第七章 固有模态理论
模态分析的基础理论
模态分析的基础理论模态分析是一种研究系统中不同模式的分布、生成和演化规律的方法。
在这个理论中，模态是指系统中不同状态或形式的存在形式，例如质量分数、温度、湿度等。
模态分析的基础理论包括概率论、统计学和模态分析技术等。
概率论是模态分析的基础之一、它研究随机事件的发生概率和规律。
在模态分析中，我们可以利用概率论来描述不同模态出现的概率分布，并通过分析系统中的模式，得出不同模态的生成规律。
通过概率论的方法，我们可以预测不同模态的变化趋势，从而指导系统的优化设计和运行管理。
统计学也是模态分析的基础理论之一、统计学研究如何收集、处理、分析和解释数据，通过对大量数据的统计分析，揭示数据背后的规律和趋势。
模态分析中，统计学的方法可以用于分析模态数据的分布情况，寻找模态之间的相关性和影响因素，并建立相应的模型来预测和优化系统的运行情况。
在模态分析技术方面，主要包括聚类分析、主成分分析和模态分析方法等。
聚类分析是一种将相似的对象分组的方法，通过对模态数据进行聚类分析，我们可以将相似的模态归为一类，从而描述系统中的不同模态分布情况。
主成分分析是一种降维技术，它可以将高维的模态数据降低到低维，并保留大部分信息。
这可以帮助我们更好地理解系统模态之间的关系和重要性。
模态分析方法包括有限元模态分析、频响函数法和模态参数识别等。
通过这些方法，我们可以对系统的模态进行分析，包括振型、频率和阻尼等，并找出模态的摄动源和分布规律。
模态分析的基础理论对于理解和优化系统具有重要意义。
通过对模态的分析和研究，我们可以了解系统的特性和不同模态之间的关系，从而指导系统的设计和运行。
同时，模态分析也可以帮助我们发现和解决系统中存在的问题，提高系统的稳定性和可靠性。
因此，深入理解和应用模态分析的基础理论对于各个领域的研究和实践具有重要价值。
模态分析理论
模态叠加法一.思想要点是在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型将方程组转换为n 个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数值地进行积分。
对于每个方程可以采用各自不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步长。
当实际分析的时间历程较长，同时又只需要少数较低阶振型的结果时，采用振型叠加法将是十分有利的。
求解步骤：1.求解系统的固有频率和振型2.求解系统的动力响应二.求解固有频率与振型（求解不考虑阻尼影响的振动方程） ..()(){0}M a t Ka t += 解可假设为：0sin ()a t t φω=-φ是n 阶向量，ω是向量φ的振动频率，t 是时间变量，0t 是由初始条件确定的时间常数。
代入振动方程，得到一个广义特征值问题：20K M φωφ-=求解可得n 个特征解221122(,),(,),ωφωφ···2,(,)n n ωφ120ωω≤<<···n ω< 特征向量12,,φφ···,n φ代表系统的n 个固有振型，幅度可按以下要求规定T i i M φφ=1（i=1，2，···，n ），这样规定的固有振型又称正则振型。
将22(,)(,)i i j j ωφωφ代回特征方程，得：2i i i K M φωφ= 2j j j K M φωφ=前式两边前乘以j φT，后式两边前乘以i φT ，得：2j i i j i K M φφωφφTT = 2i j i i jK M φφωφφT T = 由()TTj i j i i j K K K φφφφφφT T==得：22i j i j i j M K ωφφωφφT T =，推出22()0i j j i M ωωφφT-=当i j ωω≠时，有0j i M φφT =这表明固有振型对于矩阵M 是正交的，可表示为：1 ()0 ()i j i j M i j φφT=⎧=⎨≠⎩得：2 ()0 ()i i j i j K i j ωφφT ⎧==⎨≠⎩如果定义123n [ ]φφφφΦ=K21222 0 0 n ωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥Ω=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O则特征解的性质可表示成：M K T T ΦΦ=I ΦΦ=Ω原特征值问题可表示为：K M Φ=ΦΩ三.求解动力响应1.