专题04：平面几何基础.docx
九年级下册《平面几何》知识点总结
九年级下册《平面几何》知识点总结
本文档总结了九年级下册《平面几何》课程的主要知识点，旨在帮助学生们对该课程的研究进行复和总结。
一、平面几何基本概念
1. 点、线、面的定义和性质
2. 直线、射线、线段的定义和区别
3. 平行线、垂直线的定义和判定方法
4. 角的定义、分类和性质
5. 三角形的定义、分类和性质
6. 四边形的定义、分类和性质
7. 圆的定义、性质及相关角度定义
二、平面几何基本定理
1. 垂直平分线定理
2. 角平分线定理
3. 同位角定理
4. 余角定理
5. 直角三角形定理
6. 相似三角形定理
7. 三角形中位线定理
8. 正方形的性质及性质的运用
9. 平行四边形的性质及性质的运用
10. 同一个圆内的弧、弦和周角关系
三、平面几何模型
1. 解析几何与坐标系
2. 同济四角形
四、平面几何的应用
1. 应用平面几何解题
2. 平面几何在生活中的应用
本文档列举了九年级下册《平面几何》课程的主要知识点，供学生们进行复和总结使用。
建议学生们结合教材内容进行更加详细的研究和操练。
学习平面几何需要多做题目进行巩固，加强对概念和定理的理解，并将其应用到实际问题中。
祝学习顺利！。
word完整版初中平面几何知识点汇总一,文档
平面几何知识点汇总（一）知识点一订交线和平行线1.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
2.垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2：连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短。
3.平行公义：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公义的推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。
4.平行线的性质：性质 1：两直线平行，同位角相等。
性质 2：两直线平行，内错角相等。
性质 3：两直线平行，同旁内角互补。
5.平行线的判断：判断 1：同位角相等，两直线平行。
判断 2：内错角相等，两直线平行。
判断 3：同旁内角相等，两直线平行。
知识点二三角形一、三角形有关观点1．三角形的观点由不在同向来线上的三条线段首尾按序连结所构成的图形叫做三角形重点：①三条线段；②不在同向来线上；③首尾按序相接．2．三角形中的三种重要线段（1）三角形的角均分线：三角形一个角的均分线与这个角的对边订交，这个角的极点和交点之间的线段叫做三角形的角均分线．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个极点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（3）三角形的高线：从三角形一个极点向它的对边作垂线，极点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．二、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时知足△ABC三边长 a、b、c 的不等式有： a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时知足△ABC三边长 a、b、c 的不等式有： a>b-c ，b>a-c ，c>b-a ．注意：判断这三条线段可否构成一个三角形，只要看两条较短的线段的长度之和能否大于第三条线段即可三、三角形的稳固性三角形的三边确立了，那么它的形状、大小都确立了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳固性．比如起重机的支架采纳三角形构造就是这个道理．四、三角形的内角结论 1：三角形的内角和为 180°．表示：在△ ABC中，∠ A+∠ B+∠ C=180°结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余．注意：①在三角形中，已知两个内角能够求出第三个内角如：在△ ABC中，∠ C=180°－（∠ A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ ABC中，已知∠ A：∠ B：∠ C=2：3： 4，求∠ A、∠ B、∠ C 的度数．五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延伸线构成的角叫做三角形的外角．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补六、多边形①多边形的对角线n(n3)条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外2角和为 360°知识点三全等三角形一、全等三角形1、“全等”的理解全等的图形一定知足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完整重合的两个图形叫全等形。
平面几何知识点总结(已整理)
平面几何知识点总结(已整理)本文档旨在总结和概述平面几何的主要知识点，为读者提供一个简明扼要的参考。
以下为平面几何的重要知识点：1. 点和线- 点：平面几何中最基本的元素，不占据空间，没有大小和形状，用大写字母表示，如A、B、C等。
- 直线：由无限个相连的点构成，没有宽度和长度，用小写字母表示，如ab、cd等。
- 线段：由两个点确定的部分，有特定的长度，用AB、CD表示。
2. 角- 角度：由两条射线构成的图形，以一个为顶点，另两条为腿，用大写字母表示顶点，如∠ABC。
- 直角：角度为90度的角。
- 锐角：角度小于90度的角。
- 钝角：角度大于90度但小于180度的角。
3. 三角形- 三角形是由三条线段组成的图形。
- 根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
- 根据角度，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
- 根据边与角的关系，三角形可以分为正弦三角形、余弦三角形和正切三角形。
4. 四边形- 四边形是由四条线段组成的图形。
- 根据边的属性，四边形可以分为平行四边形、矩形、菱形和正方形。
- 根据角度，四边形可以分为梯形、直角梯形和平行梯形。
5. 圆- 圆是由一条曲线构成的图形，所有点到圆心的距离相等。
- 圆的重要元素有半径、直径和周长。
6. 同位角和内错角- 同位角：两条直线被一条直线切割时，在同一边的两个对应角。
- 内错角：两条平行线被一条直线切割时，在两条直线之间的内部所成的对应角。
以上为平面几何的主要知识点总结。
希望本文档能对读者理解平面几何有所帮助。
