2019届高三数学二模试题
部分区(五区联考)2019届高三二模数学(文)试题及答案
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．5 10．e −1 11．1612．(x +1)2+(y +1)2=2 13．92 14．(0,1)三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵(3a +b )cos C +c cos B =0，由sin sin sin a b c A B C== ……1分 ∴(3sin A +sin B )cos C +sin C cos B =0， ………………………………2分 ∴3sin A cos C +sin (B +C )=0， ……………………………………………4分 在∆ABC 中，由于sin (B +C )=sin A ≠0， ……………………………………5分 ∴cos C =13−. ………………………………………………．．．．…………6分 （Ⅱ）∵c =√6，由（Ⅰ）及由余弦定理，得6=a 2+b 2−2ab cos C ，……7分即6=a 2+b 2−2ab ×(13−)， ∴a 2+b 2+23ab =6，∴(a +b )2−43ab =6.（※） ……………………9分由（Ⅰ）知sin C =√1−cos 2C =3. ……………………10分由题意，得S ∆ABC =12ab sin C =4，∴ab =94. ………………………12分 结合（※）式，得a +b =3. ……………………………………………13分16．解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人数为5334671000+=，………………………1分被录用的人数为264169433+=． …………………………………2分 所以，从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P =4331000. …………………………………………4分 （Ⅱ）记应聘D 学科的男性为123,,A A A ,应聘D 学科的女性为123,,B B B ，从应聘D 学科的6人中随机选择2人，共有15种结果：12{,},A A 13{,},A A 11{,},A B1213{,},{,}A B A B ，23{,},A A 212223{,},{,},{,}A B A B A B ，3132{,},{,},A B A B33{,}A B ，121323{,},{,},{,}.B B B B B B ……………………………………8分事件M “抽取的2人性别不同”情况有9种：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B ，212223{,},{,},{,}A B A B A B ，3132{,},{,},A B A B33{,}.A B …………………………………………10分 易得，其概率为93=155…………………………………………12分 所以事件M 发生的概率为35 ……………………………13分17．解：（Ⅰ）如图所示，四边形BCDE是等腰梯形，所以DE∥BC.所以∠ADE就是异面直线AD与BC所成的角，……2分在∆ADE中，AD=AE.又O为DE的中点，所以AO⊥DE.在∆ADO中，AD=√5,AO=2，所以异面直线AD与BC所成角的正弦值为5.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AO⊥DE. ………………………………………6分因为平面ADE⊥平面BCED，平面ADE∩平面BCED=DE,且AO⊂平面A1DE，所以AO⊥平面BCED，…………………………………………………… 7分所以CO⊥AO.……………………………………………………………8分在∆OBC中，BC=4，易得OB=OC=2√2，所以CO⊥BO，又因为AO∩BO=O，所以CO⊥平面AOB. ……………………………9分又CO⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC.……………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知CO⊥平面AOB，所以直线AC与平面AOB所成角就是∠CAO. ……………………………11分在Rt∆AOC中，OC=2√2,AO=2，所以tan∠CAO=OCOA=√2，所以直线AC与平面AOB所成角的正切值为√2．………………………13分18．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，………………………………………1分由{a 4−2a 3=9,a 2=3 得{a 2(q 2−2q )=9,a 2=3………………………………2分 解得3q =或1q =-. …………… …………………………………………3分因为数列{a n }为正项数列，所以q =3， …………………………………5分所以，首项a 1=2a q=1， 故其通项公式为a n =3n−1. ………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n =(2n −1)∙log 3a 2n+2=(2n −1)(2n +1)， ………8分 所以11111()(21)(21)22121bn n n n n ==−−+−+…………………………10分 所以12111111111(1)23352121n n T b b b n n =+++=−+−++−−+L L 11=242n −+ 所以T n <12. …………………………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得2c a =且22211a b+= ，又因为a 2=b 2+c 2， ……………………………3分 解得a 2=4，b 2=2.所以，椭圆C 的方程为22142x y += . …………………………………………5分 （Ⅱ）易知，“椭圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立”． …………………………………6分依题意，点A (−2,0)，设B (t,0),P (m,n )，则有m 2+2n 2=4,① ……7分且PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−m,−n )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −m,−n )， 所以(−2−m,−n )∙(t −m,−n )=0，即(−2−m )(t −m )+n 2=0. ② …………………………………………9分由①得， n 2=242m −代入②，得 (−2−m )(t −m )+242m −=0，③ …………………………………………10分 因为−2<m <2，所以③化为m −t +22m −=0， 即m =2t −2. ………………………………………………………………12分所以−2<2t −2<2，解得0<t <2.故所求点B 的横坐标的取值范围是(0,2)． ………………………………14分20．解：（Ⅰ）由a =0，得f (x )=(x −3)e x ，所以f′(x )=(x −2)e x ， ………………………………2分由f ′(x )<0得x <2, 由f ′(x )>0得x >2,所以，函数()f x 的单调增区间是()2+∞，；单调减区间是()2−∞，.………4分 （Ⅱ）f (x )=(x −3)[e x +a (x −3)]，易得函数f (x )有一个零点x =3. ……………………………………………5分令g (x )=e x +a (x −3).1）若a =0，则g (x )=e x >0，g (x )无零点，所以函数f(x)只有一个零点；………………………………………6分2）若a≠0，则g′(x)=e x+a，①当a>0时，有g′(x)>0，所以函数g(x)在(−∞,+∞)上单调递增，而g（1a−）=e−1a−1−3a<0, g(3)=e3>0，此时函数g(x)在1(3)a−,内有一个零点，所以f(x)有两个零点. ……………………………………………………7分②当a<0时，由g′(x)=e x+a=0，得x=ln(−a)，所以函数g(x)在区间(−∞,ln(−a))单调递减，在区间(ln(−a),+∞)单调递增，所以函数g(x)min=g(ln(−a))=a[ln(−a)−4]. …………………………8分（ⅰ）当ln(−a)−4<0，即−e4<a<0时，g(x)min=g(ln(−a))=a[ln(−a)−4]>0,此时函数g(x)在其定义域内无零点，所以函数f(x)只有一个零点.（ⅱ）当ln(−a)−4=0，即a=−e4<0，此时函数g(x)有一个零点为4，所以函数f(x)有两个零点.（ⅲ）当ln(−a)−4>0，即a<−e4时，g(x)min<0，此时函数g(x)有两个零点，因为(3)0g≠，所以这两个零点均不为3.所以函数()f x有三个零点. ………………………………………………12分综上述，当a=0或−e4<a<0时，函数f(x)只有一个零点；当a>0或a=−e4时，函数f(x)有两个零点；当a<−e4时，函数f(x)有三个零点. ………………………14分。
2019年高三二模数学(理科)(含答案)
2019年高三二模数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.计算=（）A. B. i C. D. 12.已知集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2-4x＞0}，则A∩B=（）A. 5，B.C. D. 或3.已知{a n}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=（）A. B. C. D. 24.如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆．将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（A）=（）A. B. C. D.5.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A. B. C.D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的k=（）A. 7B. 8C. 9D. 107.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.8.为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位9.已知变量x，y满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为A. B. C. D.10.已知三棱锥S-ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.在的展开式中的x3的系数为（）A. 210B.C.D. 28012.