高一数学下学期期中试题沪教版(最新整理)
2021上海沪教新版高一数学下学期同步练习6.1.1任意角及其度量(1)任意角详解版(01)
6.1.1任意角及其度量（1）任意角一、单选题1．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ） A ．43-与677B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与6302．（2020·上海高一课时练习）若α是第二象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第一象限角或第二象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第一象限角或第四象限角3．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ±4．（2020·上海高一课时练习）与角240︒终边相同的角的集合是（ ）A ．5,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．52,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．4,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭5．（2020·上海高一课时练习）终边在y 轴上的角的集合不能表示成( )A ．2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭B ．1,22k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭C ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭6．（2019·上海市宜川中学高一期中）已知下列四组角的表达式(各式中k Z ∈)()123k ±ππ与3±k ππ；()22k±ππ与22k +ππ；()32k -ππ与2k ππ+；()42k ±ππ与k π， 其中表示具有相同终边的角的组数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题7．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.8．（2018·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）2020是第______象限角.9．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限10．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.11．（2020·上海市洋泾中学高一期末）与4π角终边重合的角的集合是________ 12．（2020·上海高一课时练习）在[0,2]π中与274π终边相同的角为________. 13．（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，则2α是第______象限的角. 14．（2020·上海高一课时练习）终边在第一、第三象限平分线上的角α的集合可表示为____________.15．（2020·上海高一课时练习）四个角的大小分别为170°，480-︒，1500-︒，870°，其中终边在第二象限的角有_________.16．（2020·上海高一课时练习）与8弧度终边相同的所有角是__________；它们是第________象限角，其中最小的正角为________；最大的负角为_________.17．（2020·上海高一课时练习）终边在第二、四象限角平分线上的角的集合：______________． 18．（2017·上海市金山中学高一月考）1200的角属于第_________象限.三、解答题19．（2020·上海高一课时练习）在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列角的集合：（1）222,63A k k k Z ππαπαπ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭； （2）,63B k k k Z ππαπαπ⎧⎫=+<+∈⎨⎬⎩⎭.20．（2020·上海高一课时练习）在下列角的集合中，找出终边位于4π-到4π之间的所有角：（1）3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭； （2）{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ.21．（2020·上海高一课时练习）如图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1min 内转过的角度为()0180θθ︒︒<<，2min 到达第三象限，15min 回到原来位置，求θ.22．（2020·上海高一课时练习）已知0360α︒︒<<，且角α的7倍角的终边与角α的终边重合，求角α.23．（2020·上海高一课时练习）写出终边与x 轴负半轴重合的角的集合，并求在360~720-︒︒之间的角.6.1.1任意角及其度量（1）任意角一、单选题1．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ） A ．43-与677 B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与630【答案】D【分析】由终边相同的角的性质逐项判断即可得解.【详解】对于A ，因为433602677-+⨯=，所以43-与677终边相同； 对于B ，因为90036061260-⨯=-，所以900与1260-终边相同； 对于C ，因为1203603960-+⨯=，所以120-与960终边相同； 对于D ，若150360630k +⨯=，解得43k Z =∉，所以150与630终边不同.故选：D.2．（2020·上海高一课时练习）若α是第二象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第一象限角或第二象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第一象限角或第四象限角【答案】C【分析】根据α是第二象限角，得22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，,422k k k Z παπππ+<<+∈，即可得解.【详解】由题若α是第二象限角，22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，,422k k k Z παπππ+<<+∈，当k 为偶数时，2α终边在第一象限，当k 为奇数时，2α终边在第三象限， 则2α是第一象限角或第三象限角.故选：C 【点睛】此题考查根据角的终边所在象限判断其半角所在象限，关键在于熟练掌握任意角的概念.3．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ±【答案】B【分析】利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得.【详解】A 不是终边相同的角，2k π终边在x 轴的正半轴上，k π终边在x 轴轴上；B 是终边相同的角；C 不是终边相同的角 6k ππ+终边落在直线y x=上， 26k ππ±终边落在,0y x =≥,0y x x =≥两条射线上； D 不是终边相同的角，2k π终边落在坐标轴上，2k ππ±终边落在y 轴上.故选：B【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k 取值进行比较验证.4．（2020·上海高一课时练习）与角240︒终边相同的角的集合是（ ）A ．5,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．52,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．4,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】利用终边相同的角的定义，结合42403π︒=，即可求解. 【详解】42403π︒=，∴与角240︒终边相同的角的集合是42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，故选：D【点睛】本题考查终边相同的角的定义，属于简单题.5．（2020·上海高一课时练习）终边在y 轴上的角的集合不能表示成( )A ．2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭B ．1,22k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭C ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】分别写出终边落在y 轴正半轴和负半轴上的角的集合，然后进行分析运算即可得解. 【详解】终边落在y 轴正半轴上的角的集合为：2,(21),22k k Z k k Z ππθθπθθπ⎧⎫⎧⎫=+∈==+-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，终边落在y 轴负半轴上的角的集合为：2,(21),22k k Z k k Z ππθθπθθπ⎧⎫⎧⎫=-∈==-+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故终边在y 轴上的角的集合可表示成为2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭， 故A 选项可以表示；将2,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭与(21),2k k Z πθθπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭取并集为： ,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，故C 选项可以表示；将(21),2k k Z πθθπ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭与2,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭取并集为： ,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，故终边在y 轴上的角的集合可表示成为,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，故D选项可以表示；对于B 选项，当1k =时，0θ=或θπ=，显然不是终边落在y 轴上的角； 综上，B 选项不能表示，满足题意.故选：B .【点睛】本题考查轴线角的定义，侧重对基础知识的理解的应用，考查逻辑思维能力和分析运算能力，属于常考题.6．（2019·上海市宜川中学高一期中）已知下列四组角的表达式(各式中k Z ∈)()123k ±ππ与3±k ππ；()22k±ππ与22k +ππ；()32k -ππ与2k ππ+；()42k ±ππ与k π， 其中表示具有相同终边的角的组数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用特值排除（1），利用终边判断（2），（3），（4） 【详解】对（1），当41,33k k πππ=+=，不存在23k ππ±与之对应，不正确；对（2），2k ππ±表示终边在y 轴上的角，2+2k ππ表示终边在坐标轴y 轴正半轴的角；不正确；对（3），+22k k ππππ-，表示终边在y 轴上的角，正确对（4），2k ππ±表示 终边在x 轴负半轴的角；k π表示终边在x 轴上的角, 不正确；故选B 【点睛】本题考查终边相同的角的判断，是基础题 二、填空题7．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限. 【答案】二【分析】根据α是第三象限角，求得3α的范围，分别令3k m =，31k m =+，32,()k m m Z 可判断3α终边所在象限，即可得答案. 【详解】由题意得：360180360270,()k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，所以1206012090,()3k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,()km mZ 时，3606036090,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第一象限；当31,()k m mZ 时，360180360210,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第三象限； 当32,()km mZ 时，360300360330,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第四象限，所以3α的终边一定不在第二象限，故答案为：二 8．（2018·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）2020是第______象限角. 【答案】三【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为三．【点睛】本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题．9．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限 【答案】三【分析】利用终边相同的角的公式{}360,S k k Z ββα==+⋅∈化简可得. 【详解】2020θ=︒,2020=5360+220θ∴=︒⨯220在第三象限，2020θ=︒在第三象限.故答案为：三 【点睛】本题考查终边相同的角所在的象限.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}360,S k k Z ββα==+⋅∈或{}2,S k k Z ββαπ==+∈．10．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________. 【答案】285-︒【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒.故答案为：285-︒【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题.11．（2020·上海市洋泾中学高一期末）与4π角终边重合的角的集合是________ 【答案】{|2,}4ππ=+∈x x k k Z【分析】根据终边相同的角的定义求解.【详解】由终边相同的角的定义得： 与4π角终边重合的角是2,4x k k Z ππ=+∈， 所以与4π角终边重合的角的集合是{|2,}4ππ=+∈x x k k Z . 故答案为：{|2,}4ππ=+∈x x k k Z 【点睛】本题主要考查终边相同的角的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.12．（2020·上海高一课时练习）在[0,2]π中与274π终边相同的角为________. 【答案】34π 【分析】将274π终边相同的角表示为272,4k k Z βππ=+∈，解不等式即可得解. 【详解】与274π终边相同的角为272,4k k Z βππ=+∈， 令272719022,,,488k k Z k k Z πππ≤+≤∈-≤≤-∈，所以3k =-， 273644πβππ=-=，所以在[0,2]π中与274π终边相同的角为34π.故答案为：34π【点睛】此题考查终边相同的角的表示方法，关键在于熟练掌握终边相同的角的表示方法，根据题意建立不等式求解.13．（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，则2α是第______象限的角. 【答案】二或四【分析】根据α是第三象限角，得到3222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，再得到3224k k παπππ+<<+，k Z ∈，然后讨论k 的奇偶可得答案. 【详解】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，k Z ∈， 所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角，当k 为奇数时，2α为第四象限角. 故答案为：二或四.【点睛】本题考查了象限角，考查了由角的象限判断半角的象限，属于基础题.14．（2020·上海高一课时练习）终边在第一、第三象限平分线上的角α的集合可表示为____________. 【答案】,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先分析角α为锐角时的情况，再根据角α终边的周期性求解即可.【详解】当角α为锐角时，易得4πα=，又第一、第三象限平分线上的角终边以π为周期，故角α的集合可表示为,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 故答案为：,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了终边相同的角的弧度制表达，属于基础题.15．（2020·上海高一课时练习）四个角的大小分别为170°，480-︒，1500-︒，870°，其中终边在第二象限的角有_________.【答案】170°，870°【分析】将各角写成终边相同的角的集合,即360,k k Z α+⋅︒∈的形式并判断.【详解】170︒是第二象限的角；480720240-︒=-︒+︒是第三象限角；150********-︒=-︒⨯+︒是第四象限角；8703602150︒=︒⨯+︒是第二象限角.故答案为：170°，870°【点睛】本题考查了将角表示成终边相同的角的集合并判断终边是第几象限的角，属于容易题.16．（2020·上海高一课时练习）与8弧度终边相同的所有角是__________；它们是第________象限角，其中最小的正角为________；最大的负角为_________.【答案】{|28,}=+∈k k Z ααπ 二 82π- 84π-【分析】直接根据角度终边定义得到答案.【详解】与8弧度终边相同的所有角是{}|28,k k Z ααπ=+∈，它们是第二象限角， 当1k =-时，最小的正角为82π-；当2k =-时，最大的负角为84π-.故答案为：{|28,}=+∈k k Z ααπ；二；82π-；84π-.【点睛】本题考查了终边相同的角，属于简单题.17．（2020·上海高一课时练习）终边在第二、四象限角平分线上的角的集合：______________． 