平面几何的基本概念和定理
平面几何的基本概念和定理1. 基本概念1.1 点平面几何的研究对象是由点、线、面组成的。
点是几何图形的基本元素，用来表示位置。
在平面几何中，点没有大小和形状，只有位置。
我们通常用大写字母来表示点，如A、B、C等。
1.2 直线直线是由无数个点连成的，它在平面内延伸无穷远。
我们通常用一个小写字母加上箭头表示直线，如直线AB、CD等。
直线上的点可以用小写字母表示，如点P、Q、R等。
1.3 射线射线是由一个起点开始，延伸到一个方向上的直线。
我们通常用一个小写字母加上箭头表示射线，如射线AB、CD等。
射线上的点可以用小写字母表示，如点P、Q、R等。
1.4 线段线段是由两个端点确定的直线部分，具有有限的长度。
我们通常用两个端点的大写字母表示线段，如线段AB、CD等。
1.5 平面平面是由无数个点组成的二维空间。
在平面几何中，我们通常用大写字母I表示平面，如平面ABCD等。
1.6 角角是由两条射线的公共端点和这两条射线的延伸部分组成的图形。
我们通常用一个小写字母表示角的顶点，如角A、B、C等。
角的度量单位是度（°），用符号°表示。
1.7 三角形三角形是由三条线段组成的平面图形，具有三个顶点和三个内角。
我们通常用三个顶点的大写字母表示三角形，如三角形ABC等。
1.8 四边形四边形是由四条线段组成的平面图形，具有四个顶点和四个内角。
我们通常用四个顶点的大写字母表示四边形，如四边形ABCD等。
1.9 圆圆是由平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点组成的图形。
我们通常用圆心和半径的大写字母表示圆，如圆O（半径为r）。
2. 基本定理2.1 欧几里得几何公理欧几里得几何公理是平面几何的基础，包括以下五个公理：1.任意两点之间存在唯一的直线。
2.直线上的点可以按任意顺序排列。
3.任意两点确定一条直线。
4.直线上的点与直线外的点确定一条直线。
5.平面上任意一点到平面上任意一点的直线是唯一的。
2.2 平行线公理平行线公理是指：如果两条直线在平面内不相交，那么这两条直线是平行的。
平面解析几何基础知识
§07. 直线和圆的方程知识要点 一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当90=α或12x x =时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x .注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程bkx y +=，当bk ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk ,变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l .⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在.②121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或2=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线PC By Ax l ,0:=++到l的距离为d，则有2200BA CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。
平面几何初步
平面几何初步
在数学中，平面几何是研究二维空间中的点、线和图形之间的关系和性质的分支。
它作为数学的基础学科，不仅在学术研究中发挥重要作用，也在日常生活和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍平面几何的基本概念、公理系统以及一些重要的定理和性质。
一、基本概念
1. 点：平面几何中最基本的对象，没有长度、面积或体积的概念，只有位置。
2. 线：由无数点组成，是一维的对象，没有宽度。
3. 直线：两点确定一条直线，它是无限延伸的。
4. 射线：一个起点，朝着某个方向延伸的线段。
5. 线段：两个点确定的有限长度的线段。
二、公理系统
1. 尺规作图：任给一段线段和一个点，只使用直尺和圆规能够作出与已知条件相符的尺规作图。
2. 共线定理：三个不共线的点唯一确定一条直线。
3. 垂直定理：若两直线相交，且互相垂直，则相交点的两个邻角为直角。
4. 同位角定理：当一条直线被两条平行线截断时，同位角相等。
三、重要定理和性质
1. 同位角性质：
- 内错角性质：两条平行线被一条横截线截断，内错角相等。
- 对顶角性质：两条平行线被一条横截线截断，对顶角相等。
2. 垂直性质：
- 垂直平分线定理：平分线和垂直平分线相互垂直。
- 垂径定理：在一个圆上，以直径为边的三角形必为直角三角形。
3. 三角形性质：
- 等边三角形性质：三条边相等的三角形为等边三角形。
- 等腰三角形性质：两条边相等的三角形为等腰三角形。
- 直角三角形定理：直角三角形斜边上的高是斜边上两条直角腿的调和平分线。
平面几何基础知识基本定理基本性质
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (CB A yC c y B b y A a C B A x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT 交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。
平面几何基础
平面几何基础平面几何是几何学的重要分支之一，研究了在平面上的点、线、角以及图形的性质和关系。
它是我们理解和解决实际问题中经常用到的一种数学工具。
本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、角和图形的特征与性质。
一、点的性质与关系1. 点的定义与表示：在平面几何中，点是最基本的概念，通常用大写字母表示，如"A"、"B"、"C"等。
点没有大小和形状，只有位置。
2. 点的相对位置：在平面上，点的相对位置可以用坐标来表示。
我们可以用直角坐标系或极坐标系来确定点的位置，其中直角坐标系由x 轴和y轴组成，而极坐标系由原点、极径和极角组成。
3. 点的连线：两个点之间可以用线段连接起来，形成一个直线。
直线是经过两个点的最短路径。
4. 点的投影：当点在平面上与另一个物体重叠时，它的投影就是它在平面上的垂直投影点。
投影是判断物体位置和大小的重要工具。
二、线的性质与关系1. 线的定义与表示：线是通过两个点或多个点上的连续点组成的。
可以用小写字母表示线，如"l"、"m"、"n"等。
2. 线的分类：根据线的位置和形状，我们可以将线分为水平线、垂直线、直线、曲线等。
3. 线的相对位置：在平面上，两条线可以相交、平行或重合。
相交的两条线称为交线，平行的两条线永不相交，重合的两条线完全重合。