位移基向量的变换引入变换()()1ni i i a t x t x φ==Φ=∑其中()[]12 n x t x x x =L代入运动方程，并两边前乘以T Φ，可得：()()()()()...x t C x t x t Q t R t T T +ΦΦ+Ω=Φ= 初始条件相应地转换成：..0000 x x Ma M a T T =Φ=Φ 阻尼为振型阻尼，则：()()2 i=j 0 i j i i ij C ωξφφT ⎧⎪=⎨≠⎪⎩ 或11222 0 2 0 2n n C ωξωξωξT ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ΦΦ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 其中i ξ（i=1,2,···,n ）是第i 阶振型阻尼比，可得n 个相互不耦合的二阶常微分方程()()()()...22i i i i i i i x t x t x t r t ωξω++= （i=1，2，···，n ）若C 是Rayleigh 阻尼，即C M K αβ=+根据试验或相近似结构的资料已知两个振型的阻尼比i ξ和j ξ，可得22222()()2()()i j j i i j j i j j i i j i ξωξωαωωωωξωξωβωω-=--=-2.求解单自由度系统振动方程在振动分析中常常采用杜哈美（Duhamel ）积分，又称叠加积分，其基本思想是将任意激振力()i r t 分解为一系列微冲量的连续作用，分别求出系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统的叠加原理，将它们叠加起来，得到系统对任意激振的响应。
4 弹性体的固有振动模态
1.1梁(杆)的纵向振动
• Prof. Vasiliev
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
1.1梁(杆)的纵向振动
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
z(w)
0 x
ux,t
f x,t
uf
dx l
x(u) F dx
u(x,t) u 为杆的纵向（轴向）位移 F (x,t) F 为作用在杆上横截面上的轴向内力 f (x,t) f 为杆上单位长度上轴向外力
• 带入振型函数的通解形式，得到：
D F 0 C E 0
C sin l D cos l E sinh l F cosh l 0 C cos l D sin l E cosh l F sinh l 0
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
• 除去恒等于零的解，则要求上列方程组的系数行 列式等于零，可导出特征方程：
• 另一方程的通解形式设为
(x) ex
• 带入上述方程，则有： 4 S2 0
EI
• 此特征方程的根为：
• , , i, i
4
其中 S2
EI
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
• 对于上述4个不同α值，振型的通解形式如下：
(x) C sin x Dcos x E sinh x F cosh x
D sinl 0
E
n
nπ l
E
n 0,1, 2, ,
n
(
x)
cos
n
πx l
n 1, 2,3,
,
杆的第n阶固有频率n的
固有模态（Natural mode）
模态理论及其应用4
机械工程系 张建润
Modal Theory and Its Applications
模态理论及其应用
上式中
其中:
机械工程系 张建润
Modal Theory and Its Applications
模态理论及其应用
获得初次迭代值,将上面值再次迭 代直到精度满意为止
机械工程系 张建润
Modal Theory and Its Applications
模态理论及其应用
求得c1, c2 c3
c1 ∑ c2 = ∑ H iR H iI c H iR ∑ 3
R 2 Hi
( )
∑ ∑( ∑
H iR H iI R 2 Hi H iI
)
∑ H iI ∑
1
H iR
1
R 2 H i + H iR H iI ∑ R 2 I × ∑ H i H i + H iI R 2 I 2 ∑ Hi + Hi
将上面的方程代入传递函数表达式,按泰勒级数展开, 略去高此幂
其中:
机械工程系 张建润
Modal Theory and Its Applications
模态理论及其应用
实测传递函数与拟合圆法得到的传递函数差为
对于所有测试值和拟合值之差的平方和:
要使上式最小,必须有:
机械工程系 张建润
Modal Theory and Its Applications
�
模态理论及其应用
7.2 拟合圆法
对于耦合不是很紧密的模态可以不考虑剩余传函的影 响,采用单自由度法来辨识.