【答案】3,4k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】当角的终边在第二象限的平分线上时，则324k παπ=+，k Z ∈，当角的终边在第四象限的平分线上时，则724k αππ=+，k Z ∈，问题得以解决． 【详解】解：设角的终边在第二象限和第四象限的平分线上的角为α， 当角的终边在第二象限的平分线上时，则324k παπ=+，k Z ∈， 当角的终边在第四象限的平分线上时，则724k αππ=+，k Z ∈， 综上，324k παπ=+，k Z ∈ 或724k παπ=+，k Z ∈，即34k παπ=+，k Z ∈， 故答案为：3,4k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查终边相同的角的概念及表示方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（2017·上海市金山中学高一月考）1200的角属于第_________象限.【答案】二【解析】00001200=3360+120,120⨯在第二象限,所以1200的角属于第二象限三、解答题19．（2020·上海高一课时练习）在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列角的集合：（1）222,63A k k k Z ππαπαπ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭； （2）,63B k k k Z ππαπαπ⎧⎫=+<+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）在平面直角坐标系中，先画出22,263ππαπαπ=+=+k k 的终边，再由角的范围画出.（2）在平面直角坐标系中，先画出,63ππαπαπ=+=+k k 的终边，再由角的范围画出.【详解】（1）如图：（2）如图：【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.20．（2020·上海高一课时练习）在下列角的集合中，找出终边位于4π-到4π之间的所有角：（1）3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭； （2）{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ. 【答案】（1）1395371115,,,,,,,44444444----ππππππππ；（2）590-︒，230-︒，130°，490° 【分析】（1）分别令4,3,22,3k =---，可得结果；（2）分别令2,1,0,1k =--，可得结果；【详解】（1）由于3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 当4k =-时，134πα=-；当3k =-时，94πα=-； 当2k =-时，54πα=-；当1k =-时，4πα=-； 当0k =时，34πα=；当1k =时，74πα=； 当2k =时，114πα=；当3k =时，154πα=； ∴该集合中终边位于4π-到4π之间的角为1395371115,,,,,,,44444444----ππππππππ. （2）由于{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ，当2k =-时，590β=-；当1k =-时，230β=-；当0k =时，130β=；当1k =时，490β=；∴该集合中终边位于4π-到4π之间的角为590,230,130,490--.【点睛】本题主要考查终边相同的角的集合，利用k 的取值求出对应范围内终边相同的角，属于基础题.21．（2020·上海高一课时练习）如图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1min 内转过的角度为()0180θθ︒︒<<，2min 到达第三象限，15min 回到原来位置，求θ.【答案】θ为96°或120°【分析】由题意结合任意角的概念、象限角的定义及终边相同的角的概念可转化条件为0180180227015360()k k Z θθθ︒︒︒︒︒⎧<<⎪<<⎨⎪=⨯∈⎩，即可得解. 【详解】由题意得0180180227015360()k k Z θθθ︒︒︒︒︒⎧<<⎪<<⎨⎪=⨯∈⎩，解得24,︒=⋅∈k k Z θ，且90135︒︒<<θ，所以满足题意的θ为96°或120°.【点睛】本题考查了任意角、象限角及终边相同的角的概念的应用，考查了运算求解能力，关键是合理转化题目条件，属于基础题.22．（2020·上海高一课时练习）已知0360α︒︒<<，且角α的7倍角的终边与角α的终边重合，求角α.【答案】60°，120°，180°，240°，300°【分析】根据终边相同角的性质，结合已知列出等式，再根据角α的取值范围进行求解即可.【详解】因为角α的7倍角的终边与角α的终边重合，所以有7360,k k Z αα︒=+⋅∈，解得60,k k Z α︒=⋅∈，而0360α︒︒<<，所以603600,k k Z ︒︒︒<<⋅∈，解得06,k k Z <<∈，即1,2,3,4,5k =，当1k =时，60α︒=；当2k =时，120α︒=；当3k =时，180α︒=；当4k =时，240α︒=；当5k =时，300α︒=，所以角α的值为：60°，120°，180°，240°，300°.【点睛】本题考查了终边相同角的性质，考查了数学运算能力，属于基础题.23．（2020·上海高一课时练习）写出终边与x 轴负半轴重合的角的集合，并求在360~720-︒︒之间的角.【答案】{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；180-︒，180°，540°【分析】根据终边与x 轴负半轴重合的角的性质，结合所给的范围进行求角即可.【详解】因为在0~360︒︒范围内，终边与x 轴负半轴重合的角为180︒，因此与180︒角终边相同的角构成集合{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；当360720α-︒<<︒时，有360360180720,k k Z ︒︒-︒<⋅+<︒∈， 解得：33,22k k Z -<<∈，因此1,0,1k =-， 当1k =-时，180α︒=-；当0k =时，180α︒=；当1k =时，540α︒=，所以终边与x 轴负半轴重合的角的集合是{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；在360~720-︒︒之间的角为180-︒，180°，540°.【点睛】本题考查了终边与x 轴负半轴重合的角的性质，考查了数学运算能力，属于基础题.。
上海市浦东新区沪新中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(教师版)
2019学年第二学期期中教学质量检测高一数学一.填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.已知角α的终边经过点()5,12P -，则sin cos αα+=__________. 【答案】713【解析】【分析】求出点P 到坐标原点的距离，根据三角函数的定义，求出sin ,cos αα，即可求解.【详解】设坐标原点为,||13O OP =，1257sin ,cos sin cos 131313αααα∴==-∴+=，. 故答案为：713 【点睛】本题考查三角函数定义的应用，属于基础题.2.函数lg(53)y x -的定义域为____________. 【答案】5[1,)3【解析】【分析】根据函数解析式的限制条件，列出不等式，即可求解. 【详解】函数有意义需，lg 0530x x ≥⎧⎨->⎩解得513x ≤<， 所以函数的定义域为5[1,)3. 故答案为：5[1,)3.【点睛】本题考查函数的定义域，注意对数函数性质的应用，属于基础题.3.用弧度制表示所有与75︒终边相同的角的集合是______________.【答案】5{|2,}12k k Z ααππ=+∈ 【解析】【分析】 根据角度和弧度关系，以及终边相同角的关系，即可求解. 【详解】57512π︒=∴Q ，与75︒终边相同的角的集合是5{|2,}12k k Z ααππ=+∈。
故答案为：5{|2,}12k k Z ααππ=+∈ 【点睛】本题考查角单位互化、终边相同角的集合表示，属于基础题.4.函数2log (1)y x =-，[)3,x ∈+∞的反函数为_______________.【答案】21,[1,)x y x =+∈+∞【解析】【分析】先求出函数的值域，然后由函数解析式将x 用y 表示，即可得出结论.【详解】函数2log (1)y x =-，[)3,x ∈+∞，[1,)y ∴∈+∞， 12,21y y x x -==+，所以反函数为21,[1,)xy x =+∈+∞.故答案为：21,[1,)x y x =+∈+∞.【点睛】本题考查反函数的求法，要注意反函数的定义域不要遗漏，属于基础题.5.已知2log 3m =，试用m 表示6log 9=______________. 【答案】21m m+ 【解析】【分析】根据已知，应用换底公式将所求的式子化为以2为底的对数，再结合对数运算性质，即可求解. 【详解】22622log 92log 32log 9log 61log 31m m===++.故答案为：21m m+. 【点睛】本题考查对数的运算，掌握换底公式及对数运算性质是解题关键，属于基础题. 6.001tan151tan15-=+ ．【解析】【分析】根据两角差的正切公式，可直接求出结果.【详解】00000001tan15tan 45tan15tan 301tan151tan 45tan 513-==+-=+.故答案3【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型.7.方程239(log )2log 3x x =-的解集是______.【答案】⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭【解析】【分析】对()239log 2log 3x x =-变形，再利用换元法转化成一元二次方程问题来求解即可．【详解】Q ()239log 2log 3x x =-， ∴()()()2333311log 2log 32log 3log 22x x x =-=-+ 即：()23313log log 022x x +-=，令3log t x =， 则方程可化为213022t t +-=，解得：1t =或32t =-， ∴3x =或()323x -=∴3x =或x =∴方程()239log 2log 3x x =-的解集是：3,9⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭【点睛】本题考查了对数运算性质及转化思想，利用换元方法求解．8.把2cos αα+化为sin()(0)A A αϕ+>的形式_________________. 【答案】4sin()6πα+【解析】【分析】根据辅助角公式，即可求解.【详解】12cos 4(cos )4sin()26πααααα+=+=+。
2021-22学年上海高一下沪教新版期末重难点复习专题4：幂与指数常考题专练(解析版)
【期末宝典】专题4：幂与指数常考题专练（解析版）一、单选题1．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C ()34x y =+ D =【标准答案】D 【思路点拨】利用指数幂的运算性质、根式与分数指数幂的互化可判断各选项的正误. 【精准解析】对于A 选项，()7177n n m n m m --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 1431233===≠B 选项错误；对于C 选项，()34x y =+≠C 选项错误；对于D 12123333⎛⎫= ⎪⎝⎭D 选项正确. 故选：D.2．141681-⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．32-B ．23-C ．32 D ．23【标准答案】C 【思路点拨】试卷第2页，共18页根据指数幂的运算性质可解得结果. 【精准解析】1141441622381332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.30)x >的结果是（ ）A ．xB ．2xC ．1 D【标准答案】A 【思路点拨】将指数转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可求解. 【精准解析】2112132123616x x x x x x +-⋅====， 故选：A4．计算：2332(27)9--⨯=（ ）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【标准答案】D 【思路点拨】利用指数运算化简求得表达式的值. 【精准解析】 原式()()()233223323113333933--⎡⎤=-⨯=-⨯=⨯=⎣⎦.故选：D5．在n ①N *，a ①R 时各式子有意义的是（ ） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【标准答案】B 【思路点拨】由21(4)n +-<0知②无意义；当a <0时，a 5<0，②无意义，即可得出选项. 【精准解析】由2(4)n ->0知②有意义；由21(4)n +-<0知②无意义；②中开奇数次方根，所以有意义；当a <0时，a 5<0，此时②无意义. 故选:B .63,x=则x =（ ）A ．279 B ．273C ．239D ．233【标准答案】A 【思路点拨】利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解. 【精准解析】3x ，得343x x =，即743x =，所以427739x ==.故选：A7⋅=（ ）AB ．5C ．D ．25【标准答案】C【思路点拨】利用指数幂的运算性质求解即可【精准解析】⋅2⎡⎢⎥⎣⎦==故选：C8．将85-化成分数指数幂为（）A．415x B．415x-C．13x-D．25x 【标准答案】A【思路点拨】直接根据根式和指数幂的关系计算即可.【精准解析】8818()551425315x x--⨯--⎛⎫=⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，故选：A.9．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为（）A．15730B．25 730C．1573012⎛⎫⎪⎝⎭D．1573014【标准答案】C【思路点拨】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则 5 73012m=，解方程即可得答案.试卷第4页，共18页【精准解析】设碳14的年衰变率为m ，原有量为1，则 5 73012m=，解得1573012m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以碳14的年衰变率为1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.10．若14a <）A B C ．D ．【标准答案】B 【思路点拨】由题知410a -<,进而根据指数幂化简即可. 【精准解析】因为14a <，所以410a -<= 故选:B.二、填空题11．（2021·上海·高一期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为__________. 【标准答案】78a 【思路点拨】将根式转化为有理数指数幂，应用指数幂的运算性质，即可得有理指数幂的形式.【精准解析】71118222[()]a a a a=⋅⋅=.故答案为：78a12．（2021·()0pa a=>，则p=___________.【标准答案】524【思路点拨】利用根式与指数幂的运算可求得p的值.【精准解析】a >，则111542324pa a a+⎛⎫==⎪⎝⎭，因此，524p=.故答案为：524.13．（2021·上海宝山·高一期末）代数式x⎛⎪⎪⎝⎭x＞0）可化简为________．【标准答案】x【思路点拨】利用分数指数幂与根式的运算性质求解【精准解析】解：因为0x>，所以35352222x x x x x--+⎛⋅==⎪⎪⎝⎭，故答案为：x试卷第6页，共18页14．（2021·上海金山·高一期末）已知0x >，化简(3x ________.【标准答案】7x 【思路点拨】由幂的运算法则即可求解. 【精准解析】 解：因为0x >，所以由幂的运算法则得((33927=x xx x -==，故答案为：7x .15=a 的取值范围为________.【标准答案】12a ≤【思路点拨】根据根式的性质进行化简，判断即可． 【精准解析】2112a a =-=-，因为2112a a -=-，故210a -≤，所以12a ≤． 故答案为：12a ≤． 16．下列关系式中，根式与有理数指数幂的互化正确的是________（只填序号）.①()()120;x x =->()130;y y =<试卷第8页，共18页①)340;x x ->①)13=0.x x -> 【标准答案】② 【思路点拨】利用根式与分数指数幂的互化即可求解. 【精准解析】对于②，()120x x ->，故②错误； 对于②，当y <0130,0y <，故②错误；对于②，)340x x -=>，故②正确；对于②，13x -，故②错误. 故答案为：②.17．化简：2132111136251528x y x y x y --=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________. 【标准答案】2316x 【思路点拨】按照指数的运算性质计算即可. 【精准解析】原式2121111133322668525x y -+-+--+=⨯⨯02316x y =2316x =. 故答案为：2316x .180=，则()2019yx =__________.【标准答案】-1 【思路点拨】根据题目条件推出1x =-，3y =-，再计算()2019yx 的值.【精准解析】0，130x y +++=，因为10x +≥，30+≥y ，所以由130x y +++=，得10x +=，30y +=， 解得1x =-，3y =-. 所以()2019201911x =-=-，()()3201911yx -=-=-.故答案为：1-.19．（2021·上海闵行·高一期末）已知0a >，0b >，化简：22315166242()()3a b a b a b =-________ 【标准答案】166b - 【思路点拨】直接利用指数幂的运算性质化简求值即可. 【精准解析】0a >，0b >，则22115112321036266615166243466223a b a b a b b a b a b ----⎛⎫=⨯-⋅⋅=-=- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.试卷第10页，共18页故答案为：166b -.20．（2020·上海南汇中学高一期末）已知函数()2x g x =，若0a >，0b >，且()()2g a g b =，则ab 的取值范围是________． 