H成一线，DG=127步；从B处退行123步到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F，三点成一线.试计算山峰的高度AH及HB的长(这里1步=6尺，1丈=10尺，结果用丈表示).怎样利用相似三角形求得线段AH及HB的长呢？请你试一试！
在旗杆旁边立一个木棍，测量棍长和影长，再测量旗杆的影长，由 可求出旗杆长.
在旗杆前方地上放置测角仪，移动测角仪的位置，使得测角仪测量到的旗杆顶端到地面的直线与地面成45°，测量此时测角仪到旗杆的距离后加上测角仪的高度，即可求出旗杆的高度.
《海岛算经》最早附于《九章算术注》之后，唐初开始单行.刘徽在该书中精心编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的.其中第一个问题是测算海岛的高、远问题，因此得名.《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础.
过点A作AN ∥BD交CD于N、EF于M.
解：如图，由题意得：AB=1.6m，EF=2m，BD=27m，FD=24m.
利用相似三角形测高
利用太阳光线平行构造相似，通过同一时刻物高与影长成比例构造比例式；利用标杆垂直于地面构造直角三角形相似；利用镜面反射构造直角三角形相似，利用入射角与反射角相等.
没有相似时，可以通过“作垂线”或“作延长线”构造三角形相似；对于不易测量的长度或高度，可以用易测量的对应线段通过比例来计算.
16
B
∵ ∠EMA=∠CNA，∠1=∠1∴△AEM∽△ACN∴解得CN=3.6m，则CD=3.6+1.6=5.2m，即树高为5.2m.
北师大版数学九年级上册课件：利用相似三角形测高_
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其 用
回归教材
三角形中的内接四 形
如 22－6，AD是△ABC的高，点P，Q在BC 上，点R在 AC 上，点S在AB 上，BC＝60 cm，AD＝40 cm，四 形PQRS是正方形． (1)△ASR与△ABC相似 ？ 什么？ (2)求正方形PQRS的 ．
判定定 如果两个三角形的两 的比相等，并 理3 且_相__应__的__夹__角___相等，那么 两个三角形相似
判定定 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 理4 两_个__角__对__应__相__等_，那么 两个三角形相似
直角三角形被斜 上的高分成的两个直角三角 拓展
形与原直角三角形相似
一条 段的黄金 分割点有__两____
个
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其 用
考点3 相似三角形的判定
判定定 平行于三角形一 的直 和其他两 相交，所
理1
构成的三角形与原三角形__相__似____
判定定 如果两个三角形的三 的_比_______相
理2
等，那么 两个三角形相似
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其 用 考点4 相似三角形的性质
(1)相似三角形周 的比等于相似比
相似三 角形
(2)相似三角形面 的比等于相似比的平方
(3)相似三角形 高、 角平分 、 中 的比等于相似比
相似多 形
(1)相似多 形周 的比等于相似比 (2)相似多 形面 的比等于相似比的平方
， 两条 段要用同一 度
么， 四条 段叫做成比例 段，
利用相似三角形测高课件北师大版数学九年级上册(完整版)
1 y
1.5
2
x4
1.5 y
AB 1.5 AB
x 2
解得：
y
4.5
经检验，y＝4.5是原分式方程的解
∴路灯A的高度为4.5米
课堂小结
测量旗杆高度的几种常用的方法,并且明白 它们的数学原理——相似三角形的有关知 识,初步积累一些数学建模的经验.
祝你学业有成
2024年5月3日星期五9时9分34秒
解得DE＝21
∴教学楼高21 m.
4.如图，身高1.6 m的小华站在距路灯杆5 m的C点 在 灯光下的影长CD为2.5 m，求路灯的高度AB.
解：根据题意可得：
AB 5 2.5 1.6 2.5
解得：AB＝4.8 ∴路灯的高度AB为4.8米．
5.(例3)如图，小强用镜面反射的方法来测量学校教 他在地面E处放一面镜子，测得镜子与教学楼的 以及他与镜子的距离CE＝2米，已知他的眼睛距 度DC＝1.6米，计算教学楼的高度．(提示：反射
3.大家一致认为方法一简单易行,是个好办法.
4.方法三用到了物理知识,可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.
5.同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”.有大胆的设想,老师很佩服,在 大家学习了三角函数后,我相信会有更多的测量方法呢.
