人教版高中数学必修1学案：函数模型及其应用(2)
函数模型的应用实例(Ⅱ) 必修一教案34
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1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率（精确到 0.0001） ，用马尔萨斯 人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长 模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； 2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的 人口将达到 13 亿？ 探索以下问题： 1）本例中所涉及的数量有哪些？ 2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确 定的，确定这种模型需要几个因素？ 3）根据表中数据如何确定函数模型？ 4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检 验结果对函数模型又应做出如何评价？ 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间 的人口数，用的是何种计算方法？ 本例的题型是利用给定的指数函数模型 y y0ert 解 决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函 数模型的关键是确定两个参数 y0 与 t . 完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以
人教版高中数学必修 1 教案
授课时间： 备课时间: 年 年 月 月 日 日
课题：函数模型的应用实例（Ⅱ） 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，
教学目标
进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的 函数模型进行简单的分析评价. 利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单
教学重点
教学难点
的分析评价. 学法与教学用具 1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论. 2. 教学用具：多媒体 四、 教学设想 （一）创设情景，揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是
教学过程
确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系 来建立. 对于已给定数学模型的问题，我们要对所确 定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提 供的数据的吻合程度. （二）实例尝试，探求新知 例 1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间 的关系如图所示.
人教A版高中数学必修一函数模型及其应用教案新(2)
3.2.1几类不同增长的函数模型（2）教学目的：使学生进一步了解三种函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数的增长情况，通过函数图象对比它们的增长速度。
教学重难点：观察指数函数、对数函数、幂函数模型的图象，对比它们的增长速度，了解它们的增长情况。
教学过程一、复习提问指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？，哪个函数的增长速度最快？二、新课探究函数y＝x2，y＝2x，y＝xlog的增长速度。
2教学中，用电子表格Excel列出下列表格，并画出函数图象：在区间（2,4），有x 2log ＜x 2＜2x在区间（0,2）和（4，＋∞）有x 2log ＜2x ＜x 2可以在更大范围内观察函数y ＝x 2，y ＝2x 的图象的增长情况。
一般地，对于指数函数y ＝x a （a ＞1）和幂函数y ＝n x （n ＞0），通过探索可以发 现，在区间（0，＋∞）上，无论n 比a 大多少，尽管x 在一定范围内，x a 会小于n x 但由于x a 的增长速度快于n x ，因此总存在一个0x ，当x ＞0x 时，就会有x a ＞n x 。
同样地，对于对数函数y ＝x a log （a ＞1）和幂函数y ＝n x （n ＞0），在区间 （0，＋∞）上，随着x 的增大，x a log 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平 行一样。
尽管x 在一定范围内，x a log 可能会大于n x ，但由于x a log 的增长慢于n x ， 因此总存在一个0x ，当x ＞0x 时，就会有x a log ＜n x 。
综上所述，在区间（0，＋∞）上，尽管函数y ＝x a （a ＞1）、y ＝x a log （a ＞1） 和y ＝n x （n ＞0）都是增函数。
但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上 随着x 的增大，y ＝x a （a ＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝n x （n ＞ 0）的增长速度，而y ＝x a log （a ＞1）的增长速度越来越慢。
人教版数学必修一 教学案：3.2函数模型及其应用
函数模型及其应用【教学目标】①借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