H lp =
φliφ pi
K i (1 ωi2 + j 2ξωi )
模态和固有频率关系
模态和固有频率关系关于模态和固有频率之间的关系，我们需要先了解模态和固有频率的概念以及它们在不同领域中的应用。
接下来，我们将逐步讨论模态和固有频率之间的关系，并详细解释它们在物理学、工程学和音乐中的应用。
下面是一步一步回答这个问题的具体步骤。
第一步：介绍模态和固有频率的定义模态是指物体振动、震动或挠曲时所处的特定状态或形态。
在物理学中，模态是指系统在特定激励下的运动方式。
在机械振动中，模态是指由自由度、质量和刚度决定的系统特征。
而固有频率是指物体在某一模态下振动的频率，也可以理解为系统在该模态下的固有振动频率。
第二步：阐述模态和固有频率之间的关系模态和固有频率之间存在着密切的关系。
一个系统可以具有多种不同的模态，每种模态都对应着不同的固有频率。
可以说，模态和固有频率是相互依存的关系。
不同的模态对应着不同的固有频率，而固有频率决定了系统的振动行为。
第三步：在物理学中的应用在物理学中，模态和固有频率的研究对于了解物体的振动特性、结构的稳定性和强度等方面至关重要。
例如，在工程结构设计中，通过分析结构的模态和固有频率，可以确定结构在不同频率下的振动模式，从而评估结构的稳定性和耐久性。
在微观领域中，模态和固有频率的研究也可以帮助研究人员了解物质分子的振动特性和结构稳定性。
第四步：在工程学中的应用在工程学中，模态和固有频率的研究被广泛应用于结构动力学、振动噪声控制、飞行器设计等领域。
通过模态分析和固有频率的计算，可以预测结构的动力特性、避免共振现象的发生、并优化设计方案。
在飞机和船舶等交通工具的设计中，模态和固有频率的分析可以帮助设计师避免共振现象，提高结构的稳定性和耐久性。
第五步：在音乐中的应用在音乐学中，模态和固有频率的概念与音乐的音高和音阶有关。
在西方音乐中，固有频率对应着音高的概念，不同音高的音符对应着不同的固有频率。
而在传统音乐中，模态则是指具有不同音阶形式的曲调。
例如，西方音乐中的大调和小调就是两种不同的模态。
模态理论
Tyler & Sofrin 模态分析理论非定常来流与叶片干涉产生的声波在风扇或涡轮中并非是任意形态存在的。
Goldstein 在假定平均流场有势的前提下，建立起了平均流场中任意一点的扰动量与远前方来流扰动量之间的相互关系，给出了下面的方程，()()00002000111I D D Dt c Dt ϕρϕρρρ⎛⎫-∇∇=∇ ⎪⎝⎭u （0-1）由以上方程可知，在非均匀平均流的情况下，来流扰动不仅通过边界条件与声扰动相互作用，而且在传播过程中也会与声扰动耦合，并形成如（2-2）右边所示声源[68]。
在航空发动机叶轮机内部，最重要的边界条件就是管道效应，由于管道边界的限制，声波在其中只能以特定的形态出现，也就是我们常说的模态。
在均匀平均流中，考虑一个环形管道，硬壁条件，对小扰动有下面的对流波动方程[12]，2222222110i M p p x x r r r r ωυ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ （0-2）波动方程描述的特征值问题是可解的，环形管道中我们可以将它的一般解展开为傅里叶-贝塞尔形式的模态()()()1,,m m ik x ik x im m m m m p x r A e B e U r e μμθμμμμθ+-∞∞---=-∞==+∑∑ （0-3）这里径向模态和径向、轴向波数分别满足()22222210m m m m m m m m m U U U r r Mk k k μμμμμμμμααω±⎛⎫'''++-= ⎪⎝⎭=--= （0-4） 其中，径向特征模态()m U r μ以贝塞尔函数的形式出现，m 和μ分别表示周向和径向模态数。
满足上述波动方程的声波解在环形或圆形管道中会以图2-4所示的螺旋波形式出现和传播。
Tyler 和Sofrin 是最早研究叶轮机内部叶片非定常气动力旋转模态特征的学者，他们的研究结果已经成为当代航空燃气涡轮发动机气动声学设计的主要理论基础之一。
模态分析理论
e t
sin dt
就是脉冲响应函数。
很容易证明频响函数和脉冲响应函数是一对傅氏变换对：
H () Fh(t)
（1） 简谐激励
结构在简谐激励下的稳态响应也是同频率的简谐振动。但有相位差。
f (t) Fe j(t ) x(t) Xe j(t )
H（） X e j( )
F
工程中，应变常常是非常重要的，而且易于测量。应变片体积小、质量小、成分低，对试验结
结构动力修改
模态分析的目的是了解系统的动态特性。在已知结构动态特性参数后，我们应该寻求改进系统动态 特性的方法。 有两种情况： 1） 由于制造和设计原因，不得不对现有结构进行局部修改。