例题讲解
1.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电 线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺 上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求 电线杆的高.
解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠ABD＝∠ECD＝90°，
又∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ABD∽△ECD
∴
AB BD EC CD
，即
北师大版九年级上册 4.6 利用相似三角形测高 (共33张PPT)-精品PPT
B
C
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，
∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，
∴ EA : ED=1 : 1.2，
∴ AE = 8 m，
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，
∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
可在地面上竖一根竹竿 DE，
测量出 DE 的长以及 DE 和 AB
在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等
式是
(C)
A．A B E F DE BC
C．A B B C DE EF
B．A B D E EF BC
D．A B A C DE DF
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是___8___米．
试一试：
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的
示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出
发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，
已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那
么该古城墙的高度是
( B)
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
归纳总结
∴ BO？OA的O长A ， EF FD
∴ BOOAEF2012 FD 3
=134 (m). 因此金字塔的高度为 134 m.
归纳：
测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在
九年级数学上册(北师大版)课件：4.6 利用相似三角形测高 (共22张PPT)
【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由
题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，
AH和HB部分，其中HB=EF=1.6m，剩下的问题就是
求AH的长度，利用△CGE初∽中数学△AHE，得出
，
课堂精讲
把相关条件代入即可求得AH=11.9，所以 AB=AH+HB=AH+EF=13.5m.
【解答】解：连接A、C、E，过点E作EH∥FB，交 DC于点G，交AB于点H， ∵CD⊥FB，AB⊥FB， ∴CD∥AB ∴△CGE∽△AHE ∴= 即： ∴ ∴AH=11.9 ∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9初+中1数学.6=13.5（m）.
初中数学
课堂精讲
知识点3 利用镜子的反射测量旅杆的高度
【例3】小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜， 镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距 离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼 的顶端B.已知她的眼睛距地面 高度DC=1.6米，请你帮助小红 测量出大楼AB的高度 （注：入射角=反射角）.
第四章 图形的相似
第9课时 << 利用相似三角形测高>>
课前小测 课堂精讲 课后作业
初中数学
课前小测
关键视点
1.同一时刻，由阳光、竖直的物体及物体的影子
形成的两个三角形_相__似_____.
2.利用标杆测量旗杆的高度时，观测者的眼睛必
须与标杆的顶端、物体的顶端_“__三__点__共__线__”__，
【分析】根据反射定律和垂直定义得到∠BAE=
∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三
角形的性质解答.
九年级北师大版数学上册课件：4.6 利用相似三角形测高(共26张PPT)
利用标杆 由△DHF∽△ DGC HF· DG GC＝ DH 得
利用镜子的 反射 △EAD∽ △ EBC
相似 旗杆 高度
DC· BC AB＝ CE BC＝GC＋GB＝GC＋ AD
EB· AD BC＝ EA
• 【议一议】 • 三种测高的方法都运用了什么知识？
都利用了三角形相似．由三角形相似得三边对应成比例，进 而求得旗杆的高度．
名师点津：利用相似三角形测量物体高度的一般步骤 1．画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角 形； 2． 测量与表示未知量的线段相对应的边长， 以及另外一组对 应边的长度； 3． 利用相似三角形的性质列出包括以上四个量的比例式， 求 出未知量； 4．检验并得到答案．
• 题组A利用阳光(或灯光)下的影子测物体的高 • 1．小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影 子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测 A ，那么小刚举起的手臂超出头 得影子长为1.1 m 顶( ) • A ． 0.5 m B ． 0.55 m C ． 0.6 m D．2.2 m
△F1D1N∽________； (2)求电线杆 AB 的高度．
• 思路点拨：(1)由CD∥AB，C1D1∥AB，根据平 行相似三角形的判定得△FDM∽△FBG， △F1D1N∽△F1BG；(2)AB＝AG＋BG＝EF＋ BG＝1.5＋BG，所以只要求得BG的长度即可， 设BG＝x，GM＝y，利用相似三角形的对应边 成比例可得和x，y相关的两个比例式，求得BG 的长，加上1.5即为AB的高．
2．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木 杆 AB＝2 m，它的影子 BC＝1.6 m，木杆 PQ 的影子有一部分落 在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木杆 PQ 的长度为 2.3m .