②恰当运用函数的三种表示方法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题。
【重点难点】重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同。
难点：应用函数模型解决一些实际问题。
【教学过程】一、情景设置①一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度。
你的直觉与结果一致吗？②在同一坐标系中作出y=log2x,y=2x,y= x2的图象。
③请在图象上分别标出使不等式log2x<2x< x2和log2x< x2<2x成立的自变量的取值范围。
④由以上问题你能得出怎样结论？⑤你能得出更一般的结论吗？二、教学精讲例1．见课本104页练习第1题。
例2．见课本97页例2。
三、探索研究四、课堂练习（1）某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30cm2;③野生水葫芦从4cm2蔓延到12cm2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；⑤野生水葫芦在第1期到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度。
解：①说法正确。
∵关系为指数函数∴可设y=a x(a>0,a≠1).∴a1=2∴a=2②说法正确∵25=32>30③∵4=2x,x=2; 12=2x,x=log212≈3.6 3.6 2>1.5∴说法不正确④∵t1=1,t2=log23,t3=log26∴说法正确⑤∵指数函数增加速度越来越快∴说法不正确(2)某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其它20台计算机．现有10台计算机被第一轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？。
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用第2课时教学设计
4.5.3 函数模型的应用（第2课时）教材分析：函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．本节课是函数模型的应用的第2课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数后的综合应用．结合对投资回报和选择奖励模型两个问题的分析，通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律．本节课的学习，既是前面学习过的函数有关知识的综合应用，也可以让学生体会建立数学模型解决实际问题的一般过程，在此过程中，激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养．根据上述分析，确定本节教学的教学重点：选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程．学情分析：首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图象和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题．但是面对较复杂的实际问题，如何将其转化为数学问题，特别是如何选择函数模型来刻画实际问题，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力，以及对不同函数模型增长差异的深刻认识．教学可以多从两个方面帮助学生克服困难，一是根据实际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题的变化规律，从而选择合适的函数模型．其次，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯．在教学中，可以鼓励学生使用信息技术进行复杂的运算求解，作图画表，多元联系地表示数学对象并分析问题，从而逐步形成利用信息技术研究实际问题的意识．教学目标：能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图象及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确选择合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养．教学重点：根据条件确定已知函数模型的参数并利用函数模型解决实际问题.教学难点：选择合适的函数类型建立实际问题的数学模型．教学过程：（一）例题教学例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？问题1：请初步选择一种你认为合适的投资方案．追问：（1）你能根据例题提供的三种投资方案的描述，分析出其中的常量、变量及其相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模型吗？（2）三个方案的本质是三个不同的函数模型，如何选择一个标准来比较它们的差异，从而选择合适的函数模型？（3）根据例1中的表格提供的数据，你对三种投资方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？（4）你能借助计算工具作出函数图象，并根据图象描述一下三种方案的特点吗？师生活动：教师可提出进一步的问题，指导学生分析其中的数量关系，引导学生正确写出三种投资方案所对应的每天回报金额关于天数的函数关系式．再利用表格和图象比较分析三种函数模型的增长情况，作出需要分投资天数进行选择的初步判断．