含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定
含参数不等式恒成立问题
含参数不等式恒成立问题参数不等式恒成立问题是一类重要的数学问题，其表达形式为：（1）存在m个变量x1,x2,…,xm，每个变量的取值范围是实数集合Xi；（2）定义n个不等式Fi(X1,x2,…,xm)；（3）寻找一组Xi使得F1(X1,x2,…,xm)≤0、F2(X1,x2,…,xm)≤0、⋯、Fn(X1,x2,…,xm)≤0成立。
参数不等式恒成立问题常见于最优化理论中的多元函数最优化。
在多元函数最优化中要求某几个函数的值都在一定的范围内。
为此必须找到一组最优参数使得这些不等式恒成立。
由此可以看出该问题是一个典型的大规模多变量不动点问题。
由于该问题是NP完全课时间复杂性问题，所以在本文中采用近似方法来进行求解。
通常情况下考虑使用“差分近似”来对连续可微无界函数Fi(Xi)进行局部递归分割处理。
即将Xi平面上分割成小单元格后将该单元格上的Fi(Xi)值作为Fi′(Xi)的左侧界和上侧界。
使用差分近似法能将大尺度的复杂性转化成小尺度的特征对应的问题来实施局部递归处理。
因此无界期望价值函数能够由一般情况中承受大量决策者原始价核心化而得到解决。
此外，由于该问题之所以难以直接求解是因为它是NP完全难以直接通过传统方法来处理的难度。
在这种情况下，采用动态规划技术来近似代替多项式时间复杂性方法也是常用而有效的手段。
动态规划技术需要将问题分解为一系列子问题，其中每个子问题都只包含部分参数的不等式恒成立的情况。
在这些子问题中，由于参数的数量并不大，因此可以使用多项式时间复杂度的算法来寻找出适当的解决方案。
总之，参数不等式恒成立问题是一类重要但复杂的数学问题。
在本文中，我们使用了“差分近似”和动态规划技术来近似解决该类难题。
它们能够帮助我们快速准确地对大规模多变量不动点问题进行实施局部递归处理。
同时也能有效地将原始NP完全课时间复杂度问题转化为尺度小特征对应的可行解决方案。
不等式中恒成立问题的参数范围求解策略
解 使。ｌ ｌ／ｍ， Ｘ［，】 析要 ｌ｝ ｏ￣＋ 当 Ｊ ｇ ≤ｇ－生 Ｅ０二 ｘ１ 一 Ｌ１ １
时恒成立， 只要、 ／
时 ｍ 必 须 大 于 ０ ．
Ｖ ｌ ～
例 ５ 设 函数
） ｎ ＋ ＝Ｉ ． 若 ∈ｆ ， ］ 厂 ）≤ １ ２ 时＿ （
．
只要 ＿ 一 ） 厂 ２ ＜０与 ｌ ２ ＜０同 时 成 立 即 可 ． 得 的 取 （ 厂 ） （ 可
的极 限值 就 可 以 了． 种 方 法 就 是 构 造 函 数 求 最 值 法 ． 谓 这 所
构 造 的 函数 可 以是 ｇ（ ） ｘ．
￣
（＋ｆＴ Ｔ． －Ｎ－＋ ） ｌ ，Ｖ ２一 ｆＩ
【 键 词 巨成 立 ； 数 范 围； 略 关 参 策
在含有两个变量 的不等式恒成立 的问题 中． 往会 出 往 现 已知 其 中一 个 变 量 的 范 围 ， 确 定 另 一 个 变 量 的 范 围 要 的问 题 ． 么如 何 考 虑 解 答此 类 问题 呢 ？ 那 一方 面解 答 要 看 题 目的特 点 ， 一 方 面 还 要 注 重 解 答 策 略． 面 就 数 学 中常 见 另 下 的恒 成 立 问 题 中 参数 范 围 的求 解 策 略 作 一 归 纳 ． １ 如 果 参 数 为 ｍ，能 把 ｍ 表 示 成 关 于 的 不 等 式 ． ． 即 形 如 ｍ￣ｇ ｘ （ ｍ≤ｇ ） （ ）或 （ ） 的形式 ， 么 只要 ｍ 不 小 于 ｇ ｘ 那 （） 的 最大 值 （ ｍ 不 大 于 ｇ ｘ 的 最 小 值 ） 可 求 得 参 数 的 范 或 （） 即 围． 时 如果 ｇ ｘ 在 特定 的范 围 内取 不 到 最 值 ， 有 （） 只要 考 虑 它
如何求不等式恒成立的参数的取值范围
一
次函数 ｆ ） ａ （ ＝ ｘ＋ｂ在 ∈［ ｎ 上恒 大 ｍ， ］
于零 的充要 条件 是 ：
｛
或 ＇或 ＞ 。 ，
） ａ ＋ｂ恒小于零 的条件亦可类似给 出。 ＝ ｘ 例 １ 对任意的 ａ 一１ １ ， ∈［ ，］ 函数 ｆ ） ＋ （ ＝ （ ４ ＋ ａ一 ） ４—２ ｎ的值总大于零 ， 求 的取值 范围。 解 ： （ 可变形为 ｇ 口 ＝（ 一２ ａ＋ 一４ 厂 ） （） ｚ ） ｘ＋
、
利 用 一 次 函数 的 性 质
０ ① 在区间 ， ） 上恒 成立 ， 要求实参数 ｋ的范 围。
如果能将不等式①化 为 Ｆ ｋ ≥Ｇ ）或 Ｆ ｋ （） （ （ （） ≤Ｇ ） （ ）的形 式 ， 且可求 出 Ｇ ） 区间 ，上 的最 （ 在 大（ 最小 ） ， 么不等式 ①在 区间 ， 恒成立 的充 值 那 上
时 ， 有 ＋ ｋ ｋ一 １ 恒 ｘ＞ ，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等 式总可 以化 为 ａ ｘ ｘ ＋ｂ
