基本体的投影解析
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第2(3)章 基本体的投影
➢2.3 基本立体的投影
根据立体表面几何性质的不同，基本立 体可分为平面立体和曲面立体两大类。
表面都是由平面围成的立体，称为平面 立体；
表面由平面和曲面或者曲面围成的立体， 称为曲面立体。
平
常面
棱柱
棱锥
体立
体
圆球
圆环
➢立体的投影
立体的投影，实质上是构成该立体的所有 表面的投影总和。
平面立体的投影
是平面立体各表面(点、线、面) 投影的集合：
----由直线段组成的封闭图形。
平面立体是由若干平面多边形围成，所以平面立 体的投影，可以看作组成平面立体的所有多边形顶 点和边的投影。并且规定投影可见的线画成粗实线， 不可见的线画成虚线，粗实线和虚线重合时，画成 粗实线。
1.棱柱 (1) 六棱柱
•圆锥的投影特点
轮廓线的投影 底圆的投影
•圆锥可见性的判别—V面
后半面 不可见
曲面的可见 性的判断。
前半面 可见
注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断
•圆锥可见性的判别—W面 曲面的可见 性的判断。
左半面 可见
右半面 不可见
（3）圆锥表面上的点
a
辅助素线法 辅助圆法
如何取圆的半径？
A a
例：圆锥表面上特殊位置的点
b
c
d
a
13
（2）五棱柱的投影
2.棱锥
⑴ 棱锥的组成
由一个底 面和若干侧棱 面组成。侧棱 线交于有限远 的一点——锥 顶。
(2)棱锥的三投影图
S
s
s
b
a
c
b
b(c)
c
s
a
B
C
a
A
棱锥处于图示位置 时,其底面ABC是水平 面，在水平投影图上 反映实形。侧棱面 SAC为侧垂面，另两 个侧棱面为一般位置 平面。
根据立体表面几何性质的不同，基本立 体可分为平面立体和曲面立体两大类。
表面都是由平面围成的立体，称为平面 立体；
表面由平面和曲面或者曲面围成的立体， 称为曲面立体。
平
常面
棱柱
棱锥
体立
体
圆球
圆环
➢立体的投影
立体的投影，实质上是构成该立体的所有 表面的投影总和。
平面立体的投影
是平面立体各表面(点、线、面) 投影的集合：
----由直线段组成的封闭图形。
平面立体是由若干平面多边形围成，所以平面立 体的投影，可以看作组成平面立体的所有多边形顶 点和边的投影。并且规定投影可见的线画成粗实线， 不可见的线画成虚线，粗实线和虚线重合时，画成 粗实线。
1.棱柱 (1) 六棱柱
•圆锥的投影特点
轮廓线的投影 底圆的投影
•圆锥可见性的判别—V面
后半面 不可见
曲面的可见 性的判断。
前半面 可见
注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断
•圆锥可见性的判别—W面 曲面的可见 性的判断。
左半面 可见
右半面 不可见
（3）圆锥表面上的点
a
辅助素线法 辅助圆法
如何取圆的半径？
A a
例：圆锥表面上特殊位置的点
b
c
d
a
13
（2）五棱柱的投影
2.棱锥
⑴ 棱锥的组成
由一个底 面和若干侧棱 面组成。侧棱 线交于有限远 的一点——锥 顶。
(2)棱锥的三投影图
S
s
s
b
a
c
b
b(c)
c
s
a
B
C
a
A
棱锥处于图示位置 时,其底面ABC是水平 面，在水平投影图上 反映实形。侧棱面 SAC为侧垂面，另两 个侧棱面为一般位置 平面。
机械制图基本几何体投影
X
A ⅠB c
b"
线法）。
a
s
1m b
Y
棱锥表面点的投影确定
s'
Z s"
长
沙
职
m"
院
m'
a'
(n') a" n"
b"
机 械 系
1'
X
b' c' O (c")
YW
a
n
c
s
1m
b
YH
六棱柱的投影
长A
沙 职 院
F
E
（f'） （e'）