4. 线的性质：两条平行线上的任意两个点到另一条平行线的距离是相等的。
两条垂直线的斜率乘积为-1。
这些性质在解决实际问题中起着重要的作用。
三、角的性质与关系1. 角的定义与表示：角是由两条线或线段的端点共同确定的，通常用大写字母表示，如"A"、"B"、"C"等，其中顶点位于两条边的交点处。
2. 角的度量：角可以用度数或弧度表示。
度数是常用的度量单位，360度是一个完整的角。
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专题08：平面几何基础考点一、直线、射线和线段1、几何图形从实物屮抽象出来的齐种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平血内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的备个部分都在同一平血内，它们是平血图形。
2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形屮最基木的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和1111线。
面：包围着体的是血，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
3、直线的概念一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是育的，并且是向两方无限延伸的。
4、射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
这个点叫做射线的端点。
5、线段的概念直线上两个点和它们Z间的部分叫做线段。
这两个点叫做线段的端点。
6、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示。
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
注意：（1）表示点、直线、射线、线段时，部要在字母前曲注明点、直线、射线、线段。
（2）肓线和射线无长度，线段有长度。
（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
（4）点和直线的位置关系有线面两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或考说直线不经过这个点。
7、肓线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。
它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）胃线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
8、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线屮，线段最短。
也可简单说成：两点之间线段最短。
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
（3）线段的屮点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂肓平分线的性质定理：线段垂頁平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
考点二、角1、角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
当角的两边在一条肓线上时，组成的角叫做平角。
平角的一半叫做頁角；小于肓角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。
如果两个角的和是一个肓角，那么这两个角叫做互为余角，其屮一个角叫做另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其屮一个角叫做另一个角的补角。
2、角的表示角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：①用数字表示单独的角，如Zl, Z2, Z3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如Za , Z3, ZY, ZB等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如ZB, ZC等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如ZBAD, ZBAE, ZCAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在屮间，边上的字母写在两侧。
3、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“° ”表示，1度记作“1° ”，n度记作“n° ”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1"。
把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1" o 1° =60—60”4、角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。
5、和的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下血的性质定理:（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
考点三、相交线1、相交线中的角两条真线相交，可以得到四个角，我们把两条有•线相交所构成的四个角屮，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。
有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。
临补角互补，对顶角相等。
直线AB, CD与EF相交（或者说两条肓线AB, CD被第三条育线EF所截），构成八个角。
Z1与Z5这两个角分别在AB, CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角;Z3与Z5这两个角祁在AB, CDZ间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个和叫做内错角；Z3与Z6在直线AB, CDZ间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。