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机械模态分析理论基础
假设：系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统
线性：描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性;
定常：振动系统的动态特性（如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐 激励-响应的频率必定与激励一致。 稳定：系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。 振动系统分类：
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ˆ
2 fx
()
1
GMM G ff ()
1 1
GNN Gxx ( )
输入存在噪声，会使估计的频响函数偏小；
输出存在噪声，会使估计的频响函数偏大；
还可用下面一些估计方法：
Hˆ 3 ()
Hˆ 1 ( )
2
Hˆ 2 ()
Hˆ 4 () Hˆ1() Hˆ 2 ()
K s2M φs 0
右乘 φs ，得到：
φsT KT s2MT φr 0
固有模态函数
固有模态函数1固有模式函数固有模态函数（IMF）是指在固有振动中，物体中心坐标的幅值变化的函数。
它将一定的振动机构的物体状态变化的特征图形的定量化，用以描述物体系统在某一特定频率和振型运动时的动力学状态。
它可以用来衡量系统在振动期间的特性以及系统的变形情况，从而为求解动力学系统，分析结构物的振动行为，研究变形和消除振动提供基础数据。
固有模态函数有三个主要特征，即振型，频率和能量。
振型：物体由于振动载荷的作用而相应变形，变形的模式称为振型；频率：振动物体在一定时间内发生一次振动所需的时间，即振动的频率；能量：物体在变形过程中产生的能量，能量的大小可用比例递减的振幅或功率的幅值表示。
固有模态函数即可用来分析频谱，即求取物体振动的频谱，分析物体在多种频率下的反应情况。
即得到响应的最小的频率值，同时从而得到物体在各振型频率下的反应模式与振幅；又可用于求解物体系统的限制性在单一模态下的振动行为，以及分析平衡系统模态匹配问题；可用于分析物体振动时传递过程中传递的能量，以及物体自振动传递的能量；可用来研究物体振动及其衰减的过程，以及求解特定的问题等。
2固有模态函数的应用固有模态函数在工程中有着广泛的应用。
（1）在机械领域中：可以用于快速有效预测机械系统振动特性，检测结构设计中存在的问题，测试可靠性结构，分析物体在机械衰减中的衰减过程，以及研究实验数据与理论结果之间的差异等。
（2）在建筑和土木工程领域，可以预测建筑结构的振动行为，选取合理的结构支持，分析建筑结构的稳定性；有助于求解建筑断面及窗户等各种结构的应力，研究减缓地震变形和结构损坏的措施；有助于分析复杂地下工程的振动，研究水力机构的能量传输特性等。
（3）在振动控制方面：可以用来分析机械系统振动场景，以定位振动源，研究对某个特定振型有效控制能量，实现系统振动提升与降低，明确影响机械系统行为的各项因素，提高控制准确性等。
总之，固有模态函数能够比较完整地描述物体振动特性，可以重要反映物体运动的形态及其能量分布；因此它有着广泛的应用，在各个结构的设计及振动控制中发挥着重要的作用。
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第七章 固有模态理论§7.1 离散有限元模型的振动基本方程7.1.1 模型抽象化结构动力学的理论基础是弹性动力学。
主要的研究内容是结构系统的有限元建模理论和动力学分析方法，包括振动特性分析与动响应分析。
结构系统的建模过程可分为两个过程。
首先是从工程实际出发，对实际结构系统作力学抽象。
取出实际结构的力学内容，包括它的几何构形、运动与变形、载荷与内力，以及材料性能等，构造一个力学模型。
这个过程是个重要的定性过程。
然后是对构造力学模型进一步作数学的描述，根据力学原理给定各力学量之间的数量关系，建立起数学模型。
这是个定量过程。
建立有限元模型采用的是离散化概念。
在第四章至第六章介绍了动力学有限元的基本理论和有限元特性矩阵的生成方法。
在定性建模过程中，对构形进行离散化，将作为连续介质的结构系统进行网格划分，划分成有限元。
在变形与受力分析的基础上确定有限元类型，选取节点并进行编号，生成结构系统的节点位移向量{x }，确定结构系统的自由度数。