函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.点P从（-1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为______．14.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= ______ ．15.已知数列{a n}中，a1=3，a2=7．当n∈N*时，a n+2是乘积a n•a n+1的个位数，则a2019=______．16.已知F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18、某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19、在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：;（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.20、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．求该椭圆的方程；过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．21、已知函数f（x）=4x2+-a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．22、已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质求值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，以及一元二次不等式的解法，是基础题目．化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2-4x＞0}={x∈R|x＜0或x＞4}，∴A∩B={5，6}．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=-， 故选B ． 4.【答案】C【解析】解：由图可知：正方形的边长为2， S 阴==，S 正=2×2=4，则P （A ）===，故选：C ．由扇形的面积得：S 阴==，由几何概型中的面积型得：则P （A ）===，得解．本题考查了扇形的面积及几何概型中的面积型，属简单题． 5.【答案】D【解析】解：若a ＞1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＞a ＞1，此时b-a ＞0，b ＞1，即（b-1）（b-a ）＞0，若0＜a ＜1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＜a ＜1，此时b-a ＜0，b ＜1，即（b-1）（b-a ）＞0， 综上（b-1）（b-a ）＞0， 故选：D ．根据对数的运算性质，结合a ＞1或0＜a ＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础． 6.【答案】C【解析】解：∵=-，∴s=++…+=1…+-=1-，由S≥得1-≥得≤，即k+1≥10，则k≥9，故选：C．由程序框图结合数列的裂项法进行求解即可．本题主要考查程序框图的应用，根据数列求和以及裂项法是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：令g（x）=x-lnx-1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．8.【答案】B【解析】解：由题意y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y=sin[2（x-）+]=sin （2x-）的图象，故选：B．先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x的系数的应用，以及诱导公式的应用．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值，关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过点C（1,1）时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（4+）≥2+=2+；当且仅当a=b，并且a+b=2时等号成立；故选A．10.【答案】C【解析】解：将该三棱锥补成正方体，如图所示；根据题意，2R=，解得R=；∴该三棱锥外接球的表面积为=4πR2=4π•=27π．S球故选：C．把该三棱锥补成正方体，则正方体的对角线是外接球的直径，求出半径，计算它的表面积．本题考查了几何体的外接球表面积的应用问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了分类讨论与转化的数学思想，属于基础题．由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，分类讨论求得展开式中的x3的系数．【解答】解：由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，在这7个因式中，有2个取-x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取-x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项；故含x3的项为××2×-××23=210-1120=-910.故选C.12.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围．本题考查了图象的平移和根据图象解决实际问题，是数型结合思想的应用，应熟练掌握．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则可使log2x图象左移大于1个单位即可，得出a＞1；若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=-2，解得a=-，∴a的范围为a＞1或a≤-，故选：D．13.【答案】（-，）【解析】解：如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则∠xOQ=，∴Q点坐标为（cos，sin），即（-，）．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出点Q的坐标．本题考查了单位圆与三角函数的定义和应用问题，是基础题．14.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.【解答】解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴3a+1=4，即a=1．故答案为1．15.【答案】1【解析】解：由题意得，数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥2时，a n+1是积a n a n-1的个位数；则a3=1，依此类推，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，数列{a n}是以周期T=6的周期数列，则a2019=a3+336×6=a3=1；故答案为：1．根据题意可得：由数列的递推公式可得a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】5【解析】解：∵F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点∴而|PA|+|PF|≥|AF|=5当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为：5．根据PA|+|PF|≥|AF|=5求得答案．本题考查了三点共线，距离公式，属于基础题17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知2cos C（a cos B+b cos A）=c，利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin[π-（A+B）]=sin C，∴2cos C sinC=sin C，∴cos C=，∵C为三角形ABC的内角，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5或a+b=-5（舍去）∴△ABC的周长为5+.【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．18.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），填表如下：根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为数学期望为，或（）．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；本题考查了频率分布直方图与独立性检验和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题．19.【答案】（I）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；（II）解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图,由（I）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD,以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意得：B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，，则，设平面MBC的法向量，则,即，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量，设直线AD与平面MBC所成角为θ，则，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.【解析】本题考查面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质,同时考查利用空间向量求线面角.（I）利用面面垂直的性质得AB⊥平面BCD,从而AB⊥CD；（II）建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面MBC的法向量,设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式即可得出.20.