设计意图：例题教学除了关注例题本身承载的教学目的外，还要注意不同层次的学生在学习上的差异，本例设问意在分层次、有针对性地给出不同的台阶，做到“总体引导，分层指导”，结合学生的实际情况，利用追问逐步深入．追问（1）意在指导学生将实际问题转化为数学问题；追问（2）意在引导学生根据不同函数的增长差异选择合适的函数模型；追问（3）意在引导学生利用数表对三种模型的增长情况进行分析，借助增加量初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，尤其是引导学生通过观察增加量体会指数函数的增长速度；追问（4）意在借助计算结果与图象直观理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的实际含义，并通过描述三种方案的特点，为下一个问题埋下伏笔．问题2：仅仅分析每天的回报数就能准确作出选择吗？请结合教科书152页边空的问题进一步思考：关于三种投资方案的选择，你应当如何判断？追问：教科书152页边空的问题中，是根据投资天数作出不同方案的选择，划分天数的标准是什么？这种划分正确吗？师生活动：教师可根据学生的思考，指出计算每月回报的增加量（或增长率）是对数据的基本处理方法，本例提供的表格和图象都可以直观看出三种函数模型的增长差异，但要具体到投资的天数，回报的增加量还不足以作为选择投资方案的依据，然后利用下述追问引导学生选择累计的回报数进行判断，作出正确的回答．最后，在问题2的基础上，给出本题的完整解答．设计意图：教师进一步引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．最后借助计算工具，得出总收益并作出正确判断．例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．三个奖励模型：y=0.25x，，其中哪个模型能符合公司的要求？问题3：根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公司的要求？追问：（1）公司提出的要求与函数的什么性质有关？这对选择函数模型有什么帮助？（2）函数图象能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断函数模型是否符合公司的要求．为此，你能否作出函数图象，并通过观察作出初步的判断吗？师生活动：教师可以在学生思考问题1的基础上，提出追问中的问题，进一步指导学生结合题目条件，分析例题中隐藏的数量关系，引导学生根据函数的图象与性质确定符合公司要求的函数模型．设计意图：这里依然关注教学的生成，继续在总体指导下有针对性地给出不同台阶的分层问题．追问（1）意在引导学生关注实际问题的变化规律，并建立与函数性质的联系，为选择合适模型做好准备；追问（2）意在引导学生作出函数图象，并结合函数性质作出初步判断，从而实现将实际问题向函数模型转化．问题4：你能说明选择模型的理由，并给出本题的解答吗？追问：（1）你是如何判定所选择的奖励模型是否符合要求？（2）能否给出本题的解答过程？师生活动：教师在学生尝试给出解答的基础上，通过追问中的问题作进一步的指导，帮助学生从画函数图象入手，通过观察函数的图象，得出初步的判断，再通过具体计算求解得出正确结果．设计意图：教师进一步引导学生分析实际问题，并根据函数性质选择合适的函数模型，给出正确解答．追问（1）意在引导学生指出判断依据；追问（2）意在指导学生确认解题基本思路，从而学习运用函数观点分析问题．（二）课堂练习问题：完成教科书第154页练习1，2．师生活动：教师结合两道例题的教学情况让学生进行练习，并根据学生的解答情况，给出应有的指导，或提供正确的解答．设计意图：促进学生进一步应用函数解决实际问题，并从中评价学生达成教学目标的情况．（三）小结问题5：通过解答以上两道例题的实际问题，并结合教科书中的例3和例4，你能归纳出用建立函数模型解决实际问题的基本过程吗？设计意图：总结用建立函数模型解决实际问题的基本过程，提升解决实际问题的能力．（四）布置作业必做题：教科书习题4.5第11，12题；选做题：教科书习题4.5第14题．六、目标检测设计1．为了能在规定时间内完成预期的运输量，某运输公司提出了五种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图所示．运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的图象编号是______________．设计意图：考查在具体背景下，根据不同函数模型的增长特点选择合适的函数图象刻画实际问题．2．某工厂今年前三个月生产某种产品的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．现有三种函数模型用于描述产量y（单位：万件）关于月份x的关系：y=ax+b，y=ax2+bx+c，．若4月份的产量为1.37万件，请问哪个函数更符合实际？设计意图：考查根据题目条件，选择和求解函数模型刻画实际问题的变化规律．3*．设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，两火箭的最大速度之差与这两火箭质量的自然对数之差成正比．已知某火箭的箭体质量为m kg，当燃料质量为m kg 时，该火箭的最大速度为2ln2 km/s，当燃料质量为m(e－1) kg时，该火箭的最大速度为2 km/s．（1）写出该火箭最大速度y与燃料质量x的函数关系式；（2）当燃料质量为多少时，火箭的最大速度可达12km/s？设计意图：考查建立函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题．。
高中数学人教A版必修一教案：3.2.4函数模型的应用实例(二)
–40x2+520x–
200，0＜x＜13
易知，当 x=6.5 时，y 有最大
值.
所以，只需将销售单价定为
11.5 元，就可获得最大的利
润.