【标准答案】10,4⎛⎤⎥⎝⎦【思路点拨】根据()()2g a g b =可得1a b +=，再将ab 化为关于a 的二次函数，利用二次函数知识可求得结果. 【精准解析】依题意可得222a b ⋅=，即22a b +=，所以1a b +=， 所以10b a =->，所以01a <<，所以2211(1)()24ab a a a a a =-=-+=--+1(0,]4∈.故答案为：10,4⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题 21．化简下列各式： （15；（26；（3【标准答案】（1）-4；（2）4；（3）当x ≥-2时，原式=x +2，当x <-2时，原式=-x -2. 【思路点拨】（1）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（2利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（3）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化分情况化简即可求解. 【精准解析】（1）原式=（-2）+（-2）=-4. （2）原式=|-2|+2=2+2=4.（3）原式=|x +2|=2,2,2, 2.x x x x +≥-⎧⎨--<-⎩22．用有理数指数幂的形式表示下列各式（a >0，b >0）.（1）a（2（3）2（42；（5；（6【标准答案】（1）52a ；（2）136a ；（3）7362a b ；（4）76a ；（5）23a -；（6）11463a b -. 【思路点拨】将根式转化为分数指数幂结合指数的运算性质逐一计算即可. 【精准解析】（1）原式=11522222a a a a +⋅==. （2）原式=22313333262a a a a +⋅==.试卷第12页，共18页（3）原式=2217133333262222a a b a b a b +⋅==. （4）原式=557-2-2666a a a a ⋅==. （5）原式=23a -.（6）原式11463a b -.23．（2020·上海市洋泾中学高一期中）已知实数x 满足210x mx -+=，求： （1）22x x -+（用m 表示）； （2）1x x --（用m 表示）.【标准答案】（1）22m-；（2）【思路点拨】（1）由210x mx -+=得211x m x x x+==+，再两边平方可得结果；（2）根据1x x--=.【精准解析】（1）由210x mx -+=知0x ≠，所以211x m x x x +==+，所以221m x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2212x x =++，所以2222x x m -+=-.（2）由（1）2222x x m -+=-， 所以1x x--===【名师指导】关键点点睛：第（2）问根据1xx --=.24．（2020·上海·高一单元测试）(1)计算：013134210.064160.258-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭；(2)已知13x x -+=，求44x x --的值. 【标准答案】(1)10；(2) ± 【思路点拨】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）由13x x -+=平方得227x x -+=，进而得4447x x -=+，再利用()22244245xx x x ---=-+=即可得出．【精准解析】 (1)原式511181022==-++= (2)由13x x -+= 得227x x -+= ②4447x x -=+②()22244245x x x x ---=-+=即22x x --=±【名师指导】本题考查了指数运算性质、乘法公式及其变形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（2020·上海·高一单元测试）（①）计算：()162164200849-⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭（①111133420,0)a b a b a b ->>⎛⎫⎪⎝⎭试卷第14页，共18页【标准答案】（②）100；（②）ab【思路点拨】（I ）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. （II ）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. 【精准解析】（②）原式1222372341427711004⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （②）原式11123223323111111212633311233a b a b a a b ab b ab a b +-++----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====. 【名师指导】本小题主要考查根式和指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题. 26．化简下列各式（1）()1620.251648202049-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（2)11420,0a b a b >>⎛⎫ ⎪⎝⎭【标准答案】（1）98；（2）ab.【思路点拨】（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简. 【精准解析】（1）原式1111324472342814⎛⎫=⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭()144277281 =⨯--⨯-10872198=---=；（2）原式()1110812232233354331127272333333a ba b aba b ab ab b a a b a b-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦====⋅⋅【名师指导】关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式.27(3a=-成立的实数a的取值范围.【标准答案】[-3，3]【思路点拨】a==-成立，即可得出3030aa-≤⎧⎨+≥⎩，解得即可．【精准解析】a==-要使(3a a--成立，需3030aa-≤⎧⎨+≥⎩，解得a②[-3，3]．【名师指导】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28．计算下列各式：试卷第16页，共18页（1）()1020.52312220.0154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （322.551030.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）)0x ⎛> ⎪ ⎪⎝⎭；（5）()21113322156630,0.13a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>> 【标准答案】(1)1615；(2)100；(3)3；(4)2x ；(5)9a -. 【思路点拨】利用根式与分数指数幂的互化，根式的性质，指数幂的运算性质计算求值. 【精准解析】(1)原式()1122221412116110129431015-⎛⎫=+⨯-=+⨯-= ⎪⎝⎭. (2)原式()12232125273710396448--⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5937100331648=++-+100=. (3)原式()1315270.4128-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5350.51222=-++-3=.(4)原式31222x x x =⋅=. (5)原式21111532623699a b a +-+-=-=-.29．将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2（x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【标准答案】（1）34a ；（2）35x -；（3）19b . 【思路点拨】（1）原式=1322a ⎛⎫⎪⎝⎭=34a .（2）原式19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=35x -. （3）原式=213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=19b . 【精准解析】（1）原式1322a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=34a . （2）原式=19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=351x =35x -. （3）原式=213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=212343b ⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭=19b . 30．已知x+x -1=4，其中0<x <1，求221x x --的值. 【标准答案】-试卷第18页，共18页【思路点拨】由题求出x -x -1=-12x +12x -. 【精准解析】因为x+x -1=4，所以12()x x -+=x 2+x -2+2=16，即x 2+x -2=14，则12()x x --=x 2+x -2-2=12.因为0<x <1，所以x<x -1，所以x -x -1=-21122x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭x+x -1+2=6， 故12x +12x -，所以()()112211224=1x x x xx x x x ----⨯-+--==-+。
专题01 三角 高一数学下学期期末考点(沪教版2020必修二)
因为 M＋N
＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin 80°)
＝2＋ 3sin 100°，
①
M－N
＝(sin 220°－cos 220°)＋(cos 280°－sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°－cos 20°sin 80°)
【变式】求值：
.
1＋cos 10°
[解]
2sin 80°1
3
2sin 50°＋
cos
10°
＋
sin
10°
cos 10°2
2
原式＝
2cos 5°
2sin 80°
2sin 50°＋
cos60°－10°
cos 10°
＝
2cos 5°
＝
2
2
2
sin 50°＋ cos 50° 2cos50°－45°
【变式】 (1)设 α 为锐角，若
π 4
cos α＋6＝5，求
π
sin 2α＋12的值．
α
2
β
π
1
(2)已知 0＜β＜2＜α＜π，且 cosα－2＝－9，sin2－β＝3，求 cos(α＋β)的值．
π 4
(1)因为 α 为锐角且 cosα＋6＝5，
高一沪教版数学下册期末考点大串讲
2023年上海中学高一下期中数学试卷及答案
上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠=，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．11.设()202320222021f x x x =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t =，s的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s的最小值为3π14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.4B.4C.14D.14-15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.1116.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．【答案】2rad 【解析】【分析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，根据题意，由24R l +=，112lR =求解.【详解】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，则24R l +=．①由扇形的面积公式12S lR =，得112lR =．②由①②得1R =，2l =，∴2rad lRα==．∴扇形的圆心角为2rad ．故答案为：2rad2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．【答案】34-【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值．【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=，3y ∴=-，则3tan 44y θ==-，故答案为34-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．【答案】16【解析】【分析】利用正余的倍角公式，将2cos2sin21cos θθθ-+转化成齐次式即可求出结果.【详解】因为2222222cos2sin2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 1cos 2cos sin 2tan θθθθθθθθθθθθ-----==+++，又tan 2θ=-，所以2cos2sin214411cos 246θθθ--+==++.故答案为：16.4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．【答案】3226-【解析】【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式即得.【详解】π02α<<，ππ5ππ,sin 03363αα⎛⎫∴<+<+> ⎪⎝⎭，所以π22sin 33α⎛⎫+==⎪⎝⎭，则()ππsin πsin sin 33ααα⎡⎤⎛⎫+=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦221133232⎛=-⨯-⨯= ⎝⎭3226-.故答案为：3226-.5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________【答案】π【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数sin 21y x =+，根据最小正周期等于2πω求出结果.【详解】函数()222sin cos sin cos 2sin cos sin 21y x x x x x x x =+=++=+，∴函数的最小正周期为22ππ=故答案为：π.6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________【答案】43【解析】【分析】根据面积公式得到1sin 2S ac B =⋅,根据余弦定理得到2222cos a c b ac B +-=⋅,对等式进行整理,即可得到tan B 的值【详解】由三角形面积公式可得1sin 2S ac B =⋅,由余弦定理可得2222cos a c b ac B+-=⋅ 2221()3S a c b =+-,11sin 2cos 23ac B ac B ∴⋅=⋅⋅又0a > ,0c >,12sin cos 23B B ∴=,2sin 431cos 32B B ∴==,即4tan 3B =故答案为43【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.【答案】(3,2]--【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后将0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，转化为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象，利用数形结合法求解.【详解】函数2()cos 2cos 222x x x f x ωωω=+，cos 1x x ωω=++，2sin 16x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的周期为，所以2323πωπ==，()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，所以0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象如图所示：由图象可知：23k ≤-<，即2k -3<≤-，所以实数k 的取值范围是(3,2]--，故答案为：(3,2]--【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据x 的范围可确定x ω的范围，由正弦型函数最值可确定x ω所满足的不等关系，解不等式组可求得ω的范围.【详解】当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，,34x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由题意可知：32223222242k k k k ππππωπππππωπ⎧-+<-≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤<+⎪⎩，Z k ∈，解得：3966222828k k k kωω⎧-≤<-⎪⎨⎪-+≤<+⎩，Z k ∈，0ω> ，9602280k k ⎧->⎪∴⎨⎪+>⎩，解得：4143k -<<，又Z k ∈，0k ∴=，392222ωω⎧≤<⎪∴⎨⎪-≤<⎩，322ω∴≤<，即ω的取值范围为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠= ，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合{})2⎡⋃+∞⎣，即可确定一个a的可能取值是【详解】解：由已知及正弦定理sin sin a b A B=22sin 2B =，可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合为：{})2⎡⋃+∞⎣．可得a 的可能取值是故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．