【答案】解：（1）由题意可知：椭圆+=l（a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2-c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x-）-，则，整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1-）-]x2+[k（x2-）-]x1=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．21.【答案】解：（1）函数f（x）=4x2+-a，则y=xf（x）=4x3+1-ax的导数为y′=12x2-a，由题意可得12-a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+-12，f′（x）=8x-，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，-7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x-1），即为y=7x-14；（2）由f（x）=4x2+-a，导数f′（x）=8x-，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3-a，由f（x）有两个零点，可得3-a=0，即a=3，零点分别为-1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=-1或，则f（x）=-1-b或f（x）=-b，由题意可得f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，则-1-b＞0，且-b＞0，即b＜-1且b＜，可得b＜-1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（-∞，2）．【解析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=-1或t=，即f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，由图象可得-1-b＞0，且-b＞0，即可得到所求a+b的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【解析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．。
部分区(五区联考)2019届高三二模数学(理)试题及答案
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）数学（理）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．1255i - 10．30 11．83 12．相交 13． 14．84 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）由题意，得2()cos sin f x x x x =− ………………………………1分1sin 2cos2)22x x =−+…………………………………3分 1sin 2222x x =−−sin(2)32x π=−−.…………5分 所以()f x 的最小正周期22T p ==p ，其最大值为12−. …6分 （Ⅱ）令2,3z x π=−则有函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,22k k k ππ⎡⎤−+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z . ………7分由222232k x k πππ−+π≤−≤+π,得5,.1212k x k k ππ−+π≤≤+π∈Z ………9分 设5,,,331212A B x k x k k π2π⎧ππ⎫⎡⎤==−+π≤≤+π∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭Z ， 易知,312A B π5π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦I . ………………………………………………………12分 所以，当,33x π2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,312π5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 在区间1235π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减. ………………13分 16．解： （Ⅰ）设事件A 为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率”，则有2121125()1(1)23322318P A ⎛⎫=⨯−⨯+−⨯⨯= ⎪⎝⎭， ……………………………4分 （Ⅱ）由已知得：随机变量ξ的所有可能取值为2,3,4， ……………………………5分所以，()211232721221P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………6分 12112111(3)1(1)233223223313P ξ⎛⎫==⨯−⨯+−⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭， ……………………8分 ()111411223212P ξ⎛⎫⎛⎫==−⨯⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……………………………………10分从而…………………………………………………12分 所以，7115()234123122E x =???. …………………………………13分17．解：（Ⅰ）证明：因为,Q P 分别是,AE AB 的中点， 所以，1//,2PQ BE PQ BE =，……2分 又1C//,2D BE DC BE =， 所以，//PQ DC ，PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，…………3分所以，//PQ 平面ACD . ……4分（Ⅱ）因为DC ⊥平面ABC ，90.ACB ∠=︒以点C 为坐标原点，分别以,,CD CA CB u u u r u u u r u u u r 的方向为,,z x y 轴的正方向建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………………………5分 则得(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(2,0,0),(4,0,4)C A B D E ， ………………………6分所以(0,4,4),(2,0,4)AB DE =−=u u u r u u u r ，……………………………………………7分所以cos ,5AB DE AB DE AB DE⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ………………………………………8分 所以异面直线AB 与DE所成角的余弦值5. …………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知(0,4,4)AB =−u u u r ，(4,4,4)AE =−u u u r ，设平面ABE 的法向量为(),,,n x y z r =00n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 则， ⎩⎨⎧=+−=+−0444044z y x z y (0,1,1)n r 所以=. ………………………10分 由已知可得平面ACD 的法向量为以(0,0,4)CB u u u r =，所以cos ,2n BC n BC n BC⋅==r u u u r r u u u r r u u u r . ………………………………………….……12分 故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小为45︒.......……….………13分18．解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，.……………………………………………1分由432293a a a −=⎧⎨=⎩得222(2)93a q q a ⎧−=⎨=⎩，.......…………………………………………2分 解得3q =或1q =-.......………………………………………………………………3分 因为数列{}n a 为正项数列，所以3q =，...………………………....………………4分 所以，首项211a a q==，..........………………………………………………………5分 故其通项公式为13n n a -=..........………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()32221log (21)(21)n n b n a n n +=−⋅=−+，.......…………………8分 所以11111()(2n 1)(21)22121n b n n n ==−−+−+，.......………………………10分所以12111111111(1)23352121n n T b b b n n =+++=−+−++−−+L L 1112422n =−<+.......……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由椭圆的一个焦点为()11,0F −知:1c =，即221a b −=.①....………2分又因为直线11B F 的方程为0bx y b −+=2=，所以b =.……4分 由①解得24a =.故所求椭圆C 的标准方程为22143x y +=....…………………………………………5分 （Ⅱ）假设存在过点A 的直线l 适合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在，于是可设直线l 的方程为()2y k x =−，...............…………………………………6分 由()221432x y y k x +==−⎧⎪⎨⎪⎩，得()2222341616120k x k x k ++−=−.（*）.......………8分 因为点A 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且2A x = 所以22161234A B k x x k −⋅=+，所以228634B x k k −+=， 即点2228612,3434k k B k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭....……………………………………………………10分 所以2221612,3434k k OA OB kk ⎛⎫+=− ⎪++⎝⎭u u u r u u u r，即2221612,73434k k OT k k ⎫=−⎪++⎝⎭u u u r .