师：帮助课本剖析解答过程，
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r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈ 0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0 223，r7≈0.0276， r8≈0.0222，r9≈0.0184. 于是，1951~1959 年期间， 我国人口的年均增长率为
r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221. 令 y0=55196，则我国在 1950~1959 年期间的人口增 长模型为 y=55196e0.0221t，t∈N. 根据表中的数据作出散点图 并作出函数 y=55196e0.0221t (t∈N)的图象
价是 5 元.销售单价与日均销售量的关系 实际问题的求解思路“审、
如表所示：
建、解、检”
销售单价/元 6 7 8 9
生：尝试解答例 1
日均销售量/桶 480 440 400 360
解：根据表，销售单价每增
销售单价/元 10 11 12 日均销售量/桶 320 280 240
请据以上数据作出分析，这个经营部怎 样定价才能获得最大利润？
回顾反思上节课的学习成果
4．指数型函数模型的应用
师：形如 y=bacx 函数为指数
例 1 人口问题是当今世界各国普遍关注 型函数，生产生活中以此函
[精品]新人教版必修1高中数学3.2.2 函数模型的应用实例(2)导学案
![[精品]新人教版必修1高中数学3.2.2 函数模型的应用实例(2)导学案](https://img.taocdn.com/s3/m/96398d4127d3240c8447ef74.png)
322 《函数模型的应用实例》（2）导案【习目标】1．通过一些实例，感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2．初步了解对统计数据表的分析与处理．【重点难点】重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题难点：将实际问题转化为数模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价【知识链接】（预习教材P104~ P106，找出疑惑之处）阅读：2003年5月8日，西安交通大医院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件．这一数模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人．这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力模型和优化控制模型，并对非典未的流行趋势做了分析预测．【习过程】※典型例题例1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表所示：请根据以上数据作出分析这个经营部怎样定价才能获得最大利润?变式：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？[][]小结：找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型。
4.5 函数的应用(二) 教学设计-2020年秋高中数学人教版(2019)必修一
单元教学设计：4.5 函数的应用（二）一、内容和内容解析1.内容函数的零点与方程的解；用二分法求方程的近似解；函数模型在实际问题中的应用．2.内容解析“函数的应用（二）”是在第三章“函数的应用（一）”的基础上，从两个方面介绍函数的应用．一是数学学科内部的应用，利用所学过的函数研究一般方程的解；二是实际应用，建立实际问题的函数模型，并通过函数模型反映实际问题的变化规律，从而分析和解决实际问题．通过“函数的应用（二）”，使学生进一步理解指数函数和对数函数，学会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．基于以上分析，确定本单元教学的重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用，用二分法求方程近似解的思路与步骤，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程．二、目标和目标解析1.目标(1)结合二次函数的图象，了解函数零点存在定理．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路与步骤．(3)进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．2.目标解析达成上述目标的标志是：(1)结合二次函数的图象，进一步了解函数的零点与方程解的关系，并能用函数取值规律来刻画图象穿过x轴的图象特点．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性并了解二分法中的算法思想．(3)结合现实情境中的具体问题，能利用已知函数模型解决实际问题．通过比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义，会选择合适的函数模型解决实际问题．三、教学问题诊断分析在零点存在定理的教学中，学生从具体的函数图象概括出一般化的特征，并用取值规律这一代数形式来表达，这种从形到数的转化是学生思维的障碍．在二分法教学中，从具体的函数出发利用二分法求方程的近似解较为容易，但把二分法的步骤抽象成一般化的算法并用符号来表示是一个难点．在函数模型的应用教学中，利用已知函数模型解决实际问题容易操作，但选择合适的函数模型解决实际问题，需要对不同函数模型的增长规律有一定的了解，并且需要符合实际问题中的条件限制．结合以上分析确定本节课的教学难点：函数零点存在定理的导出，用二分法求方程近似解的算法，选择恰当的函数模型分析和解决实际问题．四、教学过程设计4.5.1 函数的零点与方程的解(一) 引言思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln 260x x +-=这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？