a' b'
c' d'
D
BC
（e" ）（d" ）（c" ） f" a" b"
正三棱锥的表面有特殊位置平面, 也有一般位置平面。
属于特殊位置平面的点的投影, 可利用该平面的积聚性作图。
长 沙 职
属于一般位置平面的点投影, 可通过在平面上作辅助线的方
法求得。
Z
院
V s'
机 械 系
S
s"
m'
b'
a' 1'
m"
M C a"
如图: 己知属 于棱面ΔSAB上的 点M，试求点M、 的投影（利用辅助
已知圆锥表面点M的正面投影m′, 求m和m″。
方法: (1)辅助素线法
长 沙
s'
Z
s"
职
院
s
m'
基本体的投影—平面体的投影(建筑构造)
正棱柱的画法
• 画积聚的水平投影—多边形。
高
• 画其他两投影，先画上下两平行面，再求出
平
顶点，连棱线。
齐
画图规律：
长对正
6
5
宽相等△y
可不画投影轴，但各点的三面投影仍遵守点的 三个投影规律。
• 长对正
1 2
4
宽 相
等
△y
3
• 高平齐 • 宽相等
注意: 当图形对称时，应用细点画线画出其对称中心线。
平面体的投影
C
？？
a′ b′
m
d′
c′
(a) 直观图
a(d) m b(c)
(b) 投影图
m
点的可见性判别：
若点所在平面的投影可
见，点的投影可见；若平
面的投影积聚成直线，点
的投影也可见。
棱锥体的投影
(1)棱锥表面的组成
棱锥表面组成: 底面为多边形 若干个棱面为三角形 所有的侧棱线都交于一点
在三面投影体系中，棱锥一般按如下位置放置： 底面为投影面平行面。其它的棱面则为投影面垂直面或一般位置的平面。
平面体的投影
s
s
(2)正棱锥的投
影分析及画法
b
c
a
b (c)
b
c
s
a
a
图中正三棱锥底面△ABC为水平面， △SAB、△SAC 为一般位置平面， △SBC 为侧垂面。
(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直接求出a和a”。
(2) 由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚性求出b,再根 据YH=YW,由b和b`求出b``。
平面体的投影
例1：已知六棱柱ABCD侧表面上点M 的V 面投影m’，求该点的H 面投影m 和W 面投影m″。
2.4 基本形体的投影图解读
绘制曲面体的投影时，不但要作出曲面边 界线的投影，还要作出轮廓素线的投影。 轮廓素线就是曲面向某一方向投射时，其 可见部分与不可见部分的分界线。 对于不同方向的投影，曲面上的轮廓素线 是不同的。
曲面体投影图的绘制
（1）绘制圆柱体的投影图 将圆柱体立放在三面投影体系中，使上、下底面平 行于H 面，圆柱面垂直于H 面。如图a所示。 先作H面投影图，如图b所示
例 已知正三棱锥侧表面SAB上点M 的V面投影 m′，如图a所示，求作点M的其他两面投影。
曲面体的投影
由曲面或曲面与平面所围成的形体称为曲面
体。 曲面(圆柱面、圆锥面、球面等)是直线或曲 线按一定规律运动形成的轨迹。 运动的线称为母线，母线的任一位置称为素 线。 旋转面：母线绕一条固定轴回转所形成的曲面。 纬圆：母线上的任意一点的轨迹都是一个圆，称 为纬圆，其圆心在回转轴。
根据“长 对 正” 和圆 柱的高作出 V面投影，它们 是由上、下底面的积聚投 影和最左、最右轮廓素线 围成的矩形。如图c所示。 根据“高 平 齐、 宽相 等”画出 W 面投影，它们 也是上、下底面的积聚投 影和最前、最后轮廓素线 围成的矩形。加深图线, 如 图d所示。
（2）绘制圆锥体的投影图
常见曲面体的投影图 1、圆柱
直观图
投影图
2、圆锥
直观图
投影图
3、圆台
直观图
投影图
4、球
直观图
投影图
曲面体表面上的点和线的投影