2、垂线两条頁线相交所成的四个角屮，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其屮一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB, CD互相垂直,记作“AB丄CD” （或“CD丄AB”），读作“AB垂直于CD” （或“CD垂直于AB”）。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上备点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
考点四、平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号“〃”表示，如“AB〃CD” , 读作“AB平行于CD”。
同一平血内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的肓线平行。
2、平行线公理及其推论平行公理：经过育线外一点，有且只有一条岚线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和笫三条直线平行，那么这两条育线也互相平行。
3、平行线的判定（1）同位角相等，两肓线平行（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补,两直线平行。
补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）垂宜于同一条肓线的两肓线平行。
（3）平行线的定义。
4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两肓线平行，同旁内角互补。
考点五、命题、定理、证明1、命题的概念:判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句了；（2）这个旬了必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）「真命题（正确的命题）命题彳I假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3、公理：人们在长期实践屮总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
4、定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6、证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
考点六、投影与视图1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影了，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投煤。
屮心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为屮心投影。
2、视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧而内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
【2013年中考真题】一、选择题【答案】Ao【考点】轴对称图形和屮心对称图形。
【分析】根据轴对称图形与屮心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠肩可重合；屮心对称图形是图形 沿对称屮心旋转180度示与原图重介。
因此，只有选项A 符合。
故选A 。
2- （2013年广东茂名3分）如图，小聪把一块含有60。
角的肓角三角板的两个顶点放在肓尺的对边上，并测得Z 1=25。
, 则Z2的度数是【1・（2013年广东茂名3分）下列食品商标屮，既是轴对称图形又是屮心对称图形的是【A. 15°B. 25° 【答案】C. 【考点】平行线的性质【分析】如图，•・•直尺的两边互相平行，Zl=255,AZ3=Z1=25\Z2=60° - Z3=60° - 25°=35°.故选C» 3・（2013年广东梅州3分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是【 】 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6A.C. D.C. 35°锦元数学工作室绘制【答案】A ・【考点】多边形內角与外角，一元一次不等式的应用。
【分析】设辺数为n,根据题意得（n- 2） *1SO:<36OS解之得n<4.•.•口为正整数，且n>3, .*.n=3.故选4・（2013年广东深圳3分）如下图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是【】【答案【肴点】轴对称图形和中心对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折塔后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，选项A、C、D都既是轴对称图形又杲中心对称图形，而3是轴对称图形，不是中心对称图形.故选3.5・（2013年广东深圳3分）下列命题是真命题的有【】①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个胃角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂肓于弦，并且平分弦所对的弧。
A..1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】C.【考点】命题和证明，对顶角的性质，平行的性质，全等三角形的判定，矩形的判定，垂径定理。
【分析】根据对顶角的性质，平行的性质，全等三角形的判定，矩形的判定，垂径定理逐一作出判断：根据相关性质，①、②、⑷正确；对于③，两个直角三角形只能杲相似，不全等；对于⑤，平分弦的直径垂直弦，应强调这条弦•非直径二故错•故选C.6.（2013年广东深圳3分）如图，已知h〃b〃l3,相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰育角AABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则since的值是【】线段B等边二角形 C.正方形【答案】D ・ 【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，特殊元 素法的应用.【分析】如图，分别过点A, 3作AE 丄:],BF 丄S h 交于点D,贝IJ 易由AAS 证明△ AHC 经△C73。