曲线积分曲面积分公式
11.6_高斯公式
P Q R ( P cos Q cos R cos )dS ( )dV x y z
曲线积分和曲面积分
n {cos ,cos ,cos }
是 Σ 的外单位法向量
n
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2
( x y )d x d y
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D xy
( x y )d x d y
曲线积分和曲面积分
2 : z 0 x 2 y 2 1 , 取下侧 3 : z 3 x y 1 , 取上侧 , 组成
2 2
3z 1 2
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曲线积分和曲面积分
高斯公式 （ Gauss's Theorem ）
定理1 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ 围成，函数 P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在 上具有一阶连续偏导数，则有公式
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dV x y z
Dx y Dx y
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曲线积分和曲面积分
R R d x d y d x d y d z 所以 z P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x
补充顶面1 : x 2 y 2 h2 , z h, 取上侧,
定向曲面Σ Σ1构成所围锥体Ω的外侧,利用高斯公式
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曲线积分与曲面积分的计算
第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的： 教学重点和难点：§ 1第一类曲线积分的计算设函数_/a ，y,z)在滑腻曲线/上有槪念且持续，/的方程为z = z(t)则“(3比)& = J:/［兀⑴，M)，乙(01F ⑴+严⑴+乙'"/)〃 »特别地，若是曲线/为一条滑腻的平面曲线，它的方程为y = 0(x)，(a<x<b),那例：设/是半圆周 x = a cost, y = asint, OS/S/r 。
求 (x 2 + y 2 )ds »例：设/是曲线b =4x±从点0(0,0)到点A(l,2)的一段，计算第一类曲线积分［yds . 例：计算积分［xv/5 ,英中/是球面，+),2+?2=“2被平而x+y + z = 0截得的圆周。
例：求/=J(x + y)c/s,此处/为连接三点O (0,0), A(l,0), B(l,l)的直线段。
§ 2第一类曲面积分的计算一曲面的面积(1) 设有一曲而块S,它的方程为z = /(x,y)。
/(x,y)具有对x 和y 的持续偏导数，即此曲而是滑腻的，且其在XY 平而上的投影为可求面积的。
则该曲而块的面积为 S 叮阿 + 代 dxdy。
x = x(u,v)（2）若曲而的方程为< y = y(“，“)，令E = X； + K + Z：，F = xx v + y u y v + gj ,uZ = Z(u.v)G = Xy + y； + Zy 9则该曲面块的面积为S = JJ J EG - F，di小。
V例：求球而X2 + y2 + Z2= a2含在柱而X2 + y2 = or （a > 0）内部的而积。
例：求球而x2 + F +分=a2含在柱而” +〉,2 =心（° > o）内部的而积。
二化第一类曲面积分为二重积分（1）设函数0（兀,”2）为概念在曲而S上的持续函数。
第二类曲面积分计算公式的推导
第二类曲面积分的计算公式是基于第一类曲面积分推导出来的第二类曲面积分的计算公式是基于第一类曲面积分推导出来的。
第一类曲面积分计算公式为：∮(Pdx+Qdy+Rdz) = ∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS其中，α，β，γ分别为与x，y，z轴正向的夹角。
当曲面为z = f(x, y)时，第二类曲面积分计算公式为：∬(Pdx+Qdy) = ∬(Pcosα+Qcosβ)dS其中，α，β分别为与x，y轴正向的夹角。
根据上述公式，我们可以推导出第二类曲面积分计算公式。
首先，我们考虑一个曲面z = f(x, y)在xOy平面上的投影。
投影是一个平面图形，其面积为：A = ∫∫dS其中，dS为面积微元。
根据投影的面积公式和第一类曲面积分计算公式，我们有：∮(Pdx+Qdy) = ∬(Pcosα+Qcosβ)dS= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(f_x)^2+(f_y)^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+f_x^2+f_y^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]dxdy = ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^2dxdy= ∫∫[P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^2dxdy= ∫∫[P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3dxdy= ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]dl其中，dl为曲线弧长微元。
根据第二类曲线积分的计算公式和上述推导结果，我们有：∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]dl = ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)dl= ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)]dl= ∮[(P^2-2PQsinα+Q^2sin^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)]dl= ∮[(P-Qsinα)^(-1)]dl= ∮[(P-Qsinα)]dl其中，P和Q分别为曲面上的点在x和y轴上的投影坐标。
曲线积分与曲面积分复习
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
一定，二代，三换元，定，代，换关键在 方程。小下限,大上限.