曲面体表面上点的投影作法： （ 1 ）处于特殊位置上的点，如圆柱和圆锥 的最前、最后、最左及最右轮廓素线，底边圆 周及球体平行于三个投影面的最大圆周等位置 的点，可直接利用轮廓线上求点的投影方法求 得。 （ 2 ）处于其他位置的点，可利用曲面体投 影的积聚性，用素线法或纬圆法求得。 曲面体表面上线的投影作法： （ 1 ）先作出线段首尾点及中间若干点的三 面投影。 （2）再用光滑的曲线连接起来即可。
基本体的投影(无轴测图)
投影面与矩形体的两个相 对面平行，得到一个矩形。
圆形体的投影
STEP 01
STEP 02
STEP 03
投影面与圆面相切，得到 一个点。
投影面垂直于圆面，得到 一条线段。
投影面平行于圆面，得到 一个圆或椭圆。
拱形体的投影
投影面平行于拱形面 的一个平面，得到一 个圆弧或椭圆弧。
投影面与拱形面的两 个平面相交，得到一 个双曲线或抛物线。
效果预览
设计师可以通过无轴测图 投影预览建筑模型的效果， 进行方案调整和完善，提 高设计质量和效率。
产品设计的无轴测图投影
细节展现
无轴测图投影能够清晰地 展现产品的细节和特征， 使设计理念和创意得以完 整表达。
沟通媒介
无轴测图投影是设计师与 客户、生产厂家之间沟通 的媒介，有助于达成共识 和推进项目进展。
需要特别注意各个基本体之间的相对位置关系，以及在投影中可能出现的重叠、交 叉和切割面。
Part
05
无轴测图投影的应用
工程制图中的无轴测图投影
表达完整
01
无轴测图投影能够清晰地表达物体的完整形态，不受轴向限制，
避免视图间的遮盖和重叠。
直观性
02
无轴测图投影能够直观地展示物体的真实形态，便于理解和分
投影面垂直于拱形面 的一个平面，得到一 条线段。
Part
03
曲面体的投影
圆柱体的投影
圆柱体的正投影
圆柱体的透视投影
圆柱体在正投影下呈现出矩形，其中 圆柱体的顶面和底面投影为平行且等 大的圆，高度投影为一条线段。
透视投影下，圆柱体会呈现出近大远 小的视觉效果，顶面和底面的圆会因 透视而变形。
圆柱体的斜投影
当球体与投影面形成一定 角度时，其投影呈现出椭 圆形状。
第三讲 基本体三面投影
1’
m’ c’
1
a’ a
b’ b
a”(b”)
求出Ⅰ点的水平投 c” 影1。
m
s
过1作1m ∥ac，再 根据点在直线上的几 何条件，求出m 。
再根据知二求三的 方法，求出m”。（具 体步骤略)
c
正三棱锥的三面投影图
18
s
s 2
2
S
b
b s
a
c
c
c (b)
Ⅱ
a C
B
2 A
a
19
s
23
在投影图上表示回转 体，就是把组成立体的 回转面或平面表示出来， 然后判断可见性。如图 所示。
回转面用转向轮廓 线表示。转向轮廓线是 与曲面相切的投射线与 投影面的交点所组成的 线段。
转向轮廓线
转向轮廓线
24
一、圆柱
圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是 由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。 Z
a’
c’(d’) d
b’ d’
a”(b”)
c’
正面转向轮廓线
a c
b
c’d’ a’ 侧面转向轮廓线 A
d”
d C b c
a”b” c”
圆柱的投影
X
a
26
Y
2、圆柱表面上取点
已知圆柱表面上的点M及N正面投影a’、 b’、 m′和n′，求它们的其余两投影。
b’ a’
(b”)
a”
b a
在圆柱表面上取点
27
m’ a’
X
m”
a”(b”)
2’ c’
c”
YW
a
连接s2，即求出 直线SⅡ的水平投影。 根据在直线上的 点的投影规律，求出 M点的水平投影m。 再根据知二求三 的方法，求出m”。
m’ c’
1
a’ a
b’ b
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求出Ⅰ点的水平投 c” 影1。