【答案】()ππZ 26k k θ=-∈【解析】【分析】根据题意利用韦达定理可得,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，结合三角恒等变换化简可求得πsin 203θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】依题意可知,a b 为2cos220x θ-+=的两根，11,a b为224sin210x x θ++=的两根，需满足2248cos 280,16sin 280θθ'∆=->∆=->，即215sin 226θ<<，故,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，故11a b a b ab++=，则2sin 22θθ-=，π2sin 202sin 20,3θθθ⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭，()()πππ2πZ ,Z 326k k k k θθ+=∈∴=-∈，经验证满足215sin 226θ<<故答案为：()ππZ 26k k θ=-∈11.设()202320222021f x xx =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(][),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数，利用奇偶性、单调性将不等式转化恒成立问题，利用换元法结合二次函数的性质求解即可.【详解】令()()202320212022g x f x xx =-=+，由()g x 定义域为R ，且()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，且2023222,0y x y x ==在R 单调递增，所以()g x 在R 单调递增，所以不等式()()22sin cos 1cos f x a x af x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，()()22sin cos 20211cos 2021f x a x a f x ⇔++-≥+-，()()22sin cos 1cos g x a x a g x ⇔++≥+，22sin cos 1cos x a x a x ⇔++≥+，即221cos cos 1cos x a x a x ⇔-++≥+，()22cos 1cos 0x a x a ⇔+--≤在R 恒成立，设[]cos ,1,1t x t =∈-，则问题转化为：()2210t a t a +--≤在[]1,1t ∈-上恒成立，又因为()22Δ140a a =-+>，所以()()()()2222221110201110a a a a a a a a ⎧⎧-≥-+-⨯--≤⎪⇒⎨⎨+-≥+-⨯-≤⎪⎩⎩，解得：2a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围是：(][),21,-∞-+∞ .故答案为：(][),21,-∞-+∞ .12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．【答案】144【解析】【分析】利用正弦定理角化边，可得223kb ac bc +>恒成立，化简为223bc ac k b -⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，将223bc acb-化为二次函数性形式，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】由2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，可得223kb ac bc +>，即223bc ac k b -⎛⎫>⎪⎝⎭恒成立，又因为ABC 中，a b c +>，则()()()222232323b a c b a a b bc ac b b b --+-=<22222311144a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=-+⋅+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当11a b =时，211144a b ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭取得最大值144，即223144bc ac b -<，故144k ≥，即实数k 的最小值为144，故答案为：144二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A.12t =，s 的最小值为6πB.32t =，s的最小值为6π C.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.624 B.624C.314D.314-【答案】B 【解析】【分析】设角θ所在的扇形的半径为r ，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得θ，利用两角和的余弦公式即可求解cos2θ的值．【详解】解：设角θ所在的扇形的半径为r ，由扇形的面积公式可得21||2S r θ=⋅，则215||212S r πθ==，可得5coscos cos cos cos sin sin 212464646θπππππππ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭122224=-⨯=.故选：B.15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.11【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数图象的平移求得()g x 的解析式，根据已知求得1π34x +的最大值和2π34x +的最小值，即可求得1x 的最大值以及2x 的最小值，即得答案.【详解】将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像,即()π2sin 314g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()[3,1]g x ∈-，故由()()129g x g x ⋅=可得()()123,3g x g x =-=-，则12ππsin 31,sin 3144x x ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]12,0,4πx x ∈，故12ππ49πππ49π,3,344444,4x x ⎡⎤⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以需1π34x +取到最大值23π2，2π34x +取到最小值3π2，即1x 取到最大值15π4，2x 取到最小值5π12，此时12x x 取最大值，即12x x 最大值为15π95412π=，故选：A16.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1【答案】C 【解析】【详解】解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f （x ）+f （x-c ）=2，于是取a=b=12，c=π，则对任意的x ∈R ，f （x ）+f （x-c ）=1，由此得cos b ca=-1，选C 三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.【答案】232()433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意，根据,B C 是半周期内的两个相邻的零点，求得4w =，进而求得3A =和23πφ=-，即可得到函数的解析式；【详解】（1）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是半周期内的两个相邻的零点，则2,,2236T T w πππ=-∴=∴=0321230sin A Asin πφπφπφπφ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪=⎧⎪⎪⎛⎫+=⇒⎨⎨⎪=-⎝⎭⎪⎪⎩⎪-<<⎪⎩所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是一周期内的两个不相邻的零点，则2,,4362T T w πππ=-∴=∴=()2023331203sin A Asin πφπφππφφ⎧⎛⎫+= ⎪⎧⎪⎝⎭=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪-<<=-⎪⎪⎩⎪⎩所以函数()2sin 433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及三角函数的解析式的求解，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.【答案】（1）2a =，（2）73π.【解析】【分析】（1）由2sin tan 12cos CA C=-,根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式可得sin 2sin A B =，再由正弦定理可得2a b =，问题得以解决；（2）由（1）可得2a =，先由余弦定理求出cos C ，再求出C 的值，再由正弦定理求出外接圆的半径，问题得以解决.【小问1详解】因为2sin tan 12cos CA C=-，所以sin 2sin cos 12cos A CA C=-，所以sin (12cos )2cos sin A C A C -=，所以sin 2sin cos 2cos sin 2sin()A A C A C A C =+=+，因为πA C B +=-，所以sin()sin(π)sin A C B B +=-=，所以sin 2sin A B =由正弦定理得2a b =.因为1b =，所以2a =.【小问2详解】因为c =2a =，1b =，所以由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即714212cos C =+-⨯⨯，即1cos 2C =-，因为()0,πC ∈所以2π3C =，设ABC 的外接圆半径为R，则22πsin 3R=，解得213R =，所以ABC 的外接圆面积为27ππ3R =.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．【答案】（1）增区间ππ[π,π36Z ],k k k -+∈，减区间为 π2π[63π+,πZ k k k +∈；π（2）[0,2]【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得()π2sin(216f x x =++，结合正弦函数性质即可求得答案；（2）根据函数的奇偶性求得a 的值，结合余弦函数性质可求得答案.【小问1详解】因为a =()πcos212sin(2)16f x x x x =++=++，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈，即函数()y f x =的单调增区间为ππ[π,π36],Z k k k -+∈；令ππ3π2π+22π,Z 262k x k k ≤+≤+∈，解得π2ππ+π,Z 63k x k k ≤≤+∈，函数()y f x =的单调减区间为π2π[π+,π],Z 63k k k +∈函数的周期为2ππ2T ==.【小问2详解】函数()y f x =为偶函数，则()()f x f x -=，即sin(2)cos(22)1ππsin2cos(22)1a x x a x x -+++=+-+，即sin2cos21sin2cos21a x x a x x -++=++，即sin20a x =，由于x ∈R ，则0a =，故()()cos 2π21cos 21f x x x =-+=+，由于cos 2[1,1]x ∈-，故()[0,2]f x ∈.20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．【答案】（1）()21sin cos 2sin cos S R θθθθ=+-，22sin 2S R θ=；（21-【解析】【分析】（1）先利用θ及R 表示出,AC BC 的长，即可表示出2S ，进而设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，表示出ME 的长，结合三角形面积公式即可表示出1S ；（2）利用（1）的结论可得12S S 的表达式，结合三角函数sin cos ,sin cos θθθθ+之间的关系化简，并利用函数单调性，即可求得答案.【小问1详解】因为π,(0,]2ABC θθ∠=∈，故2sin 2cos ,AC R BC R θθ==，所以22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==，设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥,设MO 交AC 于点E ，则()cos 1cos 2BCME MO OE R R R R θθ=-=-=-=-，则()21||||sin 1cos 2AMC S AC ME R θθ=⋅=- ，同理求得()2cos 1sin BNC S R θθ=- ，故()()()2221sin 1cos cos 1sin sin cos 2sin cos S R R Rθθθθθθθθ=-+-=+-.【小问2详解】由（1）的结论可得()2122sin cos 2sin cos sin cos 12sin cos 2sin cos R S S R θθθθθθθθθθ+-+==-，令πsin cos ,0,2t θθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则(π)4t θ=+∈，故22sin cos 1t θθ=-，所以12211111S t S t t t=-=---，由于(t ∈，1y t t =-在(上单调递增，则12(0,]2t t-∈，故1111t t-≥-，即12S S1-.21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值【答案】（1）证明见解析（2）[2,)π+∞（3）0【解析】【分析】（1）取非零常数2πT =，证明函数满足()()f x T f x +≥即可；（2）根据函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，可推出22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为cos 22πk x ≥-，结合余弦函数性质可得答案；（3）由“严格T 函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合()sin f x 是奇函数，利用其对称性即可求得答案.【小问1详解】证明：取非零常数2πT =，则对任意的x ∈R ，都有()2πsin(2π)sinx f x x +=+=，因为sin sin x x ≥，即()()f x T f x +≥成立，故()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”.【小问2详解】函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，R D =，则()π2f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得cos 22πk x ≥-，而cos 2[1,1]x ∈-，故π21,2πk k ≥∴≥，即k 的取值范围为[2,)π+∞；【小问3详解】因为对于任意x ∈R ，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则()f x 在R 上为单调增函数，令()()sin g x f x =，x ∈R ，由题意知()()sin g x f x =为奇函数，因为()π2f a =，()π2f b =-，所以()sin(())1,()sin(())1g a f a g b f b ====-，所以()()0g a g b +=，则0a b +=.【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题.。
上海市(沪教版)高中数学高一(下)期中数学试卷试题节选(25份期中节选题 )