＋ｃ ＞０（ ０ ａ＞ ）的形 式 ， 由二 次 函数 Ｙ＝
论：
＋ ＋ｃ
求实数 ｋ的取值范 围。
解 ： 等 式 可 化 为 不
（ ａ＜０ 的 图 象 和 性 质 ， 们 不 难 得 出 以 下 两 个 结 ） 我
｛ ｝ 。
， ｆ ２ ａ 则 —ｔ＞ｍ ｘ
①
于是该 题 就 变成 ： ａ∈［一１ １ 内任 意取 值 当 ，］ 时，（） ｇ ａ 恒大于零 ， 求 的取 值范围。 因为 ｇ ｎ 是一次 函数 ， 以 ｇ ａ 在 ［ ， ］ （） 所 （ ） 一１１ 上
恒 为 正 ， 要 只
ｒ （ ） 一 ｘ＋６ ， ｇ 一１ ： ５ ＞０ Ｌ （ ） —３ ｇ１＝ ｘ＋２ 。 ＞０
(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档
恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。
不等式恒成立问题中参数范围的求解策略
条件
A1#2@
4&= <
( 1#2&>
条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中 可以 判断 函 数 1#2&是 周 期为 ,4的周 期
函数 的条 件是
C
D0设函 数 1#2&的 定义 域 为 E3任 取 2(F
2,F28 G3且 2(5 2,31#2&5H (3给出 下列 I
个关 系式 :
#(&1#2(@ 2,&= 1#2(&J1#2,&> #,&1#2(J2,&= 1#2(&@ 1#2,&> #’&1#2(< 2,&= (1@ #2(1&#< 2(&11##22,,&&>
每 一个 2都成 立3其 中#45 +365 +3437368
9&: #(&条件 ; 1#2&< 1#< 2&= +> 条件 ?1#4@ 2&= 1#4< 2&> 条件 A1#62@ 7&= 1#< 62< 7&> 条件 B1#2&= #2< 4&+C
其 中 判 断 函 数 1#2&是 偶 函 数 的 条 件 是
又 设 25 4 1)%则 它是 过原 点%斜 率为 1的直 线 9& 在同 一 直角 坐 标 系 下作 出
它们 的图 像-如 图 3/&依题 意%半 圆 8恒 在直 线 9上方 时%只 有 1: #时成 立%故 1
图3
怎样求不等式恒成立问题中参数的取值
求不等式恒成立问题中参数的取值问题是高考试题中的常见题型.此类问题综合性较强，不仅考查了不等式，还考查了函数、方程、导数、求最值的方法.求不等式恒成立问题中参数的取值的方法有很多，本文主要介绍参变分离法、数形结合法、基本不等式法.一、参变分离法参变分离法是求不等式恒成立问题中参数的取值的常规方法，是指将不等式中的参数a 与变量f (x )分离在不等式的两侧，将问题转化为a ≤f (x )min 或a ≥f (x )max ，求得f (x )的最值，便能确定a 的取值范围.例1.当x ≥2时，不等式x ln x ≥kx -2(k +1)恒成立，求k 的最大整数值.解：将原不等式变形可得k ≤x ln 2+2x -2(x >2)，令g (x )=x ln x +2x -2，对g (x )函数求导g ′(x )=x -2ln x -4(x -2)2，设h (x )=x -2ln x -4，对函数h (x )求导h ′(x )=1-2x，∴函数h (x )在（2,+∞）上单调递增，而h (8)=6ln 2-4>0，h (9)=4ln 3-5<0，∴g ′(x )零点x 0∈(8,9)，即h (x 0)=0，x 0-2ln x 0-4=0，∴当2<x <x 0时，g ′(x )<0,函数g (x )单调递减，当x >x 0时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，∴g (x )≥g (x 0)=x 0ln x 0+2x 0-2=x 0-22，k ≤g (x 0)，而3<x 0-22<72，∴k 最大整数值为3.在本题中，首先通过变形分离出参数，构造出新的函数，然后通过二次求导确定函数的的单调性以及最值，进而求得参数k 的取值.二、数形结合法在解答不等式恒成立问题时，我们可以首先将不等式进行变形，然后构造出适当的函数，绘制出相应的函数图象，借助图形来讨论曲线的临界位置，建立新的不等式，进而确定参数的取值.例2.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2)，若∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为______．解：当x ≥0时，f (x )=ìíîïï-x ,0≤x <a 2,-a 2,a 2≤x <2a 2,x -3a 2,x ≥2a2作出函数的图象，再根据函数为奇函数画出x <0时的图象，如图所示，由题意，要使∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )恒成立，应满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得a ∈éëêû.