(二) 函数的零点与方程的解的关系对于一般函数=y f x ()，我们把使=0f x ()的实数x 叫做函数=y f x ()的零点． 这样，函数=y f x ()的零点就是方程=0f x ()的实数解，也就是函数=y f x ()的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程=0f x ()有实数解 ⇔函数=y f x ()有零点⇔函数=y f x ()的图象与x 轴有公共点．由此可知，求方程=0f x ()的实数解，就是确定函数=y f x ()的零点．对于不能用公式求解的方程=0f x ()，我们可以把它与相应的函数=y f x ()联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解．(三) 零点存在定理的导出探究：对于二次函数2=23f x x x --()，观察它的-2 -1 O 1 2 3 4 xy 2 1 -1 -2-2 -1O 1 2 3 4 x y2 1-3 -4 -1 -2图象，发现它在区间24[，]上有零点．这时，函数图象与x 轴有什么关系？在区间20-[，]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数f x ()的取值规律来刻画这种关系？可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x 轴．函数在端点=2x 和=4x 的取值异号，即240f f ()()＜，函数2=23f x x x --()在区间24(，)内有零点=3x ，它是方程223=0x x --的一个根．同样地，200f f -()()＜，函数2=23f x x x --()在20-(，)内有零点=1x -，它是方程223=0x x --的另一个根．一般地，我们有：函数零点存在定理：如果函数=y f x ()在区间a b [，]上的图象是一条连续不断的曲线，且有0f a f b ()()＜，那么，函数=y f x ()在区间a b (，)内至少有一个零点，即存在c a b ∈(，)，使得=0f c ()，这个c 也就是方程=0f x ()的解．问题1：条件“连续不断”可以去掉吗？师生活动：学生画出反例，教师强调，图象间断了，虽然函数值异号，仍然没有零点．所以我们要求函数图象连续不断．追问：反之成立吗？即如果函数=y f x ()在区间a b (，)内存在零点，是否有0f a f b ()()＜？师生活动：学生举例说明，教师强调，“连续不断”和“0f a f b ()()＜”是“函数存在零点的”充分条件，而非必要条件． 设计意图：让学生理解零点存在定理的功能是给出一个判定零点存在的充分条件．(四) 零点存在定理的应用例1 求方程ln 260x x +-=的实数解的个数．分析：可以先列出函数=ln 26y x x +-的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．解：设函数=ln 26f x x x +-()，列出函数=y f x ()的对应值表．根据已有对数知识容易发现2=ln 220f -()＜，3=ln 30f ()＞，则230f f ()()＜． 由函数零点存在定理可知，函数=ln 26f x x x +-()在区间23(，)内至少有一个零点． 再利用画图软件画出函数=ln 26f x x x +-()的图象，我们看到f x ()是定义域上的单调递增函数，f x ()在区间23(，)内只有一个零点．问题2：为什么由230f f ()()＜还不能说明函数f x ()？ 师生活动：学生举例说明已知0f a fb ()()＜，函数在区间a b (，)内可能存在多个零点．追问1：在原有条件的基础上添加什么条件能够保证f x ()只有一个零点？师生活动：如果函数具有单调性，就能保证只有一个零点． 由此我们得出函数零点存在定理的推论：若=y f x ()在区间a b [，]上是单调函数，其图象是一条连续不断的曲线，且有O 5 10 x y14 12 10 8 6 4 2-2 -4 -60f a f b ()()＜，则函数=y f x ()在区间a b (，)内有且仅有一个零点，即存在唯一的c a b ∈(，)，使得=0f c ()．事实上，=ln y x 与=26y x -在0x ∈+∞(，)上都是增函数，所以=ln 26f x x x +-()，0x ∈+∞(，)是增函数．所以它只有一个零点，即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解．追问2：你能用定义法证明函数=y f x ()是增函数吗？ 师生活动：120x x ∀∈+∞，(，)，且12x x ＜，有121122=ln 26ln 26f x f x x x x x -+-+-()()()-()1122=ln2x x x x +-()．因为120x x ＜＜，所以1201x x ＜＜，所以12ln0x x ＜，又因为120x x -＜，于是1122ln20x x x x +-()＜，即12f x f x ()＜()． 所以，函数=ln 26f x x x +-()在区间0+∞(，)上单调递增．设计意图：让学生认识到零点存在定理可以证明函数有零点，但不能断定函数无零点或零点个数，如果要判断零点的个数，还要与结论“函数在单调区间上最多有一个零点”相结合．4.5.2 用二分法求方程的近似解(一) 二分法的引入我们已经知道，函数=ln 26f x x x +-()在区间23(，)内存在一个零点．进一步的问题是，如何在满足一定精确度的前提下求出这个零点呢？(二) 二分法的形成这个问题中设定的精确度为01.，可以理解为近似值与精确值之间的误差不超过01.． 一个直观的想法是：如果能将零点所在的区间尽量缩小，直到区间长度小于等于01.，那么区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．取区间23(，)的中点25.，用计算工具算得250084f ≈-(.).．因为2530f f (.)()＜，所以零点在区间253(.，)内，区间长度为0.5．再取区间253(.，)的中点275.，用计算工具算得2750512f ≈(.).．因为252750f f (.)