上海市高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计36分）1．已知角α的终边在射线y =−43x(x ≤0)上，sin α+cos α＝ ；2．一扇形的中心角为π3弧度，中心角所对的弦长为2cm ，则此扇形的面积为 cm 2；3．若θ∈（π4，π2），sin2θ=116，则cos θ﹣sin θ的值是 ． 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ．12．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC 的面积S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]．其中a ，b ，c分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边．若b ＝2，且tan C =√3sinB1−3cosB，则△ABC 的面积S 的最大值为 ．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ．若c ﹣a cos B ＝（2a ﹣b ）cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形14．张晓华同学骑电动自行车以24km /h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是（ ）A ．2kmB ．3√2kmC ．3kmD ．2√2km19．如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂足的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；1．设sinα＜0且tanα＞0，则α所在的象限是．4．已知sin(α+π2)=13，α∈(0，π2)，则tanα＝．5．若tan（α−π4）=16．则tanα＝．9．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则cos（α﹣β）＝．10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为．14．已知sin(π4−α)=m，则cos(5π4+α)=（）A．m B．﹣m C．√1−m2D．−√1−m217．已知函数f(x)=1−√2sin(2x−π4)cosx，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=−43，求f（α）的值．20．如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cos A=1213，cos C=35．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？一.填空题1．已知角θ的终边在射线y ＝2x （x ≤0）上，则sin θ+cos θ＝ ．2．若π＜α＜3π2，则√12+12√12+12cos2α= ．4．在△ABC 中，若sinAsin(π2−B)=1−cos(π2−B)cosA ，则△ABC 为 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）5．若cos(α+β)=35，cos(α−β)=45，则tan αtan β＝ ．二.选择题13．若−π2＜α＜0，则点（cot α，cos α）必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限三.简答题 17．求证：sin(2α+β)sinα−2cos （α+β）=sinβsinα．18．已知tan2θ=−2√2，θ∈(π4，π2)． （1）求tan θ的值；（2）求2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(π4+θ)的值．上海市实验中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共70分）1．已知角α的终边经过点P（3，√3），则与α终边相同的角的集合是．2．方程lg（x﹣3）+lgx＝1的解x＝．3．关于x的方程πx=a+12−a只有正实数解，则a的取值范围是．4．若tanα=13，tan(α+β)=12，则tanβ＝．5．已知sin（α+π6）=13，则cos（2α−2π3）的值是．7．若3sinα+cosα＝0，则1cos2α+2sinαcosα的值为．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3√15，b﹣c＝2，cos A=−14，则a的值为．二、选择题：11．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．下列结论中错误的是（）A．若0＜α＜π2，则sinα＜tanαB．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角C．若角α的终边过点P（3k，4k）（k≠0），则sinα=4 5D．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度三、解答题：15．已知tanα＝2．（1）求tan（α+π4）的值；（2）求sin2αsin2α+sinαcosα−cos2α−1的值．16．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C．（Ⅰ）若a＝b，求cos B；（Ⅱ）设B＝90°，且a=√2，求△ABC的面积．17．已知实数x满足32x﹣4−103•3x﹣1+9≤0，且f(x)=log2x2⋅log2√x2．（1）求实数x 的取值范围；（2）求f （x ）的最大值和最小值，并求此时x 的值． 四．附加题19．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x +b +c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得两根14，18；乙写错了常数c ，得两根12，64．求这个方程的真正根．上海市七宝中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（本题一共12小题，前6小题4分，后6小题5分，共计54分） 1．已知−2π3≤θ≤π6，求sin θ的范围 ． 2．方程log 2（x +4）+log 2（x +2）＝3+log 2（x +6）的解是 ． 4．已知sin x =−13，且−π2＜x ＜π2，则tan （π2+x ）＝ ．5．满足tan x ＜√3且x ∈（0，π）的x 的集合为 ． 7．若α的终边在第一、三象限的角平分线上，则√1−sin 2α+√1−cos 2αcosα= ．8．已知π2＜α＜π，﹣π＜β＜0，tan α=−13，tan β=−17，则2α+β＝ ． 9．锐角△ABC 中，ba +a b=6cosC ，则tanCtanA+tanC tanB= ．10．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是 ．11．已知0＜θ＜π2，若cos 2θ+2m sin θ﹣2m ﹣2＜0对任意实数θ恒成立，则实数m 应满足的条件是 ．12．已知α，β∈（0，π2），sin α=35，cos （α+β）=−1213，则sin β＝ ．二、选择题（每小题5分，共计20分）13．已知θ∈（0，2π），且sin θ＜tan θ＜cot θ，那么θ的取值范围是（ ） A ．(π4，π2)B ．(π，5π4)C ．(5π4，3π2)D ．(π2，3π4)14．角α终边上一点P （2sin5，﹣2cos5），α∈（0，2π），则α＝（ ） A ．5−π2B ．3π﹣5C ．5D ．5+π215．在锐角△ABC 中，A ＝2B ，则a b的取值范围是（ ） A ．(0，√2)B ．(√2，√3)C ．(√3，2)D ．(√2，2)16．已知0＜α＜π2＜β＜π，cosα=35，sin(α+β)=−35，则cos β的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣1或−725C ．−2425D ．±2425三、解答题：（本题共5小题，共计76分）17．已知f （α）=sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+3π2)cos(−π−α)（1）求f （−31π3）（2）若2f （π+α）＝f （π2+α），求sinα+cosαsinα−cosα+cos 2α（3）若f （α）=35，求sin α，cos α18．一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以10nmile /h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile /h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．19．（16分）已知函数f （x ）＝log 2（4x +1）﹣ax ． （1）若函数f （x ）是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若a ＝4，求函数f （x ）的零点．上海市金山中学高一（下）期中数学试卷一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题4分，共54分）1．函数y＝2sin（3x+π6）的最小正周期为．2．已知扇形半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为．3．（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f（x）＝log a（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是4．已知角α的终边经过点P（m，﹣3），且cosα=−45，则m＝．5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝．7．设sin2α＝﹣sinα，α∈（π2，π），则tan2α的值是．8．已知tan（π﹣α）=−12，则cos(π2+α)+cosα2cosα−sinα的值是．9．已知0＜y＜x＜π，且tan x tan y＝2，sinxsiny=13，则x﹣y＝．11．已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=−25，则sinθ+cosθ＝．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若acosA =b2cosB=c3cosC，则A＝．二.选择题（每小题5分，共20分）13．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A．b＝20，A＝45°，C＝80°B．a＝30，c＝28，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝12，c＝15，A＝120°三.解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17．已知f（x）＝log2（2x﹣1）．（1）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）解方程f（2x）＝f﹣1（x）．18．已知sin（2α﹣β）=35，sinβ=−1213，且α∈（π2，π），β∈（−π2，0），求sinα的值．20．（16分）如图所示，扇形AOB ，圆心角∠AOB 的大小等于π3，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB ̂于点P ． （1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设∠COP ＝θ，求△COP 面积的最大值及此时θ的值．上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝ ．3．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为 ．6．若cos x cos y +sin x sin y =13，则cos （2x ﹣2y ）＝ ．8．关于x 的方程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是 ． 10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝ ． 11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cosAsinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC 存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为 ． 三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满足{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值． （2）求cos （α+β）的值．18．如图，等腰三角形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD 大小为α，∠CAD 大小为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC ；（2）若BD DC=12，β=α+π3，求∠B ．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：米），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD=π3，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB−cosB)(√3sinC−cosC)=4cos B cos C．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．上海市黄浦区大同中学高一（下）期中数学试卷一、填空题1．已知α是第一象限角，则π﹣α是第象限角．2．设α角属于第二象限，且|cos α2|＝﹣cosα2，则α2角属于象限．3．已知sinα+cosα=12，则tanα+cotα的值为．4．若sin(α+β)=12，sin(a−β)=13，则tanαtanβ=．6．△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2√3b，sin2A−sin2B=√3sinBsinC，则A＝．二、选择题11．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形三、解答题15．已知0＜α＜π2＜β＜π，cosβ=−13，sin（α+β）=79，求sinα的值．16．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)；（2）sin2α﹣2cos2α．18．在△ABC中，a2﹣b2+c2＝ac，log4sin A+log4sin C＝﹣1，A＝C，且△ABC的面积S=√3．（1）求角A的大小；（2）求边b的长．上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．弧度数为3的角的终边落在第 象限． 2．cos 23π8−sin 23π8= ． 5．在△ABC 中，∠A =2π3，a =√3c ，则ab= ．8．已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ−π4）＝ ． 二.选择题11．已知sinα=√1010，sin(α−β)=−√55，α，β∈(0，π2)，则β＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π613．“sin α＜0”是“α为第三、四象限角”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件三.简答题15．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． （1）求∠B 的大小；（2）求cos A +√2cos C 的最大值．上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．半径为2，圆心为300°的圆弧的长为．3．在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝3x上，则sin2θ＝．5．已知锐角α，β满足cosα=35，cos（α+β）=−513，求cosβ．7．若长度为x2+4，4x，x2+6的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．若MP和OM分别是角7π6的正弦线和余弦线，则（）A．MP＜OM＜0B．OM＞0＞MP C．OM＜MP＜0D．MP＞0＞OM14．已知α，β∈(0，π2)，则下列不等式一定成立的是（）A．sin（α+β）＜sinα+sinβB．sin（α+β）＞sinα+sinβC．cos（α+β）＜sinα+sinβD．cos（α+β）＞cosα+cosβ三、解答题（本题共5大题，满分56分）17．已经cos（2θ﹣3π）=725，且θ是第四象限角，（1）求cosθ和sinθ的值；（2）求cos(π2−θ)tanθ[cos(π+θ)−1]+sin(θ−3π2)tan(π−θ)cos(−θ)的值．19．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a cos C+12c＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（4*10＝40分）3．若tan θ＝﹣3，则sin θ（sin θ﹣2cos θ）＝ ．7．若0＜θ＜π2，则cos θ，cos （sin θ），sin （cos θ）的大小顺序为 ． 二、选择题（4*4＝16分）12．α，β∈（π2，π），且tan α＜cot β，则必有（ ）A ．α＜βB ．α＞βC ．α+β＜3π2D ．α+β＞3π2三、解答题（8+10+12+14＝44分）15．已知α，β∈（0，π），并且sin （5π﹣α）=√2cos （72π+β），√3cos（﹣α）=−√2cos （π+β），求α，β的值．17．已知函数y =sinθcosθ2+sinθ+cosθ．（1）设变量t ＝sin θ+cos θ，试用t 表示y ＝f （t ），并写出t 的范围； （2）求函数y ＝f （t ）的值域．上海中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共33分）1．角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），则sin θ＝ ．5．若π＜θ＜3π2，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ= ．8．若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则x ，y 应满足的条件为 ． 二、选择题（每题4分，共16分）12．下列各组角中，终边相同的角是（ ） A ．k2π与kπ+π2（k ∈Z ）B ．kπ±π3与k 3π（k ∈Z ） C ．（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ） D ．kπ+π6与kπ±π6（k ∈Z ）15．已知α、β∈R ，且设p ：α＞β，设q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件三、解答题16．已知关于x 的方程169x 2﹣bx +60＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(π4，3π4)． （1）求实数b 的值； （2）求sinθ1−cosθ+1+cosθsinθ的值．5．已知sin θ＝2cos θ，则tan2θ的值为 ．6．已知角α的终边位于函数y ＝﹣3x 的图象上，则cos2α的值为 ． 8．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，c ＝13，则角C 的大小为 ． 9．在△ABC 中，已知A ＝45°，B ＝105°，则ac 的值为 ．10．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝8，并且△ABC 的面积为10，则角C 的大小为 ． 11．已知sin α=1213，并且α是第二象限角，则tan α2的值为 ． 12．化简：cos （44°+θ）cos （θ﹣33°）+sin （θ﹣46°）sin （57°+θ）＝ ． 13．cos x −√3sin x 可以写成2sin （x +φ）的形式，其中0≤φ＜2π，则φ＝ ． 17．化简cos （2π﹣θ）cos2θ+sin θsin （π+2θ）所得的结果是（ ） A ．cos θ B ．﹣cos θC ．cos3θD ．﹣cos3θ一、填空题（每题3分，共计30分）1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是．2．已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P（﹣4，3）是角α终边上一点，则sinα+2cosα＝．