因为点T 在圆222x y +=上，所以2222221612273434k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……11分 化简得42488210k k −−=，解得234k =，所以k =. ………………12分 经检验知，此时（*）对应的判别式0∆>，满足题意. ………………………13分 故存在满足条件的直线l，其方程为()22y x =±−. ……………….……14分 20．解：（Ⅰ）当2a =时，()ln 2f x x x =−，所以1()2f x x'=− ...............………………1分 ()1121f '=−=−， ..........………………………………………….....……...……2分 则切线方程为()21y x +=−−，即10x y ++=. ………………....……………3分 （Ⅱ）①当0a =时，()ln f x x =有唯一零点1x =；…………………............………4分②当0a <时，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数， 因为()10f a =−>，()()10a a a f e a ae a e =-=-<，所以()()10a f f e ⋅<，即函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ………6分 ③当0a >时，令()0f x '=得1x a=， 所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数； 且−∞→→)(,0x f x ；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 是在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上是减函数， 且−∞→+∞→)(,x f x ；所以在区间()0,+∞上，函数()f x 的极大值为11ln 1ln 1f a a a⎛⎫=−=−− ⎪⎝⎭， …8分 由10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即ln 10a --<，解得1a e >， 故所求实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. …………………………………………9分（Ⅲ）设120x x >>，由()10f x =，()20f x =，可得11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，所以()1212ln ln x x a x x -=-. 所以1212ln ln x x a x x −=−…........................…10分 要证122x x a+>，只需证12()2a x x +>, 即证121212ln ln ()2x x x x x x −⨯+>−，即()1212122ln x x x x x x ->+. …………………11分 令121x t x =>，于是()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t −−>⇔>++， …………………12分 设函数()()()21ln 11t h t t t t -=->+，求导得()()()()222114011t h t t t t t −'=−=>++， 所以函数()h t 是()1,+∞上的增函数， 所以()()10h t h >=，即不等式()21ln 1t t t ->+成立，故所证不等式122x x a +>成立. …………………………………………………14分。
2019届高三数学二模考试试题理(含解析)
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知集合，则满足的集合的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，，所以集合可能是.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量，满足，，则（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解．【详解】因为向量，满足，，所以，①，②由①②得：，即，故选：．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；；当时，，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到经过第六次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选：．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（）A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D【解析】【分析】根据，，成等比数列可求公差，然后可得.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即有，解得，（舍），所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8.已知，为椭圆的左右焦点，点在上（不与顶点重合），为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据为等腰直角三角形可得，结合椭圆的定义可求离心率.【详解】由题意等腰直角三角形，不妨设，则，由椭圆的定义可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、4，由正视图知，三棱锥的高是4，该几何体的体积，故选：．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简函数，然后利用解析式的特点求解最大值.【详解】，因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，点､分别是圆和圆上的点，长为，长为，且与在平面的同侧，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弧长公式可得，，由异面直线所成角的作法可得为异面直线与所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知，，在底面圆周上去点且，则面，连接，，，则即为异面直线与所成角，又，，所以，故选：．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设，满足约束条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的取值范围．【详解】作出，满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．此时的最大值为，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列的前项和为，若，，，则______.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，设等差数列的公差为，则，解得，由得，解得.故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.【答案】1【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则且，解得；同理可得且，解得；故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求和；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的余弦函数值，然后求解的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为，代入，得，所以，，由正弦定理得，所以，.（2）把余弦定理代入，得，解得.再由余弦定理得.当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．18.一只红玲虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:温度21产卵数/7个为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.【详解】(1)当时，根据模型①，得，，根据模型②，得.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设为抛物线:的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得，则抛物线的方程可求；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与抛物线方程联立，求出，，可得四边形的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．由，得．△，设，、，，则；同理设，、，，，则．四边形的面积．当且仅当时，四边形的面积取得最小值32．线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.是自然对数的底数，已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你结论.【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。
2019届高三二模考试数学(理)试题含解析(20190903211428)
，
A. C. 【答案】 D
，
，则实数
的大小关系是（ ）
B. D.
【解析】
【分析】
先解出 ， 的值，然后再利用指数函数、幂函数的单调性判断大小关系
.
【详解】解：因为
，
所以
，
同理可得：
，
因为函数
为单调增函数，且
，
故
，即
，
因为函数
为单调增函数，且
，
所以
，即
，
所以
，故选 D.
【点睛】本题考查了利用函数单调性比较两数大小的问题，解决问题的关键是要能从两数的关系中寻找出相应
【解析】
【分析】
为假命题，即不存在
，使
，根据这个条件得出实数
【详解】解：因为 为假命题，
所以 为真命题，即不存在
，使
，
故
，且
的取值范围 .
解得：
或
，
故选 C.
【点睛】本题考查了命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题
.
4. 已知抛物线
的焦点为 ，点 在该抛物线上，且 在 轴上的投影为点 ，则
“将军饮马”的最短总路程为
，
故选 A.
【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实
际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题
.
9. 已知
中，
，
，
A. 1
B. 2
【答案】 B
【解析】 【分析】
利用正弦定理求出 的值，用基底
，点 是边 的中点，则 C. 3
B.