m
s
过1作1m ∥ac，再 根据点在直线上的几 何条件，求出m 。
再根据知二求三的 方法，求出m”。（具 体步骤略)
c
正三棱锥的三面投影图
18
s
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2
S
b
b s
a
c
c
c (b)
Ⅱ
a C
B
2 A
a
19
s
23
在投影图上表示回转 体，就是把组成立体的 回转面或平面表示出来， 然后判断可见性。如图 所示。
回转面用转向轮廓 线表示。转向轮廓线是 与曲面相切的投射线与 投影面的交点所组成的 线段。
转向轮廓线
转向轮廓线
24
一、圆柱
圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是 由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。 Z
a’
c’(d’) d
b’ d’
a”(b”)
c’
正面转向轮廓线
a c
b
c’d’ a’ 侧面转向轮廓线 A
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d C b c
a”b” c”
圆柱的投影
X
a
26
Y
2、圆柱表面上取点
已知圆柱表面上的点M及N正面投影a’、 b’、 m′和n′，求它们的其余两投影。
b’ a’
(b”)
a”
b a
在圆柱表面上取点
27
m’ a’
X
m”
a”(b”)
2’ c’
c”
YW
a
连接s2，即求出 直线SⅡ的水平投影。 根据在直线上的 点的投影规律，求出 M点的水平投影m。 再根据知二求三 的方法，求出m”。
基本体(棱柱)的投影
复习：
1.三视图作图步骤： （1）画对称中心线、轴线、基准线； （2）作“特征视图”； （3）根据“三等规律”作其它两面视图。 2.“三等规律” 长对正 高平齐 宽相等
3.平面的投影特性 平面平行于投影面时，投影原形线 平面垂直于投影面时， 投影聚成 平面倾斜于投影面时，投影面积变 线
基本体的投影作图
六棱柱 圆台 圆锥 圆台 圆柱 圆柱 圆球 圆环
基本体
基本体
平面体 曲面体
平面体：表面全部由平面所围成的立体，如棱柱和棱锥等。 曲面体：表面全部由曲面或曲面和平面所围成的立体，如 圆柱、圆锥、圆球等。
平面体
1、棱柱
棱柱由两个底面和若干侧面组成， 如图所示为一正六棱柱，由上、 侧面与侧面的交线称为棱线，棱线互 下两个底面（正六边形）和六个侧 相平行。棱线与底面垂直的棱柱称为 面（长方形）组成。 正棱柱。
小组讨论：
分析正六棱柱的8个面与投影面 的相对位置。 上下两个面是水平面 ； 前后两个面是 正平面 ； 其他的四个侧面是
铅垂面 。
棱柱的三视图Z源自上、下两底面为水平面 它们的水平投影重合并 反映实形，正面及侧面 投影积聚为两条相互平 行的直线。
Y
X
正六棱柱的投影
棱柱的三视图
Z
前、后两个面为正平面
练习：
1.根据棱柱的立体图，作出其三视图。
作棱柱的三视图时，一般 先画有积聚性并能反映棱柱特 征的视图，然后再按视图间的 投影关系完成其它两面视图。
棱柱表面上取点
A (B)
点的可见性判断： 由于棱柱的表面都是平 点所在表面的投影可见, 面，所以在棱柱的表面上 点的投影也可见；若点所在 取点与在平面上取点的方 法相同。 表面的投影不可见，点的投 影也不可见；若点所在表面 的投影积聚成直线，点的投 影视为可见。
1.三视图作图步骤： （1）画对称中心线、轴线、基准线； （2）作“特征视图”； （3）根据“三等规律”作其它两面视图。 2.“三等规律” 长对正 高平齐 宽相等
3.平面的投影特性 平面平行于投影面时，投影原形线 平面垂直于投影面时， 投影聚成 平面倾斜于投影面时，投影面积变 线