4．已知cosx=35，x∈(−π2，0)，则tan2x＝．5．在△ABC中，若a＝4，b＝3，c＝2，则△ABC的最小角为（用反三角函数表示）6．已知sin(π2−α)=−45，α为第二象限角，则tanα2=．7．已知tan（π﹣x）＝3，则sin2x＝．二、选择题（每题4分，共计16分）11．△ABC中，“A＞B”是“cos A＜cos B”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b＝10，A＝45°，C＝60°B．a＝6，c＝5，B＝60°C．a＝7，b＝5，A＝60°D．a＝3，b＝4，A＝45°三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）15．已知0＜α＜π2，−π2＜β＜0，cos(α−β)=35，且tanα=34，求tan(β+π4)的值？16．位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20√2海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC=5√13．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=−2√1313（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．17．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=√5，b＝3，sin C＝2sin A．（1）求c的值；（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．上海市杨浦高中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．角α的终边经过点P （﹣4，3），则2sin α﹣cos α＝ ．2．扇形的圆心角为π3，它所对的弦长是3 cm ，则此扇形的面积为 cm 2．3．已知α是第三象限角，且sin(α−72π)=−15，则sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+32π)cot(−α−3π)sin(−π2−α)= ．4．如果sinα=23，cosβ=−14，α与β为同一象限角，则cos （α﹣β）＝ ． 5．已知θ是第二象限角，且sin 4θ+cos 4θ=59，则sin2θ＝ ． 6．sin 2(α−π6)+sin 2(α+π6)−sin 2α= ．7．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，sinA =√33，则△ABC 的面积是 ． 8．在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：2：4，则cos C 的值为 ． 9．若tanα2=12，则sin α+cos α＝ ． 10．已知tan α，t αn β是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个根，求sin 2（α+β）﹣3sin （α+β）cos （α+β）﹣3cos 2（α+β）的值．二、选择题（每题4分共16分） 13．有下列命题①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不相等； ③若sin α＞0，则是α第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P （x ，y ）是其终边上一点，则cos α=√，其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414．下列命题中不正确的是（ ）A ．存在这样的α和β的值，使得cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βC ．对于任意的α和β，都有cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin βD ．不存在这样的α和β值，使得cos （α+β）≠cos αcos β﹣sin αsin β 15．已知sin （π3+a ）=513，且a ∈（π6，2π3），则sin （π12+a ）的值是（ ） A ．17√226B ．−7√226C ．−17√226D ．7√226三、解答题（共48分）17．已知θ是第四象限角，且sinθ+cosθ=15，求值： （1）sin θ﹣cos θ； （2）tan θ．18．已知α∈(π4，π2)，化简√1+sinα+√1−sinα−√2+2cosα．19．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为5√6米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以 （米/秒）的速度匀速升旗．21．已知sin （2α+β）＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，y ＝f （x ）． （1）求证：tan （α+β）＝2tan α； （2）求f （x ）的解析式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f （x ）的值域．上海市徐汇区南洋中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，满分36分）1．若半径为2的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角大小为 ．（用弧度制表示） 2．角α的终边上有一点P （﹣3，4），则sin α值为 ．4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ． 8．已知α∈(0，π2)，sinα=35，则cos(π−α2)= ．9．设tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，则tan （α+π4）＝ ． 10．函数y =sinx−1sinx+2的值域是 ．二、选择题（每题4分，满分20分）14．已知α为第四象限角，则α2所在的象限为（ ）A ．第二象限B ．第二或第四象限C ．第一象限D ．第一或第三象限16．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A 2，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形三、解答题（10+10+10+14）18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝2√3，AC ＝2，求△ABC 的面积 ． 19．已知tan(π4−α)=−12，α∈(π，32π)，求cos α﹣sin2α的值．上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P （4，y ）是角θ终边上的一点，且sin θ=−2√55，则y ＝ ．2．设扇形AOB 的周长为8 cm ，若这个扇形的面积为4 cm 2，则圆心角的弧度数为 ． 3．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为 千米．4．已知tanα=12，则sin2α的值为 ．8．已知tan α＝1，3sin β＝sin （2α+β），求tan （α+β）的值．16．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ） A ．（0，π6]B ．[π6，π）C ．（0，π3]D ．[π3，π）三、解答题19．已知α∈(π2，π)，sinα=45． （1）求sin(π4+α)的值； （2）求cos(5π6−α2)的值．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C +cos C ＝1﹣sin C2（1）求sin C 的值（2）若a 2+b 2＝4（a +b ）﹣8，求边c 的值．21．半圆O 直径为2，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，C 为半圆外异于A 的点，以AB 为边按顺时针方向作正△ABC ，问B 在何位置时，四边形OACB 面积最大？上海市位育中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，共36分）1．设P （3，y ）是角α终边上的一个点，若cosα=35，则y ＝ ． 2．半径为3，圆心角等于2π5的扇形的面积是 ．3．若cot x ＝2，则3sinx−2cosx 2sinx−3cosx= ．4．已知tan a =12，则sin2a ＝ ． 8．函数y =4−cosx2cosx+3的值域为 ．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b 2c =tanB tanC，则△ABC 的形状是 ．11．在钝角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围为 ．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件15．下列四个命题，其中是假命题的是（ ）A ．不存在无穷多个角α和β，使得sin （α+β）＝sin αcos β﹣cos αsin βB ．存在这样的角α和β，使得cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βC ．对任意角α和β，都有cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin βD ．不存在这样的角α和β，使得sin （α+β）≠sin αcos β+cos αsin β16．已知奇函数f （x ）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A ．f （cos α）＞f （cos β） B ．f （sin α）＞f （sin β） C ．f （sin α）＜f （cos β） D ．f （sin α）＞f （cos β）三、解答题：（共52分）17．已知α，β为锐角，cos α=45，tan （α﹣β）=−13，求cos β的值．19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sinA a=√3cosBb． （1）求角B 的大小；（2）如果b ＝2，求△ABC 面积的最大值．20．如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈(π6，π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B ．记A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． （Ⅰ）若x 1=13，求x 2；（Ⅱ）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ．记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2．若S 1＝2S 2，求角α的值．上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限． 2．若cos α=−45，且α∈（0，π），则tan α＝ ．3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为 ． 4．若sin （π+x ）+cos （π+x ）=12，则sin2x ＝ ． 6．若5π2≤α≤7π2，则√1+sinα+√1−sinα= ． 9．已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−725，sin(β−π4)=45，则sin(α+π4)的值＝ ． 10．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，∠A ＝60°，a =√3．则c +2b 的最大值为 ．二、选择题（每小题3分，共12分） 13．若α为第一象限角，则α2为（ ）A ．第一象限的角B ．第一或第四象限的角C ．第一或第三象限的角D ．第二或第四象限的角14．若sin αcos （α﹣β）﹣cos αsin （α﹣β）＝m ，且β为钝角，则cos β的值为（ ） A ．±√1−m 2B ．√1−m 2C ．±√m 2−1D ．−√1−m 215．若满足∠A ＝30°，BC ＝10的△ABC 恰好有不同的两个，则边AB 长的取值范围为（ ） A ．（5，10） B ．（10，20）C ．[20，+∞）D ．（5，10）∪[20，+∞）16．设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中的正确的个数是（ ） （1）cos α＞sin β （2）sinα+sinβ＜√2 （3）cos α+cos β＞1 （4）12tan(α+β)＜tanα+β2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（8分+10分+12分+10分+12分）17．已知α是第三象限角，化简：cos(π2+α)cos(2π−α)tan(−α+3π2)cot(−α−π)sin(−π−α)．18．已知tan(π4+α)=12（1）求tan α的值 （2）求sin2α−cos 2α2+cos2α的值．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B +C ）＝1． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =5√3，b ＝5，求sin B sin C 的值； （3）若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．20．如图，摄影爱好者在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为√3米（将眼睛S 距地面的距离SA 按√3米处理）（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB 和立柱的高度OB（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN ，且MN 绕其中点O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN 是否存在最大值？若存在，求出∠MSN 的最大值；若不存在，请说明理由．上海市闵行区七宝中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分30分）1．已知点M （tan α，cos α）在第二象限，则角α的终边在第 象限．2．sin(π−α)cos(4π−α)tan(−α+5π2)cos(−α−π)sin(−α−π)的值为 ．3．化简sinacosacos 2a−sin 2a−tana 1−tan 2a= ．4．设tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，则tan （α+π4）＝ ． 5．三角形的三条高的长度分别为113，110，15，则此三角形的形状是 ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得4分，否则一律得零分． 11．k ∈Z ，下列各组角的表示中，终边相同的角是（ ） A ．kπ2与kπ±π2B ．2k π+π与4k π±πC ．kπ+π6与2kπ±π6D ．kπ3与kπ+π315．已知−π2＜x ＜0，sinx +cosx =15． （1）求sin x ﹣cos x 的值； （2）求tan2x 的值．16．为了废物利用，准备把半径为2，圆心角为π3的扇形铁片余料剪成如图所示的内接矩形ABCD ．试用图中α表出内接矩形ABCD 的面积S ．17．如图，已知△ABC ，a 、b 分别为角A 、B 的对边，设A （b cos α，b sin α），∠AOB ＝β，D 为线段AB 的中点．定义：M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）的中点坐标为(x 1+x 22，y 1+y 22)． 若a ＝2，b ＝1，且点D 在单位圆上，求cos β的值．18．已知△ABC中，A＜B＜C，a＝cos B，b＝cos A，c＝sin C （1）求△ABC的外接圆半径和角C的值；（2）求a+b+c的取值范围．上海市金山中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（共36分，每小题3分）1．已知角α的终边过点P （﹣12，5），则tan α＝ ． 2．已知α是第一象限角，那么α2是第 象限角．3．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为 ． 4．若tan α=−13，则3sinα+2cosα2sinα−cosα= ．5．已知sin （π+α）=35，α∈(−π2，0)，则tan α＝ ．7．在△ABC 中，若sin 2A +sin 2B ＜sin 2C ，则该△ABC 是 三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．11．我们在高中阶段学习了六个三角比，则函数f （θ）＝|sin θ+cos θ+tan θ+cot θ+sec θ+csc θ|的最小值是 ．12．已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据： ①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ； ③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2；分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ． 二、选择题（共12分，每小题3分）13．已知α是第二象限角，且sin(π+α)=−35，则tan2α的值为（ ） A ．45B ．−237C ．−247D ．−83三、解答题（共52分，8分+10分+10分+12分+12分） 17．化简sin(θ−5π)cos(−π2−θ)cos(8π−θ)sin(θ−3π2)sin(−θ−4π)．19．如图所示，某建筑工地准备建造一间两面靠墙的三角形露天仓库堆放材料，已知已有两面墙CA 、CB 的夹角为60°（即∠ACB ＝60°），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得仓库的面积尽可能大，记∠ABC ＝θ，问当θ为多少时，所建造的三角形露天仓库的面积最大，并求出最大值？上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（共14题，每题3分，共42分）1．