这里主要运用了数形结合法.借助函数的图象来分析问题，能帮助我们快速打开解题的思路，提升解题的效率.三、基本不等式法基本不等式法是求最值问题的常用方法.在求不等式恒成立问题中参数的取值时，我们可以结合题意，将问题转化为求最值问题，构造满足基本不等式应用的条件，运用基本不等式来求得最值，进而得到参数的取值范围.例3.设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=9x +a 2x+7，若f (x )≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．解：因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x =0时，f (0)=0，则0≥a +1，所以a ≤-1，设x >0，则－x <0，所以f (x )=-f (-x )=-éëêùûú9(-x )+(a 2-x )+7=9x +a 2x -7.由基本不等式得9x +a 2x -7≥-7=-6a -7,由f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，只需使-6a -7≥a +1，即使a ≤-87，结合a ≤-1，可得所求a 的取值范围是æèùû-∞,-87.在解答本题时，首先根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后运用基本不等式求得函数f (x )的最值，再结合题目条件建立使不等式恒成立的新的不等式，即可求出参数的取值范围.以上三种方法均有各自的特征，无论运用哪种方法来求不等式恒成立问题中参数的取值，都要首先将不等式进行变形，再构造函数，灵活运用函数的图象、性质或基本不等式来求得最值，再建立关于参数的不等式，解不等式求得参数的取值.（作者单位：江苏省包场高级中学）江望杰46。
求不等式恒成立问题中参数取值范围的几种方法
潦 数 讣 司
（ ） ＜０
即
ｌ ｎ ａ ］ 时
） 在［ ０ ， Ｉ ｎ ａ ］ 上 是 减 函数 ， 而ｆ （ ０ ）＝ ０ ， 所 以 当 ∈［ ０ ，
） ＜０ ． 不符 合题 意 。
叫 。 却
解得 ： ＜１ 或 ≥３
ｌ
数， 设， （ ） ＝ ｇ （ ） 一 ， 若 ≥ ｏ时 （ ） ≥０恒成 立 ， 求实２ 数 。的
取 值范 围 。
２ ２
÷ ） 必 须 在 函 数 ｙ ＝ 的 图 象 上 的 点 （ ÷ ， ÷ ） 的 上 方 。 所 以 ｌ 。 ｇ 。
÷ １ ， 即 。 去 ， 故 去ｃ 。 １ ， 综 上 所 得 去 。 １ 。
综上所述实数a的取值范围是三数型结合法采用数型结合法求解不等式恒成立问题中参数的取值范围是将不等式两端的式子看作是两个函数且正确做出两个函数的根据在给定区间上不等式恒成立必须一个函数的图象在另一个函数图象的上方通过观察两图象特别是交点时的位置关系列出关于参数的不等式从而求出参数的取值范围
语数外学 习
目
所 以当 ＞ １０时 （ ） 是 增 函数 ， 且ｆ （ ）≥ 厂 （ ０ ） ＝ １ 一。
往往会 取得 出奇制胜 的效 果。 ①若 ｎ ≤１ 时， 则 （ ）≥ １ 一 ｏ ≥Ｏ ， 此时ｆ （ ） 是增函数， 且 合其 它 知识 ， 例 ４ ： 若对 于任 意 ｔ Ｅ（ 一１ ， １ ］ ， 函数 ， （ ） ＝ ＋（ ｔ 一 ４ ） （ ） Ｏ ）＝ ０ ， 满 足题 意 。 ２ ｔ ＞０恒成 立 ， 求 的取 值范 围。 ②若 Ⅱ ≥１ 时， 则ｌ ｎ ａ＞ ０ ， 则， （ １ ｎ ａ ） ＝一ｌ ｎ ａ＜ Ｏ 解： 设ｇ （ ｔ ） ＝（ 一 ２ ） ｚ ＋ 一 ４ ＋ ４ ， 把 它 的图 象看作 一 因 为当 ｉ ＞０时 （ ） 是 增 函数 ， 所 以当０ ≤ ≤］ ｎ ａ时 （ ） 线， 由题 意知 ， 直线 恒在 横轴 上方 。
不等式恒成立求解参数范围问题的常用策略
不等式恒成立问题的求参策略山东省莱西一中北校 赵贞才 （266600）含有参数的不等式恒成立问题是同学们常见的一类题，这类题涵盖范围广。
不少同学面对此类题，不知从何下手 。
其实这类题，规律性较强，有法可循。
本文结合实例探讨一下解题策略。
1. 分离参数法如果能把不等式中的参数与主元分离开来，则可以通过求函数最值来简化问题。
如：max )()(x f t x f t >⇔>恒成立，min )()(x f t x f t <⇔<恒成立例1：已知 3421lg )(ax f x x ∙++= 若x ∈(-∞,1］时，f (x )有意义，求a的范围.分析：原题等价于不等式03421>∙++ax x 对x ∈(-∞,1］恒成立，分离参数，得()()xxa 2141-->，令 ()()xxx g 2141)(--= ，x ∈(-∞,1］，显然g(x)为增函数，故只须43)1()(max -==>g x g a 即可。