基本体的投影作图
六棱柱 圆台 圆锥 圆台 圆柱 圆柱 圆球 圆环
基本体
基本体
平面体 曲面体
平面体：表面全部由平面所围成的立体，如棱柱和棱锥等。 曲面体：表面全部由曲面或曲面和平面所围成的立体，如 圆柱、圆锥、圆球等。
平面体
1、棱柱
棱柱由两个底面和若干侧面组成， 如图所示为一正六棱柱，由上、 侧面与侧面的交线称为棱线，棱线互 下两个底面（正六边形）和六个侧 相平行。棱线与底面垂直的棱柱称为 面（长方形）组成。 正棱柱。
小组讨论：
分析正六棱柱的8个面与投影面 的相对位置。 上下两个面是水平面 ； 前后两个面是 正平面 ； 其他的四个侧面是
铅垂面 。
棱柱的三视图Z源自上、下两底面为水平面 它们的水平投影重合并 反映实形，正面及侧面 投影积聚为两条相互平 行的直线。
Y
X
正六棱柱的投影
棱柱的三视图
Z
前、后两个面为正平面
练习：
1.根据棱柱的立体图，作出其三视图。
作棱柱的三视图时，一般 先画有积聚性并能反映棱柱特 征的视图，然后再按视图间的 投影关系完成其它两面视图。
棱柱表面上取点
A (B)
点的可见性判断： 由于棱柱的表面都是平 点所在表面的投影可见, 面，所以在棱柱的表面上 点的投影也可见；若点所在 取点与在平面上取点的方 法相同。 表面的投影不可见，点的投 影也不可见；若点所在表面 的投影积聚成直线，点的投 影视为可见。
《基本体的投影》课件
求两立体相贯线的步骤包括确定两立体的相对位置、分析相贯线的形状、利用投影规律 求出相贯线的具体位置和形状。在求两立体相贯线时，需要特别注意相贯线的空间位置
和投影规律，以便正确地表达两立体的相对位置和结构关系。
2023
PART 05
基本体的尺寸标注与视图 选择
REPORTING
基本体的尺寸标注
尺寸标注的原则
平面体的投影
REPORTING
棱柱体的投影
总结词
棱柱体的投影具有规则的形状和清晰的线条，表现出强烈的 立体感。
详细描述
棱柱体在投影中呈现出规则的多边形，其线条分明，表现出 明显的立体感。根据观察角度的不同，棱柱体的投影形状也 会有所变化，但仍然能够清晰地辨认出其基本形态。
棱锥体的投影
总结词
棱锥体的投影呈现出类似锥形的形状，具有明显的顶点和棱线。
尺寸标注的注意事项
尺寸标注应准确、清晰、完整，遵循 国家标准和规范。
避免重复标注，确保尺寸标注不产生 歧义，合理使用简化表示。
尺寸标注的步骤
确定尺寸基准，标注定位尺寸，标注 总尺寸。
基本体的视图选择
主视图的选择
选择能反映基本体特征和形状的 主要方向作为主视图。
其他视图的选择
根据需要选择左视图、俯视图、侧 视图等，以完整表达基本体的形状 和尺寸。
投影在工程中的应用
建筑设计
在建筑设计中，投影用于 绘制建筑图纸和模型，以 呈现建筑物的外观和内部 结构。
机械设计
在机械设计中，投影用于 绘制零件图纸和装配图， 以呈现机械零件的形状和 尺寸。
水利工程
在水利工程中，投影用于 绘制水工图纸和模型，以 呈现水工建筑物的外观和 结构。
2023
和投影规律，以便正确地表达两立体的相对位置和结构关系。
2023
PART 05
基本体的尺寸标注与视图 选择
REPORTING
基本体的尺寸标注
尺寸标注的原则
平面体的投影
REPORTING
棱柱体的投影
总结词
棱柱体的投影具有规则的形状和清晰的线条，表现出强烈的 立体感。
详细描述
棱柱体在投影中呈现出规则的多边形，其线条分明，表现出 明显的立体感。根据观察角度的不同，棱柱体的投影形状也 会有所变化，但仍然能够清晰地辨认出其基本形态。
棱锥体的投影
总结词
棱锥体的投影呈现出类似锥形的形状，具有明显的顶点和棱线。
尺寸标注的注意事项
尺寸标注应准确、清晰、完整，遵循 国家标准和规范。
避免重复标注，确保尺寸标注不产生 歧义，合理使用简化表示。
尺寸标注的步骤