将时钟拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是 ． 2．已知sin θ=513，θ是第二象限的角，则tan θ＝ ． 3．已知cot （sin θ）•tan （cos θ）＞0，角θ是第几象限的角 ． 4．若α为第二象限角，则[sin(180°−α)+cos(α−360°)]2tan(180°+α)= ．7．对任意实数x ，不等式3sin x ﹣4cos x +c ＞0恒成立，则c 的取值范围是 ． 8．在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，∠D ＝120°，对角线AC 长为4，则对角线BD 的长为 ．二、选择题（共4题每题4分，共16分） 15．在△ABC 中，sin A ＝sin B 是A ＝B 的（ ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．若α、β∈[−π2，π2]，且αsin α﹣βsin β＞0，则下面结论正确的是（ ） A ．α＞βB ．α+β＞0C ．α＜βD ．α2＞β2三、解答题（共4题，共42分）19．在△ABC 中，cos B =−513，cos C =45． （1）求sin A 的值（2）设△ABC 的面积S △ABC =332，求BC 的长．21．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD ）的池底水平铺设污水净化管道（Rt △FHE ，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD =10√3米，记∠BHE ＝θ．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）若sinθ+cosθ=√2，求此时管道的长度L ；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．扇形的半径为1cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 cm 2． 2．已知角α的终边过点P （﹣5，12），则cos α＝ ． 3．已知sin(π−α)=14，α∈(π2，π)，则sin2α＝ ． 4．已知α是锐角，则log cosα(1+tan 2α)= ． 5．化简：sin(π−α)tan(π+α)⋅cot(π2−α)sin(π2+α)⋅cos(−α)sin(2π−α)= ．6．若α是第三象限角，且sin(α+β)cosβ−sinβcos(α+β)=−1213，则tan α2= ． 7．在△ABC 中，若b ＝1，c =√3，∠C =2π3，则S △ABC ＝ ． 8．隔河测算A ，B 两目标的距离，在岸边取C ，D 两点，测得CD ＝200m ，∠ADC ＝105°，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝120°，∠ACD ＝30°，则A ，B 间的距离 m ． 二、选择题（每小题4分，共16分）13．已知k ∈Z ，下列各组角的集合中，终边相同的角是（ ） A ．kπ2与 kπ±π2B ．2k π+π与4k π±πC ．kπ+π6与2kπ±π6 D ．kπ3与 kπ+π314．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则此三角形一定是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定三、解答题（本大题共48分） 17．若1−tanA 1+tanA=2，求cot(π4+A)的值．18．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C =14 （Ⅰ）求△ABC 的周长； （Ⅱ）求cos （A ﹣C ）的值．20．如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO＝β．（1）用β表示α；（2）如果sinβ=45，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．一、填空题（每题4分，共48分）1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα＝．2．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．3．若cosα=−13，则sin(3π2−α)=．4．若cosα=−45，α∈(π2，π)，则cos(α−π4)=．5．已知等腰三角形顶角的余弦值为−725，则这个三角形底角的正切值为．8．函数y=2cosx+12cosx−1的值域为．9．在△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosCcosB=2a−cb，则角B＝．二、选择题（每题5分，共20分）14．在△ABC中，下列命题中，真命题的个数为（）①∠A＞∠B是sin A＞sin B的充要条件；②∠A＞∠B是cos A＜cos B的充要条件；③∠A＞∠B是tan A＞tan B的充要条件；④∠A＞∠B是cot A＜cot B的充要条件．A．1B．2C．3D．4三、解答题（共5题，共计52分）18．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)；（2）sin2α﹣2cos2α．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，C=π3．（1）若△ABC的面积为√3，求a，b；（2）若sin C+sin（B﹣A）＝sin2A，求a，b．一、填空题（本大题满分42分）1．函数f（x）＝sin（2x+π4）的最小正周期为．2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝75°，B＝60°，b=√3，则c＝．3．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若a2＝b2+c2﹣bc，则角A＝．4．若cos（π+α）=−12，32π＜α＜2π，则sinα＝．5．函数y＝sin x−√3cos x的最小值为．6．若tan（α−π4）=14，则tanα＝．8．设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．9．已知角α的顶点在坐标原点上，角α的始边与x轴的正半轴重合，并且角α的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则cosα＝．14．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a＝c sin B+b cos C，b=√2，则△ABC面积的最大值为．二、选择题（本大题满分12分）15．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限三、解答题（本大题满分46分）本大题共有6题20．（1）设α≠kπ2(k∈Z)，请运用任意角的三角比定义证明：tanα﹣cotα＝（sinα+cosα）（secα﹣cscα）．（2）设α≠kπ（k∈Z），求证：sin2α(cot α2−tanα2)=4cos2α．21．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B在船的什么方向（精确到1°）？22．已知cos(x−π4)=√210，x∈(π2，3π4)，求sin(x−π4)，sinx，cos2x的值．。
2024-2025学年七年级数学上学期期中模拟卷(沪教版2024七上第10~12章)(考试版A4)
2024-2025学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版2024）（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版第10章整式的加减+第11章整式的乘除+第12章12.2因式分解。
5．难度系数：0.7。
第一部分（选择题 共12分）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．在a ―1，0.3，1x ，―2m+n ，x 2―32，―23x 3y 2这些代数式中，单项式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列各组式中，不是同类项的是（ ）A ．15x 3y 2和―7x 2y 3B ．5和―πC ．3ab 和―5baD ．3x 2y 和2x 2y3．以下能用平方差公式的是（ ）A ．(2a +b )(a ―2b )B ．(a ―b )(b ―a )C ．(a ―b )(―a ―b )D ．(a +b )(―a ―b )4．下列计算中，正确的是（ ）A ．a 3+a 3=a 6B ．a 3⋅a 2=a 6C ．(a 3)2=a 9D ．(―a 2)3=―a 65．下列从左到右变形，是因式分解的是（ ）A ．a(2a 2+5ab ―b 2)=2a 3+5a 2b ―ab 2B ．(x +5y)(x ―5y)=x 2―25y 2C．x2―y2=(x+y)(x―y)D．2x2―3x+1=x(2x―3+1)6．图（1）是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．(a+b)2C．(a―b)2D．a2―b2第二部分（非选择题共88分）二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）7．多项式―3x2+4xy―2y3+6y2中，其中三次项的系数是．58．把多项式6x2y―2xy―5x3y2+3y4―4x4按字母x的升幂排列是．9．已知单项式―1x m+n y3与―2xy n―1的和为单项式，则|m―n|=．210．计算：0.1252025×(―64)1012=．11．若3x=2，3y=5，则32x―y=．12．因式分解：x4―16=．13．计算：(x+2y―y=．14．一个长方形的面积为(6ab2―4a2b)，一边长为2a，则它的另一边长为．15．已知(2024―a)(2022―a)=16，那么(a―2023)2=．16．若多项式4x2―mx+64是一个完全平方式，则m=．17．已知(x2+mx+1)(x―n)的展开式中不含x项，x2项的系数为―2，则mn+m―n的值为．18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了(a+b)n（n为非负数）展开式的各项系数的规律，如：(a+b)2=a2+2ab+b2，它的系数分别为1，2，1．若y=(x―1)4展开得y=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，那么a0―a1+a2―a3+a4的值为．三、简答题（每题5分，共30分．）19．（5分）计算：(x2)3+(x3)2+(―x2)3+(―x3)2 20．（5分）计算：(2x―1)2―2(x―2)(x+6) 21．（5分）计算：(2a-b+3c)(2a+b-3c)22．（5分）计算：4x3y2―3x2y2―12x2y5÷―12xy．23.（5分）分解因式：-3a3b3+ 6a2b2- 3ab24．（5分）因式分解：(m 2+16n 2―9mn )2―m 2n 2．四、解答题（第25、26、27题每题8分，第28题10分，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）25．（8分）已知多项式A 、B ，其中B =5x 2+3x ―4，马小虎同学在计算“A +B ”时，误将“A +B ”看成了“A ―B ”，求得的结果为12x 2―6x +7．(1)求多项式A ；(2)求出A +B 的正确结果．26．（8分）先化简，再求值：2xy ⋅―[3xy 2―2(x 2y ―12xy 2)]―(―2x 2y)．其中x =―1，y =12．27．（8分）已知a +b =5，ab =32，求下列式子的值：(1)a 2―ab +b 2；(2)(a ―b )2．28．（10分）如图1，已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n(m>n)，A、B、E 三点在一直线上，且正方形ABCD和正方形BEFG的面积之差为12．(1)用含有m、n的代数式，表示图中阴影部分的面积；(2)DG、CF，则四边形DGFC的面积是多少？(3)图中正方形BEFG绕点B顺时针旋转90°后的对应图形BE′F′G′，连接DE′、CF′，若四边形DE′F′C的面积是18，求m、n的值．。
2021上海沪教新版高一数学下学期同步练习6.1.3任意角的三角函数详解版(01)
6.1.3任意角的三角函数（作业）一、单选题1．（2020·上海静安区·高一期末）设3sin 5α=-，4cos 5α=，那么下列的点在角α的终边上的是（ ） A ．()3,4-B ．()4,3-C ．()4,3-D ．()3,4-2．（2020·上海高一课时练习）若角α的终边经过点(5,12)P -，则sin tan αα+的值为( )A ．125-B ．513C ．9665-D ．1213-3．（2020·上海高一课时练习）若点(1,)P y 是角α终边上一点，且cos α=y 的值为( )AB ．C ．D ．无法确定4．（2020·上海高一课时练习）若点(5,0)P -为角α终边上一点，则下列三角比不存在的是（ ） A ．sin αB ．cos αC ．sec αD ．cot α5．（2019·上海市文来中学高一期末）“tan 3x =-”是“56x π=”的（ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件.D ．既非充分也非必要条件.6．（2017·上海市七宝中学高一期中）角α终边上一点()(2sin5,2cos5),0,2P απ-∈，则α=（ ） A ．52π-B ．35π-C ．5D ．52π+7．（2016·上海虹口区·上外附中高一期中）锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为（ ） A ．3π-B ．3π-C ．32π-D ．32二、填空题8．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）若角α的终边经过点P (3m ，-4m )(m <0)，则sin α+cos α=_____.9．（2017·上海市金山中学高一期中）已知角α的终边经过点(),3P m -，且，则m 等于__________．4cos 5α=-10．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4m α=，则tan α的值为________. 11．（2020·上海市进才中学高一期中）求值：πarccos sin 3⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 三、解答题12．（2020·上海高一课时练习）已知3x π=是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，求α的值.13．（2020·上海高一课时练习）已知角θ终边上一点P （异于原点）与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为4∶3，且cos 0θ<，求sin ,tan θθ的值.14．（2020·上海高一课时练习）解方程：()2sin 5150︒-=x (x 为锐角).15．（2020·上海高一课时练习）已知cos 0α>且tan 0α<. （1）求角α的集合； （2）若cos02α<，求角2α终边所在象限； （3）判断tan,sincos222ααα的符号.16．（2020·上海高一课时练习）已知角α的终边与直线3y x =-重合，求角α的正弦、余弦和正切值.17．（2018·上海市北虹高级中学高一期中）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()3,4,0P t t t ->，求sin cos αα+的值.6.1.3任意角的三角函数（作业）一、单选题1．（2020·上海静安区·高一期末）设3sin 5α=-，4cos 5α=，那么下列的点在角α的终边上的是（ ） A ．()3,4- B ．()4,3-C ．()4,3-D ．()3,4-【答案】B【分析】利用任意角的三角函数的定义逐个分析判断即可 【详解】解：对于A ，若点()3,4-在角α的终边上，则43sin ,cos 55y x r r αα====-，所以A 错误；对于B ，若点()4,3-在角α的终边上，则3sin 5α=-，4cos 5α=，所以B 正确； 对于C ，若点()4,3-在角α的终边上，则3sin 5α=，4cos 5α=-，所以C 错误；对于D ，若点()3,4-在角α的终边上，则4sin 5α=-，3cos 5α=，所以D 错误，故选：B【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题2．（2020·上海高一课时练习）若角α的终边经过点(5,12)P -，则sin tan αα+的值为( )A ．125-B ．513C ．9665-D ．1213-【答案】C【分析】利用三角函数的定义求出sin α、tan α即可求解. 【详解】由角α的终边经过点(5,12)P -， 则12sin 13α==，1212tan 55α==--， 所以121296sin tan 13565αα+=-=-.故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键，考查了基本运算能力，属于基础题.3．（2020·上海高一课时练习）若点(1,)P y 是角α终边上一点，且cos α=y 的值为( )A B ．C ．D ．无法确定【答案】B【分析】根据三角函数的定义，建立关于y 的方程，解得y 的值即可．【详解】∵点(1,)P y 是角α终边上一点，且cos α=，∴cos α==，化简得：2112y +=，解之得：y =．故选：B .【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，侧重考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题.4．（2020·上海高一课时练习）若点(5,0)P -为角α终边上一点，则下列三角比不存在的是（ ） A ．sin α B ．cos αC ．sec αD ．cot α【答案】D【分析】根据三角比的概念对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】由题意点(5,0)P -为角α终边上一点，则5r OP ==.所以0sin 05y r α===，-5cos 15x r α===-，5sec 1-5r x α===- 由cot xyα=，因为0y =，所以cot α不存在.故选：D 【点睛】本题考查三角函数的定义的应用，利用定义求对应的三角比，属于基础题.5．（2019·上海市文来中学高一期末）“tan x =”是“56x π=”的（ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件.D ．既非充分也非必要条件.