C.
与圆 ： 的离心率为（ ）
2019届高三数学下学期二模试卷
2019届高三数学下学期二模试卷温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷选择题（共40分）注意事项:1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3、本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件互斥,那么如果事件相互独立,那么、柱体的体积公式、锥体的体积公式、其中表示柱体的底面积,其中表示锥体的底面积, 表示柱体的高、表示锥体的高、一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、 (1)设全集，集合,,则 (A)(B)()(D)(2)已知满足约束条件则的最小值为 (A)2(B)4()(D)(3)执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出(A)(B)()(D)(4)下列结论错误的是 (A)命题：“若，则”的逆否命题是“若，则” (B)“”是“”的充分不必要条件 ()命题：“，”的否定是“，” (D)若“”为假命题，则均为假命题 (5)的图象向右平移个单位，所得到的图象关于轴对称，则的值为 (A)(B)()(D)(6)已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，设则的大小关系是 (A)(B)()(D)(7)已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为 (A)(B)()(D)(8)在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，(A)(B)()(D)第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项:1、用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2、本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分、把答案填在答题卷上、 (9)如果（表示虚数单位），那么、 (10)若直线与曲线(为参数)交于两点，则、 (11)在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有种、(用数字作答)(12)一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为、 (13)若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为、 (14)已知函数且函数在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是、三、解答题：本大题共6小题,共80分、解答应写出字说明,证明过程或演算步骤、 (15)(本小题满分13分)已知函数(Ⅰ)求在上的单调递增区间；(Ⅱ)在中，分别是角的对边，为锐角，若，且的面积为，求的最小值、 (16)(本小题满分13分)某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。
2019届高三数学二模试题(含解析)
2019高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）= ．2．若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是．3．双曲线的准线方程是．4．某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是．5．命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是．6．如图中流程图的运行结果是．7．口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017= ．9．将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．10．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则= ．11．已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．12．已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．13．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）= ．14．已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F（m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．19．某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）20．已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．24．（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）= {2，3，4} ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|0＜x＜5，x∈U}={1，2，3，4}，B={x|x≤1，X∈U}，则∁U B={x|x＞1，X∈U}={2，3，4，5，…}，则A∩（∁U B）={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}2．若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是 3 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴﹣i••i=﹣i（3+4i），∴=4﹣3i．∴z=4+3i．∴复数z的虚部是3．故答案为：3．3．双曲线的准线方程是y=．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的准线方程即可．【解答】解：双曲线，可得a=1，b=，c=2，双曲线的准线方程为：y=±．故答案为：y=．4．某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是288 ．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率，由此能估计该校身高不小于175cm 的人数．【解答】解：由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率为：（0.012+0.004）×10=0.16，∴估计该校身高不小于175cm的人数是：1800×0.16=288．故答案为：288．5．命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是∃x0＞2，x02≤2 ．【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：命题“∀x＞2，x2＞2”是全称命题，其否定是：∃x0＞2，x02≤2．故答案为：∃x0＞2，x02≤2．6．如图中流程图的运行结果是 6 ．【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：第一次，S=1，i=2，S＞10不成立，第二次，S=1+2=3，i=3，S＞10不成立，第三次，S=3+3=6，i=4，S＞10不成立第四次，S=6+4=10，i=5，S＞10不成立第五次，S=10+5=15，i=6，S＞10成立，输出i=6，故答案为：67．口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，再由列举法求出取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件个数，由此能求出取出的两个小球上所标数字之积为4的概率．【解答】解：∵口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，基本事件总数n=，取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件有：（1，4），（1，4），（2，2），共3个，∴取出的两个小球上所标数字之积为4的概率p=．故答案为：．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017= ．【考点】8E：数列的求和．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，化简所求的通项公式，然后求和即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，可得a1+a4=14，解得a1=4，10=4+3d，解得d=2，S n=4n+=n2+3n，==，T n=+…+=，则T2017==．故答案为：．9．将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先化简被平移函数的解析式，得到对称轴的表达式以及函数的图象的对称轴，利用对称轴重合得到m的值．【解答】解：将函数y=sinxcosx=sin2x的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，即2（x﹣m）=k，得到x=，k∈Z；，得到x=，k1∈Z；由题意x==，k，k1∈Z所以实数m的最小值为；故答案为：．10．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则= ﹣18 ．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，设∠ADC=α，求出各点坐标，代入向量的数量积运算公式计算即可．