2019-2020年高中数学必修4(A)任意角的三角函数及诱导公式

2019-2020年高中数学必修4(A)任意角的三角函数及诱导公式

一．课标要求： 1．任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数

（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。 二．命题走向

从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。

预测xx 年高考对本讲的考察是：

1．题型是1道选择题和解答题中小过程；

2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。 三．要点精讲

1．任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|≤α≤}=[，]。 3．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

角的弧度数的绝对值是：，其中，l 是圆心角所对的弧长，是半径。 角度制与弧度制的换算主要抓住。

弧度与角度互换公式：1rad ＝°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad ）。 弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：。 4．三角函数定义

在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则；；。

利用单位圆定义任意角的三角函数，

设是一个任意

角,它的终边与单位圆交于点,那么:

(1)叫做的正弦,记做,即；

（2）叫做的余弦,记做,即；

（3）叫做的正切,记做,即。

5．三角函数线

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各Array种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解

决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等

问题时，十分方便。

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个

圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一

定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边

与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，根据三角

函数的定义：；。

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方

向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：

当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且

有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有

同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，

规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负

向，且有正值；其中为点的横坐标。

这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。

如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切

函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有

我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为

三角函数线。

6．同角三角函数关系式

使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。

几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示

) Array

同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。

②．③当时，有。

7．诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：，，其中

诱导公式二： ； 诱导公式三： ； 诱导公式四：；

（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；

（3）sin(k π+α)=(－1)k sin α；cos(k π+α)=(－1)k cos α(k ∈Z)；

（4）sin cos cos 444x x x πππ??????+=-=- ? ? ???????；cos sin 44x x ππ????

+=- ? ?????

。

四．典例解析

题型1：象限角

例1．已知角；（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角；（2）集合

??????∈?+??==Z k k x x M ,451802|，?

??

???∈?+??==Z k k x x N ,451804|那么两集合的关系是什么？

解析：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：， 则令 ?≤??+?≤?-036045720k ， 得 解得 从而或 代回或

（2）因为{}Z k k x x M ∈??+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合{}Z k k x x N ∈??+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：。

点评：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；（2）可对整数的奇、偶数情况展开讨论。

例2．（xx 全国理，1）若sin θcos θ＞0，则θ在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限

解析：答案：B ；∵sin θcos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号。

当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限，当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限，因此，选B 。

例3．（xx 春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：B

解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°，∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B 。

例4．已知“是第三象限角，则是第几象限角?

解法一：因为是第三象限角，所以()Z k k k ∈+<<+ππαππ2

3

22，

∴()Z k k k ∈+<<+2

323332ππαππ，

∴当k=3m （m ∈Z ）时，为第一象限角；

当k= 3m ＋1（m ∈Z ）时，为第三象限角， 当k= 3m ＋2（m ∈Z ）时，为第四象限角， 故为第一、三、四象限角。

解法二：把各象限均分3等份，再从x 轴的正向的上方起依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域。

由图可知，是第一、三、四象限角。

点评：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n ∈N *)的终边所在的区域。 题型2：三角函数定义

例5．已知角的终边过点，求的四个三角函数值。 解析：因为过点，所以，。

当0sin

5y a r α>====

时， ，。

当0sin

y a r α<=

===时，cos 5x r α===-

；。 例6．已知角的终边上一点，且，求的值。

解析：由题设知，，所以， 得， 从而，

解得或。

当时，， cos 1,tan 0x y

r x

αα==-==；

当时，， cos 43x y r x αα====-；

当时，， cos tan x y r x αα===

题型3：诱导公式

例7．（xx 全国文，1）tan300°+的值是（ ） A ．1＋ B ．1－ C ．－1－ D ．－1＋

解析：答案：B tan300°＋＝tan(360°－60°)＋＝－tan60°＋＝1－。 例8．化简： （1）

sin(180)sin()tan(360)

tan(180)cos()cos(180)

αααααα-++--+++-+-；

（2）

sin()sin()