例2：已知函数x x x f 2cos 34sin 2)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx① 求)(x f 的最大值和最小值；② 若不等式 2|)(|<-m x f ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 上恒成立，求实数m 的取值范围.分析：（1）2)(,3)(min max ==x f x f2)(2)(2|)(|)2(+<<-⇔<-x f m x f m x f41<<∴m2. 分类讨论法：按所给不等式中参数的本质属性划分不同种类进行讨论，特别应注意分类要“不重不漏”。
例3：已知3)(2++=ax x x f 当[]2,2-∈x 时a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围？2)(2)(min max +<<-∴x f m x f解：法一 原不等式恒成立，即]2,2[3)1(2-∈--≥-x x a x 在时恒成立，为了分离常数，必须对1-x 的符号进行分类讨论。
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该题题型新颖，许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围 茫然不知所措。因为这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三 角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵 活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征， 其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的 几种方法：
即 令，பைடு நூலகம்
∴ 令＝ ∴ 题意为>0在上恒成立。
∴
或
＝－4×1×()<0
或
>0 解得 ： 或或 ∴， 即 m的取值范围为： 4 数形结合法 某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某 个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法。因为辨正唯物主 义认为：万物皆有形。所以从宏观上讲，抽象的数学问题必存在着形 象的直观模型，这是因为数学问题本身就是客观世界事物的抽象。我 们在解题时，可以有意识地去认识，挖掘和创造抽象的直观形象，变 抽象为直观，充分运用直感，由数思形，以形辅数。数形结合往往能 迅速而简捷地找到解题途径。对于解含参不等式恒成立问题，我们可 以先把不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函 数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的 位置关系，从而列出关于含参数的不等式。 例8、已知对于一切x，y∈R，不等式恒成立，求实数a的取值范围。 解：要使原不等式恒成立，又 =，考虑到点M（x,）， x O y N（y,-）则点M在曲线C1：xy=9上，点N在曲线C2：x2+y2=2(y≤0) 上。显然|MN|min=，此时a.故满足条件的a 的取值范围为 评析：对一些不等式两边的式子，函数模型较明显、函数图象较 容易作出的，可以考虑作出函数图象，用函数图像的直观性解决不等式 或方程的恒成立的问题，也非常容易得到意想不到的效果。
含参数不等式恒成立问题中参数范围的
确定
确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基 础知识，并时常要在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的 重点；然而，怎样确定其取值范围呢？课本中却从未论及，但它已成 为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在 确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下， 灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益， 因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.基于此，下文试对此类问 题的求解策略与方法作一提炼总结.