(.)＜，所以零点在区间25275(.，.)内，区间长度为0.25．由于23(，) 253(.，) 25275(.，.)，所以零点所在的范围变小了． 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小．零点所在区间 区间长度 中点的值 中点的函数值23(，) 125. 0084-. 253(.，) 05. 275. 0512. 25275(.，.) 025. 2625. 0215. 252625(.，.) 0125.25625 .0066.2525625 (.，.)00625 .……这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间．因为区间2525625 (.，.)的长度为00625.，所以区间2525625 (.，.)内任意一点都可以作为零点的近似值，为了方便，我们把区间的一个端点=25x .作为函数=ln 26f x x x +-()零点的近似值，也即方程ln 260x x +-=的近似解．2.5 2.75 2.625 O 2 3 x y0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 --0.1- -0.2- -0.3- -0.4- -0.5-这样求方程近似解的方法称为二分法，我们来看二分法的定义：对于在区间a b [，]上图象连续不断且0f a f b ()()＜的函数=y f x ()，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(三) 二分法的步骤我们依据解决上述问题的过程来概括一下：给定精确度ε，用二分法求函数=y f x ()零点0x 的近似值的一般步骤： 1.确定零点0x 的初始区间a b [，]，验证0f a f b ()()＜． 2.求区间a b (，)的中点c ．3.计算f c ()，并进一步确定零点所在的区间：（1）若=0f c ()（此时0=x c ），则c 就是函数的零点； （2）若0f a f c ()()＜（此时0x a c ∈(，)），则令=b c ； （3）若0f c f b ()()＜（此时0x c b ∈(，)），则令=a c ． 4.判断是否达到精确度ε：若|a b ε-|＜，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤2～4．(四) 二分法的应用例2 借助信息技术，用二分法求方程237xx +=的近似解（精确度为0.1）解：原方程即237=0xx -+，令=237xf x x -+()，用信息技术画出函数=y f x ()的图象，结合计算容易发现120f f ()()＜，说明该函数在区间12(，)内存在零点0x ．-5 O 5 10 xy16141210 8 64 2-2 -4 -6取区间12(，)的中点1=15x .，用信息技术算得15033f ≈(.).．因为1150f f ()(.)＜，所以0115x ∈(，.)．再取区间115(，.)的中点2=125x .，用信息技术算得125087f ≈-(.).．因为125150f f (.)(.)＜，所以012515x ∈(.，.)．同理可得，0137515x ∈(.，.)，0137514375 x ∈(.，.)． 由于137514375|=0062501 -|...＜.， 所以，原方程的近似解可取为1375.．问题3：如果精确度改为0.01？0.001？0.000 1？怎样做才不会给我们带来过大的运算负担呢？师生活动：我们从二分法中提炼出了算法思想，借助于Excel 表格当中的函数功能呈现出来，具体来看：我们利用Excel 表格中的七列依次呈现区间端点a ，b ，区间中点c ，函数值f a ()，f c ()，f b ()和区间长度b a -，首先，我们输入初始区间12(，)，然后，我们对单元格D3到H3依次应用公式完成输入，公式在编辑栏可见．对于单元格B4，我们利用Excel 的内置函数If 语句，它实现的功能是，如果0f a f c ()()＜，则区间的左端点就是a ，否则是c ，同样，对于单元格C4，如果0f a f c ()()＜，则区间的右端点就是c ，否则是b ．接下来，我们选中单元格D3到H3，将鼠标移到单元格的右下角，鼠标指针变成十字形状，按住鼠标向下拖动一行，即可实现对单元格D4到H4的自动填充，更进一步的，我们选中单元格B4到H4，重复相同的操作，可以实现对以下若干行的自动填充．我们可以根据题目精确度的要求，选择拖动到哪一行结束．这个问题的解决让我们体会到，对于人工运算很耗时耗力的问题，如果借助于计算机，可以瞬间完成，既省时省力，又准确无误，可见，工具的选择和使用至关重要．设计意图：让学生体会信息技术在处理计算量较大而且有重复步骤的问题时的重要价值．4.5.3 函数模型的应用引言：以上，我们学习了函数在数学内部的应用，接下来我们学习函数模型的实际应用． (一) 已知函数模型例3 阅读下面资料并回答问题．良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，于是推测古城存在时期为公元前3300年～前2500年．你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？在前面的学习中，我们得到了一个预备知识，注释：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y 会随死亡年数x 在初始量k 的基础上按确定的比率p 衰减（p 称为衰减率），并满足函数关系=1xy k p k -∈R ()(，010 k p x ≠且0；＜＜；≥)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．分析：首先，我们需要求出函数关系中的参数p ，明确函数解析式．然后，把0.552k 作为函数值代入解析式，求出死亡年数．解：根据已知条件，573011=2k p k -()，从而51=p -，所以生物体内碳14含量y 与死亡年数x 之间的函数解析式是5=xy k (．由样本中碳14的残留量约为初始量的55.2%可知，5=552xk (.%k ，即 5=0552x(.．解得5=log552x .．由计算工具得 4 912x ≈．