【解答】解：以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设∠ADC=α，则A（6cosα，6sinα），E（3cosα，3sinα），C（3，0），B（﹣3，0），设F（a，b），则，解得a=4cosα+1，b=4sinα，∴=（﹣3﹣6cosα，﹣6sinα），=（4cosα﹣2，4sinα），∴=（﹣3﹣6cosα）（4cosα﹣2）﹣24sin2α=﹣24cos2α+6﹣24sin2α=6﹣24=﹣18．故答案为：﹣18．11．已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由已知求出tanα，得到直线l2的斜率，进一步求得方程，由A在圆上求得F，得到圆的方程，求出圆心坐标和半径，利用垂径定理求得|AC|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC 的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．【解答】解：直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，则tanα=，∴直线l2的斜率k=tan2α=．则直线l2的方程为y﹣0=（x+1），即4x﹣3y+4=0．又A（﹣1，0）在圆上，∴（﹣1）2﹣2+F=0，得F=1，∴圆的方程为x2+y2+2x﹣2y+1=0，化为标准方程：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心（﹣1，1），半径r=1．直线l2与圆M相交于A，C两点，由点到直线的距离公式得弦心距d=，由勾股定理得半弦长=，弦长|AC|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线l2的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=|AC|×|BE|+|AC|×|DE|=|AC|×|BD|=××2=，故答案为：．12．已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】当体积最大时，平面ABC与底面BCD垂足，利用勾股定理计算AD．【解答】解：取BC的中点E，连结AE，DE，∵AB=AC，BD=CD，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴A到平面BCD的距离d=AE•sin∠AED，显然当∠AED=90°时，四面体体积最大．此时，AE==2，DE==，∴AD==．故答案为：．13．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）= 2x﹣2﹣x．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据题意，由于f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，同理可得f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，利用函数的奇偶性可得﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，联立①②可得f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1），对其变形可得答案．【解答】解：根据题意，f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，①，进而有f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，又由函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，则有f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x），即有﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，联立①②可得：f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1）=2x﹣2﹣x，即f（x）=2x﹣2﹣x，故答案为：2x﹣2﹣x14．已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y），由x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2得△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，a=mcos（），b=mcosθ即可求解．【解答】解：如图设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y）∵（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2∴△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，∴b=mcosθ∴∴当θ=0时，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，⇒sinAcosC﹣cosAsinCsin（A﹣C）=0，即可得a=c，即可．（2）由得⇔⇒⇒b=，即可得cosB=．【解答】解：（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，∴sinB=acosC变形为：sin（A+C）=2sinAcosC⇒sinAcosC﹣cosAsinC=0sin（A﹣C）=0，∵A﹣C∈（﹣π，π），∴A﹣C=0，∴a=c，∴的值为1（2）∵M为边BC的中点，∴∴⇔又∵，a=c∴⇒⇒b=∴cosB=，∵B∈（0，π），∴角B的大小为．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AB1交A1B于E，连结DE，由AC1∥平面A1BD可得AC1∥DE，由E为AB1的中点即可得出D是B1C1的中点；（2）证明A1B⊥平面AB1C1，得出A1B⊥B1C1，再结合B1C1⊥BB1得出B1C1⊥平面A1ABB1，于是平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．【解答】证明：（1）连结AB1交A1B于E，连结DE．∵AC1∥平面A1BD，AC1⊂平面AB1C1，平面AB1C1∩平面A1BD=DE，∴AC1∥DE，∵侧面A1ABB1是菱形，∴E是AB1的中点，∴D是B1C1的中点．（2）∵侧面A1ABB1是菱形，∴AB1⊥A1B，又A1B⊥AC1，AB1∩AC1=A，AB1⊂平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，∵侧面C1CBB1是矩形，∴B1C1⊥BB1，又BB1∩A1B=B，BB1⊂平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥平面A1ABB1．∵B1C1⊂平面C1CBB1，∴平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意c=1，根据椭圆的离心率，即可求得a的值，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（2）根据椭圆的准线方程，即可求得AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得A1及B1，k1==﹣3k，存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．【解答】解：（1）由椭圆的焦距2c=2，则c=1，双曲线的离心率e==，则a=，则b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；（2）设A（x0，y0），则2y02=2﹣y02，则B（﹣x0，﹣y0），k=，右准线方程x=2，则M（2，0），直线AM的方程为y=（x﹣2），，整理得：（x0﹣2）2x2+2y02（x﹣2）2﹣2（x0﹣2）2=0，该方程两个根为x0，，∴x0•===•x0，则=， =（﹣2）=，则A1（，），同理可得B1（，﹣），则k1==﹣3k，即存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．18．数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F（m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，可得数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k+1=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差数列．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，利用错位相减法可得A n=4﹣＜4．根据b n≥0，可得F（m，n）≤A n，F（m，n）＜4．（3）S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1=2k（k﹣1），T k=a2+a4+a6+…+a2k=2k+1﹣2．W k==，对k分类讨论即可得出．【解答】（1）解：a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，∴数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．∴．即n=2k，k∈N*时，a n=．当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k+1=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差数列．