在定量建模过程中，首先对有限元的力学量场变量进行离散化，在力学分析或能量分析基础上确定有限元的特性，包括刚度特性、惯性特性，以及阻尼特性，生成有限元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵等特性矩阵。
最后进行装配集成生成结构系统的数学模型，通俗的说法是将有限元特性矩阵按其节点编号对号入座来形成结构系统的特性矩阵，再根据力学原理推导出结构系统有限元模型的动力学基本方程，生成在位移空间内的数学模型，其基本形式是}{}]{[}]{[}]{[f x K x C x M =++ (7.1) 其中[K ]是结构系统的刚度矩阵，[M ]是其质量矩阵，[C ]是其阻尼矩阵。
7.1.2 数学模型的分类对一个实际的工程结构，可以从不同角度进行数学描述，构造出不同形式的数学模型。
结构系统的动力学现象是在时、空域内发生，它的描述是在一定的空间域和时间域内给出。
选取不同的空间域和不同的时间域，将给出不同的数学模型。
不同的数学模型描述的是同一个结构系统，所以，一般地说它们之间是可以互相变换的。
结构系统的数学模型按所选取的位移空间来分类，可分为：（1）物理位移空间的数学模型结构动力学通常是采用位移向量作为基本自变量来描述结构系统特性的，称之为位移法。
结构系统动力学基本方程（7.1）式是定义在有限元模型的节点位移{x }所在位移空间内。
这个位移空间是由结构系统各个节点自由度上的实际位移基向量所张成的，它具有明确的物理意义，故又称之为物理位移空间（简称为位移空间）。
所以，结构系统的有限元模型是物理位移空间的数学模型，由一个二阶常微分方程组给出。
结构系统运动状态更完整的描述是状态向量。
对于（7.1）式给出的二阶常微分方程组这类数学模型，其状态向量是由位移向量{x }和速度向量组成，它们构成为一个状态空间。
这样的数学模型将是一阶常微分方程组，由它的初始状态向量和结构系统所受的作用可唯一地决定它的整个运动过}{x1程。
这是物理状态空间的数学模型。
（2）广义位移空间的数学模型结构系统的有限元模型往往是个很多自由度的系统，不便于进行结构动力学分析，需进一步进行降阶，降阶的基本原理之一是李茨法。
李茨法是选取某些位移向量}{i ϕ作为基向量，称之为李茨向量或李茨基，由它们张成为一个广义位移空间，称之为李茨空间，它是物理位移空间的一个子空间。
物理位移向量{x }可在这李茨空间内近似取为∑==n i i iq x 1}{}{ϕ其中q i 是对应于其向量}{i ϕ的广义坐标。
结构系统的位称向量用它的广义位移来描述，建立起的数学模型是广义位移空间的数学模型。
可以选取不同的广义位移空间，构成不同的数学模型。
这相应地也可生成广义状态空间。
（3）模态位移空间的数学模型结构系统的振动特性是用模态参数，包括频率和振型向量（规一化的）来给出的。
为突出其动力学特性，简化动力学分析，经常选用其振型向量作为基向量，在由它们张成的模态位移空间内进行分析。
这样建立的数学模型是模态位移空间的数学模型。
由于结构系统在模态空间中具有解耦性，它便于进行振动特性和动响应分析。
结构系统数学模型按时间域的分类：（1）时间域的数学模型结构系统的动力学过程是在时间域内进行的，各种运动量都经历一个时间历程，是时间t 的函数。
结构系统的动力学基本方程（7.1）是时间t 的函数，故它是时间域的数学模型。
在这个基础上，结构系统的响应特性可用其脉冲响应函数组出，由它生成一个时间域的响应空间数学模型。
（2）频率域的数学模型根据富里叶变换可从时间域转换到频率域，突出各种运动量的频率特性，使之成为频率的函数。
结构系统的响应特性则可用基频率响应函数给出，生成结构系统的频率域响应空间数学模型。
（3）拉氏域的数学模域更一般的变换是拉普位斯变换，它是从时间域转换到拉氏域，各个运动量是拉氏变量的函数。
结构系统的响应特性用传递函数矩阵来描述，生成拉氏域的数学模型。
结构系统的动力学行为发生在空间域和时间域内。
结构系统在时间域和空间域内一般地说都是连续系统，这就是弹性动力学所分析的，它建立的数学模型是一组偏微分方程组（刚度方程）或积分方程组（柔度方程）。
当在空间域内离散化后生成有限元模型，这是有限元法所讨论的内容，它建立的数学模型是一组常微分方程组。
这是我们重点研究的内容。
若进一步在时间内作积分变换（拉普拉斯变换或富里叶变换）或将时间域离散化，结构系统的数学模型是代数方程。
对于粘弹性材料，它的本构关系给出的是渐记忆系统，它的数学模型将是积分微分方程。
2§7.2 无阻尼结构系统的动力学基本方程7.2.1 无阻尼结构系统的有限元模型建立结构系统有限元模型的基本理论在第四章已作了介绍。
它将连续系统在其位移空间内离散化，这也可看作为是一种降阶简化处理。