（1） 构造一次函数
若对一切，不等式恒成立，求实数x的取值范围。 解： 原不等式变形为，
现在考虑p的一次函数： ∴ 在上恒成立 ∴
解得： 或 ∴ x的取值范围为 注： 本题对于一切不等式恒成立，因此应视p为主元，视x为参数，把不等 式左边变成关于p的一次函数型。 （2） 造二次函数 对于，恒成立，求实数m的范围。
若不等式在内恒成立，求实数a的取 值范围。
解： 由题意知 ： 在内恒成立。 在同一坐标系内分别作出 和 的图象
因为时，的图象位于函数的图象上方， 当 a> 1时，显见不成立。 故 0<a<1 ①
由图可知： 的图象必须过点 或在这个点的上方，则： ∴② 由 ①，② 知 ： ∴ a 的取值范围为
5. 观察.试探.猜想.证明法 当前面的方法都难以解决问题时，我们可以考虑从特殊到一般的 思想，先考虑一些变量的特殊值，找出相应的满足题设的参数的取 值，然后猜想出参数的取值范围，并将问题转化为：在已知参数取值 范围的情况下，证明所给问题恒成立。 例10： 已知对一切实数，不等式恒
成立，试求实数a的取值范围。 分析： 取＝，
则由解得： a> 又取＝0，时均得： 由此猜想： 由于当 时，对一切 ∵， ∴ 恒成立 故 为所求。
数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样， 方法灵活多变，技巧性较强。这就要求我们要以变应变，在解题过程 中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征，从不 同的角度，不同的方向，加以分析探讨，从而选择适当方法快速而准确 地解出。当然除了以上的方法外，还有许多其它的方法，值得一提的 是，各种方法之间并不是彼此孤立的。因此，系统地掌握参数问题的解 题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面 有很大的帮助。
，由指数函数单调性知上式右边的函数的最大值是＝ 故 a> 一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 , （ 为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤: （1） 将参数与变量分离，即化为的形式； （2） 求在D时的最大（或最小）值；
（3） 解不等式 得的取值范围。 思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例如上面的这道高考题，我们根据其特征可以用分离参数法来解 决。所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后 根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论 的麻烦，使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征：
因为分母n是正数，要使得当有意义，分子就必须也是正数。 并容易看出，可以将a分离出来。 分析： 当时，有意义，故有 令，只要对在上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利用函数的 最值分离出参数a。 解： 由时，有意义得：
解得： 3 构建函数法 当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时， 可以通过构建函数来解决。我们知道，函数概念是高中数学的一个很 重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问 题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性 质结论解题，往往收到意想不到的效果。这里，我们主要介绍如何通 过构造一次函数，二次函数模型，并利用它们的性质来确定参数的取 值范围。
利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用 来证明一些不等式。 例 2： 已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意求实
数m范围，使 恒成立。 解： ∵ f(x)在R上为奇函数，且在上是增函数，
∴ f(x)在上为增函数 又∵
∴ ＞－＝ ∴即 ∵ 2－，
∴2 ∴ m> 令2－ ∴ m>4－ 即4－m<在上恒成立 即求在上的最小值 ∵ ≥2等号成立条件t=,即成立 ∴ ∴ 4－m<即m>4－ ∴ m的取值范围为（4－，＋∞）
由题意知，直线恒在横轴下方。 所以
解得： 或或
例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式恒成立，求实数m的取值范围。 分析： 一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式
时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。 若设，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。所以
例 3： 设0<a,若满足不等式的 一切实数x，亦满足不等式 求正实数b的取值范围。
简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A＝， B=
由题设知AB，则：
于是得不等式组： ()
又 ，最小值为；
最小值为； ∴,
即 ：b的取值范围是 2 主参换位法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者 即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑 变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会 取得出奇制胜的效果。 若对于任意a，函数的 值恒大于0，求x的取值范围。 分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值 很难求出，思路受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。 解： 设 ，把它看成关于a的直线，