∴a2k﹣1=4（k﹣1）．即n=2k﹣1，k∈N*时，a n=2n﹣2．综上可得：a3=4，a4=4．a n=，k∈N*．（2）证明：b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，则A n=0+1+++…+，A n=++…++，∴=1++…+﹣=﹣，∴A n=4﹣＜4．∵b n≥0，∴F（m，n）≤A n，故对任意的m＜n，F（m，n）＜4．（3）解：S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1==2k（k﹣1），T k=a2+a4+a6+…+a2k==2k+1﹣2．W k==，∴W1=0，W2=1，W3=＞1，W4=＞1，W5=＞1，W6=＜1．k≥6时，W k+1﹣W k=﹣=＜0，∴当k≥6时，W k+1＜W k．∴当k≥6时，W k+1≤W6＜1．综上可得：使W k＞1的所有k的值为3，4，5．19．某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）用总收入减去来回两次的运行成本和冷藏成本即可；（2）利用基本不等式得出W的最大值，令其最大值大于或等于零解出x，再验证车速是否符合条件即可；（3）利用导数判断W的最大值函数的单调性，即可得出W的最大值，再验证车速即可．【解答】解：（1）汽车来回一次的运行成本为×1300v2×+×v2×=v，冷藏成本为10x×=，∴W=100x﹣v﹣．（2）∵v+≥2=5•，∴W≤100x﹣5•，当且仅当v=即v=40•时取等号．令100x﹣5•≥0，得2≥，解得x≥，当x=时，v=40•=20∈（0，80]，∴每次至少进货千克，才可能使销售后不会亏本．（3）由（2）可知W≤100x﹣5•=5（2x﹣•），x∈[，1000]，设f（x）=2x﹣•，则f′（x）=2﹣（•+）=2﹣（+），∵x∈[，1000]，∴ =∈[，2]，∵函数y=x+在[，2]上单调递增，∴当=2时， +取得最大值，∴f′（x）≥2﹣＞0，∴f（x）在[，1000]上单调递增，∴当x=1000时，f（x）取得最大值f已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）设g（x）=x2lnx，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，根据单调性判断函数的零点即方程根的个数．【解答】解：（1）f′（x）=，由f′（x）=0得x=1，x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1]递增，在递减，在[，+∞）递增，当且仅当x=时，g（x）min=﹣；∴f（x）≤﹣≤g（x），两等号不同时取，故∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，∴F（x）=f（x）﹣lnx，x≥1，∵f（x），﹣lnx都在递增，∴F（x）在（0，1]递增，∵F（1）=+m，∴m≤﹣时，∀0＜x＜1，F（x）＜F（1）≤0，∴F（x）在（0，1）无零点，当m＞﹣时，F（1）＞0，∀0＜x＜1，F（x）＜＜+m+lnx，显然∈（0，1），∴F（）＜+m+ln=0，∵F（x）的图象不间断，∴F（x）在（0，1）恰有1个零点，综上，m=﹣时，方程|lnx|=f（x）恰有1个实根，m＜﹣时，方程|lnx|=f（x）无实根，m＞﹣时，方程|lnx|=f（x）有2个不同的实根．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．【考点】OU：特征向量的意义．【分析】根据矩阵的变换求得M=，利用矩阵的特征向量及特征值的关系，利用矩阵的乘法，即可求得M的逆矩阵，即可求得矩阵M．【解答】解：由题意可知：M=，M﹣1=，∴M﹣1=，设M﹣1=，则=，=，则，解得：，则M﹣1=，det（M﹣1）=﹣20+18=﹣2，则M=．∴矩阵M=．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】求出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程，两方程联立，能求出曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为，（，α为参数），∴曲线C1的普通方程为y=1﹣2x2，x∈，∵曲线C2的极坐标方程为，∴曲线C2的直角坐标方程为y=﹣，两方程联立：，得2﹣x﹣=0，解得，，∵x∈，∴，y=﹣，∴曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标为（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，由题意他只闯过了第一关，没有过第二关，由此求出所求的概率；（2）根据题意知X的所有可能取值，计算对应的概率，写出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，由题意知，他只闯过了第一关，没有过第二关，因此，他第一关转得了2、3、4中的一个，第二关转得了（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）中的一个，∴所求的概率为P（A）=×（5×）=；（2）根据题意，X的所有可能取值为0，10，20，40；计算P（X=0）=，P（X=10）=，P（X=20）=××=，P（X=40）=××=，∴X的概率分布为：数学期望为：E（X）=0×+10×+20×+40×=．24．（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式可得：（k+1）=（k+1）•=．（2）由（1）可得： =，左边==（﹣1）k+1=，即可证明．（3）==+．由（2）可知：==．设f（n）=，则f（1）=1， =f（n﹣1）．可得f（n）﹣f（n﹣1）=．利用累加求和方法即可得出．【解答】证明：（1）（k+1）=（k+1）•==（n+1）．（2）由（1）可得： =，∴左边==（﹣1）k+1== =右边．∴．（3）==+由（2）可知： ==．设f（n）=，则f（1）=1，=f（n﹣1）．∴f（n）﹣f（n﹣1）=．∴n≥2时，f（n）=f（1）+f（2）﹣f（1）+…+f（n）﹣f（n﹣1）=1++…+．n=1时也成立．∴f（n）=1++…+．n∈N*．即：．。
2019届高三数学下学期二模考试试题文(含解析)
2019届高三数学下学期二模考试试题文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求解不等式可得，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式可得，则：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】试题分析：由得，所以，故答案为B．考点：复数的运算．3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的特点，可知（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，再由相关性的强弱可比较出大小关系。
【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故，；，；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故，，因此，．故选：C．【点睛】相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4.已知向量，若为实数，，则（）A. 2B. 1C.D.【答案】C【解析】和平行，故，解得.5.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与圆相切，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】符合条件的渐近线方程为，与圆相切，即d=r，代入公式，即可求解【详解】双曲线C的渐近线方程为，与圆相切的只可能是，所以圆心到直线的距离d=，得，所以，故选B。
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拉萨市2019届高三第二次模拟考试试卷
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则=
A.B..D.
【答案】
【解析】
【分析】
可求出集合A，B,然后进行交集的运算即可.
【详解】,;
••• AnB={x|1vx<2}.
变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.
7.已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率为()
A.B.
.D.3
【答案】
【解析】
【分析】
求得双曲线的渐近线方程，由题意可得，再由离心率公 式，计算可得所求值.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由题意可得，可得，
则双曲线的离心率为.
故选：.
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线 方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础 题.
【详解】由，
得,其中，
设，
•••存在唯一的整数，使得，
•••存在唯一的整数，使得在直线的下方.
• •
•••当时，单调递减；当时，单调递增.
•••当时，，
又当时，，
直线过定点，斜率为，
所以要满足题意，则需，解得，
•••实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】本题考查用导数研究函数的性质和函数图象 的应用，具有综合性和难度，考查理解能力和运算能力，解 题的关键是正确理解题意，将问题转化为两函数图象的相对 位置关系处理，进而借助数形结合的方法得到关于参数的不 等式(组)，进而得到所求.