因为2010年之前的4 912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的．设计意图：培养学生阅读理解的能力，培养学生从数学的角度分析和解决问题的能力． (二) 选择恰当的函数模型在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决．例4 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？问题1：你能根据对三种投资回报的描述，建立三种投资方案所对应的函数模型吗？师生活动： 设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数*=40y x ∈N ()进行描述；方案二可以用函数*=10y x x ∈N ()进行描述；方案三可以用函数1*=042x y x -⨯∈N .()进行描述．设计意图：培养学生把实际问题数学化的意识和能力．问题2：要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．怎样借助已有函数模型，分析解决当前的问题？师生活动：首先我们可以画出三个函数的图象．通过图象我们直观地看到，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是增长情况并不精确，不能体现投资收益与投资期限之间的关系．接下来，我们计算三种方案每天的回报数以及回报数的增长情况．x方案一方案二方案三y增加量/元y 增加量/元y增加量/元1 40 10 10 04.2 40 0 20 10 08. 04.3 40 0 30 10 16. 08.4 40 0 40 10 32. 16.5 40 0 50 10 64. 32.6 40 0 60 10 128.64.7 40 0 70 10 256. 128. 8 40 0 80 10 512. 256. 9 40 0 90 10 1024. 512. 10 40 0 100 10 2048.1024.… … … … … ……3040300102147483648 . 1073741824 .通过表格，我们可以发现，每天的回报数，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．但是，这似乎也不能体现投资收益与投资期限之间的关系．接下来，我们再看累计的回报数，=10y x =40y1=042x y -⨯.问题3：根据以上对函数模型增长情况的分析，我们该如何选择投资方案呢？师生活动：教师引导学生根据累计的回报数作为划分投资期限的标准．投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．设计意图：使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．通过以上三种呈现方式可知，尽管方案一、方案二在第1天所得回报远大于方案三，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的．由此，我们更直观的理解了“直线上升”、“指数爆炸”的实际含义．接下来，我们一起来归纳一下用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程：首先，我们要把实际问题化归为函数模型，经过运算和推理求出函数模型的解，然后，用数学问题的解来解释说明实际问题，使实际问题得以解决。
高中数学人教A版必修1教案-3.2_函数模型及其应用_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标解应用题的一般思路2. 教学重点/难点解应用题的一般思路3. 教学用具4. 标签教学过程2.解应用题的一般程序(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模”是关键的一关。
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。
(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。
3．常见函数模型(1)应用的模型解决有关增长率及利息等问题。
(2)分段函数模型。
(3)应用二次函数模型解决有关最值问题。
(4)数列模型。
二．题型剖析例1：书P30例1。
（增长率）练习．（成才之路P99变式2）某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”（m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。
（1）根据题中条件填空，m= （元/担）（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。
解:设平方和为y例2：书例2（分段函数）例3：书例3（二次不等式）练习（基本不等式）：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为3150px2的厂房，工程条件：（1）修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，（2）用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？三．小结1．解应用题的一般步骤：审题、建模、求模、作答2．常见函数模型及应用。
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函数模型及其应用（2）
【自学目标】
1.学会分析问题，准确地选择函数模型；
2. 学会解决常见的函数问题，如增长率问题、最佳效益问题；
3. 培养分析问题、解决问题的能力.
【知识要点】
1.用已知函数模型解决实际问题
数学应用题一般文字叙述较长，反映的时间背景新颖，知识涉及广，
这就要求有较强的阅读理解能力、捕捉信息的能力、归纳抽象的能力.
2.增长率问题
在实际问题中，常常遇到平均增长率问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值为y，用公式y=N(1+P)x表示，解决平均增长率，要用这个公式.
3.最佳效益问题
实际问题中中的最佳效益问题，即函数的最值问题.求函数最值的方法
较多.