()sin()cos()

n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-。

解析：（1）原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααα

αααα--=

=-=-+-；

（2）①当时，原式sin(2)sin(2)2

sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα

++-=

=+-。

②当时，原式sin[(21)]sin[(21)]2

sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα

+++-+=

=-++-+。

点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成

奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。 题型4：同角三角函数的基本关系式

例92tan α=-，试确定使等式成立的角的集合。

解析：∵ ===。

又∵2tan α=-，

∴，

即得或

所以，角的集合为：或322,}22

k k k Z π

π

παπ+

<<+

∈。

例10．（1）证明：()α

α

ααααααcos 1sin sin 1cos cos sin 1sin cos 2+-

+=++-； （2）求证：。 解析：（1）分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证，只要证A ·D=B ·C,从而将分式化为整式

证法一：右边=()()

ααα

αααcos 1sin 1sin sin cos cos 22++--+

=

()()α

αααααααcos sin cos sin 1sin cos 1sin cos ++?+++-

()()()()()α

αααααααααααααααααcos sin 2cos 2sin 2cos sin 1sin cos 1sin cos 2cos sin cos sin 12sin cos 1sin cos 222+++++++-=

+++++-=

=

()()()

左边=++++-ααααααcos sin 1cos sin 1sin cos 2

证法二：要证等式，即为

()()()()()ααααααα

αααcos 1sin 1cos sin 1sin cos cos sin 1sin cos 2++++-=++-

只要证 2（）（）=

即证：22sin 2cos 2sin cos αααα+++

ααααcos sin 2cos 2sin 2++， 即1=，显然成立， 故原式得证。

点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。（2）同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系。

（2）证法一：由题义知，所以。

∴左边=

2

cos (1sin )cos (1sin )

(1sin )(1sin )cos x x x x x x x

++=-+右边。 ∴原式成立。

证法二：由题义知，所以。

又∵22(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==?， ∴。

证法三：由题义知，所以。

cos cos (1sin )(1sin )

(1sin )cos x x x x x x

?-+-=

-，

∴。

点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。 五．思维总结

若α终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

若α终边在第二象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

若α终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

若α终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

3．任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。

只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数。

4．运用同角三角函数关系式化简、证明

常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。

2019-2020年高中数学必修4(A)函数的图象

一、课题：函数的图象

二、教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；

2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质；

3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．

三、教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换．

四、教学过程：

（一）主要知识：

1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图； 2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； 3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． （二）主要方法： 1．平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到； （2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到． 2．对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到； （2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到； （3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到； （4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到． 3．翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；

（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到． 4．伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；

（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到．

（三）例题分析：

例1．函数与的图像如下图： 则函数的图像可能是（ ）

例2．说明由函数的图像经过怎样的图像变换得到函数的图像．

解：方法一：

（1

）将函数的图像向右平移3

个单位，得到函数的图像； （2）作出函数的图像关于轴对称的图像，得到函数的图像； （3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像． 方法二：

（1）作出函数的图像关于轴的对称图像，得到的图像； （2）把函数的图像向左平移3个单位，得到的图像； （3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像．

例3．如下图所示，向高为的水瓶同时以等速注水，注满为止；

（1）若水深与注水时间的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 C ； （2）若水量与水深的函数图像是下图中的，则水瓶的形状是 A ； （3）若水深与注水时间的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 D ； （4）若注水时间与水深的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 B ．

例4．设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线， （1）写出曲线的方程；

（2）证明曲线与关于点对称；

（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：． 解：（1）曲线的方程为；

（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点， 则有，∴代入曲线的方程，

得的方程：3222()()s y t x t x -=---

即3222()()y x t x t s =---+可知点在曲线上．

反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上． 因此，曲线与关于点对称．

（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点， ∴方程组有且仅有一组解，

消去，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根， ∴43912()0t t t t s ?=---=，即得， 因为，所以． 例5．（1）试作出函数的图像；

（2）对每一个实数，三个数中最大者记为，试判断是否是的函数？若是，作出其图像，

讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？ 解：（1）∵，∴为奇函数，从而可以作出时的图像， 又∵时，，

∴时，的最小值为2，图像最低点为， 又∵在上为减函数，在上是增函数， 同时即以为渐近线，

于是时，函数的图像应为下图①，图象为图②：

（2）是的函数,作出2123(),(),()1g x x g x x g x x ==-=-的图像可知，的图像是图③中实线部分．定义域为；值域为；单调增区间为；单调减区间为；当时，函数有最小值1；函数无最大值． （四）巩固练习：

1．已知函数的图像如右图所示，则（ A ）