（1）求直方图中的值；
（2）由频率分布直方图可认为，这种产品的质量指标 值服从正态分布，试计算这批产品中质量指标值落在上的件 数；
（3）设产品生产成本为，质量指标值为，生产成本与 质量指标值满足函数关系式，假设同组中的每个数据用该组
数据区间的右端点代替，试计算生产该食品的平均成本.参
考数据：若，贝畀，.
输出.
故选项.
【点睛】本题考查通过程序框图的输入值和循环结构， 得到输出值，属于简单题.
9.某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所
有顶点都在球的球面上，则球的体积是
A.B.
.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体，可知该几何体为直三棱柱，底面 为等腰直角三角形，直角边长为2,侧棱长为2,然后将其
故选：.
【点睛】考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元 二次不等式的解法，交集的运算.
2.若复数满足，则
A.B..D.1
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求
得Z,再由复数模的计算公式求解.
详解】由（z+1）i=1+i，得z+1,
z=-i，则|z|=1.
故选：D.
故选A项.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列求和公式的性质， 属于中档题.
11.设椭圆的两焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆 与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（）
A.B..D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由为直角三角形，得，可得，利用椭圆的定义和离心率 的概念，即可求解.
【详解】如图所示，因为为直角三角形，所以，
4.的展开式中的系数为（）
A.-80B.-40.40D.80
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分别找到展开式中和的系数，然后相加得到项的 系数.
【详解】要求的展开式中的系数
则中与展开式中相乘，以及中与展开式中相乘
而展开式中，项为，
项为.
所以的展开式中的项为
故选项
【点睛】本题考查二项式展开式与多项式相乘，其中某 一项的系数，属于基础题.
详解：（1）由已知可得，BF丄PF,BF丄EF,又，所以BF丄平面PEF.
又平面ABFD所以平面PEF丄平面ABFD.
（2）作PhUEF,垂足为H.由（1）得，PH丄平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建 立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.
由(1)可得，DELPE.又DP=2DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PELPF.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数
模的求法，是基础题.
3.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课
方案.该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4
门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那 么政治和地至少有一门被选中的概率是（）
A.B..D.
【答案】D
【解析】
【分析】
三、解答题：共70分。解答应写出字说明、证明过程 或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.的内角的对边分别为，且.
(1)求A；
(2)若，点D在边上，，求的面积.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：
本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两 门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入
概率的公式，即可得到答案.
【详解】设两门至少有一门被选中，则两门都没有选中｝,
包含1个基本事件，
贝农所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其 中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公 式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基 础题.
女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天
共织布5尺，问这个女子每天分别织布多少？ ”根据上题的 已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为.
【答案】
【解析】
试题分析：设该女子第一末织布尺，则由题意得，解之 得，所以前三天织布的总尽数为，故应填.
考点：1.等比数列的定义与求和；2.数列的应用.
利用函数y=Asin(3x+$)的图象变换规律，求得平 移后的解析式，再令2xkn，求得结论.
【详解】将函数y=sin(2x)的图象向右平移个单位长
度后，所得图象对应的函数解析式为y=sin(2x),
令2xkn，求得x，k€乙故函数的对称中心为(，0),k€Z,
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数y=Asin(3x+$ )的图象
【名师点睛】本题考查等比数列的定义与求和、数列的
应用以及数学化，属中档题；解决数列的应用问题，要明确 问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列 问题，是求还求，特别是在弄清项数.
16.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取
值范围是
【答案】
【解析】
【分析】
由得到，设，，从而由题意可得存在唯一的整数，使得 在直线的下方.利用导数得到函数的单调性，然后根据两函 数的图象的相对位置关系得到关于实数的不等式组，进而得 到所求范围.
14.已知函数，若，贝y.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由的值分析可得，变形可得，则有则，代入
计算可得答案.
【详解】函数，若，
贝农变形可得，
贝
故答案为：.
【点睛】本题考查函数值计算，关键是求出函数的解析 式，属于基础题.
15.古代数学著作《九算术》有如下问题：“今有女子
善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？ ”意思是：“一
BF丄PF,BF丄EF,又因为，利用线面垂直的判定定理可以得 出BF丄平面PEF,又平面ABFD利用面面垂直的判定定理证 得平面PEF丄平面ABFD.
（2）结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出
相应的点的坐标，求得平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，利用线面角的定义，可以求得，得到结果
•••从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概
率是0.35.
故选：A.
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的 意义，考查正态分布中两个量□和a的应用，考查曲线的对
称性，属于基础题.
6.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的 一个对称中心为()
A.B..D.
【答案】A
【解析】
【分析】
所以，贝畀解得，故选B
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的 几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率 的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属 于基础题.
12.已知定义在上的函数的导函数为，且，设，，贝畀
的大小关系为()
A.B..D.无法确定
【答案】A
【解析】
令，则.
5.经统计，某市高三学生期末数学成绩，且,则从该市
任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是
A.0.35B.0.65.0.7D.0.85
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解.
【详解】•••学生成绩X服从正态分布N(85，a2)，且
P(80vXV90)=0.3,
••• P(X>90)[1-P(80vXV90)],
【点睛】本题考查由频率分布直方图求频率和频率分布
表及平均数，求正态分布某段上的频率和频数.属于中档题.
19.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕
把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析.
（2）.
【解析】
分析：（1）首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即
结合范围，可得，进而可求A的值.
(2)在厶AD中，由正弦定理可得，可得，利用三角形 内角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面积公式即可 计算得解.