L:
L:
步骤：
1.写出L的参数方程，确定参数的范围 2.化为定积分
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
应用：
例6 计算 L (3x y)dy ( x y)dx, 其中L为
( x 1) 2 ( y 4) 2 9 的负向.
例7 计算
2 2 xdy , 其中 L 为 x y 1上由点 L
A(1,0) 到点 B(0,1) 的一段弧.
例8 计算 原点的分段光滑正向闭曲线. y L
利用路径无关计算曲线积分
2 2 xy d x x dy，其中L是xoy平面内的任 例9 计算 L
意有向闭曲线. 特点：路径无关，闭曲线,积分为零.
x e 例10 计算 L cos ydx sin ydy，其中L是从点(0, 0)
到点 ( , ) 的任意有向曲线. 2 2
特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.
i
n 1
L
L
对坐标的曲线积分
M i 1 M2 M 1
L
Pdx Qdy
A
o
x
对坐标的曲线积分
L
Pdx Qdy
特点(1)积分曲线是有向曲线弧. (2)被积函数的定义域是曲线弧.
P( x, y ), Q( x, y ),( x, y) L
(3)微元 dx,dy 是有向弧微分ds 在坐标轴上的投影 与一类曲线积分的 本质区别
曲线积分和曲面积分
第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。
由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。
§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。
我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。
为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。
在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。
最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。
每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。
在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。
第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。
高数第十一章曲线积分与曲面积分 (2)
A(1, 1)
4 2 y dy . 1 5
1 4
13
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例2 计算
L
y dx, 其中L为
2
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; ( 2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
n
7
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第十一章
曲线积分与曲面积分
5.性质 (1)设 、 为常数，则 [P1 P2 ]dx P1dx P2 dx，
L L L
L [Q1 Q2 ]dy L Q1dy L Q2dy .
( 2) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连
2 2 续导数, 且 ( t ) ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
9
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第十一章
曲线积分与曲面积分
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L L
( t ) ( t ) ,cos , 其中cos 2 2 2 2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t )
L : A B,
L
A
M2 M1
yi M i 1xi
M i M n 1
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j .
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
数学分析第二十一章课件曲线积分与曲面积分
k f(x ,y ,z )d s k f(x ,y ,z )d s
» A B
» A B
(4) f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s
» A B
» A C
C » B
2020/6/1
例1
设L 是椭圆
x2 a2
y b
2
在2 第1 一象限部分，
f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z x ,y )1 z x 2 x ,y z 2 y x ,y d x d y
S
D x y
2020/6/1
当 S : x x ( u , v ) ,y y ( u , v ) , z z ( u , v ) , ( u , v ) D 时
第二十一章 曲线积分与曲面积分
2020/6/1
i §1. 第一型曲线积分与曲面积分
背景：前面，求几何体的质量 1.第一型曲线曲、面积分
我们的问题是,设有空间的曲线段L，其上每点有线性密度, 如何
求其质量为简单起见,设空间曲线段L是可以求长的,其端点为A,B又设
密度函数f (x, y, z) 在曲线L上连续,我们来求这曲线段L的质量.
说明 1）公式的记忆：“代进去”
2）S的方程为xxy,z,y,zDyz或 y yz,x, z,xDzx 时公式如何
3）当 f(x,y,z)1时，为曲面S的面积公式
4)当光滑曲面S由参数方程：x x u ,v ,y y (u ,v ),z (u ,v ),u,vD
时面积元素 ds EGF2dudv 这时
f( x ,y ,z ) d s f( x ( u ,v ) ,y u ,v ,z u ,v )E G F 2 d u d v
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曲线积分曲面积分公式
曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。
一、曲线积分
1. 概念
曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。
一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。
2. 计算方法
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。
第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：
∫f(x,y,z) ds
其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。
第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为：
∫F·dr 或∫F ds
其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。
3. 应用
曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。
它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。
在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。
二、曲面积分
1. 概念
曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。
一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。
2. 计算方法
曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。
第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：
∬f(x,y,z) dS
其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。
第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：
∬F·dS 或∬F dS
其中，F是曲面上的矢量场，dS是面积元。
3. 应用
曲面积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场通过曲面的电通量、磁场通过闭合曲面的磁通量等。
它还可以用来计算物体的总质量、质心等物理量。
在工程学中，曲面积分可以用来计算流体通过曲面的流量、曲面上的力等。
总结：
曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的计算方法，它们可以用来计算曲线上或曲面上的物理量或数学量。
通过学习和掌握曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，我们可以更深入地理解和应用微积分学的知识，解决实际问题。