通过选取形函数[N ]，将位移场变量{u }离散为节点位移列阵{x }的插值函数，即在形函数为基量所张成一个子空间（函数空间）内展开为(7.2) }]{[}{x N u =从而使连续系统偏微分方程形式的数学模型变换为时间域内的常微分方程。
无阻尼结构系统，从能量观点来看，其能量包含有应变能和动能。
它的应变能作用量是∫∫∫=t V T ti dVdt D e dt U 00}]{[}{21ε (7.3)由（7.2）式定义的位移函数{u }计算其应变，它等于}]{[}{x B =ε (7.4) 将（7.4）式代入（7.3）式，得离散化结构系统的刚度矩阵∫=V T dV B D B K ]][[][][ (7.5) 它的动能作用量是∫∫∫=t V T tdVdt x x Tdt 00}{}{21 ρ (7.6)将（7.2）式代入（76）式，得离散化结构系统的质量矩阵∫=V T dV N N M ][][][ρ (7.7) 若结构系统上作用有分布外力{p }，它提供的外力功作用量是 ∫∫=tV T e dVdt p u W 0}{}{ (7.8) 则离散化结构系统的节点当量载荷是 ∫=V T dV p N f }{][}{ (7.9)根据哈密尔登作用量变分原理推导出离散化结构系统的动力学基本方程}{}]{[}]{[f x K x M =+ (7.10)这就是无阻尼结构系统的动力学基本方程。
有限元法首先是在有限元级上进行分析，在有限元的节点位移列阵{x e }基础上选取形函数[N e ]。
它在离散化结构系统的节点位移列阵{x }上的增广形函数设为][e N ，则离散化结构系统的形函数是∑=e e NN ][][ (7.11)3将（7.11）式代入（7.5），（7.7）,（7.9）式给出结构系统特性矩阵的组装集成公式。
7.2.2 无阻尼结构系统自由振动基本方程及其解结构系统振动特性是系统在没有任何外界扰动和激励情况下，结构系统所固有的振动性质。
分析结构系统振动特性的基本方程是无阻尼结构系统自由振动基本方程，这时{p }=0，也即{f }=0，由方程（7.10）t 得到0}]{[}]{[=+x K xM (7.12)这是一组齐次常微分方程组，它的基本解是 )exp(}{)exp(}{}{t j t x ωϕλϕ==(7.13)代入方程（7.12）则得结构系统的特征方程 0}]){[][(2=+ϕλK M或}]{[}]{[2ϕωϕM K =(7.14)它构成为一个广义特征值问题 现对无阻尼结构系统的能量进行分析。
它的应变能作用量（7.3）式在一个振动周期ωπ20=T 内等于∫∫==0020}]{[}{2}]{[}{21T T T i K dt x K x dt U ωπϕϕωπ (7.15) 其中应变能量t K U T i ωϕϕ2cos }]{[}{21= (7.16) 它的动能作用量（7.6）式在一个振动周期内等于∫∫==0020}]{[}{2}]{[}{21T T T M dt x M x Tdt ωπϕϕπω (7.17) 其中动能是t M T T ωϕϕω22sin }]{[}{21= (7.18) 无阻尼结构系统是保守系统。
从（7.15）和（7.17）两式，得在一个振动周期内它的应变能作用量等于动能作用量，即∫=−000)(T i dt T U (7.19) 从（7.16）和（7.18）两式可以看出它的机械能（应变能与动能之和）是守恒的.const T U i =+ (7.20) 4即在振动过程的每一个瞬时它的机械能保持不变，能量没有损耗。
§7.3 无阻尼结构系统的固有振动特性7.3.1 无阻尼结构系统动力学基本方程的特征解无阻尼结构系统振动的特征方程是（7.14）式定义的广义特征值问题，即0}]{[][(2=+ϕλK M或}]{[}]{[2ϕωϕM K =对于n 个自由度的结构系统，它的刚度矩阵[K ]和质量矩阵[M ]都是n ×n 阶实对称矩阵。
由于它的应变能是非负定的，U i ≥0，除在刚体位移无变形时等于零外，变形状态皆为正，故刚度矩阵是非负定的。
由于它的动能是恒正的，T >0，故质量矩阵是正定的。
特征方程（7.14）式的特征解是特征值λi 和特征向量}{i ϕ，又称为特征对。
它们满足特征方程0}]{}]{[2=+i i i M K ϕλϕ(7.21)这是个齐次代数方程组，其解存在的条件是系数行列式等于零，即 0|][|][|2=K M λ(7.22) 这是个n 阶行列式，它的展开式是λ2的n 次代数方程式，由它解得n 个特征值，即。
由于刚度矩阵[K ]的实、对称、非负定性和质量矩阵[M ]的实、对称、正定性，它的特征根都是负实数，则可得n i i ,,2,1,2"=λ2i λi i j ωλ±= (7.23) 也就是说，特征值i λ是n 对共轭虚根。