【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义，即可判断.【详解】由56x π=，可推出tan 3x =-，而由tan x =()56x k k Z ππ=+∈，有多个解，即不能推出56x π=，故“tan x =56x π=”的必要非充分条件.故选：B【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义以及三角函数值与角的关系，属于基础题. 6．（2017·上海市七宝中学高一期中）角α终边上一点()(2sin5,2cos5),0,2P απ-∈，则α=（ ） A ．52π-B ．35π-C ．5D ．52π+【答案】A【分析】根据任意角三角函数的定义，分别计算sin α与cos α，再根据诱导公式求解角α，即可.【详解】3522ππ<<，sin50∴<，cos50>令2r ====则2cos5sin cos502y r α-===-<，2sin 5cos sin 502x r α===< 所以角α在第三象限，即32ππα<<，由诱导公式可知，52πα=- 故选：A【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，以及诱导公式，属于中档题.7．（2016·上海虹口区·上外附中高一期中）锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为（ ） A ．3π-B ．3π-C ．32π-D ．32【答案】C【分析】利用终边上的点确定正切值，结合终边所在的象限，从而得到角α的弧度数. 【详解】因为锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，所以sin(3)2cos32tan(3)tan(3)2sin 322cos t )a 32n (ππαππ---===--=--， 因为3(0,)22ππ-∈，所以32πα=-.故选：C【点睛】本题考查三角函数的定义、诱导公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 二、填空题8．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）若角α的终边经过点P (3m ，-4m )(m <0)，则sin α+cos α=_____.【答案】15【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可． 【详解】由题意得：55r OP m m ====-则44sin 55y m r m α-===-，33cos 55x m r m α===-- 故431sin cos 555αα+=-=，故答案为：159．（2017·上海市金山中学高一期中）已知角α的终边经过点(),3P m -，且，则m 等于__________．4cos 5α=-【答案】－4【解析】由题意，4cos 5α==-，解得4m =-，故答案为4-.10．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4m α=，则tan α的值为________.【答案】3±或0 【分析】利用正弦函数的定义求出m ,利用正切函数的定义求出tan α的值.【详解】角α的终边上一点()P m根据正弦函数的定义得:sin 4m α==解得0m =或m =当0m =时,tan 0α=;当m =, tan 3α=-当m =, tan 3α=则tan α的值为:或0故答案为: 或0. 【点睛】本题考查三角函数的定义,掌握三角函数的定义是解本题关键,考查学生的计算能力,是基础题.11．（2020·上海市进才中学高一期中）求值：πarccos sin 3⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．【答案】π6【分析】先求sin 32π=，再结合余弦函数的值，求arccos 2即可得解.【详解】sin 32π=，cos 62π=，πarccos sin 36π⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.故答案为：π6 【点睛】本题考查了反余弦函数，重点考查了反余弦函数求值问题，属基础题.三、解答题 12．（2020·上海高一课时练习）已知3x π=是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，求α的值.【答案】43πα= 【分析】由已知条件得出1cos 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出角3πα+的取值范围，可得出角3πα+的值，进而可求得角α的值. 【详解】由题意可得2cos 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1cos 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02απ<<，7333πππα∴<+<，则533ππα+=，解得43πα=. 【点睛】本题考查余弦方程的求解，考查计算能力，属于基础题.13．（2020·上海高一课时练习）已知角θ终边上一点P （异于原点）与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为4∶3，且cos 0θ<，求sin ,tan θθ的值. 【答案】当θ在第二象限时，44sin ,tan 53==-θθ；当θ在第三象限时，44sin ,tan 53=-=θθ. 【分析】根据cos 0θ<确定θ在第二象限或第三象限，讨论两种情况，结合距离之比为4∶3解得答案.【详解】cos 0θ<，故θ在第二象限或第三象限，当θ在第二象限时，()3,4P m m -，0m >， 故4sin 5θ==，44tan 33m m θ==--； 当θ在第三象限时，()3,4P m m --，0m >， 故4sin 5θ==-，44tan 33m m θ-==-. 综上所述：当θ在第二象限时，44sin ,tan 53==-θθ；当θ在第三象限时，44sin ,tan 53=-=θθ. 【点睛】本题考查了根据三角函数定义求三角函数值，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.14．（2020·上海高一课时练习）解方程：()2sin 5150︒-=x (x 为锐角). 【答案】{}15,27,87︒︒︒【分析】由题意可得()5151,5435x ︒︒︒-∈-，转化条件为()sin 515x ︒-=，求得515x ︒-的值后，即可得解. 【详解】 x 为锐角，∴(),090x ︒︒∈，()5151,5435x ︒︒︒-∈-，又()2sin 5150︒-=x ，∴()sin 5152x ︒-=， ∴65015x ︒︒=-或120515x ︒︒=-或420515x ︒︒=-，∴15x ︒=或27x ︒=或87x ︒=，∴原方程的解集为{}15,27,87︒︒︒.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的应用，考查了运算求解能力，准确识记特殊角的三角函数值是解题关键，属于基础题.15．（2020·上海高一课时练习）已知cos 0α>且tan 0α<.（1）求角α的集合；（2）若cos 02α<，求角2α终边所在象限； （3）判断tan ,sin cos 222ααα的符号.【答案】（1）22,2k k k Z παπαπ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭；（2）2α终边在第二象限；（3）tan 0,sin cos 0222<⋅<ααα.【分析】（1）由三角函数值的符号可得α角的集合；（2）由（1）由不等式的性质可得2α的范围，可得所在象限； （3）由2α的象限可得三角函数值的符号，可得乘积的符号． 【详解】解：（1）cos 0α>，tan 0α<，所以α位于第四象限， α角的集合为22,2k k k Z παπαπ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭； （2）由（1）可得22,2k k k Z παπαπ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭；所以,242k k k Z απαππ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭； ∴2α终边在第二、四象限，又cos 02α<，所以2α终边在第二象限； （3）由（2）知2α终边在第二、四象限， 当2α终边在第二象限时tan 02α<，sin 02α>，cos 02α<，所以sin cos 022αα< 当2α终边在第四象限时tan 02α<，sin 02α<，cos 02α>，所以sin cos 022αα<综上可得tan 02α<，sin cos 022αα<【点睛】本题考查三角函数值的符号及象限角，属于基础题．16．（2020·上海高一课时练习）已知角α的终边与直线3y x =-重合，求角α的正弦、余弦和正切值.【答案】当α的终边在第二象限时，sin tan 310==-=-ααα；当α的终边在第四象限时，sin tan 310===-ααα【分析】在角α的终边上取一点(,3)(0)A a a a -≠，则|||r OA a ==，分0a >，0a <两种情况，结合三角函数的定义即可解决.【详解】在角α的终边上取一点(,3)(0)A a a a -≠，则||||r OA a ===，当0a >时，此时角α的终边在第四象限，r =，所以cos10x r α===，sin10y r α-===，tan 3y x α==-；当0a <时，此时角α的终边在第二象限，r =，所以cos10x r α===-，sin 10y r α===，tan 3y x α==-. 【点睛】本题主要考查已知终边的位置求三角函数值，涉及到三角函数的定义，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17．（2018·上海市北虹高级中学高一期中）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()3,4,0P t t t ->，求sin cos αα+的值. 【答案】15【分析】由()3,4,0P t t t ->，所以5OP t ==，再结合三角函数的定义运算即可得解.【详解】解：因为()3,4,0P t t t ->，所以5OP t ==， 由三角函数的定义可得：44sin 55t t α==，33cos 55t t -α==-， 即431sin cos ()555αα=+-=+. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，重点考查了t 符号问题，属基础题.。
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三．解答题（8 分+8 分+10 分+12 分+14 分=52 分）
tan
17．已知
1 3
,且
是第四象限角．
（1）若 P 为 角终边上的一点，写出符合条件的一个 P 点坐标；
（2）求 sin , cos 的值.
2
0 x
18．已知
2 ,化简：
lg
cos
x
tan
x
1
2 sin2
x 2
lg
2
解： (1) tan x 3 ；
……4 分
6
m sin x cos x, n sin x cos x
(2)
……6 分
m2 2n 1 4sin x cos x 1 2sin 2x 1 2 2 tan x 1 1 tan 2 x 5 ……10 分
已知 (sin x cos x )2 4 1 sin 2x 4 sin 2x 3
2014 学年第二学期高一年级数学期中试卷
一.填空题（3 分×12=36 分）
y lg x
1. 函数
x 2 1 的定义域是___________________
2.
log a
若
2 3
1 ，则 a 的取值范围是
3.方程 4 x 3 2 x 2 0 的解为______________________
）
A．1 a 2 B． 0 a 1 C． 0 a 1 或1 a 2 D． a 1或 a 2
1 11 ,,
16．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 13 11 5 ，则此人（ ）
（A）不能作出这样的三角形 （C）能作出一个直角三角形
（B）能作出一个锐角三角形 （D）能作出一个钝角三角形
三．解答题（8 分+8 分+10 分+12 分+14 分=52 分）
tan
17．已知
1 3
,且
是第四象限角．
（1）若 P 为 角终边上的一点，写出符合条件的一个 P 点坐标；
（2）求 sin , cos 的值.
(1) 3, 1 (不唯一)
……4 分
sin =- 10 , cos = 3 10
（2）
（另解：
sin x cos x
1 sin 2x
5）
20．在
ABC
中，设角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，且
cos C cos B
3a b
c
，
（1）求 sin B 的值；
（2）若 b 4 2 ，且 a c ，求 ABC 的面积.
cosC 3sin A sin C
（1）由正弦定理，得 cos B
沿北偏东105 方向，以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速 21 海里，则舰艇到达渔船的最
2 短时间是 3 小时．
二、选择题（3 分×4=12 分）
13．在 ABC 中，若 cos A cos B cos C 0 ，则这个三角形是
（B ）
（A）直角三角形 （C）钝角三角形
（B）锐角三角形 （D）直角或锐角三角形
（）
（A）直角三角形 （C）钝角三角形
（B）锐角三角形 （D）直角或锐角三角形
14．在三角形△ABC 中, a 36 , b 21, A 60 ,不解三角形判断三角形解的情况(
)
(A) 一解
（B） 两解
(C) 无解
(D) 以上都不对
15．函数 f (x) log2 (2 a x ) 在区间 ( , 1] 上单调递减，则 a 的取值范围是（
8.设 角属于第二象限，且 2
2 ，则 2 角属于第__________象限.
sin
9.若
: sin
2
5 : 3，则 cos
．
10. 把 cos
3
sin
化为
A sin(
)( A
0,0
2
)
的形式即为
tan ( ) 2 , tan ( ) 1 , 那么 tan( ) 的值是
11.如果
5. 对数函数 y f (x) 的反函数图像过点（2,4），则 y f (x) 的解析式为 y log2 x x 0
4
8
6.若扇形的圆心角为 3 ，弧长为 3 ，则扇形的面积为 3
7.已知
2
,
0
, sin
3 5
，则
cos
-
4 5
cos
cos
8.设 角属于第二象限，且 2
2 ，则 2 角属于第__三_象限.
sin
9.若
: sin
2
5 : 3，则 cos
7 18
10. 把 cos
3
sin
化为
A sin(
)( A
0,0
2
)
的形式即为
2 sin
+
6
tan ( ) 2 , tan ( ) 1 , 那么 tan( ) 的值是 3
11.如果
5
44
4
22
12.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45 距离为 10 海里的 C 处，此时得知，该渔船
5
44
4
12.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45 距离为 10 海里的 C 处，此时得知，该渔船
沿北偏东105 方向，以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速 21 海里，则舰 艇到达渔船的最短时间是______ __小时．
1
二、选择题（3 分×4=12 分）
13．在 ABC 中，若 cos A cos B cos C 0 ，则这个三角形是
cos C cos B
3a b
c
，
（1）求 sin B 的值；
（2）若 b 4 2 ，且 a c ，求 ABC 的面积.
3
21.
设a
0且a
1 ，函数
f (x)
log a
x3 x3．
（1）求 f (x) 的定义域；
（2）判断 f (x) 的奇偶性，并证明之；
（3）若 0 a 1 ，讨论函数 f (x) 在区间 (3 , ) 上的单调性，并证明你的结论.
（
A）
5
A．1 a 2 B． 0 a 1 C． 0 a 1 或1 a 2 D． a 1或 a 2
1 , 1 ,1 16．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 13 11 5 ，则此人（ D ）
（A）不能作出这样的三角形 （C）能作出一个直角三角形
（B）能作出一个锐角三角形 （D）能作出一个钝角三角形
2014 学年第二学期高一年级数学学科期中试卷答案 一.填空题（3 分×12=36 分）
y
1. 函数
lg x
x2 1 的定义域是 1，+
2.
log a
若
2 1 3 ，则 a 的取值范围是
2 0，
3
1，+
3.方程 4 x 3 2 x 2 0 的解为 x 0或1
4
4.方程 log2 x 4 log2 x 1 1 log2 x 8 的解是 x 4
=
…… 6 分
lg sin x cos x lg cos x sin x 2 lg cos x sin x
=
=0
…… 8 分
sin x cos x 2 19．已知 sin x cos x .
（1）求 tan x 的值；
（2）若 sin x, cos x 是方程 x 2 mx n 0 的两个根，求 m2 2n 的值.
（1） ( , 3) (3 , ) ． ……3 分
（2） f (x) 是奇函数（证明略）．……8 分
7
（3） f (x) 在 (3 , ) 上是减函数（证明略）．……14 分
8
4.方程 log2 x 4 log2 x 1 1 log2 x 8 的解是
5. 对数函数 y f (x) 的反函数的图像过点（2,4），则 y f (x) 的解析式为
4
6.若扇形的圆心角为 3 ，弧长为 3 ，则扇形的面积为
7.已知
2
,
0
, sin
3 5
，则
cos
cos
cos
sin B 即 sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB
∴sin(B+C)=3sinAcosB∵A+B+C=180°∴sinA=3s
∵0°<A<180°∴cosB= 3 ∴sinB= 3
……6 分
a2 c2 b2
1
,
（2）由余弦定理，cosB= 2ac 再由 b=4 2 ，a=c，cosB= 3 得 c2=24
10
10
……8 分
0 x
18．已知
2 ,化简：
lg
cos
x
tan
x
1
2 sin2
x 2
lg
2
cos
x
4
lg
1
sin
2
x
．
lg sin x cos x lg cos x sin x lg 1 sin 2x
=
…… 4 分
lg sin x cos x lg cos x sin x lg cos x sin x2
1
1
∴S△ABC= 2 acsinB= 2 c2sinB=8 2
……12 分
21.
设a
0且a
1 ，函数
f (x)
log a
x3 x3．