九年级数学上册 4.6 利用相似三角形测高课件 (新版)北
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北师大版九年级数学上册教学课件：4.6利用相似三角形测高 (共16张PPT)
∴������������ = ������������,即������������ = 4.5. ∴AC=3(m). ∴AB=AC-BC=2(m).
8 ������
3.解 在录像中测量出盗窃犯及盗窃犯附近的某一参照物的影 长,再测量出参照物的实际高度,根据
参照物长度 参照物影长
=
盗窃犯的身高 盗窃犯的影长
计算出
盗窃犯的身高. 4.解 ∵AM 和 BN 表示射入室内的光线, ∴AM∥BN.∴∠M=∠BNC. 又∵∠C=∠C,∴△CBN∽△CAM.
知识点一
知识点二
知识点三
例1 问题背景:在某次活动课中,甲、乙两个学习小组于同一时 刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得 到的一些信息:
甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80 cm的竹竿的影长为60 cm. 乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900 cm. 任务要求: 请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度.
知识点二
知识点三
知识点一
知识点二
知识点三
知识点三 利用镜子反射测量高度 某同学要测量旗杆的高度,在地面上E处放一面平面镜,与旗杆的 距离EA=15米,当她与镜子的距离CE=1.5米时,她刚好能从镜子中 看到旗杆的顶端B,已知她眼睛距地面的高度CD=1.6米,那么利用 △ABE∽△CDE可求出旗杆AB的高度.
8.4
������������
拓展点 测量高度方法的综合应用 例 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7 m宽的亮区(如 图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7 m,窗口高AB=1.8 m, 求窗口底边离地面的高BC. 分析:因为光线AE,BD是一组平行光线,即AE∥BD,所以 ������������ ������������ △DCB∽△ECA,则有 ������������ = ������������,从而算出BC的长. 解:∵AE∥BD,∴△DCB∽△ECA.
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再见
方法3 : 利用镜子 B
C
二、合作交流，探究新知
方法3 : 利用镜子 如图所示 ∵△ADE∽△ABC ∴ AE ＝DE
AC BC
学以致用
三、运用新知
1. 小敏测得 2 m高的标杆在太阳光下的影长为 1.2 m，同时 又测得一颗树的影长为 12 m，请你计算出这棵树的高度.
解：设树高 x m.
2=x 1.2 12
x = 20 答：树高 20 米.
三、运用新知
2. 如图，在和 AB 相距 18 米的地面上平放着一面镜子 E, 人退后到距镜
子2.1 米的 D 处，在镜子里恰看见树顶，若人眼距地面 1.4 米，求树高. A
解：设树高 x 米
∵△ABE ∽ △CDE
∴ AB ＝BE CD DE
∴
1.x4＝
18 2.1
北师大版·统编教材九年级数学上册
第四章 图形的相似
4.6 利用相似三角形测高
一、创设情境，引入新知
课题： 同学们,怎样利用相似三角形的有关知识测量旗 杆(或路灯,或树,或烟囱)的高度 ? 讨论方案,总结交流.
二、合作交流，探究新知
方法1 : 利用阳光下的影子 D
A
B CE
F
二、合作交流，探究新知
方法1 : 利用阳光下的影子 ∵△ABC ∽ △DEF ∴ AC ＝BC DF EF 即 即 人高＝物高 人影 物影
二、合作交流，探究新知
方法2 : 利用标杆 B
E
A
F
C
二、合作交流，探究新知
方法2 : 利用标杆 如图所示
∵△ABC ∽ △AEF ∴ AF ＝EF
AC BC
D EA
二、合作交流，探究新知
∽ 解：∵ △ CDE △ CAB
∴
5 AB
＝
CD CA
∴
5 BE
＝
1 2
5米 ?
∴ BE ＝10
答：A、B 两点间的距离是 10 米.
四、归纳小结
本节课你有哪些收获(知识方面和操作方面)？ 在运用科学知识进行实践过程中,你具有了哪些能力?
方法1 : 利用阳光下的影子 方法2 : 利用标杆 方法3 : 利用镜子
x = 12,
C
1.4米 12
D 2.1米 E
x 18米 B
答：树高 12 米.
三、运用新知
3. 如图离,但绳子的长度不够,一位同学帮她想了一个主意,先在地
上取一个可以直接到达A、B点的点C,找到AC、BC的中点D、E,并且
DE的长为 5 m,则A、B两点的距离是多少？