【预习自测】
例1.某丁在甲、乙俩地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运一台至A地、B地的费用分别为400元和800元，从乙地调运一台到A地、B地的运费分别是300元和500元
（1）若从乙地要调运x台至A地，求总运费y（元）与x之间的函数关系式
（2）若总运费不得超过9000元，问共有几种调运方案
（3）求出总运费最低的调运方案及最低的运费
例2.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。
已知鱼群的年增长量y吨与空闲率和实际增长量x 的乘积成正比，比例系数为k（k>0）。
（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）
（1）写出y 关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.
例3.在某服装批发市场，季节性服装当季节来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每天削价2元，直到16周末，该服装已不再销售。
（1） 试建立价格p （元）与周次t 之间的函数关系； （2） 若此服装每周进价q （元）与周次t 之间的关系式为
，试问该服装第几周每件销售利润最
大？
例4.某城市现有人口数为100万人，如果年增长率为1.2%，试解答以下问题： （1） 写出该城市人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系式； （2） 计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3） 计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）
（4） 如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？
【课内练习】
1.某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.已知A 、B 两地相距150km ，某人开车以60km/h 的速度从A 到达B 地，在B 地停留1小时
N t t t q ∈∈+--=],16,0[,12)8(125.0212-=x y 12
-=x y 12-=x
y 25.25.12
+-=x x y
后，再以50km/h 的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x 随时间变化的关系式是
3.某厂年生产化肥8000吨，计划5年后把产量提高到14000吨， 则平均每年增长的百分数是（精确到0.1%） 参考数据：
1. 设距地面高度x （km ）的气温为y （℃），在距地面高度不超过11km 时，y 随着
x 的增加而降低，且每升高1km ，大气温度降低6℃；高度超过11km 时，气温可
视为不变。
设地面气温为22℃，试写出的解析式，并分别求高度为3.5km 和12km 的气温。
【归纳反思】
就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍微 复杂一点的问题就无法下手了. 【巩固提高】
1.（一次函数模型）某公司市场营销的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是（ ） A310元 B300元 C290元 D280元
2.（二次函数模型）将进货单价为8元的某商品按10元一个售出时，能卖出200个，已知这种商品每涨价1元，其销售量减少20个，为了获得最大利润，售价应定为（ ） A11元 B12元 C13元 D14元
3.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率之间的关系如下：
要使每天收入达到最高，每天定价应为（ ）
,1461.04.1lg =098.175.1,119.175.
1,0486.31119lg ,2430.075.1lg 65====)(x f y =售量(万件)
A20元 B18元 C16元 D14元
4.（分段函数模型）电讯费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟，收费0.2元；超过3分钟，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计算，则通话费S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象（如下图）可表示为（ ）
5.某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天长成4米，那么长成0.25米要（ ） A1.25天 B5天 C16天 D12天
6.有一批材料可以建成长200米的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成矩形的最大面积是 .
7.十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作n ）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式是：，各种家庭的n
如下表所示：
1000元，其中食品消费支出总额每年平均增加300元。
%100⨯=消费支出总额
食品消费水平总额
n (A)(B)C S O (D)
（1）若1998年该地区家庭刚达到温饱，且该年度消费支出总额为10000元，问2003年能否达到小康？请说明理由。
（2）若2003年比1998年的消费支出总额增加40%，而其中食品消费支出总额增加20%，问2005年能否达到小康？请说明理由。
8.某城市自来水厂向全市供应生产与生活用水，蓄水池现有水前吨，水厂每小时向池中注入2千吨水，同时向全市供水，小时内供水总量为，问：
（1）多少小时时池内水量最少？
（2）当蓄水池水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么出现这种紧张情况有多长时间？
（3）为了保证生产，生活的需要，决定扩大生产每小时向池内注水3千吨，能否消除供水紧张现象？为什么？
9.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征收8元（收税率为8个百分点，即8%），计划可收购万担，为减轻农民的负担，决定税率降低个百分点，这样收购量预计可增加个百分点。
（1）写出税收（万元）与的函数关系式；
（2）当不低于2个百分点时，求税率调节后的税收金额比税率调节前的税收金额最少要减少多少个百分点？
9x x 8m x x 2y x x。