确定尺寸基准，标注定位尺寸，标注 总尺寸。
基本体的视图选择
主视图的选择
选择能反映基本体特征和形状的 主要方向作为主视图。
其他视图的选择
根据需要选择左视图、俯视图、侧 视图等，以完整表达基本体的形状 和尺寸。
投影在工程中的应用
建筑设计
在建筑设计中，投影用于 绘制建筑图纸和模型，以 呈现建筑物的外观和内部 结构。
机械设计
在机械设计中，投影用于 绘制零件图纸和装配图， 以呈现机械零件的形状和 尺寸。
水利工程
在水利工程中，投影用于 绘制水工图纸和模型，以 呈现水工建筑物的外观和 结构。
2023
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s'
s"
n'
a' k' c'
b'
a
b
kn
c
n"
a"(b")
c"
7.4 基本回转体 的三视图表
达
表面全部或部分为曲面的几何立体，称之为曲面 体。如果曲面为回转面，又可称为回转体。
1、圆柱体的三视图
圆柱是由圆柱面和上、下 两个圆形底面围成，圆柱 面是由直母线绕和它平行 的轴线回转而成，轴线称 为回转轴，圆柱面上母线 的任一位置称为素线。
圆柱体表面上点的投影 已知圆柱面上点M和点N的正面投影 m'和n'，求作其他投影。
m' (n')
m" (n")
n m
2、圆锥体的三视图
圆锥体表面上点的投影 已知圆锥面上点K的正面投影 k'，求作其他投影。
方法一：辅助直线法
s'
s"
k'
k"
p'
s k p
方法二：辅助圆法 s'
m' k'
n'
ms k
各
,
影画 出
确棱 定面 顶的 底积 两聚 个性 面投 按 要 求 加 深 各 图 线
棱柱表面上点的投影 已知六棱柱表面上A、B两点的正面投影a'和b',求作其他投影。
a' (b')
a" b"
b a
2、棱锥的三视图
s’
s”
a’ b’ c’ a” ≡ c”
b”
a
s
c
b
S
C A
B
棱锥表面上点的投影 已知三棱锥表面上点的正面投影 n'，求作其他投影。
7.１ 三维形体的 构成方式
常见的三维形体构成方式：
拉伸 将二维物体沿着指定的路径拉伸一定的距离，形成三维物体
旋转 将二维物体绕着一根轴旋转一定的角度，形成三维物体
切割 用一个平面对已有的三维物体进行切割，形成新的三维物体
布尔运算 对已有的若干个三维物体进行集合运算，包括“并”、 “交”和“差”
7 基本体的投影
7.1 三维形体的构成方式 7.2 体的三面投影--三视图 7.3 基本平面体的三视图表达 7.4 基本回转体的三视图表达
基本体是构成复杂形体的基本元素。
本章内容特点： • 是从点、线、面到学习复杂形体投影的过渡 • 是学习和运用形体分析、面形分析法的基础 • 培养对物体构形的分析能力和想象能力
s" k"
3、圆球体的三视图
圆球体表面上点的投影 已知球面上点M的正面投影 m'，求作其他投影。
(m") m'
m
本节要点
一．视图间的“三等”关系、方位关系 二．平面体的形状特点及视图画法 三．回转体的形成及视图画法 四．立体表面上取点的方法
7.2 体的三面投影 -- 三视图
用正投影法所绘制的物体的图形称为视图。 正面投影——主视图 水平投影——俯视图 侧面投影——左视图
注：可省略投影轴
三视图之间的投影关系
1、度量关系
高平齐
长对正
宽相等
2、方位关系
➢ 主、左视图分上下。 ➢ 主、俯视图显左右。 ➢ 俯、左视图定前后。
上 左
下 后 左
前
上
右后
前
下
右
7.3 基本平面体 的三视图表达
表面均为平面的几何立体，称之为平面体。
平面体形状特点
• 表面为若干个平面 • 相邻二表面的分界线（交线、棱线为直线） • 相邻三表面相交于一点
1、棱柱的三视图
主视图
左视图
俯视图
作图步骤：
画 出 作 图 基 准 线
棱根 线据 和投 棱影 面关 的系 投完 影成